專題26 圓的相關概念及性質(zhì)（練習）（28題型）

第26講圓的相關概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關練 3題型01理解圓的相關概念 3題型02圓的周長與面積相關計算 3題型03圓中的角度計算 5題型04圓中線段長度的計算 5題型05求一點到圓上一點的距離最值 6題型06由垂徑定理及推論判斷正誤 7題型07利用垂徑定理求解 8題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解 9題型09在坐標系中利用勾股定理求值或坐標 10題型10利用垂徑定理求平行弦問題 12題型11利用垂徑定理求同心圓問題 12題型12垂徑定理在格點中的應用 13題型13利用垂徑定理的推論求解 14題型15利用垂徑定理求取值范圍 18題型16利用弧、弦、圓心角關系判斷正誤 19題型17利用弧、弦、圓心角關系求解 20題型18利用弧、弦、圓心角關系求最值 21題型19利用弧、弦、圓心角關系證明 22題型20利用圓周角定理求解 24題型21利用圓周角定理推論求解 25題型22已知圓內(nèi)接四邊形求角度 27題型23利用圓的有關性質(zhì)求值 27題型24利用圓的有關性質(zhì)證明 28題型25利用圓的有關性質(zhì)解決翻折問題 31題型26利用圓的有關性質(zhì)解決多結論問題 32題型27圓有關的常見輔助線-遇到弦時,常添加弦心距 33題型28圓有關的常見輔助線-遇到有直徑時,常添加（畫）直徑所對的圓周角 34真題實戰(zhàn)練 34

題型過關練題型01理解圓的相關概念1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸2．（2020·內(nèi)蒙古烏蘭察布·校考一模）下列命題：①三點確定一個圓；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對的弧相等，正確命題的個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）下列說法中，正確的是（

）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④4．（2023·福建泉州·南安市實驗中學?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形題型02圓的周長與面積相關計算5．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮，繪飾金碧輝煌，以手掌推出光澤而得名．圖1是平遙推光漆器的一種圖案，圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖．四邊形ABCD是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個頂點為圓心，12對角線的長為半徑畫弧，四條弧相交于點O，則圖中陰影部分的面積為（

A．2π?4 B．π?2 C．2π D．16．（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學?？家荒＃┠彻珗@計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無法確定7．（2019·河北張家口·統(tǒng)考一模）半徑為R、r的兩個同心圓如圖所示，已知半徑為r的圓周長為a，且R?r=1，則半徑為R的圓周長為（

）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)+2 C．a(chǎn)+π D．a(chǎn)+2π8．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）一塊含有30°角的三角板ABC如圖所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．將此三角板在平面內(nèi)繞頂點A旋轉一周．（1）畫出邊BC旋轉一周所形成的圖形；（2）求出該圖形的面積．題型03圓中的角度計算9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC=80°，點D為弦AC的中點，點E為BC上任意一點，則∠CED的大小可能是（A．10° B．20° C．30°11．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O'A'B，使點O落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點

題型04圓中線段長度的計算12．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長為（

A．403 B．8 C．24513．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BCA．403 B．8 C．245 14．（2022·湖北武漢·武漢第三寄宿中學校考模擬預測）如圖，將兩個正方形如圖放置（B，C，E共線，D，C，G共線），若AB＝3，EF＝2，點O在線段BC上，以OF為半徑作⊙O，點A，點F都在⊙O上，則OD的長是（

）A．4 B．10 C．13 D．26題型05求一點到圓上一點的距離最值15．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接干圓O，線段MN在對角線BD上運動，若圓O的面積為2π，MN=1，△AMN周長的最小值是_________

16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）平面直角坐標系xoy中，⊙O的半徑為2，點M在⊙O上，點N在線段OM上，設ON=t（1<t<2），點P的坐標為?4,0，將點P沿OM方向平移2個單位，得到點P'，再將點P'作關于點N的對稱點Q，連接PQ，當點M在⊙O上運動時，PQ

17．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D為線段AB上的動點，連接CD，過點B作BE⊥CD交CD于點E，則在點D的運動過程中，求線段AE的最小值為______18．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足，則線段BP的最小值是______；當BP取最小值時，DP延長線交線段BC于E，則CE的長為______．

題型06由垂徑定理及推論判斷正誤19．（2022·山東濟寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說法中不正確的是（

）A．CE=EO B．OC=2CD C．∠OCE=45° 20．（2022·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 21．（2018·內(nèi)蒙古包頭·校聯(lián)考一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接BC、BD、AC，下列結論中不一定正確的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD題型07利用垂徑定理求解22．（2023·云南·模擬預測）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A．713 B．1213 C．71223．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．72324．（2022·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．25．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是AD所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解26．（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．（1）求證：∠BAD=∠CAD；（2）連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長．27．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）小明向如圖所示的圓形區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢．已知△ABC是等邊三角形，D點是弧AC的中點，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．28．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為_____．29．（2022·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC＝3，AC＝4，點D是AC邊上一動點，過點A作AE⊥BE交BD的延長線于點E，則BDDE30．（2021·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為32的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC?的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是_____題型09在坐標系中利用勾股定理求值或坐標31．（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為5的⊙E與y軸交于點A0,?2，B0,4，與x軸交于C，D，則點D的坐標為（A．4?26,0 B．?4+26,0 C．32．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知A10,0,B8,0，點C,D是以OA為直徑的半圓上兩點，且四邊形OCDB是平行四邊形，則點CA．2，3 B．2,4 C．1,2 D．1,333．（2017·山東臨沂·?？家荒＃┤鐖D，已知⊙A在平面直角坐標系中，⊙A與x軸交于點B，C，與y軸交于點D，E，若圓心A的坐標為（-4，6），點B的坐標為（-12，0），則DE的長度為（）A．221 B．421 C．8 D．1634．（2022·四川瀘州·模擬預測）已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點P是反比例函數(shù)y=6x(x>0)圖像上的一個動點，若以點P為圓心，3為半徑的圓與直線y=x相交，交點為A、B，當弦AB的長等于25時，點題型10利用垂徑定理求平行弦問題35．（2021·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．36．（2022·黑龍江·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．37．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，則AB與CD之間的距離是題型11利用垂徑定理求同心圓問題38．（2022·福建·模擬預測）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，大圓的半徑OA交小圓于點D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，則AB的長是_______39．（2019·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，兩個圓都以O為圓心，大圓的弦AB與小圓相切于點C，若AB=6，則圓環(huán)的面積為________.40．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考模擬預測）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長．題型12垂徑定理在格點中的應用41．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，AE的延長線經(jīng)過格點D，則AE的長為（

）A．3π4 B．π2 C．5π842．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O均在格點上，則sinC=___________

43．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，M均為格點，以格點O為圓心，AB為直徑作圓，點M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長等于__________；（Ⅱ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=AM44．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C，D均為格點，且點A，B在圓上．（1）線段AC的長等于________；（2）過點D作DF∥AC，直線DF與圓交于點M,N（點M在N的左側），畫出MN的中點P，簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）_______題型13利用垂徑定理的推論求解45．（2023·湖南長沙·模擬預測）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，BC=BD，∠CDB=30°，AC=23，則OE=A．32 B．3 C．1 46．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，點C是AB的中點，連接OC交弦AB于點D，若OD=3，DC=2，則AB的長是______．47．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）已知AB是⊙O的直徑，點C，D是⊙O上兩點，AC=BC，連接AC，BC，(1)如圖①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大??；(2)如圖②，過點C作⊙O的切線，與DB的延長線交于點E，若CE=CB，求∠ABD的大?。?8．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？家荒＃┤鐖D，已知AB是⊙O的直徑，點D是弧BC的中點，點E在DO的延長線上，連接AE．若∠E=∠B．

(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)連接AC．若AC=6，CF=4，求OE的長．題型14垂徑定理的實際應用49．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長為6米，∠OAB=41.3°，若點C為運行軌道的最高點（C，O的連線垂直于AB），求點C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）50．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）中國5A級旅游景區(qū)開封市清明上河園，水車園中的水車是由立式水輪，竹筒、支撐桿和水槽等配件組成，如圖是水車園中半徑為5m的水車灌田的簡化示意圖，立式水輪⊙O在水流的作用下利用竹筒將水運送到到點A處，水沿水槽AP流到田地，⊙O與水面交于點B，C，且點B，C，P在同一直線上；AP與⊙O相切，若點P到點C的距離為32米，立式水輪⊙O的最低點到水面的距離為2米，連接AC，AB．請解答下列問題，(1)求證：∠PAC=∠PBA．(2)請求出水槽AP的長度．51．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖是正在修建的某大門上半部分的截面，其為圓弧型，跨度CD（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高AB（弧的中點到弦的距離）為0.8米．(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建中，在距大門邊框的一端（點D）0.4米處將豎立支撐桿HG，求支撐桿HG的高度；52．（2021·云南大理·統(tǒng)考二模）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB=8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為_，最小值為_．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；【問題解決】（3）如圖3，在⊙O中，半徑為13，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，則CD的長度_題型15利用垂徑定理求取值范圍53．（2020·山東泰安·校考模擬預測）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤554．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的弦AB=8，點P是AB上一動點，若⊙O的直徑是10，則OP的長的取值范圍是______．55．（2023·浙江金華·?？家荒＃┰阡J角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，設BC邊上的高為h，則h的取值范圍是__________________．56．（2022·湖南長沙·校考二模）在半徑為5的圓中，弦AB=8，點C是劣弧AB上的動點（可與A、B重合），連接OC交AB于點P(1)如圖1，當OC⊥AB時，求(2)如圖2，過C點作CM⊥AB，垂足為點M，設CM=m，求OP的長度（用含(3)如圖3，設CM=m，連接OM．求題型16利用弧、弦、圓心角關系判斷正誤57．（2020·安徽蕪湖·校聯(lián)考三模）在⊙O中，M為AB的中點，則下列結論正確的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB與2AM的大小不能確定58．（2018·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點，OC，OD交AB于點E，F(xiàn)，且AE＝FB，下列結論中不正確的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB59．（2018·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為M，則下列結論一定正確的是(

)A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝12∠BOD D．∠A＝12題型17利用弧、弦、圓心角關系求解60．（2022·福建泉州·一模）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點C是弧AB中點，點D是優(yōu)弧AB上的一點，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A．33 B．32 C．3 61．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）將一張正方形的透明紙片ABCD和⊙O按如圖位置疊放，頂點A、D在⊙O上，邊AB、BC、CD分別與⊙O相交于點E、F、G、H，則下列弧長關系中正確的是（

）A．AD=AE B．AD=AF C．62．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=2，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．763．（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過點A、C，與AB交于點D，與BC相切于點C，若∠A=32°，則∠ADO=__________64．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知半圓直徑AB=2，點C、D三等分半圓弧，那么△CBD的面積為________．題型18利用弧、弦、圓心角關系求最值65．（2022·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，AB＝2，點C在⊙O上，∠CAB＝30°，D為弧BC的中點，E是直徑AB上一動點，則CE+DE最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．266．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若OB=2，則CE+DE長的最小值為______．67．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為6的等邊ΔABC中，點E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點，且AE=CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為___________．題型19利用弧、弦、圓心角關系證明68．（2022·江蘇徐州·模擬預測）如圖，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC與（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．69．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是AB的中點．(1)求證：AB平分∠OAC；(2)延長OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長．70．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點E，連接OE，已知

(1)求證：BE=DE；(2)如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB,DE=1，求AE的長．71．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，對角線AC為⊙O的直徑，E為⊙O外一點，AB平分∠DAE，AD=AE，連接BE．(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)連接CE，求證：2BE題型20利用圓周角定理求解72．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D，若∠BAD=35°，則∠C=___________°．73．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，則圖中陰影部分的面積是_________．（結果保留π）74．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在格點上，則cos∠ACB的值是________．75．（2022·江西·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC、BC，OD⊥BC于點E，交⊙O于點D，連接CD、AD，AD與BC交于點F，CG與BA的延長線交于點G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA題型21利用圓周角定理推論求解76．（2023·江蘇蘇州·星海實驗中學?？级＃┤鐖D，點A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=77．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，則∠D的度數(shù)是___．78．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為__________．

79．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，連接AD．(1)求證：BD=CD；(2)若⊙O與AC相切，求∠B的度數(shù)；(3)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AD的中點E．（不寫作法，保留作圖痕跡）題型22已知圓內(nèi)接四邊形求角度80．（2021·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°81．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度數(shù)為()A．128° B．64° C．32° D．116°82．（2022·河北石家莊·校考模擬預測）如圖，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點D，則圖中與∠EAD相等的角(不包括∠EAD)是___________．題型23利用圓的有關性質(zhì)求值83．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，經(jīng)過點B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長線交于E，則線段DEA．6.4 B．7 C．7.2 D．884．（2022·安徽合肥·合肥壽春中學?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，BC和DE相交于點O，點D落在線段AB上，連接BE

(1)若∠ABC=20°，則∠BCE=_______；(2)若BE=BD，則tan∠ABC=________85．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E為線段AB上一動點，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點F，連接AF，其中AC=3，BC=4(1)求證△CFA∽△CEB；(2)當E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為______．題型24利用圓的有關性質(zhì)證明86．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=CD，過D作DE⊥BC交BC延長線于點E

(1)若AB為直徑，證明：DE是⊙O的切線；(2)若AB不是⊙O的直徑，如圖2，DE交⊙O于點F，連接BF①求證：CDBF②若AB=BC+EF，求sin∠ABD87．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是射線AB上的一動點（不與點A，B重合），過點P作⊙O的割線交⊙O于點C，D，BH⊥CD于H，連接BC，

(1)①在圖1的情形下，證明：BC?BD=AB?BH；②當點P處于圖2中的位置時，①中的結論___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若⊙O的半徑為3，當∠APC=30°且BC?BD=6時，求AP的長．88．（2022·山西大同·校聯(lián)考三模）閱讀與思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數(shù)學家、物理學家、力學家、靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，并且享有“力學之父”的美稱，留給后人的最有價值的書是《阿基米德全集》．在該書的“引理集”中有這樣一道題：如圖1，以AB為直徑作半圓O，弦AC是一個內(nèi)接正五邊形的一條邊（即：∠AOC=72°），點D是AC的中點，連接CD并延長與直徑BA的延長線交于點E，連接AC,DB交于點F，過點F作FM⊥AB于點M．求證：ME是半圓的半徑．下面是勤奮小組的部分證明過程：證明：如圖2，過點D作DH⊥AB于點H．∵∠AOC=72∴∠ABC=1∵點D是AC的中點，∴AD=∵∠AOC=72°，∴∠AOD=∠COD=36°．∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA=1∵以AB為直徑作半圓O，∴∠ACB=∠ADB=90°．（依據(jù)3）∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．∵四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD=180°?∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依據(jù)4）∵∠ADE+∠ADC=180°，∴∠ADE=∠ABC=36°．∵FM⊥AB于點M，∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．∵BF=BF，∴△BCF≌△BMF(HL∵BC=BM．∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．∴△BCD≌△BMD(SAS∴DC=DM．……通過上面的閱讀，完成下列任務：(1)任務一：直接寫出依據(jù)1，依據(jù)2，依據(jù)3和依據(jù)4；(2)任務二：根據(jù)勤奮小組的解答過程完成該題的證明過程．（提示：先求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或判定完成該題的證明過程）題型25利用圓的有關性質(zhì)解決翻折問題89．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點D．再將BD沿AB翻折交BC于點E．若BE=DE，設∠ABC=α，則A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°90．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦（不是直徑），將AB沿AB翻折交AC于點D．若AB=AC，AD=BD，則91．（2023·安徽淮南·校聯(lián)考一模）如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點．(1)如圖①，將AC沿弦AC翻折，交AB于D，若點D與圓心O重合，AC=23，則⊙O的半徑為_____(2)如圖②，將BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直徑AB翻折，交BC于點E．（Ⅰ）若點E恰好是翻折后的BD的中點，則∠B的度數(shù)為_____；（Ⅱ）如圖③，連接DE，若AB=10，OD=1，求線段DE的長．題型26利用圓的有關性質(zhì)解決多結論問題92．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，延長BA與弦CD的延長線交于點P，已知PD=12AB，下列結論：①若CD?=AD?+BC?，則AB=2CD；②若∠B=60°，則∠P=20°；③若∠P=30°，則PAPD=3?1；④ADA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④93．（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AC=8，B為AC上一動點，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長CD交⊙O于點E，F(xiàn)為DE的中點，連接AE，OF．現(xiàn)給出以下結論：①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠AED；④OF的最小值為1，其中正確的是______（寫出所有正確結論的序號）．94．（2020·湖南岳陽·?？级＃┤鐖D所示，MN是⊙O的直徑，作AB⊥MN，垂足為點D，連接AM，AN，點C為AN上一點，且AC=AM，連接CM，交AB于點E，交AN于點F，現(xiàn)給出以下結論：①∠MAN=90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④題型27圓有關的常見輔助線-遇到弦時,常添加弦心距95．（2022·貴州銅仁·?？寄M預測）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點P，且∠APC=45°，若PC2+PD296．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的半徑是3，點P是弦AB延長線上的一點，連接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，則弦AB的長為______．題型28圓有關的常見輔助線-遇到有直徑時,常添加（畫）直徑所對的圓周角97．（2022·江蘇常州·常州市第二十四中學校聯(lián)考一模）圖，點A1,2、點B都在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，當以OB為直徑的圓經(jīng)過A點，點98．（2023·黑龍江雞西·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則⊙O的直徑等于__________．

99．（2018·湖南張家界·校聯(lián)考一模）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD=_______°．真題實戰(zhàn)練一、單選題1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．82．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形3．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．AB是⊙O的一部分，D是AB的中點，連接OD，與弦AB交于點C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O的半徑OA為（

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．35．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。ˋC），點O是這段弧所在圓的圓心，B為AC上一點，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m

A．300πm B．200πm C．150πm6．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=50°，則∠D=（

）

A．20° B．40° C．50° D．80°7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OA,OB互相垂直，點C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，則∠BAC=（

）

A．23° B．24° C．25° D．26°8．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI=35°，則∠OBC的度數(shù)為（

）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°9．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．若∠DCE=65°，則∠BOD的度數(shù)是（

）

A．65° B．115° C．130° D．140°10．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結論：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，則∠BEC=120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD=90°；④BD=DE．其中一定正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，則CFAF=45；④在△ABC內(nèi)存在唯一一點P，使得PA+PB+PC的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空題12．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，點E是斜邊AB的中點，把Rt△ABC繞點A順時針旋轉，得Rt△AFD，點C，點B旋轉后的對應點分別是點D，點F，連接CF，EF,CE，在旋轉的過程中，△CEF13．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為BD的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．

（1）若∠A=30°,AB=6，則BD的長是_________（結果保留π）；（2）若CFAF=1314．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E,AC=2BD．連接AD，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若∠AFB=68°，則

15．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，則⊙O的直徑AD=______．

16．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為_______．

17．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC=12,BC=5，則MD的長是________．

18．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在CD的延長線上．若∠ADE=70°，則∠AOC=_____度．三、解答題19．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑．

(1)如圖1，連接OA,CA，若OA⊥BD，求證；CA平分∠BCD；(2)如圖2，E為⊙O內(nèi)一點，滿足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC20．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，∠AOC=60°，E為弦AB所對的優(yōu)弧上一點．

(1)如圖①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如圖②，CE與AB相交于點F，EF=EB，過點E作⊙O的切線，與CO的延長線相交于點G，若OA=3，求EG的長．21．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=50cm，如圖1和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺面截線，MN∥GH計算：在圖1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于點C（1）求OC的長．操作：將圖1中的水面沿GH向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當∠ANM=30°時停止?jié)L動，如圖2．其中，半圓的中點為Q，GH與半圓的切點為E，連接OE交MN于點D．

探究：在圖2中（2）操作后水面高度下降了多少？（3）連接OQ并延長交GH于點F，求線段EF與EQ的長度，并比較大?。?2．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F．若AC=AD，23．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，OA,OB,OC都是⊙O的半徑，∠ACB=2∠BAC．

(1)求證：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4,BC=5，求⊙O24．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點M,N分別為邊AB,BC的中點，連接MN．初步嘗試：（1）MN與AC的數(shù)量關系是_________，MN與AC的位置關系是_________．特例研討：（2）如圖2，若∠BAC=90°,BC=42，先將△BMN繞點B順時針旋轉α（α為銳角），得到△BEF，當點A,E,F在同一直線上時，AE與BC相交于點D，連接CF

（1）求∠BCF的度數(shù)；（2）求CD的長．深入探究：（3）若∠BAC<90°，將△BMN繞點B順時針旋轉α，得到△BEF，連接AE，CF．當旋轉角α滿足0°<α<360°，點C,E,F在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究∠BAE與∠ABF的數(shù)量關系，并說明理由．25．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）問題探究（1）在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線．①若∠A=60°，AB=AC，如圖，試證明BC=CD+BE；②將①中的條件“AB=AC”去掉，其他條件不變，如圖，問①中的結論是否成立？并說明理由．遷移運用（2）若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如圖，試探究線段AD，BC，AC之間的等量關系，并證明．

第26講圓的相關概念及性質(zhì)答案解析題型過關練題型01理解圓的相關概念1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸【答案】D【分析】利用圓的有關定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、過不在同一直線上的三個點一定能作一個圓，故錯誤，不符合題意；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，不符合題意；C、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故錯誤，不符合題意；D、圓的直徑所在的直線是它的對稱軸，正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關性質(zhì)，解題的關鍵是了解有關性質(zhì)及定義，難度不大．2．（2020·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？家荒＃┫铝忻}：①三點確定一個圓；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對的弧相等，正確命題的個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、圓周角定理、垂徑定理以及弧與圓心角的關系的知識點，注意熟記定理是解此題的關鍵．①根據(jù)確定圓的條件進行解答即可；②利用直徑所在的直線為圓的對稱軸進行判斷即可；③根據(jù)垂徑定理即可得出結論；④根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得出結論；⑤根據(jù)圓周角定理即可得出結論．【詳解】解：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故本小題錯誤；②直徑所在的直線為圓的對稱軸，故本小題錯誤；③平分弦的直徑垂直于弦（非直徑），故本小題錯誤；④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故本小題錯誤；⑤在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本小題錯誤．∴正確命題的個數(shù)為0個．故選：A．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解確定圓的條件、圓的對稱性、垂徑定理及三角形的外心的性質(zhì)，難度不大．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）下列說法中，正確的是（

）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；

②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；

④半圓是弧，但弧不一定是半圓.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧分別判斷即可．【詳解】解：①、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項正確；②、對角線相等的平行四邊形為矩形，故該選項錯誤；③、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，故該選項錯誤；④、弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，則半圓是弧，但弧不一定是半圓，故該項正確；故選：A．【點睛】本題考查基本概念，熟記知識點是解題關鍵．4．（2023·福建泉州·南安市實驗中學校考二模）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)圓的特征即可求解．【詳解】解：根據(jù)同一個圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會掉進井里去，故選：B．【點睛】本題主要考查圓的基礎知識，理解并掌握圓的基礎知識，圓的基本特征是解題的關鍵．題型02圓的周長與面積相關計算5．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮，繪飾金碧輝煌，以手掌推出光澤而得名．圖1是平遙推光漆器的一種圖案，圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖．四邊形ABCD是邊長為2的正方形，分別以正方形的四個頂點為圓心，12對角線的長為半徑畫弧，四條弧相交于點O，則圖中陰影部分的面積為（

A．2π?4 B．π?2 C．2π D．1【答案】A【分析】由題意得半徑為2，陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積，代入計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形∴正方形的對角線的長為22∴半徑為2∵陰影部分面積=圓的面積-正方形的面積∴陰影部分面積=π（2）2-22=2π?4故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和圓，組合圖形陰影部分面積，解題的關鍵是將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形面積之間的關系．6．（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學校考一模）某公園計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)圓的周長公式，將每個圓的周長計算出來，找到和周長L的關系即可．【詳解】設大圓的直徑是D，圖（2）中三個小圓的直徑分別為：d1,d2,d3,∴d1+d2+d3=D根據(jù)圓周長公式，得圖（1）中，需要2πD；圖（2）中，需要πD+πd1+πd2+πd3=πD+π(d1+d2+d3)=2πD故選：C．【點睛】注意：第二個圖中，計算三個小圓的周長時候，提取π，所有的直徑之和是大圓的直徑．7．（2019·河北張家口·統(tǒng)考一模）半徑為R、r的兩個同心圓如圖所示，已知半徑為r的圓周長為a，且R?r=1，則半徑為R的圓周長為（

）A．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)+2 C．a(chǎn)+π D．a(chǎn)+2π【答案】D【分析】根據(jù)半徑為r的圓的周長表示出半徑r.【詳解】∵半徑為r的圓周長為a，∴2πr=a，∴r=a∵R?r=1，∴R=1+r=1+a∴半徑為R的圓周長為2π?2π+a2π=故選：D.【點睛】此題考查圓的周長公式，熟記公式是解題的關鍵.8．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）一塊含有30°角的三角板ABC如圖所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．將此三角板在平面內(nèi)繞頂點A旋轉一周．（1）畫出邊BC旋轉一周所形成的圖形；（2）求出該圖形的面積．【答案】（1）畫圖見詳解；（2）BC掃過的面積S圓環(huán)==9π．【分析】（1）由三角板ABC可求AB=2BC=6cm，由勾股定理：AC=AB2?BC2（2）BC掃過的面積S圓環(huán)=πAB【詳解】解：（1）∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC=AB邊BC在平面內(nèi)繞頂點A旋轉一周．圖形是以AB為半徑的圓去掉以AC為半徑的圓，所形成的圓環(huán)，如圖所示：（2）BC掃過的面積S圓環(huán)=πAB【點睛】本題考查畫旋轉圖形，勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，圓環(huán)面積，掌握畫旋轉圖形方法，勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，圓環(huán)面積求法是解題關鍵．題型03圓中的角度計算9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABDA．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】連接OB，即得出OB＝OD，從而得出∠OBD＝∠ODB．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結合題意可判斷∠OBC＝30°，再利用平行線的性質(zhì)可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．【詳解】如圖：連接OB，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵OC＝12OD∴OC＝12OB∵OC⊥AB，∴sin∠OBC=∴∠OBC＝30°．∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．故選D．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用．連接常用的輔助線是解題關鍵．10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC=80°，點D為弦AC的中點，點E為BC上任意一點，則∠CED的大小可能是（A．10° B．20° C．30°【答案】C【分析】連接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，設∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后運用等腰三角形的性質(zhì)分別求得∠OED和∠COE，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：連接OD、OE∵OC=OA∴△OAC是等腰三角形∵∠AOC=80°，點D為弦∴∠DOC=40°，∠BOC=100°設∠BOE=x，則∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°∵OC=OE，∠COE=100°-x∴∠OEC=180°∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x∴∠OED＜180°∴∠CED＞∠OEC-∠OED=40°又∵∠CED＜∠ABC=40°，故答案為C．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、構造等腰三角形是解答本題的關鍵．11．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O'A'B，使點O落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點

【答案】87【分析】根據(jù)旋轉對應邊相等及半徑相等得到等邊△OBO'，得到旋轉角為【詳解】∵△AOB繞點B按順時針方向旋轉得到△O'A'B∴∠A=∠A'=27°連接OO

∵OB=OO∴△OO∴∠OBO∴△AOB繞點B按順時針方向旋轉了60°，∴∠ABA∴∠OCB=∠A+∠ABA故答案為：87.【點睛】本題考查旋轉中角度的計算，旋轉過程中對應邊相等，對應角相等，旋轉角處處相等．本題中利用圓的半徑相等得到邊長關系進而求得角度關系是解題的關鍵．題型04圓中線段長度的計算12．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長為（

A．403 B．8 C．245【答案】C【分析】連接OE，證明OE∥【詳解】解：連接OE，如圖，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥∴△AOE∽△ABC，∴OEBC∵⊙O的半徑為3，AD=2，∴AO=AD+OD=5，∴BC=OE?AB故選：C．

【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BCA．403 B．8 C．245 【答案】C【分析】連接OE，由角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的推出∠OEB=∠CBE，得到OE∥BC，因此△AOE～△ABC，得到AO：AB=OE：BC代入有關數(shù)據(jù)，即可求出【詳解】解：如圖，連接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵OE=OB，∴∠OEB=∠ABE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥∴△AOE～△ABC，∴AO：AB=OE：BC，∵⊙O的半徑為3，AD=2，∴AO=AD+OD=2+3=5，AB=AD+BD=2+6=8，∴5：8=3：BC，∴BC=24故選：C．【點睛】本題考查角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．14．（2022·湖北武漢·武漢第三寄宿中學?？寄M預測）如圖，將兩個正方形如圖放置（B，C，E共線，D，C，G共線），若AB＝3，EF＝2，點O在線段BC上，以OF為半徑作⊙O，點A，點F都在⊙O上，則OD的長是（

）A．4 B．10 C．13 D．26【答案】B【分析】連接OA，OF，由題意得OA=OF，設OC=x，由勾股定理得(x+2)2+22=【詳解】解：連接OA，OF，如圖，∵OF是半圓O的半徑，∴OA=OF，∵四邊形ABCD、EFGC是正方形，∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°，AB=BC=CD=3,CE=EF=2設OC=x，∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，在RtΔABO和RtΔAB∴32∵AO=FO∴32解得，x=1，即OC=1，在Rt△DOC中，DO∴OD=O故選：B．【點睛】本題主要考查了圓的基本概念，勾股定理以及正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．題型05求一點到圓上一點的距離最值15．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接干圓O，線段MN在對角線BD上運動，若圓O的面積為2π，MN=1，△AMN周長的最小值是_________

【答案】4【分析】由正方形的性質(zhì)知點C是點A關于BD的對稱點，過點C作CA'∥BD，且使CA'=1，連接AA'交BD于點N，取MN=1，連接AM、CM，則點【詳解】解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為2，BD=2由正方形的性質(zhì)知點C是點A關于BD的對稱點，過點C作CA'∥BD，且使連接AA'交BD于點N，取MN=1，連接AM、CM，則點M、

理由：∵A'C∥MN，且A'C=MN，則四邊形則A'N=CM=AM，故△AMN的周長=AM+AN+MN=AA'+1為最小，∵正方形ABCD中AC⊥BD，∴A'C⊥AC，∴A'A=A則△AMN的周長的最小值為3+1=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)、點的對稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點M、N的位置是解題的關鍵．16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）平面直角坐標系xoy中，⊙O的半徑為2，點M在⊙O上，點N在線段OM上，設ON=t（1<t<2），點P的坐標為?4,0，將點P沿OM方向平移2個單位，得到點P'，再將點P'作關于點N的對稱點Q，連接PQ，當點M在⊙O上運動時，PQ

【答案】4t?4/?4+4t【分析】根據(jù)題意作出點P'和點Q，連接P'M,PO，并延長P'M至點B，使得P'M=BM,連接BQ并延長交PO的延長線于點C，證明四邊形P【詳解】

解：根據(jù)題意作出點P'和點Q，如圖，連接P'M,PO，并延長P'M至點B，使得P'M=BM∵將點P'作關于點N的對稱點Q∴P∵P∴BQ=2MN=2×OM?ON=4?2t，且∵將點P沿OM方向平移2個單位，∴P'P∴四邊形P'PCB為平行四邊形，四邊形∵將點P沿OM方向平移2個單位，∴P∴QC=BC?BQ=2?4?2t∵點P的坐標為?4,0，∴PC=P由圖得，PC?CQ≤PQ≤PC+CQ，

∴PQ的最大值為PC+CQ=2t+6，PQ的最小值為PC?CQ=10?2t，∴PQ長度的最大值與最小值的差為2t+6?10?2t故答案為：4t?4．【點睛】本題考查了圓的綜合問題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關系，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關鍵．17．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D為線段AB上的動點，連接CD，過點B作BE⊥CD交CD于點E，則在點D的運動過程中，求線段AE的最小值為______

【答案】73?3/【分析】根據(jù)BE⊥CD，得到∠BEC=90°，進而得到點E在以BC為直徑的圓上，設BC的中點為O，連接AO，交⊙O于點F，連接OE，則：AE≥OA?OE，當且僅當O,A,E三點共線時，AE取得最小值，即點E與點F重合時，AE取得最小值，進行求解即可．【詳解】解：∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴點E在以BC為直徑的圓上，設BC的中點為O，連接AO，交⊙O于點F，連接OE，則：AE≥OA?OE，

∴當且僅當O,A,E三點共線時，AE取得最小值，此時點E與點F重合，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴OF=BO=3，AO=∴AE的最小值為：AO?OF=73故答案為：73?3【點睛】本題考查勾股定理，求一點到圓上的距離的最小值．解題的關鍵是確定點E在以BC為直徑的圓上．18．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足，則線段BP的最小值是______；當BP取最小值時，DP延長線交線段BC于E，則CE的長為______．

【答案】23【分析】（1）如圖，由∠BCP=∠PDC及∠BCD=90°易證∠CPD=90°，所以點P在以CD為直徑的圓上，連接OB，交⊙O于P，此時BP長最小，根據(jù)勾股定理求解OB=5,進而求得BP為2；（2）如圖，作OF∥BC交DE于F，由OC=OD可證OF=12CE，由△BPE～△OPF知BE【詳解】

解：∵四邊形ABCD矩形，∴∠BCD=90°，∴∠BCP+∠DCP=90°∵∠BCP=∠PDC，∴∠PDC+∠PCD=90°，∴∠CPD=90°，以CD為直徑作⊙O，⊙O經(jīng)過點P，連接OB，交⊙O于P，此時PB長最小．∵OB∴OB=5，∴PB=OB?OP=5?3=2，故答案為2．

（2）作OF∥BC交DE于∵OC=OD，∴DF=EF，∴OF=1∵OF∥BC∴∠PFO=∠PEB，∠POF=∠PBE∴△BPE～△OPF∴BEOF∴4?CE1∴CE=3．故答案3．【點睛】本題主要考查直角三角形的外接圓、點到圓上點的最值問題、中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；明確動點P的軌跡，確定BP取最小值時點P的位置是解題的關鍵；求CE長的關鍵是利用矩形的性質(zhì)及（1）空的結論構造相似三角形求解．題型06由垂徑定理及推論判斷正誤19．（2022·山東濟寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說法中不正確的是（

）A．CE=EO B．OC=2C．∠OCE=45° D．∠BOC=2∠BAD【答案】B【分析】由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，得CE=DE，BC?=BD?，進而得出△OCE為等腰直角三角形，進而得出∠OCE=45°，【詳解】解：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴CE=DE，BC?∴∠BOC=2∠BAD=2×22.5°=45°，∴△OCE為等腰直角三角形，∴∠OCE=45°，OC=2CE，∴OC=2故選：B．【點睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．20．（2022·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC 【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，∴AE=EB，AC=BC，故選：B．【點睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．21．（2018·內(nèi)蒙古包頭·校聯(lián)考一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接BC、BD、AC，下列結論中不一定正確的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及圓周角定理進行解答即可．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，故A正確；∵點E不一定是OB的中點，∴OE與BE的關系不能確定，故B錯誤；∵AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，∴BD=∴BD=BC，故C正確；∴AD=故選B．【點睛】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．題型07利用垂徑定理求解22．（2023·云南·模擬預測）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A．713 B．1213 C．712【答案】B【分析】先根據(jù)垂徑定理求出CE=1【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，AB?CD．∴CE=12CD=12,∠OEC=90°，OC∴cos∠OCE=故選：B．【點睛】此題考查的是垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握垂徑定理，銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵．23．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．723【答案】A【分析】連接OC，首先根據(jù)題意可求得OC=6，OE=3，根據(jù)勾股定理即可求得CE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長，據(jù)此即可求得四邊形ACBD的面積．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，∴在Rt△COE中，EC=O∴CD＝2CE＝63，∴四邊形ACBD的面積＝12故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，垂徑定理，熟練掌握和運用垂徑定理是解決本題的關鍵．24．（2022·北京豐臺·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．【答案】45【分析】根據(jù)垂徑定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圓周角定理可得∠BOC＝45°．【詳解】解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∴AB垂直平分CD∴AC＝AD∴△ACD是等腰三角形∴∠BAC＝12∠CAD＝1∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，故答案為：45．【點睛】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．25．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點D．若∠APD是AD所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．【答案】30°/30度【分析】根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=12∠AOD【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴BD=∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=12∠AOD故答案為：30°．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解26．（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．（1）求證：∠BAD=∠CAD；（2）連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長．【答案】（1）見詳解；（2）GC=6，OF=【分析】（1）由題意易得BD=（2）由題意可先作圖，由（1）可得點E為BC的中點，則有OE=12CG,OE【詳解】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點E為BC的中點，∵點O是BG的中點，∴OE=1∴△AOF∽△CGF，∴OACG∵OE=3，∴CG=6，∵⊙O的半徑為5，∴OA=OG=5，∴56∴OF=5【點睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．27．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）小明向如圖所示的圓形區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢．已知△ABC是等邊三角形，D點是弧AC的中點，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．【答案】1【分析】如圖，連接OA，OC，連接OD交AC于E，則OD⊥AC，AE=CE，OD=OC=CD=OA，∠OAE=∠DCE=30°，證明△AOE≌△CDESAS，則S△AOE=S△CDE【詳解】解：如圖，連接OA，OC，連接OD交AC于E，由題意知，OD⊥AC，AE=CE，∠OAE=∠DCE=30°，∵AD?∴∠AOD=∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OA，在△AOE和△CDE中，∵OA=CD∠OAE=∠DCE=30°∴△AOE≌△CDESAS∴S△AOE∴S陰影∵S陰影∴飛鏢落在陰影部分的概率為16故答案為：16【點睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓周角相等，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，扇形面積，幾何概率等知識．解題的關鍵在于正確的表示陰影部分面積．28．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為_____．【答案】22【分析】連接BC并延長，交圓于F，過O作OE⊥BF，連接AC,OA,AF，證明△ABC∽△FBA，則可得AB2＝BC?BF，進而求得DE＝32，OD【詳解】解：連接BC并延長，交圓于F，過O作OE⊥BF，連接AC,OA,AF∵BA是圓O的切線，切點為A，∴∠OAB=90°∴∠OAC+∠CAB=90°∵∴∠AOC=在△AOC中，OA=OC∴∠AOC+2∠OAC=180°則2∠AFC+2∠OAC=180°∴∠AFC+∠OAC=90°∴∠AFC=∠CAB又∠B=∠B∴△ABC∽△FBA∴∴AB2＝BC?BF，∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝32，OD∴OE＝OD2?DE2＝4?94∴OC＝OE2+CE2故答案為：22．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明AB2＝BC?BF，是解題的關鍵．29．（2022·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC＝3，AC＝4，點D是AC邊上一動點，過點A作AE⊥BE交BD的延長線于點E，則BDDE【答案】3【分析】連接OE，作EF⊥AC，垂足為點F，先證明△EDF∽△BDC，得出當點E是AC中點時，EF的值最大，則BDDE值的最小，此時E，F(xiàn)，O【詳解】解：如圖，設AB的中點為O，連接OE，作EF⊥AC，垂足為點F，∵∠C=90°，AE⊥BE，∴∠C=∠AEB=90°，∴A，B，E，C四點共圓，∵∠C=∠AEB=90°，∠EDF=∠BDC，∴△EDF∽△BDC，∴BDDE當點E是AC中點時，EF的值最大，則BDDE值的最小，此時E，F(xiàn)，O∵AC=4，BC=3，∴AB=32∴OE=12∵OE⊥AC，∴AF=12AC∴OF=OA∴EF=OE-OF=52∴BDDE∴BDDE故答案為：3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，圓周角