高等數(shù)學（第五版）課件 3.1導數(shù)的概念

第三章

導數(shù)與微分第三章導數(shù)與微分

在自然科學的許多領域中，當研究運動的各種形式時，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度，如物體運動的速度、線速度、化學反應速度以及生物繁殖率等；而當物體沿曲線運動時，還需要考慮速度的方向，即曲線的切線問題．所有這些在數(shù)量上都歸結為函數(shù)的變化率，即導數(shù)．

第一節(jié)導數(shù)的概念

第二節(jié)導數(shù)的運算法則

第三節(jié)函數(shù)的微分

第四節(jié)MATLAB數(shù)學實驗（三）

導數(shù)思想最早由法國數(shù)學家

Ferma在研究極值問題中提出.微積分學的創(chuàng)始人:英國數(shù)學家

Newton德國數(shù)學家

Leibniz微分學導數(shù)

描述函數(shù)變化快慢微分

描述函數(shù)變化程度導數(shù)的概念速度切線導數(shù)的概念

本節(jié)由實例給出了一元函數(shù)的導數(shù)和高階導數(shù)的概念，由此歸納出了求函數(shù)導數(shù)的一般法則，介紹了導數(shù)的幾何意義，并給出了可導和連續(xù)的關系.兩個實例

兩個實例：

微分學的第一個最基本的概念——導數(shù)，來源于實際中兩個最典型的樸素概念：速度與切線.兩個實例

兩個實例

引例3.1：

變速直線運動的瞬時速度

設一質點自原點開始作直線運動，已知運動方程，現(xiàn)在求質點

在時刻的瞬時速度.

當時間

在

有一增量

時，質點

在

這段時間內走過的路程為圖3.1于是，比值兩個實例

引例3.1：

變速直線運動的瞬時速度

設一質點自原點開始作直線運動，已知運動方程，現(xiàn)在求質點

在時刻的瞬時速度.圖3.1

當時間

在

有一增量

時，質點

在

這段時間內走過的路程為引例3.2：

平面曲線的切線斜率

設

為曲線

上的一點，當自變量

在點

處取得增量

時，在曲線

相應地得到另一點連接此兩點得割線

，設其與

軸的夾角為

，則割線的斜率為.兩個實例

兩個實例

圖3.1引例31：

變速直線運動的瞬時速度

設一質點自原點開始作直線運動，已知運動方程，現(xiàn)在求質點

在時刻的瞬時速度.

當時間

在

有一增量

時，質點

在

這段時間內走過的路程為于是，比值兩個實例

設

為曲線

上的一點，當自變量

在點

處取得增量

時，在曲線

相應地得到另一點連接此兩點得割線

，設其與

軸的夾角為

，則割線

的斜率為.兩個實例

引例3.2：

平面曲線的切線斜率思路分析思路分析（1）求函數(shù)增量

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（2）求比值

x

x

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（3）求極限1.函數(shù)

在點

處的導數(shù)

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)導數(shù)的定義

定義3.1：

設函數(shù)

在點

的某個鄰域內有定義，導數(shù)的定義

定義3.1設函數(shù)

在點

的某個鄰域內有定義，即：記為：若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)

在點

處的導數(shù)，并稱函數(shù)

在點

處可導.1.函數(shù)

在點

處的導數(shù)如果極限不存在，則稱函數(shù)

在點

不可導.若令

，則有

，當

時

，可得等價表達式導數(shù)的定義左右導數(shù)

既然極限問題有左極限、右極限之分，而函數(shù)

在點

的導數(shù)是用一個極限式定義的，自然就有左導數(shù)和右導數(shù)的問題.導數(shù)的概念定義3.2

若

和

分別記為函數(shù)

在點

處的左導數(shù)和右導數(shù)，則可定義如下：導數(shù)的概念定理3.1根據(jù)左、右極限的性質，有下面定理：

函數(shù)

在點

的左、右導數(shù)存在且相等的充要條件是函數(shù)

在點

可導.導數(shù)的概念若函數(shù)

在

內的每一點處都可導，則稱函數(shù)

在內可導，其導數(shù)值是隨

的變化而變化的函數(shù)，稱為導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記為

，

或顯然，函數(shù)

在點

處的導數(shù)

等于

在點

處的函數(shù)值，即：

根據(jù)左、右極限的性質，有下面定理：導數(shù)的概念引例3.3:【變速直線運動的瞬時加速度】

我們知道，變速直線運動的速度

是距離

對時間

的導數(shù)，即

或

，而速度

也是時間

的函數(shù)，它對時間的導數(shù)則是物體在時刻

的瞬時加速度，即

這種導數(shù)的導數(shù)

或

叫做

對

的二階導數(shù)，記作

或

.導數(shù)的概念定義3.3

如果函數(shù)

的導數(shù)

在點

處可導，則稱

在點

處的導數(shù)為函數(shù)

在點

處的二階導數(shù)，記為

或.類似地，如果二階導數(shù)

的導數(shù)仍然存在，就將二階導數(shù)的導數(shù)稱為的三階導數(shù)，記為

或.一般地，如果

階導數(shù)的導數(shù)存在，就稱

階導數(shù)的導數(shù)為函數(shù)

的

階導數(shù)，記為或高階導數(shù)

（2）算比值：（3）取極限：求

的導數(shù)．例3.1（1）求增量：

解：習題講解即：類似地，有（2）算比值：（3）取極限：設

求例3.2（1）求增量：

解：習題講解由

知

求函數(shù)在某點的導數(shù)，一般是先求導函數(shù)，然后求導函數(shù)在該點的函數(shù)值，所以，

即可.

一般地，對于冪函數(shù)

（

為任意實數(shù)），有：

求已知函數(shù)

的導數(shù)

的運算，稱為求導運算.由導數(shù)定義，只要計算極限導數(shù)的概念（1）

（

為常數(shù)）;（2）

（

為任意實數(shù)）；（3）

（4）（5）

（6）（7）

（8）基本導數(shù)公式（9）

（10）

（11）

（12）（13）

（14）（15）

（16）基本導數(shù)公式導數(shù)的定義例3.3解:先求一階導數(shù)求函數(shù)

的二階導數(shù).再求函數(shù)的二階導數(shù)思考與練習設

求

.導數(shù)的幾何意義

由引例3.2可知，函數(shù)

在點

處的導數(shù)

的幾何意義是曲線

在點

處切線的斜率，即若

存在不為零，曲線

在點

處的切線方程為

法線方程為若

則曲線

在點

處的切線平行于

軸，切線方程為

法線方程為若

則曲線

在點

處的切線垂直于

軸，切線方程為

法線方程為導數(shù)的幾何意義

例3.4求拋物線

在點

處的切線方程和法線方程.

解：因為

由導數(shù)的幾何意義知，曲線

在點處的切線斜率為

因此，所求的切線方程為即

法線方程為

即習題講解例3.5問：曲線

上在哪一點的切線平行于直線

解:因為

且所求切線與直線

平行，得

即

解得

即曲線

在

處的切線平行于直線習題講解求曲線

在點

處的切線方程和法線方程.思考與討論定理3.2可導與連續(xù)

如果函數(shù)

在點

處可導，則它在點

處一定連續(xù).證：由

在點

處可導，即

而

所以故函數(shù)

在點

處連續(xù).

注：（1）函數(shù)

在

處連續(xù)，但在點

處不一定可導;（2）若

在

處不連續(xù)，則一定在點

處不可導.即

所以

在

處不可導.討論函數(shù)

在

處的連續(xù)性與可導性.例3.6解：函數(shù)

在

的左、右導數(shù)分別為可導與連續(xù)

討論函數(shù)

在

處的連續(xù)性與可導性.例3.

7解：（1）連續(xù)性：因為

由函數(shù)在一點連續(xù)的定義知，

在

處連續(xù).（2）可導性：因為

極限不存在，所以

在

處不可導.可導與連續(xù)

思考與討論討論：

函數(shù)

在

和

處的連續(xù)性與可導性.升學直通車

1.