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文檔簡介

用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體圖形。這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱、圓錐、圓臺、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體圖形，所以它們都是旋轉(zhuǎn)體。用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積

選

為積分變量，則

，對區(qū)間

進(jìn)行劃分，任取一個小區(qū)間

，過該區(qū)間的兩個端點(diǎn)作垂直于

軸的截面，設(shè)截得薄片的體積為

，當(dāng)

很小時(shí)，于是得旋轉(zhuǎn)體的體積微元為

，積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為：下面求由連續(xù)曲線

，直線(且)，與

軸所圍成的平面圖形，繞

軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，如圖所示。用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積

若旋轉(zhuǎn)體是由曲線

，

，直線

，及

軸所圍成的平面圖形繞

軸旋轉(zhuǎn)一周而生成，如圖所示，同樣地，我們可以得到該旋轉(zhuǎn)體的體積為：習(xí)題講解

例1求橢圓

所圍成的圖形繞

軸和

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積。

解：繞

軸旋轉(zhuǎn)生成的橢球體可以看作是由半個橢圓

及

軸所圍成的圖形繞

軸旋轉(zhuǎn)一周而生成，由于體積微元為：

所以x+dxxyOxab習(xí)題講解

例1求橢圓

所圍成的的圖形繞

軸和

軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積。

繞

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于體積微元為

所以當(dāng)

時(shí)，旋轉(zhuǎn)橢球體就成為半徑

的球體，它的體積為

。習(xí)題講解

案例【喇叭體積】

一個喇叭可以近似地看作由曲線

，直線

以及

軸所圍成的圖形繞

軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體，如圖所示，求此旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：在

上任取一點(diǎn)

，此旋轉(zhuǎn)體的體積微元可近似地看成一個圓柱體，其中

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