河北省承德市第八中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

河北省承德市第八中學(xué)2024--2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知集合，集合，則（

）A．B．C．D．3．要得到的圖象，只需把圖象上所有點的（

）A．橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變 B．橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變C．縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標不變 D．縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變4．若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（）A．B．C．D．6．已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．3 B．4 C．8 D．107．已知，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．如圖，平行四邊形所在平面外一點，為AD的中點，為上一點，當平面時，（

）

A．23 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9．下列說法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“，”是真命題C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的充分不必要條件10．下列命題正確的是（

）A．若向量，共線，則A，B，C，D必在同一條直線上B．若A，B，C為平面內(nèi)任意三點，則C．若點G為的重心，則D．若向量，滿足，且，方向相同，則11．在直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，分別是棱的中點，過直線的平面分別與棱交于點，則下列說法正確的是（

）A．四邊形為矩形B．C．四邊形面積的最小值為8D．四棱錐的體積為定值三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，則.13．已知曲線在處的切線斜率為4，則實數(shù)的值為.14．記Sn為數(shù)列的前n項和．已知，，則數(shù)列的通項公式是．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．(本題13分)已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和.16．(本題15分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值．17．(本題15分)已知向量.(1)若，且x∈0,π，求(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的值域.18．(本題17分)如圖，在三棱錐中，分別是的中點.(1)求證:平面；(2)若四面體的體積為，求；(3)若，求直線AD與平面所成角的正弦值的最大值.19．(本題17分)在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．參考答案：題號12345678910答案AAAACBCDABDBC題號11答案BD1．A【分析】求出，求出，求出的虛部.【詳解】由題意可得，故，其虛部為.故選：A.2．A【分析】解出集合和集合，再根據(jù)交集運算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，所以.故選：A3．A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換求解即可.【詳解】因為，所以要得到的圖象，只需把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變.故選：A.4．A【分析】直接利用投影向量的公式求解即可.【詳解】在上的投影向量，故選：A.5．C【分析】先求出，再由抽象函數(shù)求定義域的法則可得，解不等式即可得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，所以，所以需滿足，解得且.故選：C.6．B【分析】根據(jù)題意，將式子化為與，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選：B.7．C【分析】先化簡得出，再應(yīng)用基本不等式常值代換計算即可.【詳解】因為，所以,又因為，當且僅當時取最小值9，所以的最小值為5.故選：C.8．D【分析】由線面平行的性質(zhì)定理得到，故，轉(zhuǎn)化為求即可．【詳解】

連接交于，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，所以.又，為的中點，所以，所以.故選：D.9．ABD【分析】利用存在量詞命題的否定判斷A；判斷存在量詞命題的真假，判斷B；利用充分條件的定義判斷C；利用充分不必要條件的定義判斷D.【詳解】對于A，由存在量詞命題的否定形式知命題正確，A正確；對于B，當時，成立，B正確；對于C，取，，滿足，而，不是充分性條件，C錯誤；對于D，能推出，而不能推出，“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：ABD10．BC【分析】由向量共線的定義判斷A，由向量運算性質(zhì)判斷D，由三角形重心的性質(zhì)可判斷C，對于D，由向量無法比較大小即可判斷.【詳解】對于A，若向量，共線，只需兩個向量方向相同或相反即可，則A，B，C，D不必在同一直線上，故A項錯誤；對于B，由向量線性運算性質(zhì)知，故B項正確；對于C，由平面向量中三角形重心的性質(zhì)，可得C項正確；對于D，由于向量間無法比較大小，故D項錯誤.故選：BC.11．BD【分析】對于A，利用面面平行的性質(zhì)定理結(jié)合平行四邊形的判定定理可證得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合直棱柱的性質(zhì)分析判斷，對于B，連接，可證得≌，從而進行判斷，對于C，由四邊形面積為分析判斷，對于D，由分析判斷.【詳解】對于A，連接交于，連接交于，因為平面//平面，平面平面，平面平面，所以，同理可證得//，所以四邊形為平行四邊形，因為四邊為菱形，所以，因為四棱柱為直四棱柱，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為分別是棱的中點，所以，因為//，，所以//，，所以四邊形為平行四邊形，所以//，所以，所以四邊形為菱形，所以A錯誤，對于B，連接，因為四邊形為平行四邊形，所以，因為分別是棱的中點，所以為直四棱柱的中心，所以過點且被平分，即，因為，，所以≌，所以，所以B正確，對于C，因為四邊形是邊長為2的菱形，，所以，所以，因為四邊形為菱形，所以四邊形面積為,即四邊形面積的最小值為，所以C錯誤，對于D，因為，點到平面的距離為定值，為定值，所以四棱錐的體積為定值，所以D正確，故選：BD12．2【分析】利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值.【詳解】已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，則.故答案為：2.13．1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，即可求解.【詳解】由題意，因為曲線在處的切線斜率為4，所以，解得：故答案為：1.14．【分析】對原式化簡得，再降下標作差即可得，結(jié)合等差數(shù)列定義即可得到其通項.【詳解】，①，當時，②，①-②得，，，，，是等差數(shù)列，又，故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義由前項和公式計算可得；（2）易知是公比為4的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列前項和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由可得，解得，所以.（2）由（1）可知，易知是公比為4的等比數(shù)列，所以可得.16．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為，令，得或，令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為.（2）由（1）得，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐標關(guān)系可得的值，再由x∈0,π可得和的值，從而得到結(jié)果；（2）利用數(shù)量積的坐標運算公式，化簡得到，結(jié)合，利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)可分析得到值域.【詳解】（1），，又，，.（2）由題意：，，，，，∴fx的值域是.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證明，可證線面垂直；（2）由已知四面體體積求得體積，再由體積公式可得；（3）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角．【詳解】（1）.的中點為，則..，則，故，即.因為，，平面，平面，所以平面.（2）因為，所以.而，所以，解得：.（3）過作軸垂直平面，以方向分別為則，，設(shè)平面法向量為由得，所以為平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，所以所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．19．(1)證明見解析(2)存在，的長度為3或【分析】（1）通過證明，來證得平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得正確答案.【詳解】（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）知，以CD為軸，CB為軸，為軸，建立空間直角坐標系，因