2024-2025學(xué)年浙江省湖州、衢州、麗水等地市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省湖州、衢州、麗水等地市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={x|x2∈A}，則A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,2,3,4,5,6}2.若z=1?i，則|z2+A.2 B.1 C.2 D.3.雙曲線的另一種定義：動點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它與定直線l：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca(0<a<c)，則點M的軌跡是一個雙曲線.動點M與定點F(3,0)的距離和它與定直線l：x=A.y22?x2=1 B.x4.為研究光照時長x(小時)和種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了9組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并對x，y進行線性回歸分析.若在此圖中加上點P后，再次對x，y進行線性回歸分析，則下列說法正確的是(

)A.x，y不具有線性相關(guān)性

B.決定系數(shù)R2變大

C.相關(guān)系數(shù)r變小

D.5.已知△ABC的外接圓圓心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ABA.14BC B.34BC 6.古代農(nóng)耕常用水車作為灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類改造自然的成果之一.如圖是一個半徑為r的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為x軸，建立平面直角坐標系，一個水斗從點A(23,?2)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P點的坐標為(x,y)，其縱坐標滿足y=rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)，當(dāng)A.42 B.C.42?37.已知長方體ABCD?A1B1C1D1，EA.715 B.12 C.7248.已知函數(shù)f(x)=cos3x?cos2x，x∈(0,π)，若f(x)有兩個零點x1，x2(xA.π5∈{x1,x2} 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>0，b>0，則下列說法正確的是(

)A.若a+b=1，則log2a+log2b≤?2 B.若a+b=1，則a+b<1

C.10.現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子(主持人知道獎品在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子).記A1(i=1,2,3)表示第i號箱子有獎品，Bj(j=2,3)表示主持人打開第j號箱子.A.P(B3|A2)=12

11.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是線段AB的中點，P是線段BA.三棱錐P?A1QC的體積為定值

B.在直三棱柱ABC?A1B1C1內(nèi)部能夠放入一個表面積為4π的球

C.直線PQ三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(1?2x)n(n∈N?)的展開式中，x的系數(shù)為?1013.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過左焦點F作直線l與圓M：x14.若f(x)=(x?2)3+2(x?2)+2，已知數(shù)列{an}中，首項a1=120四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PC⊥平面ABC，點E是PB的中點，點F在線段CE上，且CF：EF=2：1，G為三角形ABC的重心．

(1)求證：GF//平面PAB；

(2)當(dāng)PC的長為何值時，二面角E?AC?B的大小為60°．16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的的三邊分別是a，b，c，且2a?bc=2cosB．

(1)求角C的值；

(2)若c=117.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的首項是1，其前n項和是Sn，且an+1=an+2n+1，n∈N?．

(1)求a2，a3的值及數(shù)列{an}的通項公式；

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln2x?1x?1+ax(a∈R)．

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；

(2)若0<a≤13，x∈[32,2]，證明：f(x)<2；

(3)19.(本小題17分)

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如y=kx+1(k∈R)表示過點(0,1)的直線族(不包括直線y軸)，直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線．

(1)圓M：x2+(y?3)2=4是直線族mx+ny=1(m,n∈R)的包絡(luò)曲線，求m，n滿足的關(guān)系式；

(2)若點N(x0,y0)不在直線族Ω：y=tx?t2(t∈R)的任意一條直線上，求y0的取值范圍及直線族Ω的包絡(luò)曲線E的方程；

(3)在(1)(2)的條件下，過曲線E上動點P向圓M做兩條切線PA，PB參考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.D

9.ACD

10.BC

11.ACD

12.5

13.314.158

15.解：(1)證明：連接AG交BC于點D，由重心性質(zhì)可得D是BC的中點，

又點E是PB的中點，點F在線段CE上且CF：EF=2：1，可知F是△PBC的重心，

連接PD，可知點F在PD上，如下圖所示：

由重心性質(zhì)可得DF：PF=1：2，DG：AG=1：2，

所以GF//PA；

又GF?平面PAB，PA?平面PAB，

所以GF/?/平面PAB；

(2)因為底面ABC是邊長為2的等邊三角形，所以AD⊥BD，

又PC⊥平面ABC，且D，E分別為BP，BC的中點，

所以可得ED⊥平面ABC，

即AD，BD，DE兩兩垂直．

以D為坐標原點，AD，BD，DE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

設(shè)PC的長為a(a>0)，

則可得A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,?1,0),P(0,?1,a)，所以E(0,0,a2)，

所以AC=(?3,?1,0),CE=(0,1,a2)，

設(shè)平面EAC的一個法向量為n=(x,y,z)，

則AC⊥nCE⊥n，則AC?n=?3x?y=0CE?n=y+a2z=0，

令z=6，可得y=?3a,x=316.解：(1)根據(jù)題意，有2a?bc=2cosB，

由正弦定理可得2sinA?sinBsinC=2cosB，

整理可得2sinA?sinB=2cosBsinC，

即2sin(B+C)?sinB=2cosBsinC，

整理可得2sinBcosC=sinB，

又B∈(0,π)，sinB≠0，所以cosC=22，

又C∈(0,π)，因此C=π4；

(2)由A+B+C=π，

可得tanC=tan(π?B?A)=?tan(B+A)=?tanA+tanB1?tanAtanB=1，

又2tanA=3tanB，則有?32tanB+tanB1?32tan2B=1，

解得17.解：(1)數(shù)列{an}的首項是1，其前n項和是Sn，且an+1=an+2n+1，n∈N?，

可得a2=1+3=4，a3=4+5=9．

又an+1?an=2n+1，

當(dāng)n≥2時，an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+...+(an?an?1)

=1+3+5+...+(2n?1)=12n(1+2n?1)=n2，

上式對n=1也成立，

則an=n2，n∈N?；

18.解：(1)a=1時，f(x)=ln2x?1x?1+x=ln(2+1x?1)+x，

可得f′(x)=x?12x?1?[?1(x?1)2]+1=?1(x?1)(2x?1)+1=2x2?3x(x?1)(2x?1)，

此時f′(2)=23，

又f(2)=ln3+2，

所以曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程y?(ln3+2)=23(x?2)，

即23x?y+23+ln3=0；

(2)證明：易知f′(x)=a?1(2x?1)(x?1)，

當(dāng)x∈[32,2]時，y=(2x?1)(x?1)=2x2?3x+1=2(x?34)2?18是遞增函數(shù)，

所以y∈[1,3]，1y≥13，

又0<a≤13，

所以f′(x)≤0，f(x)在[32,2]上單調(diào)遞減，

此時f(x)≤f(32)=2ln2+32a≤2ln2+32×13=2ln2+12，

因為e32=e?e>2.7×32=4.05>4，

所以2ln2=ln4<32，

則f(x)≤2ln2+12<32+12=2；

(3)易知f′(x)=a?1(2x?1)(x?1)，

當(dāng)a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x→+∞時，ln2x?1x?1=ln(2+1x?1)→ln2，

所以f(x)≥2ln2+32不可能恒成立；

當(dāng)a>0時，

令f′(x)=0，

可得2x2?3x+1?1a=0，

令g(x)=2x2?3x+1?19.解：(1)因為直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，

又圓M：x2+(y?3)2=4是直線族mx+ny=1(m,n∈R)的包絡(luò)曲線，

所以直線族mx+ny=1(m,n∈R)為圓M的切線，

所以d=|m?0+n?3?1|m2+n2=2，所以m，n滿足5n2?4m2?6n+1=0．

(2)將點N(x0,y0)代入y=tx?t2(t∈R)，可得關(guān)于t的方程t2?x0t+y0=0，

因為點N(x0,y0)不在直線族y=tx?t2(t∈R)上，故方程t2?x0t+y0=0無實數(shù)解，

所以Δ=x02?4y0<0，那么y0