專題20 銳角三角函數(shù)（講義）

專題20銳角三角函數(shù)的核心知識點(diǎn)精講復(fù)習(xí)目標(biāo)1.通過復(fù)習(xí)進(jìn)一步理解銳角三角形函數(shù)的概念，能熟練應(yīng)用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中兩邊的比，熟記特殊角30°，45°，60°的三角函數(shù)值；2.理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解某些簡單的實(shí)際問題，從而進(jìn)一步把數(shù)和形結(jié)合起來，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識；3.會用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決某些簡單的實(shí)際問題?？键c(diǎn)梳理考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．考點(diǎn)2：特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°考點(diǎn)3：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.③邊角之間的關(guān)系：，，，，，.④，h為斜邊上的高.注意：(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用（1）坡度坡角在用直角三角形知識解決實(shí)際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.（2）仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.（3）方位角問題方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.典例引領(lǐng)【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】【典例1】（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3即時檢測【變式1-1】（2021?云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（）A． B． C．60 D．80【變式1-2】（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．【變式1-3】（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．典例引領(lǐng)【題型2：特殊角的三角函數(shù)】【典例2】（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．即時檢測【變式2-1】（2022?廣東）sin30°＝．【變式2-2】（2022?荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．【變式2-3】（2022?達(dá)州）計算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．典例引領(lǐng)【題型3：解直角三角形】【典例3】（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．即時檢測【變式3-1】（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為cm．【變式3-2】（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．【變式3-3】（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長為（）A．2 B．3 C． D．2典例引領(lǐng)【題型4：解直角三角形的應(yīng)用】【典例4】（2022?紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．（1）求∠BAD的度數(shù)．（2）求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）即時檢測【變式4-1】（2023?鹽城）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，則線段AB的長約為m．（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【變式4-2】（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點(diǎn)F．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、E、F在同一水平線上）（1）求索道AB的長（結(jié)果精確到1m）；（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【變式4-3】（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷AB長為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當(dāng)太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共10小題）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．2．2sin45°的值為（）A． B．1 C． D．3．如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，則sin∠AOC的值為（）A． B． C． D．4．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米5．如圖，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，則邊AB的長為（）A． B． C． D．6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝10，CD＝8，則∠OCE的余弦值為（）A． B． C． D．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接CD，若，BC＝8，則△ABC的面積為（）A．5 B．8 C．10? D．168．某路燈示意圖如圖所示，它是軸對稱圖形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD與地面垂直且CD＝3m，則燈頂A到地面的高度為（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C． D．9．某地區(qū)準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的余弦值為，則坡面AC的長度為（）A．8 B．9 C．10 D．1210．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識牌CD，小明在斜坡上B處測得標(biāo)識牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來在地面A處測得標(biāo)識牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．則標(biāo)識牌CD的高度是（）米．A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5二．填空題（共5小題）11．cos30°＝．12．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，則sinA＝．13．在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形網(wǎng)格的邊長為1，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．則tan∠A的值為．14．圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點(diǎn)，燈臂AC與支架BC交于點(diǎn)C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，則支架BC的長為cm．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）15．某倉儲中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，頂部A處的高AC為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度BC為米．三．解答題（共5小題）16．計算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．17．為保證車輛行駛安全，現(xiàn)在公路旁設(shè)立一檢測點(diǎn)A觀測行駛的汽車是否超速．如圖，檢測點(diǎn)A到公路的距離是24米，在公路上取兩點(diǎn)B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．（1）求BC的長（結(jié)果保留根號）；（2）已知該路段限速為45千米/小時，若測得某汽車從B到C用時2秒，這輛汽車是否超速？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）18．小琪要測量某建筑物的高度．如圖，小琪在點(diǎn)A處測得該建筑物的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再往該建筑物方向前進(jìn)30m至點(diǎn)B處測得最高點(diǎn)C的仰角為45°．根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算該建筑物的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．19．如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為12米的A處時，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．氣球要豎直上升到與樓頂同一水平高度，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）20．貴州省遵義市鳳凰樓，位于鳳凰山主峰，該樓為一幢七層六角型仿古景觀建筑，游客登上樓頂后，可以將遵義城區(qū)風(fēng)景一覽無余，是當(dāng)?shù)刈R別性很高的地標(biāo)建筑．在一次綜合實(shí)踐活動中，某小組對鳳凰樓的樓高進(jìn)行了如下測量．如圖，將測角儀放在樓前平壩C處測得該樓頂端B的仰角為60°，沿平壩向后退50m（CD＝50m）到D處有一棵樹，將測角儀放在距地面2m（DE＝2m）的樹枝上的E處，測得B的仰角為30°．請你幫助該小組計算鳳凰樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：能力提升一．選擇題（共10小題）1．如圖，一把梯子AB斜靠在墻上，端點(diǎn)A離地面的高度AC長為1m時，∠ABC＝45°．當(dāng)梯子底端點(diǎn)B水平向左移動到點(diǎn)B'，端點(diǎn)A沿墻豎直向上移動到點(diǎn)A'，設(shè)∠A'B'C＝α，則AA'的長可以表示為（）m．A． B． C． D．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，經(jīng)過點(diǎn)B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長線交于E，則線段DE的長為（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．83．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．140m B． C． D．4．在綜合實(shí)踐課上，某班同學(xué)測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，在C處測得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A、B、C在同一條水平主線上），已知測量儀的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，則樹BD的高度是（）【參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米5．如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則cos∠AOD＝（）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積＝（弦×矢+矢2），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長AB，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則cos∠OAB＝（）A． B． C． D．7．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD＝∠A，則sin∠CDB的值為（）A． B． C． D．38．小明喜歡構(gòu)建幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決代數(shù)問題．在計算tan22.5°時，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，所以，＝，類比小明的方法，計算tan15°的值為（）A． B． C． D．9．如圖，大壩的橫截面是梯形ABCD，AD∥BC，壩頂寬AD＝4m，壩高AE＝6m，斜坡AB的坡度，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么壩底BC的長度是（）m．A．6 B．（6+4） C．10 D．（6+10）10．如圖，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，連接DE，若＝，則sinA的值為（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）11．如圖，矩形ABCD是供一輛機(jī)動車停放的車位示意圖，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，則車位所占的寬度EF為米．（，結(jié)果精確到0.1）12．如圖是一個水壩的橫截面示意圖（AD∥BC），迎水坡AB的坡比i＝1：3，坡面長AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，則背水坡坡面CD長是米．（注：坡比是斜坡的鉛直高度與水平寬度的比）13．如圖，小林同學(xué)為了測量某世界名樓的高度，他站在G處仰望樓頂C，仰角為45°，走到點(diǎn)F處仰望樓頂C，仰角為60°，眼睛D、B離同一水平地面EG的高度為1.6米，F(xiàn)G＝20米，則樓頂C離地面的高度CE約是米（取1.732，取1.414，按四舍五入法將結(jié)果精確到0.1）．14．如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin（α+β）＝．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面積記作S1，照此規(guī)律作下去，則S2023＝．三．解答題（共3小題）16．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡AP攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：（1）坡頂A到地面PO的距離；（2）網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）17．一架無人機(jī)沿水平方向飛行進(jìn)行測繪工作，在點(diǎn)P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為24°．無人機(jī)保持飛行方向不變，繼續(xù)飛行48米到達(dá)點(diǎn)Q處，此時測得該建筑物底端B的俯角為66°．已知建筑物AB的高度為36米，求無人機(jī)飛行時距離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈，cos24°≈，tan24°，sin66，cos66，tan66°）18．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）真題感知1．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．2．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．3．（2022?齊齊哈爾）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝．4．（2022?河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCD沿長邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝．5．（2023?棗莊）如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點(diǎn)B到水平地面EF的距離為米．（結(jié)果保留根號）6.（2022?金華）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．7．（2022?長春）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．延長ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若＝，則tan∠BCF的值為．8．（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．9．（2023?青海）為了方便觀測動物的活動情況，某濕地公園要鋪設(shè)一段道路．計劃從圖中A，C兩處分別向B處鋪設(shè)，現(xiàn)測得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）10．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，O為AC上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、E的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、F，連接OD交AE于點(diǎn)M．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的長．

專題20銳角三角函數(shù)的核心知識點(diǎn)精講典例引領(lǐng)【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】【典例1】（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【答案】C【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．即時檢測【變式1-1】（2021?云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解答】解：在直角三角ABC中，∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故選：D．【變式1-2】（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接AD，則∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故選：A．【變式1-3】（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故選：C．典例引領(lǐng)【題型2：特殊角的三角函數(shù)】【典例2】（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．即時檢測【變式2-1】（2022?廣東）sin30°＝．【答案】．【解答】解：sin30°＝．故答案為：．【變式2-2】（2022?荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．【變式2-3】（2022?達(dá)州）計算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．【答案】0．【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1＝1+2﹣1﹣2＝0．典例引領(lǐng)【題型3：解直角三角形】【典例3】（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【答案】．【解答】解：設(shè)AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．即時檢測【變式3-1】（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．【答案】（2+2）．【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．故答案為：（2+2）．【變式3-2】（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．【變式3-3】（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長為（）A．2 B．3 C． D．2【答案】C【解答】解：過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故選：C．典例引領(lǐng)【題型4：解直角三角形的應(yīng)用】【典例4】（2022?紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．（1）求∠BAD的度數(shù)．（2）求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）【答案】（1）47°；（2）3.3米．【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，答：∠BAD的度數(shù)是47°．（2）在Rt△ABC中，，∴．在Rt△ADC中，，∵BD＝4，∴，∴，∴AC≈3.3（米），答：表AC的長是3.3米．即時檢測【變式4-1】（2023?鹽城）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，則線段AB的長約為15m．（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【答案】15．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∠ACB＝∠ADB+∠CAD，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝17.5m，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC?sin∠ACB＝AC≈15m，故答案為：15．【變式4-2】（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點(diǎn)F．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、E、F在同一水平線上）（1）求索道AB的長（結(jié)果精確到1m）；（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【答案】（1）600m；（2）1049m．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，∴AB＝（m），即AB的長約為600m；（2）延長BC交DF于G，∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，∴四邊形BEFG為矩形，∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，∴CG＝CD?cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝（m），∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），即AF的長為1049m．【變式4-3】（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷AB長為5米，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4米，當(dāng)太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【答案】陰影CD的長約為2.2米．【解答】解：過A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如圖：在Rt△ABT中，BT＝AB?sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB?cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四邊形ATCK是矩形，∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK＝2.6米，∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），∴陰影CD的長約為2.2米．基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共10小題）1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sinA＝＝，故選：D．2．2sin45°的值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：2sin45°＝2×＝．故選：A．3．如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，則sin∠AOC的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接BC，由題意可得：OB＝OC＝BC，則△OBC是等邊三角形，故sin∠AOC＝sin60°＝．故選：D．4．為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故選：A．5．如圖，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，則邊AB的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵sin∠DAC＝，∴tan∠DAC＝，∴＝，∵BD＝6，CD＝3，∴AD＝6，由勾股定理可知：AB2＝BD2+AD2，∴AB＝6，故選：D．6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝10，CD＝8，則∠OCE的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵AB＝10，∴OC＝AB＝5，∵AB⊥CD，且AB為⊙O的直徑，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝CD＝4，∴cos∠OCE＝＝，故選：B．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接CD，若，BC＝8，則△ABC的面積為（）A．5 B．8 C．10? D．16【答案】D【解答】解：過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接AE，在Rt△CEF中，，∴設(shè)EF＝3k，則DF＝4k，由勾股定理得：，∵DE垂直平分AB，∴∠BDE＝90°，BE＝AE，在Rt△BDE中，，在Rt△CEF中，，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠BCD，∴sin∠B＝sin∠BCD，即：，∴，∴，即：，又∵BC＝8，∴CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝5，∴AE＝BE＝5，在Rt△ACE中，CE＝3，AE＝5，由勾股定理得：，∴．故選：D．8．某路燈示意圖如圖所示，它是軸對稱圖形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD與地面垂直且CD＝3m，則燈頂A到地面的高度為（）A．3+1.2cos25° B．3+1.2sin25° C． D．【答案】B【解答】解：連接AB，延長DC交AB于點(diǎn)E，由題意可知：∠ACE＝∠ACB＝65°，在Rt△ACD中，cos∠ACE＝cos65°＝，∴CE＝1.2cos65°（m），∴點(diǎn)A到地面的高度為：CE+CD＝（1.2cos65°+3）m，∵cos65°＝sin25°，∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，故選：B．9．某地區(qū)準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的余弦值為，則坡面AC的長度為（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【解答】解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，設(shè)BC＝4x，AC＝5x，則AB＝3x，則sin∠ACB＝＝；又∵AB＝6m，∴AC＝10m．故選：C．10．如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識牌CD，小明在斜坡上B處測得標(biāo)識牌頂部C的仰角為45°，沿斜坡走下來在地面A處測得標(biāo)識牌底部D的仰角為60°，已知斜坡AB的坡角為30°，AB＝AE＝10米．則標(biāo)識牌CD的高度是（）米．A．15﹣5 B．20﹣10 C．10﹣5 D．5﹣5【答案】A【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥EA的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥CE于點(diǎn)N，如圖所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB?cos∠BAM＝5米，BM＝AB?sin∠BAM＝5米．在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，∴DE＝AE?tan∠DAE＝10米．在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，∴CN＝BN?tan∠CBN＝（10+5）米，∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．故選：A．二．填空題（共5小題）11．cos30°＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：cos30°＝．故答案為：．12．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，則sinA＝．【答案】．【解答】解：sinA＝＝．故答案為：．13．在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形網(wǎng)格的邊長為1，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．則tan∠A的值為．【答案】．【解答】解：設(shè)AB邊上靠近點(diǎn)B的格點(diǎn)為D，連接CD，如圖：∵網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，∴，，∵BD，CD為小正方形的對角線，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，，，∴．故答案為：．14．圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點(diǎn)，燈臂AC與支架BC交于點(diǎn)C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，則支架BC的長為49cm．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【答案】49．【解答】解：如圖2，過C作CD⊥MN于D，則∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC?sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），故答案為49．15．某倉儲中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，頂部A處的高AC為4米，B、C在同一水平面上．則斜坡AB的水平寬度BC為8米．【答案】8．【解答】解：∵坡度為i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），故答案為：8．三．解答題（共5小題）16．計算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【答案】1．【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°＝3×+1﹣2×＝+1﹣＝1．17．為保證車輛行駛安全，現(xiàn)在公路旁設(shè)立一檢測點(diǎn)A觀測行駛的汽車是否超速．如圖，檢測點(diǎn)A到公路的距離是24米，在公路上取兩點(diǎn)B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．（1）求BC的長（結(jié)果保留根號）；（2）已知該路段限速為45千米/小時，若測得某汽車從B到C用時2秒，這輛汽車是否超速？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）【答案】（1）16；（2）超速．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足即為點(diǎn)D．由題意得，AD＝24m，在Rt△ADC中，，解得．在Rt△ABD中，，解得，所以BC＝CD﹣BD＝（米）；（2）汽車從B到C用時2秒，所以速度為（米/秒），因?yàn)?3.6米/秒＝48.96千米/小時＞45千米/小時，（或因?yàn)?5千米/小時＝12.5米/秒＜13.6米/秒），所以此汽車超速．18．小琪要測量某建筑物的高度．如圖，小琪在點(diǎn)A處測得該建筑物的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再往該建筑物方向前進(jìn)30m至點(diǎn)B處測得最高點(diǎn)C的仰角為45°．根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算該建筑物的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【答案】該建筑物的高度CD是45米．【解答】解：設(shè)BD＝xm，∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，∴BD＝CD＝xm，在Rt△ACD中，∠CAD＝31°，∴tan31°＝＝，解得：x≈45m，答：該建筑物的高度CD是45m．19．如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為12米的A處時，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．氣球要豎直上升到與樓頂同一水平高度，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）【答案】氣球應(yīng)至少再上升5.2米．【解答】解：過A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，過A作AE⊥EC，垂足為點(diǎn)E，∴四邊形AECD是矩形，∴CD＝AE，由題意可知：CD＝AE＝12，∠CAD＝60°，∠BAD＝37°，在Rt△ADC中，∴，在Rt△ADB中，∴BD＝AD×tan37°＝6.94×0.75＝5.205≈5.2（米）．答：氣球應(yīng)至少再上升5.2米．20．貴州省遵義市鳳凰樓，位于鳳凰山主峰，該樓為一幢七層六角型仿古景觀建筑，游客登上樓頂后，可以將遵義城區(qū)風(fēng)景一覽無余，是當(dāng)?shù)刈R別性很高的地標(biāo)建筑．在一次綜合實(shí)踐活動中，某小組對鳳凰樓的樓高進(jìn)行了如下測量．如圖，將測角儀放在樓前平壩C處測得該樓頂端B的仰角為60°，沿平壩向后退50m（CD＝50m）到D處有一棵樹，將測角儀放在距地面2m（DE＝2m）的樹枝上的E處，測得B的仰角為30°．請你幫助該小組計算鳳凰樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：【答案】46米．【解答】解：設(shè)BF＝xm，在Rt△BEF中，tan30°＝，∴EF＝＝x（m），∵EF∥AD，ED∥AF，∠BAD＝90°，∴四邊形EFAD是矩形，∴AD＝EF＝x（m），ED＝AF＝2m，∴AB＝（x+2）m，在Rt△ABC中，AC＝＝（m），∴＝50+，解得x＝25+1，∴AB＝x+2＝25+1+2＝25+3≈46（m），答：鳳凰樓的高度AB約為46米．能力提升一．選擇題（共10小題）1．如圖，一把梯子AB斜靠在墻上，端點(diǎn)A離地面的高度AC長為1m時，∠ABC＝45°．當(dāng)梯子底端點(diǎn)B水平向左移動到點(diǎn)B'，端點(diǎn)A沿墻豎直向上移動到點(diǎn)A'，設(shè)∠A'B'C＝α，則AA'的長可以表示為（）m．A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°，AB＝A′B′，在Rt△ACB中，AC＝1m，∠ABC＝45°，∴AB＝＝＝（m），∴AB＝A′B′＝m，在Rt△A′CB′中，∠A′B′C＝α，∴A′C＝A′B′?sinα＝sinα（m），∴AA′＝A′C﹣AC＝（sinα﹣1）m，故選：B．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，經(jīng)過點(diǎn)B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長線交于E，則線段DE的長為（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．8【答案】D【解答】解：如圖所示，連接DO并延長交⊙O于F，連接EF，∵DO是直徑，∴∠DEF＝90°，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，∴AB＝＝15，∴sin∠ABC＝＝，∵四邊形BDFE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠F+∠DBE＝180°，又∵∠ABC+∠DBE＝180°，∴∠ABC＝∠F，∴sin∠ABC＝sinF，在Rt△DEF中，sinF＝＝，∴DE＝DF＝10×＝8，故選：D．3．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．140m B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖：∵該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，∴BC＝×140＝70（m），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝70（m），∴則金字塔原來高度為70m，故選：B．4．在綜合實(shí)踐課上，某班同學(xué)測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，在C處測得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A、B、C在同一條水平主線上），已知測量儀的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，則樹BD的高度是（）【參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米【答案】D【解答】解：連接EF交BD于點(diǎn)M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.65米，EF＝AC＝28米．設(shè)DM＝x米，∵在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM＝x米，∴MF＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，∠DFM＝37°，∴，即：，解得x＝12，即DM＝12米．∴BD＝DM+BM＝12+1.65＝13.65（米）．∴樹BD的高度約為13.65米．故選：D．5．如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則cos∠AOD＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖，連接BE、AE．則：EB＝，AB＝．∵CD、BE、AE都是正方形的對角線，∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．∴cos∠ABE＝＝＝．故選：D．6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積＝（弦×矢+矢2），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長AB，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則cos∠OAB＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，作OH⊥AB于H．由題意：AB＝8，OA﹣OH＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝4，∵AH2+OH2＝OA2，∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），∴OA+OH＝，∴OA＝，OH＝，∴cos∠OAB＝＝＝，故選：B．7．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD＝∠A，則sin∠CDB的值為（）A． B． C． D．3【答案】C【解答】解：∵∠CBD＝∠A，CD＝CD，∠C＝90°，∴△ABC∽△CDB，∴∠CDB＝∠B，∴sin∠CDB＝sin∠B，∵tanA＝＝，設(shè)CD＝1，則AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sin∠B＝＝＝，∴sin∠CDB＝．故選：C．8．小明喜歡構(gòu)建幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決代數(shù)問題．在計算tan22.5°時，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，所以，＝，類比小明的方法，計算tan15°的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝1，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∵∠ABC是△ABD的一個外角，∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝30°，∵BA＝BD＝2，∴∠D＝∠BAD＝15°，在Rt△ACD中，∠D＝15°，∴tan15°＝＝＝＝2﹣，故選：C．9．如圖，大壩的橫截面是梯形ABCD，AD∥BC，壩頂寬AD＝4m，壩高AE＝6m，斜坡AB的坡度，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么壩底BC的長度是（）m．A．6 B．（6+4） C．10 D．（6+10）【答案】D【解答】解：如圖，過D作DF⊥BC于F，∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE∥DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形，又∵∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD為矩形，∴AE＝DE＝6m，AD＝EF＝4m，∵斜坡AB的坡度，∴AE：BE＝，∴BE＝，∵斜坡DC的坡角∠C＝45°，∴△DFC為等腰直角三角形，∴FC＝DF＝6m，∴BC＝BE+EF+CF＝6+4+6＝．故選：D．10．如圖，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，連接DE，若＝，則sinA的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，∴△ABE∽△ACD，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝＝，設(shè)AD＝2a，則AC＝5a，根據(jù)勾股定理得到CD＝a，因而sinA＝＝．故選：B．二．填空題（共5小題）11．如圖，矩形ABCD是供一輛機(jī)動車停放的車位示意圖，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，則車位所占的寬度EF為4.4米．（，結(jié)果精確到0.1）【答案】4.4．【解答】解：在直角三角形DCF中，∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，∴sin∠DCF＝＝＝，∴DF＝2.7，∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∵AD＝BC＝2，∴cos∠ADE＝＝＝，∴DE＝，∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．答：車位所占的寬度EF約為4.4米．故答案為：4.4．12．如圖是一個水壩的橫截面示意圖（AD∥BC），迎水坡AB的坡比i＝1：3，坡面長AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，則背水坡坡面CD長是6米．（注：坡比是斜坡的鉛直高度與水平寬度的比）【答案】6．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，∵迎水坡AB的坡比i＝1：3，∴＝，∴設(shè)AE＝x米，則BE＝3x米，在Rt△ABE中，AB＝＝＝x（米），∵AB＝30米，∴x＝30，∴x＝3，∴AE＝3米，∵AD∥BC，∴AE＝DF＝3米，在Rt△CDF中，∠DCF＝45°，∴CD＝＝＝6（米），故答案為：6．13．如圖，小林同學(xué)為了測量某世界名樓的高度，他站在G處仰望樓頂C，仰角為45°，走到點(diǎn)F處仰望樓頂C，仰角為60°，眼睛D、B離同一水平地面EG的高度為1.6米，F(xiàn)G＝20米，則樓頂C離地面的高度CE約是48.9米（取1.732，取1.414，按四舍五入法將結(jié)果精確到0.1）．【答案】48.9．【解答】解：在直角△ABC中，∠CBA＝60°，設(shè)AB＝x，∴AC＝AB＝x，在直角△CDA中，∠CDA＝45°，則CA＝DA＝x，∴BD＝AD﹣AB＝x﹣x＝20，解得：x＝10（+1），∴AC＝x＝30+10，則CE＝AC+1.6＝30+17.32+1.6＝48.92≈48.9（米）．答：樓頂C離地面的高度CE約是48.9米．故答案為：48.9．14．如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin（α+β）＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°，同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a，∴AD＝＝＝a，∴sin（α+β）＝＝＝．故答案為：．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面積記作S1，照此規(guī)律作下去，則S2023＝×（）2023．【答案】×（）2023．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴BC＝AC?tan60°＝2×＝2，由題意可得，S＝＝＝，S1＝×，S2＝×（）2，S3＝×（）3，…，∴Sn＝×（）n，∴S2023＝×（）2023，故答案為：×（）2023．三．解答題（共3小題）16．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡AP攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：（1）坡頂A到地面PO的距離；（2）網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】（1）10米．（2）18.7米．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥PO于點(diǎn)H，由題意得，AP＝26米，∵斜坡AP的坡度為1：2.4，∴＝，設(shè)AH＝5a米，則PH＝12a米，∴AP＝＝＝26，解得a＝2，∴AH＝10米．∴坡頂A到地面PO的距離為10米．（2）延長BC交PO于點(diǎn)D，由題意得，CD＝AH＝10米，AC＝DH，∠BPD＝45°，∠BAC＝76°，設(shè)BC＝x米，則BD＝（x+10）米，在Rt△BPD中，∠BPD＝45°，∴BD＝PD＝（x+10）米，∵PH＝24米，∴DH＝AC＝（x+10）﹣24＝（x﹣14）米，在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，解得x≈18.7，經(jīng)檢驗(yàn)，x≈18.7是原方程的解且符合題意．∴網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度約為18.7米．17．一架無人機(jī)沿水平方向飛行進(jìn)行測繪工作，在點(diǎn)P處測得正前方水平地面上某建筑物AB的頂端A的俯角為24°．無人機(jī)保持飛行方向不變，繼續(xù)飛行48米到達(dá)點(diǎn)Q處，此時測得該建筑物底端B的俯角為66°．已知建筑物AB的高度為36米，求無人機(jī)飛行時距離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈，cos24°≈，tan24°，sin66，cos66，tan66°）【答案】72．【解答】解：過A作AC⊥PQ，交PQ的延長線于C，如圖所示：設(shè)AC＝x米，∵∠APC＝24°，∠BQC＝66°，∴在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan24°≈，∴PC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan66°≈，∴QC＝BC＝（AB+AC）＝（36+x）＝（16+x）米，∵PQ＝48米，∴PC﹣QC＝PQ＝48米，∴x﹣（16+x）＝48，解得：x＝36，∴BC＝AC+CB＝36+36＝72（米），答：無人機(jī)飛行時距離地面的高度約為72米．18．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【答案】（1）觀測站A，B之間的距離為（10+10）海里；（2）補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由見解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP?sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP?cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴觀測站A，B之間的距離為（10+10）海里；（2）補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由：過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由題意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴補(bǔ)給船從B到C處的航行時間＝×60＝30+30≈81.9（分鐘）＜83分鐘，∴補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處．真題感知1．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案為：．2．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．【答案】．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x＝時，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．3．（2022?齊齊哈爾）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝3+3或3﹣3．【答案】3+3或3﹣3．【解答】解：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC延長線于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝