高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 6.5.2用定積分求平面圖形的面積_第1頁
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文檔簡介

用定積分求平面圖形的面積用定積分求平面圖形的面積

引例

由曲線

及直線(且)，與

軸所圍成的曲邊梯形的面積

是函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分，其中被積表達(dá)式

就是直角坐標(biāo)下的面積元素，它表示高為

，底為

的一個(gè)矩形面積。用定積分求平面圖形的面積

根據(jù)定積分的微元法，我們不難得到以下平面區(qū)域面積的定積分表示。(1)曲線

，直線(且)，與

軸所圍成的平面區(qū)域的面積：

若

，則其面積為

；

若

，則其面積為

；

若

在區(qū)間

上既有取正的部分，也有取負(fù)的部分，則其面積為：用定積分求平面圖形的面積

根據(jù)定積分的微元法，我們不難得到以下平面區(qū)域面積的定積分表示。(2)曲線

與

，假設(shè)()及直線

(且)所圍成圖形，如圖所示，則其面積為(3)曲線

，

，直線()，圍成圖形，如圖所示，則其面積為:習(xí)題講解

例1：計(jì)算由兩條拋物線

與

所圍成的圖形的面積。

解：

兩條曲線的交點(diǎn)為

，選

為積分變量，則積分區(qū)間為

，面積微元為

，則所求面積為：習(xí)題講解

例2：計(jì)算拋物線

與直線

所圍成圖形的面積。

解：求拋物線與直線的交點(diǎn)，即解方程組

，交點(diǎn)

如果選擇

為積分變量，

，在區(qū)間

上任取一個(gè)子區(qū)間

，則在區(qū)間

上的面積微元是

，于是：

如果選擇

為積分變量，那么它的表達(dá)式就比上式復(fù)雜，所以在這里不再求解。習(xí)題講解

例3：求橢圓

所圍成區(qū)域的面積。

解：因?yàn)閳D形關(guān)于

軸、

軸對稱，所以橢圓面積是它在第一象限部分的面積的四倍，即

把

，

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