中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題3幾何證明與計(jì)算課件

專題三幾何證明與計(jì)算例1：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線，以CD為底邊向右作等腰三角形CDE，CE＝DE，使∠CDE＝∠A，DE與BC交于點(diǎn)F.類型1利用特殊三角形的性質(zhì)證明與計(jì)算(1)求證：△CDF是直角三角形.

?思路引導(dǎo)?求兩個(gè)三角形的面積比：1.兩個(gè)三角形同底(等底)，面積比等于高之比；2.兩個(gè)三角形等高(同高)，面積比等于底之比；3.兩個(gè)三角形相似，面積比等于相似比的平方.1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED和CA，交于點(diǎn)F.(1)求證：△ADF是等腰三角形；證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE.∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形.(2)若∠F＝30°，EC＝3，BD＝4，求AC的長(zhǎng).解：∵∠F＝30°，DE⊥BC，EC＝3，∴CF＝2EC＝6.設(shè)AF的長(zhǎng)為x，則AD＝x，∵AB＝AC，∴CF－AF＝BD＋AD，即6－x＝4＋x，解得x＝1，∴AF＝1，∴AC＝CF－AF＝6－1＝5.例2：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角(0＜α＜180°)得到的，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在直線BC上，如圖①.[2023南平二檢12分]類型2利用全等三角形證明與計(jì)算(1)判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并證明；解：CE∥AB.證明如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠DCE＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DCE，∴CE∥AB.(2)當(dāng)∠ADC＝2∠BAC時(shí)，求∠BAC的大?。唤猓涸O(shè)∠BAC＝x，則∠ADC＝2∠BAC＝2x.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC＝2x，∴∠ACB＝∠ADC＋∠CAD＝4x.∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝4x，在△ABC中，∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴x＋4x＋4x＝180°，解得x＝20°，即∠BAC＝20°.(3)如圖②，F(xiàn)為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上且AG＝AF，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，求證：AB＝AE＋2BG.證明：如圖②，連接CF，CG.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAC＝∠D，CB＝CE，CA＝CD，∴∠CAD＝∠D，∴∠BAC＝∠CAD.∵AG＝AF，AC＝AC，∴△AGC≌△AFC，∴CG＝CF，∠AGC＝∠AFC.

?思路引導(dǎo)?第(3)問(wèn)要證AB＝AE＋2BG，只需證明EF＝BG，易得AC平分∠BAD，可以通過(guò)角平分線構(gòu)造對(duì)稱的全等三角形，從而解決問(wèn)題.角平分線常見(jiàn)輔助線：①角平分線(OB)＋垂兩邊(OE⊥AB，OF⊥BC)則△BEO≌△BFO；②角平分線＋自垂線(EF⊥BO)則△BEO≌△BFO；③角平分線＋截等長(zhǎng)(BE＝BF)，則△BEO≌△BFO.2.(1)【問(wèn)題提出】如圖①，Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACE＝∠B＝∠D＝90°，AC＝CE，B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，AB＝5，DE＝6.5，則BD的長(zhǎng)度為_(kāi)___________.11.5解：如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝180°－90°－∠DCE＝∠CDE.(2)【問(wèn)題初探】如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積.

(3)【問(wèn)題解決】某市打造國(guó)家級(jí)宜居城市，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖③所示，在河流BD的周邊規(guī)劃一個(gè)四邊形ABCD森林公園，按設(shè)計(jì)要求，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面積為12km2，且CD的長(zhǎng)為6km，則河流另一邊森林公園△BCD的面積為_(kāi)_____km2.6

例3：【一題多解】如圖，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在邊AB上，∠BAC＝∠DEC＝90°.類型3利用相似三角形證明與計(jì)算(1)求證：△ACE∽△BCD；

(2)探索AC，AD，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)若CA平分∠DCE，且AD＝2，求△EDC的面積.[2024漳州二模12分]解：如圖，過(guò)點(diǎn)D

作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵CA平分∠DCE，∴∠ECA＝∠DCA，由(1)得∠BCD＝∠ECA，∴∠BCD＝∠DCA.∵DG⊥BC，AD⊥AC，∴DG＝AD＝2.在Rt△BDG中，∠B＝45°，DG＝2，

?思路引導(dǎo)?[1]證明相似的方法：“AA”、“SAS”、“SSS”、平行線.[2]證明三個(gè)線段的數(shù)量關(guān)系，通常的思路是“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”，探索時(shí)可以在最長(zhǎng)的線段上截取一段等于較短兩條線段中的一段，并設(shè)法證明另一段等于第三條線段(或其倍數(shù)).[3]結(jié)合(1)的結(jié)論可得∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠ACB，故可利用角平分線的性質(zhì)得線段相等，再解直角三角形.

3.如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC邊上(不與點(diǎn)B，C重合)，點(diǎn)E在AB邊上，且∠AED＝∠ADB，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，G是BD的中點(diǎn)，連接FG.(1)當(dāng)AD＝CD時(shí)，求證：DE∥AC；證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠BDE，∠ADB＝∠ADE＋∠BDE，且∠AED＝∠ADB，∴∠B＝∠ADE，∴∠C＝∠ADE.∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ADE，∴DE∥AC.(2)∠FGD與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________________；∠FGD＝2∠ABC(3)如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，求證：FG＝GH.[2024寧德一模改編]證明：如圖②，連接HF.

∵AH⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFD＝∠AHC＝∠AHB＝90°.由(1)知∠ADE＝∠ACH.∴l(xiāng)△AFD∽△AHC.

例4：如圖，已知直線l1∥l2.(1)在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1之間的距離恰好等于l與l2之間的距離；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)類型4尺規(guī)作圖和幾何證明與計(jì)算解：如答圖①，直線l就是所求作的直線.(2)在(1)的條件下，若l1與l2之間的距離為2，點(diǎn)A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積.[2024福建10分]

②如答圖③，當(dāng)∠ABC＝90°，BA＝BC時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線l1的垂線，垂足為M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∵l∥l1∥l2，直線l1與l2之間的距離為2，且l與l1之間的距離等于l與l2之間的距離，

?思路引導(dǎo)?[1]可根據(jù)要求先畫出最后結(jié)果的草圖，再聯(lián)系相關(guān)的尺規(guī)作圖，從而得到畫圖思路；[2]題目未給出等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，故需要分三種情況進(jìn)行討論，可利用等腰直角三角形構(gòu)造“一線三垂直”全等，然后計(jì)算面積即可.