高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 6.1.1定積分的概念

定積分及其應(yīng)用定積分的概念定積分的概念

引例

曲邊梯形的面積

所謂曲邊梯形是指在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線

，直線(且)，以及

軸所圍成的圖形，如圖所示．1.什么是曲邊梯形的面積？定積分的概念

引例

曲邊梯形的面積2.為什么研究曲邊梯形的面積？

討論曲邊梯形的面積具有普遍的意義，如圖所表示的平面圖形的面積，就是曲邊梯形

與曲邊梯形

面積之差．

解決這個(gè)問題的困難之處在于曲邊梯形的上部邊界是一條曲線，在中學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些規(guī)則的平面圖形（如矩形、三角形、梯形等）面積的計(jì)算問題。

計(jì)算曲邊梯形面積的步驟:

(1)若把曲邊梯形分割成許多細(xì)小的曲邊梯形；

(2)用我們易求的矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積；

(3)大曲邊梯形面積的近似值就是所有小矩形的面積之和；定積分的概念

3.如何計(jì)算曲邊梯形的面積？

計(jì)算曲邊梯形面積的步驟:

(4)把曲邊梯形無(wú)限分割，若分割的越細(xì)，小曲邊梯形的寬度越小，小矩形和小曲邊梯形的近似程度就越高，誤差就越小。當(dāng)所有小曲邊梯形的寬度都趨于零時(shí)，則所有小矩形面積之和的極限值就是這個(gè)大曲邊梯形面積的精確值。定積分的概念

3.如何計(jì)算曲邊梯形的面積？定積分的概念

計(jì)算曲邊梯形面積的步驟：

（1）分割

用分點(diǎn)

將區(qū)間

分成任意

個(gè)小區(qū)間

第

個(gè)小區(qū)間記為

，其長(zhǎng)度為

，過每一個(gè)分點(diǎn)做垂直于

軸的直線，把曲邊梯形分為

個(gè)小曲邊梯形。定積分的概念

計(jì)算曲邊梯形面積的步驟：

（2）近似代替在每個(gè)小區(qū)間

上，任取一點(diǎn)

，那么，以

為底，

為高的矩形面積為

．設(shè)第

個(gè)小曲邊梯形的面積為

，則：定積分的概念

計(jì)算曲邊梯形面積的步驟：

（3）求和

將

個(gè)小矩形的面積相加，得曲邊梯形面積

的近似值，即：（4）取極限

記

，讓每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨向于零，則：定積分的概念

引例

變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)速度

為時(shí)間

的連續(xù)函數(shù)

，求在時(shí)間間隔

內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程

。

對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于速度

是不變的，因此有：路程＝速度×?xí)r間，而對(duì)于變速運(yùn)動(dòng)就不能用此方法進(jìn)行解決，但是，考慮到在很短時(shí)間間隔內(nèi)，速度的變化是微小的，可以近似地理解為物體在作勻速直線運(yùn)動(dòng)。于是，我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法來(lái)處理這個(gè)問題。

第

個(gè)小區(qū)間記為

，其長(zhǎng)度為

；

（2）近似代替

在每個(gè)小時(shí)間區(qū)間

上任取一個(gè)時(shí)刻

，在

處物體運(yùn)動(dòng)的速度為

，那么，在時(shí)間段

上物體運(yùn)動(dòng)路程的近似值為：定積分的概念

（1）分割

用分點(diǎn)

將區(qū)間

分成任意

個(gè)小區(qū)間定積分的概念

（3）求和

物體在時(shí)間間隔

內(nèi)走過路程的近似值為：

（4）取極限

記

，當(dāng)

時(shí)，上述和式的極限就是物體在時(shí)間間隔

上運(yùn)動(dòng)的