821兩角和與差的余弦課件高一下學期數(shù)學人教B版

人教B版

數(shù)學

必修第三冊第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2.1兩角和與差的余弦課標定位素養(yǎng)闡釋1.

經歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程,進一步體會向量方法的作用.2.能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式.3.能利用兩角和與差的余弦公式化簡、求值.4.培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習新知導學一、兩角差的余弦公式1.我們知道60°=90°-30°,那么cos60°與90°角,30°角的正弦值、余弦值是否有關系?是怎樣的關系?提示:有關系,cos

60°=cos(90°-30°)=cos

90°cos

30°+sin

90°sin

30°=.2.對任意α與β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,這就是兩角差的余弦公式,簡記為Cα-β.

二、兩角和的余弦公式1.你能計算cos75°的值嗎?提示:cos

75°=cos[45°-(-30°)]=cos

45°cos(-30°)+sin

45°sin(-30°)2.兩角和的余弦公式Cα+β,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)當α,β∈R時,cos(α-β)=cosαsinβ-sinαcosβ.(

)(2)當α,β∈R時,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(3)存在實數(shù)α,β,使cos(α+β)=cosα-cosβ成立.(

)×√√×合作探究釋疑解惑探究一給角求值問題【例1】

(1)cos345°的值等于(

)解析:cos

345°=cos

15°=cos(60°-45°)=cos

60°cos

45°+sin

60°sin

45°=答案:C(2)化簡下列各式:①cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);②-sin167°sin223°+sin257°sin313°.分析:靈活運用兩角和與差的余弦公式求值.解:①原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]=cos

45°=,所以原式=.②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin

13°sin

43°+sin

77°sin

47°=sin

13°·sin

43°+cos

13°cos

43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=.應用Cα+β和Cα-β求值時的技巧:(1)把非特殊角轉化為特殊角的和或差,用公式直接求值.(2)在轉化過程中,充分利用誘導公式,構造兩角和或差的余弦公式的結構形式,逆用公式求值.【變式訓練1】

求下列各式的值:(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°);(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).(2)原式=-sin

100°sin

160°+cos

200°cos

280°=-sin

80°sin

20°-cos

20°cos

80°=-(cos

80°cos

20°+sin

80°sin

20°)=-cos

60°(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos

60°探究二給值(式)求值問題角的變換是三角變換中的常用技巧,常用的角的變換有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=[(α+β)+(α-β)],α=[(β+α)-(β-α)]等.探究三給值求角問題分析:根據條件先求cos(α-β)的值,再結合α-β的范圍,求角α-β的值.例3中條件不變,求角α+β的值.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟:(1)界定角的范圍,根據條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數(shù).(3)結合三角函數(shù)值及角的范圍求角.易錯辨析因忽略角的取值范圍致錯以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?你如何防范?提示:先確定角的取值范圍,再求值,產生錯誤的原因在于沒有從cos

B=-<0發(fā)掘出B為鈍角,∴A+B為鈍角,∴cos(A+B)=-.在三角求值時,有時需根據條件確定角的取值范圍.有時可根據三角函數(shù)值的符號縮小角的取值范圍,有時需根據三角函數(shù)值的大小結合三角函數(shù)的單調性縮小角的取值范圍.隨堂練習答案:C答案:B答案:AD4.sin(α-β)sinα+cos(α-β)cosα=