專項18-平行四邊形的性質(zhì)與判定-大題專練-專題培優(yōu)

平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練-重難點培優(yōu)一．解答題（共30小題）1．（江漢區(qū)期末）如圖，E，F(xiàn)是?ABCD對角線BD上兩點，且BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的長．2．（燈塔市期末）如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；（2）已知DE＝3，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．3．（新豐縣模擬）已知，如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，延長CD到點F，使得BE＝DF，連接EF，分別交BC，AD于點M，N，連接AM，CN．（1）求證：△BEM≌△DFN；（2）求證：四邊形AMCN是平行四邊形．4．（建鄴區(qū)二模）數(shù)學課上，陳老師布置了一道題目：如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC嗎？悅悅的思考：①如圖，延長DB至點E，使BE＝BA，延長DC至點F，使CF＝CA，連接AE、AF．②由AD是EF的垂直平分線，易證∠E＝∠F．③由∠E＝∠F，易證∠ABC＝∠ACB．④得到AB＝AC．如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．5．（海陵區(qū)校級期中）?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，O為AE中點，連接BO并延長交AD于F，連接EF．（1）判斷四邊形ABEF的形狀并說明理由；（2）若AB＝2，∠D＝60°，當△BFC為直角三角形時，求△BFC的周長．6．（秦淮區(qū)二模）圖，點E、F分別在?ABCD的邊AB、CD的延長線上，且BE＝DF，連接AC、EF、AF、CE，AC與EF交于點O．（1）求證：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，判斷四邊形AECF的形狀并證明．7．（鄂城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側(cè)．點P從點A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1個單位的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2個單位的速度運動，在線段QC上取點E，使得QE＝2，連結(jié)PE，設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的長；（2）請問是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．8．（贛榆區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，E為BC邊上一點，且AB＝AE．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度數(shù)．9．（西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，D是BC的中點，CE＝BE，CE∥AD（1）求證：DE＝AC；（2）連結(jié)AE，若AC＝2，BC＝6，求△AEB的周長．10．（岱岳區(qū)三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF．（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；（2）求證：∠ECF＝∠CEF．11．（南充模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝DF＝AD，AF與DE交于點G．（1）求證：AB＝BF．（2）當AB＝52，AD＝25，求DG的長．12．（叢臺區(qū)校級期末）已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，點E是CD的中點，過點C作CF∥AB交AE的延長線于點F．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：四邊形ACFD是平行四邊形．（3）若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的長．13．（青羊區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點E和點F是對角線AC上的兩點，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的長．14．（蓮湖區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是平行四邊形ABCD的對角線，AG∥BD交CB的延長線于點G．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（2）若AE＝DE，求∠G的度數(shù)．15．（揚州）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F，連接AF、CE．（1）若OE=32，求（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．16．（兩江新區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是CD，AB上的點，且AG＝CF，連接FG，BD交于點O．（1）求證：OB＝OD；（2）若∠A＝45°，DB⊥BC，當CD＝22時，求OC的長．17．（龍崗區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，BE⊥AC交AD于點G，DF⊥AC于點F，已知AF＝CE，AB＝CD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如果∠GBC＝∠BCD，AG＝6，GE＝2，求AB的長．18．（邗江區(qū)二模）如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，EA⊥AC，F(xiàn)C⊥AC．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求證：AB＝AF．19．（九龍坡區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，分別過A，C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接CE，AF．（1）求證：BE＝DF；（2）若AB＝4，EF=3，∠AFE＝45°，求△ABD20．（朝陽區(qū)校級月考）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點O．（1）求證：AD與BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，F(xiàn)C＝2，求AB的長．21．（揚中市期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA＝OC，AB∥CD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長．（3）若∠AOB＝2∠ADB時，則平行四邊形ABCD為形．22．（高新區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中AC、BD相交于點O，延長AD至點E，連接EO并延長交CB的延長線于點F，∠E＝∠F，AD＝BC．（1）求證：O是線段AC的中點：（2）連接AF、EC，證明四邊形AFCE是平行四邊形．23．（江都區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）過點D作DG⊥AE于點G，H為DG的中點．判斷CH與DG的位置關(guān)系，并說明理由．24．（建平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？25．（錦江區(qū)期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC交BC于點E，連接ED，且ED平分∠AEC．（1）求證：AE＝BC；（2）如圖2，過點C作CF⊥DE交DE于點F，連接AF，BF，猜想△ABF的形狀并證明．26．（道里區(qū)三模）已知：在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別為OB、OD的中點，連接AE并延長至點G，使EG＝AE，連接CF、CG．（1）如圖1，求證：EG＝FC；（2）如圖2，連接BG、OG，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中的四個平行四邊形，使寫出每個平行四邊形的面積都等于平行四邊形ABCD面積的一半．27．（南關(guān)區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延長BC到E，使CE＝3，連接DE，由直角三角形的性質(zhì)可知DE＝5．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．（t＞0）（1）當t＝3時，BP＝；（2）當t＝時，點P運動到∠B的角平分線上；（3）請用含t的代數(shù)式表示△ABP的面積S；（4）當0＜t＜6時，直接寫出點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等時t的值．28．（江夏區(qū)期末）已知，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，且AE＝AF．（1）如圖1，當EC＝4，AE＝8時，求?ABCD的對角線BD的長；（2）如圖2，若點M為CD的中點，連接EM，AM．求證：AM＝EM．29．（沙坪壩區(qū)校級月考）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠DAC＝60°，點E是BC邊上一點，連接AE，AE＝AB，點F是對角線AC邊上一動點，連接EF．（1）如圖1，若點F與對角線交點O重合，已知BE＝4，OC：EC＝5：3，求AC的長度；（2）如圖2，若EC＝FC，點G是AC邊上一點，連接BG、EG，已知∠AEG＝60°，∠AGB+∠BCD＝180°，求證：BG+EG＝DC．30．（沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作OE⊥BC交BC于點E．過點O作FG⊥AB交AB、CD于點F、G．（1）如圖1，若BC＝5，OE＝3，求平行四邊形ABCD的面積；（2）如圖2，若∠ACB＝45°，求證：AF+FO=2EG

平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練-重難點培優(yōu)（解析版）一．解答題（共30小題）1．（江漢區(qū)期末）如圖，E，F(xiàn)是?ABCD對角線BD上兩點，且BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）連接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的長．【分析】（1）連接AC，交BD于點O，由平行四邊形的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OD，證得OE＝OF，則即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BF＝5，證出四邊形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，則OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．【解析】（1）證明：連接AC，交BD于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，∴BF=A∵四邊形AECF是平行四邊形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，∴四邊形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，解得：OF＝1.8，∴OA=3∴AC＝2OA＝4.8．2．（燈塔市期末）如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；（2）已知DE＝3，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線定義可以證明CN＝CB＝DE．【解析】（1）證明：∵∠A＝∠F，∴DF∥AC，∴∠C＝∠FEC，又∵∠C＝∠D，∴∠FEC＝∠D，∴DB∥EC，∴四邊形BCED是平行四邊形；（2）∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN，∵BD∥EC，∴∠DBN＝∠BNC，∴∠CBN＝∠BNC，∴CN＝BC，又∵BC＝DE＝3，∴CN＝3．3．（新豐縣模擬）已知，如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，延長CD到點F，使得BE＝DF，連接EF，分別交BC，AD于點M，N，連接AM，CN．（1）求證：△BEM≌△DFN；（2）求證：四邊形AMCN是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAD＝∠ADF，∠EBC＝∠BCD，∠E＝∠F，求出∠ADF＝∠EBC，根據(jù)全等三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)全等求出DN＝BM，求出AN＝CM，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADF，∠EBC＝∠BCD，∠E＝∠F，∴∠ADF＝∠EBC，在△DFN和△BEM中∠F=∠EDF=BE∴△DFN≌△BEM（ASA）；（2）四邊形ANCM是平行四邊形，理由是：∵由（1）知△DFN≌△BEM，∴DN＝BM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，且AD∥BC，∴AD﹣DN＝BC﹣BM，∴AN＝CM，AN∥CM，∴四邊形ANCM是平行四邊形．4．（建鄴區(qū)二模）數(shù)學課上，陳老師布置了一道題目：如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC嗎？悅悅的思考：①如圖，延長DB至點E，使BE＝BA，延長DC至點F，使CF＝CA，連接AE、AF．②由AD是EF的垂直平分線，易證∠E＝∠F．③由∠E＝∠F，易證∠ABC＝∠ACB．④得到AB＝AC．如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】如圖①，延長DB至點E，使BE＝BA，延長DC至點F，使CF＝CA，連接AE、AF．則∠BAE＝∠E，∠CAF＝∠F，證出AD是EF的垂直平分線，則AE＝AF，由等腰三角形的性質(zhì)得∠E＝∠F，證出∠ABC＝∠ACB，即可得出AB＝AC．如圖②，在DA的延長線上取點M，使AM＝AB，在BC的延長線上取點N，使CN＝CD，連接BM、DN，先證四邊形MBND是平行四邊形，得MB＝ND，∠M＝∠N，再證△ABM≌△CDN（ASA），得AM＝CN，證出AD＝BC，即可得出結(jié)論．【解析】如圖①，解：AB＝AC，理由如下：延長DB至點E，使BE＝BA，延長DC至點F，使CF＝CA，連接AE、AF．則∠BAE＝∠E，∠CAF＝∠F，∵AB+BD＝AC+CD，∴BE+BD＝CF+CD，即DE＝DF，∴AD是EF的垂直平分線，∴AE＝AF，∴∠E＝∠F，∴∠E＝∠F＝∠BAE＝∠CAF，∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．如圖②，證明：在DA的延長線上取點M，使AM＝AB，在BC的延長線上取點N，使CN＝CD，連接BM、DN，則∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN，∵AB+AD＝CD+CB，且AM＝AB，CN＝CD，∴AM+AD＝CN+CB，即DM＝BN，又∵AD∥BC，∴四邊形MBND是平行四邊形，∴MB＝ND，∠M＝∠N，∴∠ABM＝∠CDN，在△ABM和△CDN中，∠M=∠NMB=ND∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM＝CN，∵DM＝BN，∴DM﹣AM＝BN﹣CN，即AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．5．（海陵區(qū)校級期中）?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，O為AE中點，連接BO并延長交AD于F，連接EF．（1）判斷四邊形ABEF的形狀并說明理由；（2）若AB＝2，∠D＝60°，當△BFC為直角三角形時，求△BFC的周長．【分析】（1）由△AOF≌△EOB，推出AF＝BE，由AF∥BE，可得四邊形ABEF是平行四邊形，再證明AB＝BE即可解決問題；（2）分∠CBF不為直角和∠BFC＝90°兩種情況求得周長即可．【解析】（1）四邊形ABEF是菱形；理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥BE，∴∠FAO＝∠BEO，∵∠AOF＝∠EOB，OA＝OE，∴△AOF≌△EOB，∴AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∵∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE，∴四邊形ABEF是菱形．（2）∵∠BAE＝∠B＝60°，∴∠CBF不可能為直角；當∠BCF＝90°時，BF＝2OB=23，CF=3，BC＝3，此時△BFC的周長為當∠BFC＝90°時，BC＝4，CF＝2，BF=23，此時△BFC的周長為6+2所以△BFC的周長為6+23或3+36．（秦淮區(qū)二模）圖，點E、F分別在?ABCD的邊AB、CD的延長線上，且BE＝DF，連接AC、EF、AF、CE，AC與EF交于點O．（1）求證：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，判斷四邊形AECF的形狀并證明．【分析】（1）要證明線段AC與EF互相平分，可以把這兩條線段作為一個四邊形的對角線，然后證明這個四邊形是平行四邊形即可；（2）要證四邊形AECF是菱形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC．又∵BE＝DF，∴AB+BE＝DC+DF，即AE＝CF．∵AE＝CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∴AC、EF互相平分．（2）四邊形AECF是菱形．證明：∵AB∥DC，∴∠AEO＝∠CFO．∵EF平分∠AEC，∴∠AEO＝∠CEO．∴∠CEO＝∠CFO．∴CE＝CF．∵四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是菱形．7．（鄂城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側(cè)．點P從點A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1個單位的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2個單位的速度運動，在線段QC上取點E，使得QE＝2，連結(jié)PE，設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的長；（2）請問是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）作AM⊥BC于M，由已知條件得出AB＝AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BM＝CM，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AM=12BC＝5，證出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2（2）由平行四邊形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．【解析】（1）作AM⊥BC于M，設(shè)AC交PE于N．如圖所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM=12∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t=73，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，則AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，t＝4或12．8．（贛榆區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，E為BC邊上一點，且AB＝AE．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）先證明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可進行全等的證明；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度數(shù)，即可得∠AED的度數(shù)．【解析】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠EAD，在△ABC和△EAD中，AB=AE∠ABC=∠EAD∴△ABC≌△EAD（SAS）．（2）解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠BAE＝50°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝75°．9．（西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，D是BC的中點，CE＝BE，CE∥AD（1）求證：DE＝AC；（2）連結(jié)AE，若AC＝2，BC＝6，求△AEB的周長．【分析】（1）由∠ACB＝90°，DE⊥BC，CE∥AD，易證得四邊形ACED是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等，即可求得DE的長；（2）首先利用勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴DE＝AC；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，∴AB=AC2過E作EF⊥AC的延長線于F，∴CF＝DE＝AC＝2，EF＝CD=12∴AE=A∵BE=B∴△AEB的周長＝AB+BE+AE＝210+10．（岱岳區(qū)三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF．（1）若∠ADC＝80°，求∠ECF；（2）求證：∠ECF＝∠CEF．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，由線段中點的定義得到AF＝FD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DFC＝∠DCF=1（2）如圖，延長EF，交CD延長線于M，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠MDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到FC=12EM＝【解析】（1）∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵F是AD的中點，∴AF＝FD，∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF=1∵CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，∴∠ECF＝90°﹣50°＝40°；（2）如圖，延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，∠A=∠FDMAF=DF∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC=12EM＝∴∠ECF＝∠CEF．11．（南充模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝DF＝AD，AF與DE交于點G．（1）求證：AB＝BF．（2）當AB＝52，AD＝25，求DG的長．【分析】（1）先證△BCF≌△DCE，再證四邊形ABED是平行四邊形，從而得AB＝DE＝BF．（2）延長AF交BC延長線于點M，設(shè)EC＝FC＝x，在Rt△DEC中，由勾股定理可得x的值，再證明點G是DE的中點即可求出DG的長．【解析】（1）證明：∵BC＝CD，BE＝DF，∴CF＝CE，在△BCF與△DCE中，CF=CE∠C=∠C=90°∴△BCF≌△DCE，∴BF＝DE，∵AD∥BC，BE＝AD，∴四邊形ABED是平行四邊形；∴AB＝DE，∴AB＝BF．（2）由（1）可得AB＝DE＝52，設(shè)EC＝FC＝x，在Rt△DEC中，由勾股定理可得x2+（x+25）2＝（52）2，解得：x=5延長AF交BC延長線于點H，∵AD∥BC，∴∠1＝∠H，∵AD＝DF，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠H，∴FC＝CH，∵EH＝2x＝25，∴AD＝EH，∵AD∥BC，∴DG＝EG，∴DG=12DE12．（叢臺區(qū)校級期末）已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，點E是CD的中點，過點C作CF∥AB交AE的延長線于點F．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：四邊形ACFD是平行四邊形．（3）若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)點E是CD的中點，可得DE＝CE，根據(jù)CF∥AB，可得∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，進而利用AAS可以證明△ADE≌△FCE；（2）結(jié)合（1）的CF＝AD，再由CF∥AB，即可證明四邊形ACFD是平行四邊形；（3）結(jié)合（1）先證明四邊形DCFB是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝DB，得平行四邊形DCFB是菱形，由∠DCF＝120°，可得△CDB是等邊三角形，由DE＝2，即可求BC的長．【解析】（1）∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，在△ADE和△FCE中，∠ADE=∠FCE∠DAE=∠CFE∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）證明：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，又CF∥AB，∴四邊形ACFD是平行四邊形；（3）∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AD＝CF，∴BD＝CF，又CF∥AB，∴四邊形DCFB是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，∴DC＝AD＝BD，∴平行四邊形DCFB是菱形，∴∠DCF＝120°，∴∠CDB＝60°，∴△CDB是等邊三角形，∴BC＝CD＝2DE＝4，答：BC的長為4．13．（青羊區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，點E和點F是對角線AC上的兩點，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的長．【分析】（1）證△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，證出AD∥CB，即可得到結(jié)論；（2）證∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，則CF＝AE＝3，即可得出答案．【解析】（1）證明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，在△ADF和△CBE中，AF=CE∠DFA=∠BEC∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE＝3，∴CF＝AE＝3，∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．14．（蓮湖區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是平行四邊形ABCD的對角線，AG∥BD交CB的延長線于點G．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形．（2）若AE＝DE，求∠G的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，DC∥AB，DC＝AB，推出DF＝BE，DF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）先證明四邊形AGBD是平行四邊形，再證出∠ADB＝90°，得到四邊形AGBD為矩形，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴BE=1∴BE＝DF．∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BG，∵AG∥BD，∴四邊形AGBD是平行四邊形，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE=12∵AE＝DE，∴AE＝DE＝BE，即DE=12∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，∴平行四邊形AGBD是矩形．∴∠G＝90°．15．（揚州）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F，連接AF、CE．（1）若OE=32，求（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，進而得出（2）先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC，即可得到四邊形AECF是菱形．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3∴EF＝2OE＝3；（2）四邊形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．16．（兩江新區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是CD，AB上的點，且AG＝CF，連接FG，BD交于點O．（1）求證：OB＝OD；（2）若∠A＝45°，DB⊥BC，當CD＝22時，求OC的長．【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出∠ODF＝∠OBG，BG＝DF，判定△DOF≌△BOG，即可得到OB＝OD；（2）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出△BCD是等腰直角三角形，進而得到BC，BO的長，再根據(jù)勾股定理即可得到OC的長．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ODF＝∠OBG，∵AG＝CF，∴BG＝DF，在△DOF和△BOG中，∠DOF=∠BOG∠ODF=∠OBG∴△DOF≌△BOG（AAS），∴OB＝OD；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝45°，∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠BDC＝∠BCD＝45°，∴DB＝CB，又∵CD＝22，∴CB＝DB＝2，∴OB＝1，∴Rt△BCO中，OC=B17．（龍崗區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，BE⊥AC交AD于點G，DF⊥AC于點F，已知AF＝CE，AB＝CD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如果∠GBC＝∠BCD，AG＝6，GE＝2，求AB的長．【分析】（1）證Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），得∠BAE＝∠DCF，證出AB∥CD，由AB＝CD，即可證出四邊形ABCD是平行四邊形；（2）證四邊形BCDG是等腰梯形，得BG＝CD＝AB，由勾股定理得AE＝42，設(shè)AB＝BG＝x，則BE＝x﹣2，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）證明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，在Rt△ABE和Rt△CDF中，AB=CDAE=CF∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAE＝∠DCF，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：由（1）得：四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴DG∥BC，∵∠GBC＝∠BCD，∴四邊形BCDG是等腰梯形，∴BG＝CD＝AB，∵AE=AG2設(shè)AB＝BG＝x，則BE＝x﹣2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：（42）2+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝9，∴AB＝9．18．（邗江區(qū)二模）如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，EA⊥AC，F(xiàn)C⊥AC．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求證：AB＝AF．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及垂直于同一直線的兩直線平行，可推得判定△ABE和△CDF全等的條件，從而利用SAS判定△ABE≌△CDF；（2）過點A作AG⊥EC于點G，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)、直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半和30°角所對直角邊等于斜邊的一半，可得AG=12EC=12【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴AF∥EC，∵EA⊥AC，F(xiàn)C⊥AC，∴EA∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∴EC＝AF，∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF，∴在△ABE和△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）過點A作AG⊥EC于點G，如圖所示：∵EA⊥AC，∠AEC＝45°，∴△AEC為等腰直角三角形，∵AG⊥EC，∴AG=12EC=∵∠B＝30°，∴AG=12∴12AF=1∴AB＝AF．19．（九龍坡區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，分別過A，C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接CE，AF．（1）求證：BE＝DF；（2）若AB＝4，EF=3，∠AFE＝45°，求△ABD【分析】（1）證△ABE≌△CDF（AAS），即可得出結(jié)論；（2）先證△AEF是等腰直角三角形，得AE＝EF=3，再由勾股定理得BE=13，則BD＝BE+EF+DF＝2【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）解：∵AE⊥BD，∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF=3∴BE=A由（1）得：DF＝BE=13∴BD＝BE+EF+DF＝213+∴△ABD的面積=12BD×AE=12×20．（朝陽區(qū)校級月考）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點O．（1）求證：AD與BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，F(xiàn)C＝2，求AB的長．【分析】（1）先證△ABC≌△DEF（ASA），得AB＝DE，再證四邊形ABDE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）先求出BF＝3，則AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝5，然后由勾股定理即可得出答案．【解析】（1）證明：如圖，連接BD、AE，∵FB＝CE，∴BC＝EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠DEFBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AD與BE互相平分；（2）解：∵FB＝CE，∴BE＝2BF+FC，∴BF=BE?FC∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，∵AB⊥AC，∴由勾股定理得：AB=B21．（揚中市期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OA＝OC，AB∥CD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長．（3）若∠AOB＝2∠ADB時，則平行四邊形ABCD為矩形．【分析】（1）運用ASA證明△ABO≌△CDO得AB＝CD，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出∠ABE＝∠AEB，繼而可得AB＝AE，然后根據(jù)已知可求得DE的長度；（3）由∠AOB＝2∠ADB可得∠OAD＝∠ADO，由平行四邊形的性質(zhì)可得AC＝BD，從而可得結(jié)論．【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，在△ABO和△DCO中，∠BAO=∠DCOAO=CO∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB，∵BC﹣AB＝2，∴DE＝2；（3）∵∠AOB是△ADO的外角，∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA，∵∠AOB＝2∠ADB，∠OAD＝∠ODA，∴AO＝DO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，DO＝BO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．故答案為：矩．22．（高新區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中AC、BD相交于點O，延長AD至點E，連接EO并延長交CB的延長線于點F，∠E＝∠F，AD＝BC．（1）求證：O是線段AC的中點：（2）連接AF、EC，證明四邊形AFCE是平行四邊形．【分析】（1）證明四邊形ABCD是平行四邊形，則結(jié)論得出；（2）證明△OAE≌△OCF（ASA）．則OE＝OF，可得出結(jié)論．【解析】證明：（1）∵∠E＝∠F，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC，BD互相平分；即O是線段AC的中點．（2）∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△OAE和△OCF中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△OAE≌△OCF（ASA）．∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．23．（江都區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）過點D作DG⊥AE于點G，H為DG的中點．判斷CH與DG的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用ASA即可證明．（2）結(jié)論：CH⊥DG．利用三角形中位線定理，證明CH∥AF即可解決問題．【解析】（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF∵E為BC的中點，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∠B=∠ECFBE=EC∴△ABE≌△FCE．（2）結(jié)論：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴DC＝CF，∵H為DG的中點，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．24．（建平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示：AP＝t；DP＝12﹣t；BQ＝15﹣2t；CQ＝2t．（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？【分析】（1）根據(jù)速度、路程以及時間的關(guān)系和線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的長（2）當AP＝BQ時，四邊形APQB是平行四邊形，建立關(guān)于t的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的t值即可；（3）當PD＝CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形；建立關(guān)于t的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的t值即可．【解析】（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t（2）根據(jù)題意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．∵AD∥BC，∴當AP＝BQ時，四邊形APQB是平行四邊形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s時四邊形APQB是平行四邊形；（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，如圖1，∵AD∥BC，∴當PD＝QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴當t＝4s時，四邊形PDCQ是平行四邊形．25．（錦江區(qū)期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC交BC于點E，連接ED，且ED平分∠AEC．（1）求證：AE＝BC；（2）如圖2，過點C作CF⊥DE交DE于點F，連接AF，BF，猜想△ABF的形狀并證明．【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到AD＝BC，依據(jù)∠AED＝∠ADE，即可得出AE＝AD，進而得到AE＝BC；（2）判定△AEF≌△BCF（SAS），即可得到AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，進而得出∠AFB＝∠EFC＝90°，即可得到△ABF是等腰直角三角形．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，又∵ED平分∠AEC，∴∠ADE＝∠CED＝45°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）△ABF是等腰直角三角形，證明：∵CF⊥DE，∴∠CFE＝90°，又∵∠CEF＝45°，∴∠ECF＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，∴EF＝CF，在△AEF和△BCF中，AE=BC∠AEF=∠BCF∴△AEF≌△BCF（SAS），∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，即∠AFB＝∠EFC＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形．26．（道里區(qū)三模）已知：在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別為OB、OD的中點，連接AE并延長至點G，使EG＝AE，連接CF、CG．（1）如圖1，求證：EG＝FC；（2）如圖2，連接BG、OG，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中的四個平行四邊形，使寫出每個平行四邊形的面積都等于平行四邊形ABCD面積的一半．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行線的性質(zhì)得∠ABE＝∠CDF，易證BE＝DF，由SAS證得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四邊形ABCD＝4S△ABO，易證AG、OB互相平分，則四邊形ABGO是平行四邊形，S四邊形ABGO＝2S△ABO=12S四邊形ABCD，易證OE是△ACG的中位線，則OE∥CG，易證四邊形BOCG是平行四邊形，S四邊形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO=12S四邊形ABCD，證GO∥CD，GO＝CD，則四邊形CDOG是平行四邊形，S四邊形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO=12S四邊形ABCD，證CG∥EF，EF＝CG，則四邊形EFCG是平行四邊形，S四邊形EFCG＝S四邊形【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴BE=12OB，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝FC，∵EG＝AE，∴EG＝FC；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四邊形ABCD＝4S△ABO，∵EG＝AE，點E為OB的中點，∴AG、OB互相平分，∴四邊形ABGO是平行四邊形，∴S△ABO＝S△BGO，∴S四邊形ABGO＝2S△ABO=12S四邊形∵OA＝OC，EG＝AE，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，∵四邊形ABGO是平行四邊形，∴BG∥AC，∴四邊形BOCG是平行四邊形，∴S四邊形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO=12S四邊形∵四邊形ABGO是平行四邊形，∴GO∥AB，GO＝AB，∵AB∥CD，∴GO∥CD，GO＝CD，∴四邊形CDOG是平行四邊形，∴S四邊形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO=12S四邊形∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴EF=12BD＝∵四邊形CDOG是平行四邊形，∴CG∥EF，CG＝OD，∴EF＝CG，∴四邊形EFCG是平行四邊形，∴S四邊形EFCG＝S四邊形CDOG=12S四邊形∴圖中的平行四邊形ABGO、平行四邊形BOCG、平行四邊形CDOG、平行四邊形EFCG四個平行四邊形，每個平行四邊形的面積都等于平行四邊形ABCD面積的一半．27．（南關(guān)區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延長BC到E，使CE＝3，連接DE，由直角三角形的性質(zhì)可知DE＝5．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．（t＞0）（1）當t＝3時，BP＝6；（2）當t＝8時，點P運動到∠B的角平分線上；（3）請用含t的代數(shù)式表示△ABP的面積S；（4）當0＜t＜6時，直接寫出點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等時t的值．【分析】（1）根據(jù)題意可得BP＝2t，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四邊形ABCD是矩形，根據(jù)角平分線定義可得AF＝AB＝4，得DF＝4，進而可得t的值；（3）根據(jù)題意分3種情況討論：①當點P在BC上運動時，②當點P在CD上運動時，③當點P在AD上運動時，分別用含t的代數(shù)式表示△ABP的面積S即可；（4）當0＜t＜6時，點P在BC、CD邊上運動，根據(jù)題意分情況討論：①當點P在BC上，點P到AD邊的距離為4，點P到AB邊的距離也為4，②當點P在BC上，點P到AD邊的距離為4，點P到DE邊的距離也為4，③當點P在CD上，點P到AB邊的距離為8，但點P到AB、BC邊的距離都小于8，進而可得當t＝2s或t＝3s時，點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等．【解析】（1）BP＝2t＝2×3＝6，故答案為：6；（2）作∠B的角平分線交AD于F，∴∠ABF＝∠FBC，∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝4，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，∴2t＝16，解得t＝8．∴當t＝8時，點P運動到∠ABC的角平分線上；故答案為：8；（3）根據(jù)題意分3種情況討論：①當點P在BC上運動時，S△ABP=12×BP×AB=12×2②當點P在CD上運動時，S△ABP=12×AB×BC=③當點P在AD上運動時，S△ABP=12×AB×AP=12×4×（20﹣2（4）當0＜t＜6時，點P在BC、CD邊上運動，根據(jù)題意分情況討論：①當點P在BC上，點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等，∴點P到AD邊的距離為4，∴點P到AB邊的距離也為4，即BP＝4，∴2t＝4，解得t＝2s；②當點P在BC上，點P到AD邊的距離為4，∴點P到DE邊的距離也為4，∴PE＝DE＝5，∴PC＝PE﹣CE＝2，∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；③當點P在CD上，如圖，過點P作PH⊥DE于點H，點P到DE、BE邊的距離相等，即PC＝PH，∵PC＝2t﹣8，∴PD＝DC﹣PC＝12﹣2t，∴2t?812?2t解得t=19綜上所述：t＝2s或t＝3s或t=194s時，點P到四邊形28．（江夏區(qū)期末）已知，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，且AE＝AF．（1）如圖1，當EC＝4，AE＝8時，求?ABCD的對角線BD的長；（2）如圖2，若點M為CD的中點，連接EM，AM．求證：AM＝EM．【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理可得AB＝AD，再根據(jù)菱形的判定可得四邊形ABCD是菱形，然后利用勾股定理分別求出BC、AC的長，最后利用等面積法即可得解；（2）如圖，先根據(jù)三角形