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文檔簡介

無窮區(qū)間上的反常積分無窮區(qū)間上的反常積分

引例由定積分的幾何意義，可以得到該曲邊梯形的面積為:求曲線

與直線

所圍成的曲邊梯形的面積。當

時，

的極限為

，即：

這個極限表示的是曲線

，

軸及直線

右邊所構(gòu)成的“開口曲邊梯形的面積”。

一般地，對于積分區(qū)間是無限區(qū)間的積分，我們給出如下定義：定義5.2

這時也稱反常積分

存在或收斂；否則就說該反常積分不存在或發(fā)散。設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，任取

，如果極限

存在，就稱此極限值為函數(shù)

在

上的反常積分，記作

，

即：無窮區(qū)間上的反常積分

類似地定義：函數(shù)

在

上的反常積分為：函數(shù)

在

上的反常積分為：其中

為任意常數(shù)，當

與

均收斂時，反常積分

才是收斂的，否則該反常積分是發(fā)散的。無窮區(qū)間上的反常積分

例1求

。解：

計算反常積分時，為了書寫簡便，常常省去極限記號，而形式地把“

”當成一個“數(shù)”，直接利用牛頓——萊布尼茲公式的公式進行計算。習題講解

其中

為函數(shù)

的原函數(shù)，記號

，

應(yīng)理解為極限運算，即：

，

。

習題講解

討論

的斂散性。例2解：

，因為

不存在，所以

發(fā)散。例3討論

的斂散性。當

時，

所以反常積分

，

當

時發(fā)散，當

時收斂。解：當

時，

，積分分散；習題講解

案例5.4【潤滑油供應(yīng)問題】

某公司生產(chǎn)了一批超音速運輸機之后停產(chǎn)了，但該公司承諾將為客戶終身供應(yīng)一種適于該機型的特殊潤滑油，一年后該批飛機的用油率（單位：升/年）由下式給出：

，其中

表示飛機服役的年數(shù)

；該公司要一次性生產(chǎn)該批飛機所需潤滑油并在需要時分發(fā)出去，請問需要生產(chǎn)此潤滑油多少升？習題講解

即600升潤滑油將保證終身供應(yīng)。

解：因為

是一年后該批飛機的用油率，所以在第一年到第

年間的任意一個時間段

中，該批飛機所需要的潤滑油的數(shù)量等于

，因此從第一年到第

年間所需要的潤滑油的數(shù)量等于

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