高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 6.2.1變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)_第1頁
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文檔簡介

變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，

，則函數(shù)

在

上可積，即定積分

存在。

這里字母

既出現(xiàn)在被積表達(dá)式中，又出現(xiàn)在積分上限中，但它們的意義是不同的。由于定積分的值與積分變量無關(guān)，我們把積分變量換成

，即得

。

若固定下限

不變，則對任意一個(gè)

，定積分

都有唯一確定的值與

相對應(yīng)，所以

是上限

的函數(shù)，稱它為變上限定積分函數(shù)，記作

，即

。變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

根據(jù)定積分的幾何意義，當(dāng)

時(shí)，

表示圖中陰影部分的面積，因此

也稱為面積函數(shù)。

既然

是

的函數(shù)，在一定條件下就可以求其導(dǎo)數(shù)。變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理

（原函數(shù)存在定理）若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則變上限定積分所確定的函數(shù)

在

內(nèi)可導(dǎo)，且

，即

是被積函數(shù)

的一個(gè)原函數(shù)。證

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來求

的導(dǎo)數(shù)。

因?yàn)?/p>

，則．

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處的增量為

，則:變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

因?yàn)楹瘮?shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，且

與

均在

上，根據(jù)定積分中值定理，有：其中

介于

與

之間，于是有：故即

是被積函數(shù)

的一個(gè)原函數(shù)。習(xí)題講解

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例題1解：(1)根據(jù)定理5.1得.（1）

（2）(2)是

的函

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