專題19 直角三角形（練習）（19題型）

第19講直角三角形目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關(guān)練 3題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解 3題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形 4題型03與直角三角形有關(guān)的面積計算 4題型04利用勾股定理求線段長 5題型05利用勾股定理求面積 6題型06已知兩點坐標求兩點距離 7題型07判斷勾股數(shù)問題 8題型08勾股定理與網(wǎng)格問題 9題型09勾股定理與無理數(shù) 9題型10以直角三角形三邊為邊長的圖形面積 10題型11利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系 11題型12勾股定理的證明方法 13題型13以弦圖為背景的計算題 16題型14利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題 17題型15利用勾股定理解決實際問題 18題型16勾股定理與規(guī)律探究問題 20題型17在網(wǎng)格中判定直角三角形 21題型18利用勾股定理逆定理求解 22題型19利用勾股定理解決實際生活問題 23真題實戰(zhàn)練 23

題型過關(guān)練題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是（A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2023·廣東中山·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，點D為邊AC的中點，BD=2，則BCA．3 B．23 C．2 3．（2021·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,H為BC中點，AC=6,BD=8．則線段OH的長為：（

）A．125 B．52 C．3 4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上，當B在x軸的正半軸上運動時，A隨之在y軸的正半軸上運動，矩形ABCD的形狀保持不變．若∠OAB＝30°時，點A的縱坐標為23，點C的縱坐標為1，則點D到點O的最大距離是（）A．25 B．22+2 C．22+4 D．2題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形5．（2022·重慶·重慶市松樹橋中學校?？寄M預測）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn):b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠BC．∠A:∠B:∠C=1:5:6 D．∠A:∠B:∠C=3:4:56．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)x，y，z滿足(x?5)2+y?12A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷7．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，選擇下列條件中的一個，能判斷△ABC是直角三角形的是（）①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型03與直角三角形有關(guān)的面積計算8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則圖中陰影部分的面積是（

）A．83?4π B．83?2π C．9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'．此時恰好點C在A'C'上，A'A．13 B．916 C．2310．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊AB，AC于點P，Q；再分別以點P，Q為圓心，以大于12PQ的長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線AE交BC于點F.設△ABF，△ABC的面積分別為A．12 B．13 C．1311．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）把一副三角尺如圖所示拼在一起，其中AC邊長是26，則△ACD的面積是（

A．42 B．6 C．43 題型04利用勾股定理求線段長12．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm，則水的最大深度為（

）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm13．（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則AB的長是（A．5003 B．5035 C．6014．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，則OA的值為（

A．3 B．32 C．2 題型05利用勾股定理求面積15．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學?？家荒＃┤糁苯侨切蔚膬蛇呴L分別是方程x2?7x+12=0的兩根，則該直角三角形的面積是（A．6 B．12 C．12或372 16．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．邊BC與FG在同一直線上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s17．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，△BED是等腰直角三角形，AC經(jīng)過點E，過點B作BA⊥AC，過點D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求

題型06已知兩點坐標求兩點距離18．（2022·廣東中山·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標系中，點（3，﹣2）到原點的距離是________．19．（2022·寧夏銀川·銀川市第三中學校考模擬預測）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離P1P2=(x1?x(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點間的距離；(2)已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為﹣1，試求A、B兩點間的距離；(3)已知一個三角形各頂點坐標為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．題型07判斷勾股數(shù)問題20．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┕垂啥ɡ碜钤绯霈F(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，21．（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=(1)當n=1999時，寫出整式A+B的值______（用科學記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式A2(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．22．（2019·安徽馬鞍山·校聯(lián)考二模）若正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c）滿足a2+b2＝c2，則稱（a，b，c）為一組“勾股數(shù)”．觀察下列兩類“勾股數(shù)”：第一類（a是奇數(shù)）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二類（a是偶數(shù)）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；（2）分別就a為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用a表示b和c，并選擇其中一種情形證明（a，b，c）是“勾股數(shù)”．題型08勾股定理與網(wǎng)格問題23．（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

）．A．355 B．175 C．324．（2022·陜西西安·交大附中分校?？寄M預測）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（

）A．102 B．10 C．3102題型09勾股定理與無理數(shù)25．（2020·河南·模擬預測）小明學了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進行練習：首先畫數(shù)軸，原點為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A，然后過點A作AB⊥OA，使AB=3(如圖)．以O為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P，則點P所表示的數(shù)介于(

)A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間26．（2022·廣東佛山·西南中學?？既＃┕垂啥ɡ碓凇毒耪滤阈g(shù)》中的表述是：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦”．即c=a2+b2（a為勾，b為股，c為弦），若“勾”為2，“股”為A．1 B．2 C．3 D．427．（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?1，O是原點，以AO為邊作正方形AOBC，以A為圓心、AB長為畫弧交數(shù)軸于P1、P2兩點，則點P1表示的數(shù)是_______，點P2表示的數(shù)是題型10以直角三角形三邊為邊長的圖形面積28．（2020·浙江·一模）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3A．S1=S2 B．S2=29．（2019·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·校聯(lián)考一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個30．（2021·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1+S2+S3+S4等于____________．31．（2020·新疆·統(tǒng)考二模）圖中是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的邊長為3,則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．

題型11利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系32．（2021·廣東深圳·明德學校?？家荒＃蔷€互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=2，BC=4，則AB233．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE34．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預測）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖1，連接AM，BN，求證：△AOM≌△BON：(2)如圖2，將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當點N恰好在AB邊上時，求證：BN35．（2022·北京石景山·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中點，E為邊AC上一動點（不與點A，C重合），連接DE，將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，過點F作FH⊥DE于點H，交射線BC于點G． (1)如圖1，當AE<EC時，比較∠ADE與∠BFG的大?。挥玫仁奖硎揪€段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當AE>EC時，依題意補全圖2，用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系．題型12勾股定理的證明方法36．（2023·北京大興·統(tǒng)考一模）下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．求證：a2方法一如圖，大正方形的邊長為a+b，小正方形的邊長為c．證明方法二如圖，大正方形的邊長為c，小正方形的邊長為b?a．證明37．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預測）如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝a+b?c（2）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗證勾股定理．38．（2019·安徽滁州·?？级＃舅伎碱}】閱讀下面的情景對話，然后解答問題：老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．小華：等邊三角形一定是奇異三角形；小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？（1）①根據(jù)“奇異三角形”的定義，小紅得出命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”，請判斷小紅提出的命題是否正確，并填空：命題_（填“正確”或“不正確”），不要說嘛理由．②若某三角形的三邊長分別是2、4、10，則△ABC是奇異三角形嗎？_（填“是”或“不是”），不要說嘛理由．（2）在Rt△ABC中，兩邊長分別是a=52、c=10，這個三角形是否是奇異三角形？請說明理由．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c的值．題型13以弦圖為背景的計算題39．（2020·浙江杭州·模擬預測）勾股定理相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱“商高定理”．如圖1，以直角三角形ABC的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，三塊陰影區(qū)域面積分別記為S1,S2,S3，兩個較小正方形紙片的重疊部分（六邊形PQMNHGA．S1+S2C．S1+S40．（2022·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）清代數(shù)學家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法證明了勾股定理（如圖）．連結(jié)CE，若CE=5，BE=4，則正方形ABCD的邊長為________．41．（2021·上海楊浦·統(tǒng)考三模）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，如果S1+題型14利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題42．（2019·廣西·統(tǒng)考三模）如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A．31+π B．32 C．34+43．（2019·山東棗莊·中考模擬）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（）A．20 B．24 C．994 D．44．（2021·四川瀘州·統(tǒng)考一模）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若AE=3，BF=2，則正方形DECF的邊長等于()A．32 B．1 C．45 45．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，王老師將汽車停放放置在地面臺階直角處，他測量了臺階高AB為16dm，汽車輪胎的直徑為80dm，請你計算直角頂點到輪胎與底面接觸點BC長為（A．35dm B．32dm C．30dm題型15利用勾股定理解決實際問題46．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，記載著這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）247．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，一架長為10m的梯子AB斜靠在豎直的墻BC上，梯子的底端（點A）距墻角（點C）為6m．若梯子的底端水平向外滑動1m

A．10?x2=6+1+xC．102=8?x48．（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．49．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學校校考三模）某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為___________；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值___________；（3）代數(shù)應用：求代數(shù)式x2+1+題型16勾股定理與規(guī)律探究問題50．（2022·廣東中山·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線ACA．5×522022 B．2×5251．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A352．（2022·黑龍江·二模）如圖，對面積為1的正方形ABCD逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB，BC，CD，DA至A1，B1，C1，D1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1D=CD，D1A=DA，順次連接點A1，B1，C1，D1，得到正方形A1B1C1D1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長A1B1，B1C1，C1D1，D1A1題型17在網(wǎng)格中判定直角三角形53．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為（

）A．∠BAC>∠DAC B．∠BAC<∠DAC C．∠BAC=∠DAC D．無法確定54．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的正弦值為（

）A．55 B．22 C．1255．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A，B，C均在格點上，D是AB與網(wǎng)格線的交點，則sin∠ADC2的值是_____題型18利用勾股定理逆定理求解56．（2019·湖南益陽·統(tǒng)考一模）已知M、N是線段AB上的兩點，AM＝MN＝2，NB＝1，以點A為圓心，AN長為半徑畫弧；再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形57．（2020·河北·校聯(lián)考二模）如圖，已知點E是△ABC的外心，點P、Q分別是AB、AC的中點，連接EP、EQ分別交BC于點F、D，若BF=5，DF=3，CD=4，則ΔABC的面積為（

）

A．18 B．24 C．30 D．3658．（2022·廣東佛山·佛山市華英學校?？级＃┤鐖D，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=32，點D是AB的中點，EB∥CD，EC∥AB，則四邊形CEBD的周長是___________．59．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點，AD=10，BD=6，CD=8，將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，則圖中陰影部分的面積為___________．題型19利用勾股定理解決實際生活問題60．（2022·江西贛州·統(tǒng)考一模）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問今有沙田一塊，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為7丈，24丈，25丈，問這塊沙田面積有多大？（題中的“丈”是我國市制長度單位，1丈＝10尺）則該沙田的面積為__________平方丈．61．（2021·湖南岳陽·校聯(lián)考二模）數(shù)學文化我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5丈，12丈，13丈，問這塊沙田面積有多大？（題中的“丈”是我國市制長度單位，1丈＝10尺．）則該沙田的面積為________平方丈．真題實戰(zhàn)練一、單選題1．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（

）A．23+2 B．5?33 C．2．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F(xiàn)為CE中點．若AE=AD，DF=2，則BD的長為（

）A．22 B．3 C．233．（2022·四川南充·中考真題）如圖，將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，點B'恰好落在CA的延長線上，∠B=30°A．90° B．60° C．45° D．30°4．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB=4，點M是斜邊BC的中點，以AM為邊作正方形AMEF，若S正方形AMEF=16，則

A．43 B．83 C．125．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m6．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC同側(cè)，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，連接DE，設AB=a，BC=b，DE=c，給出下面三個結(jié)論：①a+b<c；②a+b>a

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆國際數(shù)學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，連接BE．設∠BAF=α,∠BEF=β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1:n,tanα=tan2β，則n=

A．5 B．4 C．3 D．28．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內(nèi)切圓的半徑r<1 D．當AB=7時，△ABC二、填空題9．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E．若∠AOC=45°，BC=2，則線段AE的長為___________．

10．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b?a=4，c=20，則每個直角三角形的面積為________

11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為___________

12．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在△ABC中，動點P從點A出發(fā)沿折線AB→BC→CA勻速運動至點A后停止．設點P的運動路程為x，線段AP的長度為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中點F為曲線DE的最低點，則△ABC的高CG的長為________．

13．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=23,AA1=2

三、解答題14．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為

(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）15．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．16．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若AE=6，CD=8，求BD的長．17．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．(1)在斜邊AC上求作線段AO，使AO=BC，連接OB；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)若OB=2，求AB的長．18．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為AB邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC(1)求證：四邊形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求點C到

19．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M，N分別是斜邊DE，AB的中點，DE=2,AB=4．

(1)將△CDE繞頂點C旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點M，N距離的最大值和最小值；(2)將△CDE繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°（如圖2），求MN的長．20．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD．

(1)寫出AB與BD的數(shù)量關(guān)系(2)延長BC到E，使CE=BC，延長DC到F，使CF=DC，連接EF．求證：EF⊥AB．(3)在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點H，求證：AH=FH．

第19講直角三角形答案解析題型過關(guān)練題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是（

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，

則∠CED=90°?40°=50°，∵l∥∴∠1=∠CED=50°，故選：C．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東中山·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，點D為邊AC的中點，BD=2，則BCA．3 B．23 C．2 【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵點D為邊AC的中點，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=12故選：C．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2021·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,H為BC中點，AC=6,BD=8．則線段OH的長為：（

）A．125 B．52 C．3 【答案】B【分析】因為菱形的對角線互相垂直且平分，從而有AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，又因為H為BC中點，借助直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可作答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4∴△BOC是直角三角形∴B∴BC=5∵H為BC中點∴OH=故最后答案為52【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，其中知道菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上，當B在x軸的正半軸上運動時，A隨之在y軸的正半軸上運動，矩形ABCD的形狀保持不變．若∠OAB＝30°時，點A的縱坐標為23，點C的縱坐標為1，則點D到點O的最大距離是（）A．25 B．22+2 C．22+4 D．2【答案】B【分析】由Rt△AOB中的條件可得AB=4，由△AOB∽△BFC，可得BC=2，再AB上取一點E，利用勾股定理求出OE，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求出OE，由三角形兩邊之后大于第三邊可求出OD最大值．【詳解】解：取AB中點E，連接DE、OE、OD，過C作CF⊥BF與點F，在Rt△AOB中，AO=23，∠∴AB=4，OE=12由矩形的性質(zhì)，可得AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∴△AOB∽△BFC，∵C的縱坐標為1，∴BC=2=AD；在Rt△ADE中，DE=22當O、D、E三點共線時，OD=DE＋OE最大，此時OD=22故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)性質(zhì)求出相應線段，根據(jù)兩邊之和大于第三邊求出最大值是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形5．（2022·重慶·重慶市松樹橋中學校?？寄M預測）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c，則下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn):b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠BC．∠A:∠B:∠C=1:5:6 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯誤．【詳解】解：A、設a=3k，b=4k，c=5k，∵(3k)2即a2∴三角形是直角三角形，正確；B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，∴2∠C=180°，即∠C=90°，正確；C、設∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，又三角形內(nèi)角和定理得x+5x+6x=180,解得6x=90,故正確；D、設∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180，5x=75,故不是直角三角形，錯誤；故本題選擇D．【點睛】本題考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角．6．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)x，y，z滿足(x?5)2+y?12A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)平方式、算式平方根和絕對值的非負性求出x、y、z，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可.【詳解】解：∵實數(shù)x，y，z滿足(x?5)2∴x=5，y=12，z=13，∵52+122=132，∴x2+y2=z2∴以x，y，z的值為邊長的三角形是直角三角形，故選B.【點睛】本題考查平方式、算式平方根和絕對值的非負性、勾股定理的逆定理，熟練掌握非負性是解答的關(guān)鍵.7．（2022·安徽合肥·合肥38中?？家荒＃┮阎鰽BC的三邊長分別為a，b，c，選擇下列條件中的一個，能判斷△ABC是直角三角形的是（）①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可．【詳解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形，故①是直角三角形；②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，故②是直角三角形；③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，故③不是直角三角形；④∵a：b：c＝3：4：5，∴32+42＝52，∴a2+b2＝c2，故④是直角三角形；是直角三角形的三角形有3個①②④故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理逆定理的運用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數(shù)據(jù)的計算．題型03與直角三角形有關(guān)的面積計算8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則圖中陰影部分的面積是（

）A．83?4π B．83?2π C．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=43【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4∴AB=2BC=8，AC=8∴陰影部分的面積=S故選：A．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'．此時恰好點C在A'C'上，A'A．13 B．916 C．23【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'【詳解】∵∠A=30°,∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，由旋轉(zhuǎn)得：BC=BC'，∴△BCC∴∠CBC∴∠ABA∴∠BEA=90°，∠CBE=∠A=30°，設CE=α，則BC=2α，AC=2BC=4α，∴由勾股定理得BE=3α，∴AEAC∵△ABE與△ABC同高，∴△ABE與△ABC的面積之比為34故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊AB，AC于點P，Q；再分別以點P，Q為圓心，以大于12PQ的長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線AE交BC于點F.設△ABF，△ABC的面積分別為SA．12 B．13 C．13【答案】B【分析】根據(jù)作圖過程可知：AF是∠BAC的平分線，設BF=x，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，則在Rt△ABF中，【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：AF是∠BAC的平分線，∴∠BAF=∠CAF=1∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠BAC=60°∴∠BAF=∠CAF=1∴∠CAF=∠C=30°∴FA=FC設BF=x，則在Rt△ABF中，F(xiàn)A=2x∴FC=FA=2x，BC=BF+FC=x+2x=3x，∴S1=1∴S1故選B．【點睛】本題考查了角平分線的作圖，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）把一副三角尺如圖所示拼在一起，其中AC邊長是26，則△ACD的面積是（

A．42 B．6 C．43 【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到BC=AC2+AB2=【詳解】解：∵∠CAB＝90°，∠ACB＝∠ABC＝45°，AC＝26，∴AC＝AB＝26，∴BC=AC2∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，∴CD=3過A作AE⊥CD交DC的延長線于E，∴∠ECB＝90°，∴∠ACE＝45°，∴AE2+CE2＝AC2，∴AE=2∴△ACD的面積=12CD?AE=12×故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型04利用勾股定理求線段長12．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm，則水的最大深度為（

）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【答案】C【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為52cm，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得水的最大深度DE的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：AD=1∵⊙O的直徑為52cm，∴OA=OE=26cm，在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD=O∴DE=OE?OD=26?10=16cm，∴水的最大深度為16cm，故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．13．（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則AB的長是（A．5003 B．5035 C．60【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=3∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC故選D．【點睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，則OA的值為（

A．3 B．32 C．2 【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠OBC=90°，OC=5，BC=1∴OB=∵∠A=90°，∠AOB=30°，∴AB=1∴OA=O故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05利用勾股定理求面積15．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學?？家荒＃┤糁苯侨切蔚膬蛇呴L分別是方程x2?7x+12=0的兩根，則該直角三角形的面積是（A．6 B．12 C．12或372 【答案】D【分析】根據(jù)題意，先將方程x2【詳解】解方程x2?7x+12=0得x當3和4分別為直角三角形的直角邊時，面積為12當4為斜邊，3為直角邊時根據(jù)勾股定理得另一直角邊為42?3則該直角三角形的面積是6或37故選：D．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面積求解，熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．邊BC與FG在同一直線上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s

【答案】4+2或【分析】分兩種情況討論，當CD交EF于點H和AB交EG于點H時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵在等腰直角三角形EFG中，∴∠EFG=45°，當CD交EF于點H時，

∴∠HFC=∠FHC=45°，∴設CF=CH=x，由題意得12解得x=22，即CF=CH=2∴點C移動的距離為8+22所用時間為8+22當AB交EG于點H時，

∴∠HGB=∠BHG=45°，同理，得BG=BH=22∴CG=4?BG=4?22∵在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm∴FG=2∴點C移動的距離為8+102所用時間為12+82故答案為：4+2或6+4【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)．17．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，△BED是等腰直角三角形，AC經(jīng)過點E，過點B作BA⊥AC，過點D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求

【答案】34【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=DE，∠BED=90°，證明△AEB≌△CDEAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出CD=AE【詳解】解：∵△BED是等腰直角三角形，∴BE=DE，∠BED=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵BA⊥AC，∴∠A=90°，∴∠AEB+ABE=90°，∴∠ABE=∠CED，∵DC∥∴∠C=180°?∠A=90°=∠A，∴△AEB≌∴CD=AE，∵AC=10，CD=8，∴CE=AC?AE=2，在Rt△DCE中，由勾股定理得：D∴S△BDE【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△AEB≌題型06已知兩點坐標求兩點距離18．（2022·廣東中山·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標系中，點（3，﹣2）到原點的距離是_____．【答案】13【分析】根據(jù)兩點的距離公式計算求解即可．【詳解】解：由題意知點（3，﹣2）到原點的距離為3?0故答案為：13．【點睛】本題考查了用勾股定理求解兩點的距離公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握距離公式：Ax1,y119．（2022·寧夏銀川·銀川市第三中學校考模擬預測）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離P1P2=(x1?x(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點間的距離；(2)已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為﹣1，試求A、B兩點間的距離；(3)已知一個三角形各頂點坐標為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．【答案】(1)AB＝13(2)AB＝5(3)△DEF是等腰三角形，理由見解析【分析】(1)直接套公式(x(2)根據(jù)題干中“當兩點所在的直線平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|”即可求解；(3)套公式(x【詳解】（1）解：由題意可知A、B兩點間的距離為(2+3)2故A、B兩點間的距離為13．（2）解：由題意可知，直線AB平行y軸，∴A、B兩點之間的距離為4-(-1)=5．（3）解：△DEF是等腰三角形，理由如下：DE=(?2?1)EF=(4+2)DF=(4?1)∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形．【點睛】本題考查了平面直角坐標系中兩點之間距離的求法，其本質(zhì)是勾股定理的應用，讀懂題意即可求解．題型07判斷勾股數(shù)問題20．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，【答案】26【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m（m為偶數(shù)且m≥4），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，a=m（m為偶數(shù)且m≥4），則另一條直角邊b=m22則弦為102故答案為：26．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．21．（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=(1)當n=1999時，寫出整式A+B的值______（用科學記數(shù)法表示結(jié)果）；(2)求整式A2(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．【答案】(1)4×(2)((3)正確，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，A+B=n2+1+2n（2）把A=n2+1，B=2n，代入A（3）先計算B2+C【詳解】（1）解：A+B=n當n=1999時，原式=1999+1=2000=4×10故答案為：4×10（2）A2=n=n=(（3）嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：∵B=4n=n∴B∴當n取正整數(shù)時，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)．【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學記數(shù)法的計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．22．（2019·安徽馬鞍山·校聯(lián)考二模）若正整數(shù)a，b，c（a＜b＜c）滿足a2+b2＝c2，則稱（a，b，c）為一組“勾股數(shù)”．觀察下列兩類“勾股數(shù)”：第一類（a是奇數(shù)）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二類（a是偶數(shù)）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）請再寫出兩組勾股數(shù)，每類各寫一組；（2）分別就a為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情形，用a表示b和c，并選擇其中一種情形證明（a，b，c）是“勾股數(shù)”．【答案】（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）；（2）當a為奇數(shù)時，b=a2?12，c=a【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）當a為奇數(shù)時，當a為偶數(shù)時，根據(jù)勾股數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）第一組（a是奇數(shù)）：9，40，41（答案不唯一）；第二組（a是偶數(shù)）：12，35，37（答案不唯一）；（2）當a為奇數(shù)時，b=a2?1當a為偶數(shù)時，b=a24證明：當a為奇數(shù)時，a2+b2＝a2∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”．當a為偶數(shù)時，a2+b2＝a∴（a，b，c）是“勾股數(shù)”【點睛】本題考查了勾股數(shù)，數(shù)字的變化類﹣規(guī)律型，讀懂表格，從表格中獲取有用信息進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型08勾股定理與網(wǎng)格問題23．（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

）．A．355 B．175 C．3【答案】D【分析】過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=AD故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是∠ABC的平分線，則BD的長為（

）A．102 B．10 C．3102【答案】A【分析】利用勾股定理求出AB、BC、AC的長，可得△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形三線合一可得AD的值，繼續(xù)用勾股定理即可求出BD的值．【詳解】解：由題可知，AB=5，BC=32+∴AB=BC，又∵BD平分∠ABC，∴AD=12AC=∴BD=A故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，等腰三角形的三線合一，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．題型09勾股定理與無理數(shù)25．（2020·河南·模擬預測）小明學了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進行練習：首先畫數(shù)軸，原點為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A，然后過點A作AB⊥OA，使AB=3(如圖)．以O為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P，則點P所表示的數(shù)介于(

)A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C【分析】利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可求得答案.【詳解】由作法過程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=OA∴P點所表示的數(shù)就是13，∵9<∴3<13即點P所表示的數(shù)介于3和4之間，故選C.【點睛】本題考查了勾股定理和無理數(shù)的估算，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容以及無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵.26．（2022·廣東佛山·西南中學校考三模）勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦”．即c=a2+b2（a為勾，b為股，c為弦），若“勾”為2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先利用勾股定理求出“弦”，然后利用算術(shù)平方根的性質(zhì)估計其最接近的整數(shù)．【詳解】解：依題意“弦”為22而3.5=12.25∴“弦”最接近的整數(shù)是4．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用勾股定理進行計算，同時也利用了算術(shù)平方根的性質(zhì)估計無理數(shù)的大小．27．（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?1，O是原點，以AO為邊作正方形AOBC，以A為圓心、AB長為畫弧交數(shù)軸于P1、P2兩點，則點P1表示的數(shù)是_______，點P2表示的數(shù)是【答案】?2.40.4【分析】首先根據(jù)題意求得AO=BO=1，再利用勾股定理求得AB=2，然后根據(jù)題意可得A【詳解】解：∵點A表示的數(shù)是?1，O是原點，以AO為邊作正方形AOBC∴AO=BO=1∴AB=∵以A為圓心、AB長為畫弧交數(shù)軸于P1、P∴A∴點P1表示的數(shù)是?1?2≈?2.4；點P故答案是：?2.4；0.4【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理，還涉及到了正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等，能利用勾股定理求得AB=2題型10以直角三角形三邊為邊長的圖形面積28．（2020·浙江·一模）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3A．S1=S2 B．S2=【答案】A【分析】由勾股定理，由整個圖形的面積減去以BC為直徑的半圓的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】Rt△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2∴S2＝12＝18＝S1．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理、圓面積公式以及數(shù)學常識；熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．29．（2019·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·校聯(lián)考一模）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：（1）S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，∵a（2）S1=π4a2，S2=π4b2，S3=π4c2，∵a（3）S1=14a2，S2=14b2，S3=14c2，∵a（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，∵a2+b2綜上，可得：面積關(guān)系滿足S1+S2=S3圖形有4個．故選D．30．（2021·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1+S2+S3+S4等于____________．【答案】72．【分析】過D作BF的垂線交BF于N，連接DI，容易證得ΔACB?ΔBND，ΔACB?ΔAGE，則有SΔACB=SΔBND，SΔACB=S1；根據(jù)DN=CI，DN//CI，∠NCI=90°，可證得四邊形DNCI是矩形，即D、I、H三點共線，根據(jù)AAS可證ΔMND?ΔOCB，△EFM?△DIO則有SΔMND【詳解】解：如圖示，過D作BF的垂線交BF于N，連接DI，∵AB=AD，∠ACB=∠BND=90°∴∠CAB=∠NBD∴ΔACB?ΔBND，∴SΔACB同理可證ΔACB?ΔAGE，∴SΔACB∴DN=BC=CI，AC=BN，則有FC=BN∵∠DNC=∠ICB=∴DN//CI，∴四邊形DNCI是平行四邊形，∵∠NCI=90°，∴四邊形DNCI是矩形，∴∠DIC=90°，∴D、I、H三點共線，∵∠MDN+∠NDB=∠DBN+∠NDB=∴∠MDN=∠DBN又∵ND=CB，∠MND=∠OCB=90∴ΔMND?ΔOCB∴∠DMN=∠BOC，MN=OC，并有：SΔMND∴∵∠DMN=∠EMF，∠DOI=∠BOC，∴∠EMF=∠DOI∵∠DMN=∠EMF，∠DOI=∠BOC，∴∠EMF=∠DOI∵FC=BN∴FN=BC=CI∴FM+MN=CO+OI∴FM=OI∵∠EFM=∠DIO=∴△EFM?△DIO即：S∴S∴===3=3×=3×=72故答案為：72．【點睛】本題考查勾股定理的知識，將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結(jié)合和應用是解題的關(guān)鍵．31．（2020·新疆·統(tǒng)考二模）圖中是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的邊長為3,則正方形A、B、C、D的面積之和為_____________________．

【答案】9【分析】根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理得出正方形A、B、C、D的面積之和為正方形E的面積，然后代入正方形的邊長即可求解．【詳解】如圖，

∵所有的四邊形都是正方形，∴FJ=MN,IH=JG由勾股定理得，F(xiàn)J∴P∵正方形A的面積為PM2，B的面積為PN2∴正方形A、B、C、D的面積之和為P故答案為：9．【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．題型11利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系32．（2021·廣東深圳·明德學校?？家荒＃蔷€互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=2，BC=4，則AB2【答案】20【分析】由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AB2+CD2=AD2+BC故答案為：20.【點睛】本題主要考查四邊形的應用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運用勾股定理.33．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB2+C【分析】（1）連接AC,BD，先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線AC是線段BD的垂直平分線，再根據(jù)垂美四邊形的定義即可得證；（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理解答即可；（3）設CE分別交AB于點M，交BG于點N，連接BE,CG，先證明△GAB?△CAE，得到∠ABG=∠AEC，再根據(jù)角的和差可證∠BNM=90°，即CE⊥BG，從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形，然后結(jié)合（2）的結(jié)論、利用勾股定理進行計算即可得．【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖，連接AC,BD，∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，即AC⊥BD，∴四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想AB∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得：ADAB∴AB（3）如圖，設CE分別交AB于點M，交BG于點N，連接BE,CG，∵四邊形ACFG和四邊形ABDE都是正方形，∴∠CAG=∠BAE=90°,AG=AC,AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE∴△GAB?△CAESAS∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：CG∵AB是Rt△ACB的斜邊，且AC=4，AB=5，∴BC2=A在Rt△ACG中，CG在Rt△ABE中，BE∴9+GE解得GE=73或GE=?故GE的長為73．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵．34．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預測）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖1，連接AM，BN，求證：△AOM≌△BON：(2)如圖2，將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當點N恰好在AB邊上時，求證：BN【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過代換得對應角相等，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得對應邊相等，利用“SAS”即可證明△AOM≌△BON；（2）連接AM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用“SAS”證明△AOM≌△BON，得對應角相等，對應邊相等，從而可證∠MAN=90°，再根據(jù)勾股定理，結(jié)合線段相等進行代換，即可證明結(jié)論成立；【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，∴△AOM≌△BONSAS（2）證明：連接AM，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB?∠AON=∠MON?∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，∴△AOM≌△BONSAS∴∠MAO=∠NBO=45°，∴∠MAN=90°，∴AM∴BN【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理等知識點，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．35．（2022·北京石景山·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中點，E為邊AC上一動點（不與點A，C重合），連接DE，將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，過點F作FH⊥DE于點H，交射線BC于點G．(1)如圖1，當AE<EC時，比較∠ADE與∠BFG的大小；用等式表示線段BG與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當AE>EC時，依題意補全圖2，用等式表示線段DE,CG,AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠ADE=∠BFG，BG=2AE；證明見解析(2)圖見解析，A【分析】（1）在線段EC上取點P，使得PE=AE，連接BP，由四邊形內(nèi)角和360°及∠ABF=90°，∠DHF=90°，得到∠ADE=∠BFG，再證明△ABP≌△BFG，得到BG=2AE．（2）依據(jù)題意補全圖，在AE延長線上取一點P，使得AE=EP，連接BP，按照（1）中的方法證明△ABP≌△BFG，再運用勾股定理及中位線性質(zhì)得到，AC【詳解】（1）解：∠ADE=∠BFG，BG=2AE，理由如下：證明：如圖，在線段EC上取點P，使得PE=AE，連接BP．∵D是AB中點，PE=AE，∴DE∥BP．∴∠ADE=∠ABP．∵線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，∴BF=BA，∠ABF=90°．在四邊形BDHF中，∠DHF=90°，∴∠BDH+∠F=180°．∵∠BDH+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠F．∵∠ADE=∠ABP，∴∠ABP=∠F．∵∠ACB=90°，CB=CA，∴∠A=∠ABC=45°，∵∠ABF=90°，∴∠FBG=45°，∴∠A=∠FBG．∴△ABP≌△BFG．∴AP=BG．∵PE=AE，∴AP=2AE，∴BG=2AE．（2）解：補全圖形，如圖．AC證明：如圖，在AE延長線上取一點P，使得AE=EP，連接BP，∵線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF，∴BF=BA，∠ABF=90°．又∵∠ACB=90°，CB=CA，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠GBF=45°．在四邊形BDHF中，∠DHF=90°，∠ABF=90°，∴∠BDH+∠F=180°．∵∠BDH+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠F．∵D是AB中點，PE=AE，∴DE∥BP，∴∠ADE=∠ABP，∴∠ABP=∠F．在△ABP與△BFG中，∵∠A=∠GBFAB=BF∴△ABP≌∴AP=BG，∵AC=BC，∴AP?AC=BG?BC，即PC=GC．∵∠BCP=90°，∴BC∵D是AB中點，PE=AE，∴2DE=BP，∵CB=CA，PC=GC，∴AC2+C【點睛】本題考查了中位線性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的證明，其中構(gòu)造中位線從而證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型12勾股定理的證明方法36．（2023·北京大興·統(tǒng)考一模）下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．已知：如圖，直角三角形的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．求證：a2方法一如圖，大正方形的邊長為a+b，小正方形的邊長為c．證明方法二如圖，大正方形的邊長為c，小正方形的邊長為b?a．證明【答案】見解析【分析】利用面積法，根據(jù)大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積求解即可．【詳解】證明：方法一：由圖可得：a+ba∴a2方法二：由圖可得：4×12ab+∴a2【點睛】本題考查勾股定理的證明，利用數(shù)形結(jié)合，得出大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積是解題的關(guān)鍵．37．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預測）如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝a+b?c（2）小亮也發(fā)現(xiàn)了另一種求正方形邊長的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關(guān)系，請根據(jù)小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)論驗證勾股定理．【答案】（2）見解析；（3）見解析．【分析】（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形可得S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC，利用三角形面積公式得出等式，然后化簡即可得；（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)論化簡即可證明．【詳解】解：（2）∵S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC，∴1化簡可得：x=ab答：x與a、b、c的關(guān)系為x=ab（3）根據(jù)（1）和（2）得：x=ab即2ab=(a+b+c)(a+b?c)化簡得a2+b2＝c2．【點睛】題目主要考查三角形的面積及勾股定理的證明，理解題意，將等式化簡求解是解題關(guān)鍵．38．（2019·安徽滁州·?？级＃舅伎碱}】閱讀下面的情景對話，然后解答問題：老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．小華：等邊三角形一定是奇異三角形；小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？（1）①根據(jù)“奇異三角形”的定義，小紅得出命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”，請判斷小紅提出的命題是否正確，并填空：命題_（填“正確”或“不正確”），不要說嘛理由．②若某三角形的三邊