湖南省長沙市百強(qiáng)校(SD)2025屆高三上學(xué)期月考（三）（11月）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省長沙市百強(qiáng)校(SD)2025屆高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試卷（11月）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合{0,1,2,3}的真子集個數(shù)是(

)A.7 B.8 C.15 D.162.“|x?1|<1”是“x2?4x<0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知角α的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3a,4a)，其中a≠0，則sin?2α=(

)A.43 B.725 C.24254.設(shè)向量a，b滿足|a+b|=19，|A.22 B.2 C.5 5.若無論θ為何值，直線sinθ·y+cosθ·x+1=0與雙曲線x2m?A.m≥1 B.0<m≤1

C.0<m<5，且m≠1 D.m≥1，且m≠56.已知函數(shù)f(2x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足f(x+1)+f(3?x)=0，且當(dāng)x∈(2,4)時，f(x)=?log12(x?2)+m，若f(2?025)?12=f(?1)A.13 B.23 C.?27.已知正三棱臺ABC?A1B1C1所有頂點(diǎn)均在半徑為5的半球球面上，且AB=4A.1 B.4 C.7 D.1或78.北宋數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才、善于觀察．據(jù)說有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”經(jīng)過反復(fù)嘗試，沈括提出對于上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物(如圖所示)，可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c?a)求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”，相當(dāng)于求數(shù)列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)·(b+2)，…，(a+n?1)(b+n?1)=cd的和．若由小球堆成的上述垛積共A.2 B.6 C.12 D.20二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若(1+2x)2024=aA.a0=2024

B.a0+a110.對于函數(shù)f(x)=sin?x+cos?x和g(x)=A.f(x)與g(x)有相同的零點(diǎn) B.f(x)與g(x)有相同的最大值點(diǎn)

C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸11.過點(diǎn)P(0,2)的直線與拋物線C：x2=4y交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)AA.OA·OB=?5

B.直線MN恒過定點(diǎn)

C.點(diǎn)M的軌跡方程是(y?1)2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z1，z2的模長為1，且1z2+113.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知a=5，b=4，cos(A?B)=3132，則sinB=14.若正實(shí)數(shù)x1是函數(shù)f(x)=xex?x?e2的一個零點(diǎn)，x2是函數(shù)g(x)=(x?e)(lnx?1)?四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)現(xiàn)有某企業(yè)計劃用10年的時間進(jìn)行技術(shù)革新，有兩種方案：貸款利潤A方案一次性向銀行貸款10萬元第1年利潤1萬元，以后每年比前一年增加25%的利潤B方案每年初向銀行貸款1萬元第1年利潤1萬元，以后每年比前一年增加利潤3000元兩方案使用期都是10年，貸款10年后一次性還本付息(年末結(jié)息)，若銀行貸款利息均按10%的復(fù)利計算．(1)計算10年后，A方案到期一次性需要付銀行多少本息？(2)試比較A、B兩方案的優(yōu)劣．(結(jié)果精確到萬元，參考數(shù)據(jù)：1.110≈2.59416.(本小題12分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD=2AB=2BC=2.點(diǎn)P在底面的射影點(diǎn)Q在線段AC上．(1)在圖中過A作平面PCD的垂線段，H為垂足，并給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D過程；(2)若PA=PD=2.求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．17.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ex+sinx?(1)證明：當(dāng)x≥0時，f′(x)≥2；(2)設(shè)g(x)=f(x)?2x?1，證明：g(x)有且僅有2個零點(diǎn)．18.(本小題12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，P(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)B(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N(M在B，N之間)，若Q為橢圓C上一點(diǎn)，且OQ=①求S△②求四邊形OMQN的面積．19.(本小題12分)飛行棋是大家熟悉的棋類游戲，玩家通過投擲骰子來決定飛機(jī)起飛與飛行的步數(shù)．當(dāng)且僅當(dāng)玩家投擲出6點(diǎn)時，飛機(jī)才能起飛．并且擲得6點(diǎn)的游戲者可以連續(xù)投擲骰子，直至顯示點(diǎn)數(shù)不是6點(diǎn)．飛機(jī)起飛后，飛行步數(shù)即骰子向上的點(diǎn)數(shù)．(1)求甲玩家第一輪投擲中，投擲次數(shù)X的均值(E(X)=(2)對于兩個離散型隨機(jī)變量ξ，η，我們將其可能出現(xiàn)的結(jié)果作為一個有序數(shù)對，類似于離散型隨機(jī)變量的分布列，我們可以用如下表格來表示這個有序數(shù)對的概率分布：

(記p(ξ=xixx…xyp(x1p(…p(pyp(x1p(…p(p………………yp(x1p(…p(ppp…p1若已知ξ=xi，則事件{η=yj}的條件概率為(ⅰ)上述期望依舊是一個隨機(jī)變量(ξ取值不同時，期望也不同)，不妨記為E{η|ξ}，求E[E{η|ξ}]；(ⅱ)若修改游戲規(guī)則，需連續(xù)擲出兩次6點(diǎn)飛機(jī)才能起飛，記ξ=0表示“甲第一次未能擲出6點(diǎn)”，ξ=1表示“甲第一次擲出6點(diǎn)且第二次未能擲出6點(diǎn)”，ξ=2表示“甲第一次第二次均擲出6點(diǎn)”，η為甲首次使得飛機(jī)起飛時拋擲骰子的次數(shù)，求Eη．

參考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BC

10.ACD

11.BC

12.1

13.714.e

15.解：(1)A方案到期時銀行貸款本息為10×(1+10%)10≈26((2)A方案10年共獲利：1+(1+25%)+…+(1+25%)9=到期時銀行貸款本息為10×(1+10%)10≈25.9(萬元)，

所以A方案凈收益為：33.3?25.9≈7(B方案10年共獲利：1+1.3+…+(1+9×0.3)=10×1+10×(10?1)×0.32=23.5(到期時銀行貸款本息為(1+10%)10+(1+10%所以B方案凈收益為：23.5?17.5≈6(萬元)，由比較知A方案比B方案更優(yōu)．

16.(1)連接PQ，有PQ⊥平面ABCD，所以PQ⊥CD．

在△ACD中，AC同理，在△ABC中，有AC又因為∠ABC+∠ADC=180°，所以cos∠ADC=12，∠ADC∈(0,180°)AC=3，故AC又因為PQ∩AC=Q，PQ，AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC．CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．過A作AH垂直PC于點(diǎn)H，因為平面PCD⊥平面PAC，平面PCD∩平面PAC=PC，且AH?平面PAC，有AH⊥平面PCD．(2)依題意，AQ=PA2?PQ2=DQ．

故所以AQ=23AC=過C作直線PQ的平行線l，則l，AC，CD兩兩垂直，以C為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則：D(1,0,0)，P(0,33,2所以CD=(1,0,0)，CP=(0,3設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z)則m·CD=x=0,m·同理，平面PAB的法向量n=(cos〈m，故所求銳二面角余弦值為13

17.證明：(1)函數(shù)f(x)=ex+sinx?cosx，

則f′(x)=ex+cosx+sinx=ex+2(22cosx+22sinx)=ex+2sin(x+π4)，

當(dāng)x∈[0,π2)時，則f′(x)=ex+2sin(x+π4)?e0+2×22=2，

當(dāng)x∈[π2,+∞)時，則f′(x)=ex+2sin(x+π4)>eπ2+2×?1>e32?2=e·e?2>2e?2=18.解：(1)設(shè)P(x0,y0)，∵0<y0≤b，當(dāng)|y0|=b時，S△F1PF2最大，此時P(0,b)或P(0,?b)，不妨設(shè)P(0,b)，當(dāng)θ=從而a=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)①由題意，直線l的斜率顯然存在．設(shè)l：y=kx+2．M(x1∴S△OBM=12∴S聯(lián)立y=kx+2,∴Δ=(16k)2?4×12×(1+4又∵x1+x2=?16k∴(∵k2>34令x1x2=λ(λ≠0)，則4<λ+1②∵OQ=OM+ON由①知x1+x∴Q?16k1+4k2,41+4化簡得k2∴線段|MN|=O到直線MN