中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題4圓的綜合課件

專題四圓的綜合例1：如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB為直徑的☉O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，連接AC、OD交于點(diǎn)E.類型1切線綜合(1)證明：AE＝CE；證明：如圖①，連接OC.∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO，∴∠AOD＝∠COD.∵OA＝OC，∴AE＝CE.(2)若AC＝2BC；①證明：DA是☉O的切線；1①證明：∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵OA＝OC，AE＝CE，∴OE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵AE＝CE，∴AC＝2AE.∵AC＝2BC，∴BC＝AE.又∵AB＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△DEA，∴∠ABC＝∠DAE.∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠OAD＝∠BAC＋∠DAE＝90°，∴OA⊥AD.又∵OA是☉O的半徑，∴DA是☉O的切線.②如圖②，連接BD交☉O于點(diǎn)F，連接EF，則∠DEF＝________°.[2024廈門二模改編]45

1.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)F，直線AE是☉O的切線，點(diǎn)E在☉O外.(1)求證：∠EAC＝∠D；證明：∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵直線AE是☉O的切線，

∴∠BAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，∴∠B＝∠CAE.∵∠D＝∠B，∴∠EAC＝∠D.

類型2圓內(nèi)接三角形、四邊形綜合幾何畫(huà)板視頻

(2)求證：△AEB∽△BEC；

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，∴∠AEB＝∠AEO＋∠MEB＝135°，∠BEC＝180°－∠MEB＝135°，∴∠AEB＝∠BEC.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠MBE＝45°，∴∠ABM＝∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，∴△AEB∽△BEC.(3)求證：AD與EF互相平分.[2024福建14分]

∴△AOE∽△BDE，∴∠BED＝∠AEO＝90°.∴∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE.由(2)知，∠AEB＝135°，∴∠AEF＝180°－∠AEB＝45°.∵∠DFB＝∠DAB＝45°，∴∠DFB＝∠AEF，∴AE∥FD，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AD與EF互相平分.

DE3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DF＝DC，連接AF，CF.(1)求證：∠BAC＝2∠CAD；

解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DFC.∵∠BAC＝∠BDC，且∠BAC＝2∠CAD，∴∠CFD＝∠CAD.又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CFD＝∠CBD，∴CB＝CF.又∵AC⊥BD，∴AC是線段BF的垂直平分線，∴AB＝AF＝10，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AC＝10.設(shè)AE＝x，則CE＝10－x，由勾股定理知AB2－AE2＝BC2－CE2，∴100－x2＝80－(10－x)2，解得x＝6，∴AE＝6，CE＝4，∴易得BE＝8.∵∠ECD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，

例3：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A'，AA'的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G.類型3隱形圓問(wèn)題幾何畫(huà)板視頻(1)求證：DE∥A'F；證明：如圖，設(shè)AG與DE的交點(diǎn)為O.∵點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A'，∴AO＝A'O，AA'⊥DE.∵E，F(xiàn)為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA'F的中位線，∴EO∥A'F，即DE∥A'F.(2)求∠GA'B的大??；解：如圖，連接GF.∵AA'⊥DE，四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.

(3)求證：A'C＝2A'B.[2021福建12分]

1.利用圓的定義(平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合)構(gòu)造隱形圓.2.折疊問(wèn)題中經(jīng)常用到隱形圓，考慮方向：某一邊翻折時(shí)，此邊長(zhǎng)度不變，軌跡為圓.

3.定弦定角：∠APB，AB為定值→P點(diǎn)軌跡為圓弧.常見(jiàn)特殊圖形：4.如圖，在Rt△EBC中，∠EBC＝90°，點(diǎn)A在EB邊上，且CA＝BE.以AC為斜邊作Rt△DAC，使得B、D兩點(diǎn)在直線AC的異側(cè)，且∠DAC＝∠E，AD與EC交于點(diǎn)F.(1)求證：∠DCF＝∠ACB；證明：∵∠EBC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°，∠E＋∠ECB＝90°.∵∠DAC＝∠E，∴∠DCA＝∠ECB，即∠DCF＋∠ECA＝∠ACB＋∠ECA，∴∠DCF＝∠ACB.(2)求證：CF＝AD；