高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2三角恒等變換8.2.2兩角和與差的正弦正切第2課時(shí)兩角和與差的正切素養(yǎng)練含解析新人教B版必修第三冊(cè)

PAGEPAGE18.2.2兩角和與差的正弦、正切第2課時(shí)兩角和與差的正切課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.化簡(jiǎn)1+tan15°1-tan15A.3 B.32 C.3 D.解析1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15答案A2.已知tanα=12,tanβ=13,且角α,β為銳角,則α+β的值是(A.3π4 BC.π4 D.答案C3.在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的兩根,則tanC等于()A.2 B.-2 C.4 D.-4答案A4.已知tanα+β+π6=12,tanβ-πA.22 B.57 C.15解析tanα+π3=tanα答案D5.已知A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則△ABC是三角形.

解析由根與系數(shù)的關(guān)系,得tan則tan(A+B)=tanA∵在△ABC中,tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-52<∴C是鈍角,∴△ABC是鈍角三角形.答案鈍角6.已知A,B都是銳角,且(1+tanA)(1+tanB)=2,則A+B=.

解析(1+tanA)(1+tanB)=1+tanAtanB+tanA+tanB=2,∴tanAtanB=1-(tanA+tanB).∴tan(A+B)=tanA+tanB∵A,B都是銳角,∴0<A+B<π,∴A+B=π4答案π7.已知tanπ4+α=12解∵tanα+π4=∴tanα=-138.在非直角三角形中,求證:tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.證明∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,即tanA+tanB1-∴tanA+tanB=-tanC+tanA·tanB·tanC,∴tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.實(shí)力提升1.已知α∈π2,π,tanα+π4=17,那么A.-15 B.75 C.-75答案B2.(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α,β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為12,32和-45,35,則tan(αA.48-253C.3+4310 D解析由題意可得sinα=32,cosα=12,sinβ=35,cosβ則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3-tanα=3,tanβ=-34所以tan(α+β)=tanα+tanβ1答案AD3.在△ABC中,tanA=12,cosB=31010,則tanC=A.-1 B.1 C.3 D.-2解析因?yàn)閏osB=31010,且0<B<所以sinB=1-cos2B=10所以tanC=-tanA+B=-12+131-答案A4.下列結(jié)果為3的是()①tan25°+tan35°+3tan25°·tan35°;②(1+tan20°)(1+tan40°);③1+tan15°④tanπA.①② B.①③C.①②③ D.①②③④解析①∵tan25°+tan35°=tan(25°+35°)(1-tan25°·tan35°)=3-3tan25°tan35∴原式=3-3tan25°tan35°+3tan25°tan35°=②(1+tan20°)(1+tan40°)=1+tan20°+tan40°+tan20°·tan40°=1+3(1-tan20°tan40°)+tan20°·tan40°=1+3-(3-1)tan20°tan40°≠3.③原式=tan45°+tan15°1-tan45°tan15④原式=33答案B5.已知sinα=12,α是其次象限角,tan(α+β)=-3,則tanβ的值為(A.-3 B.3 C.-33 D.解析∵sinα=12,α是其次象限角,∴tanα=-3∴tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+答案C6.在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,則tanA·tanB的值為(A.14 B.13 C.12解析∵C=120°,∴A+B=60°.∴tan(A+B)=tanA∵tanA+tanB=233,∴1-tanAtanB=∴tanAtanB=13答案B7.(雙空)已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,則tanα+π4=,tan(α+解析tanα+π4=tan(α+tanβ-π4=tanβ-tan(α+2β)=tan(答案-838.在△ABC中,高AD把BC分為長(zhǎng)2cm和3cm的兩段,∠A=45°,則S△ABC=.

解析設(shè)AD=xcm,由已知得tan∠BAD=BDAD=2x,tan∠CAD=DCAD=3x,則tan45°=tan∠BAD化簡(jiǎn)得x2-5x-6=0,解得x=6,x=-1(舍去).所以S△ABC=12×AD×BC=12×6×5=15(cm2答案15cm29.已知3tanαtan(α+β)=4[tan(α+β)-tanα-tanβ],且cos(π+β)>0,則sin(β-3π)=.

答案310.已知α,β為銳角,cosα=35,cos(α+β)=-5(1)求sinβ的值;(2)求tan(α-β)的值.解(1)∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<又cosα=35,cos(α+β)=-5∴sinα=45,sin(α+β)=2∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=25(2)∵0<α<π2,0<β<π2,cosα=35,sinβ∴tanα=43,tanβ=∴tan(α-β)=tanα-tan11.是否存在銳角α和β,使得①α+2β=2π3和②tanα2tanβ=2-3同時(shí)成立?若存在,求出α和β的值;若不存在解由①得α2+β=π3,則tanα2+即tanα把條件②代入上式,得tanα2+tanβ=3×(1-2+3)=3-3.③由②