第03講 二項式定理（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第03講二項式定理（13類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2022年新I卷，第13題,5分兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題無2020年全國甲卷（理），第8題,5分求指定項的二項式系數(shù)無2020年全國丙卷（理），第14題,5分求指定項的系數(shù)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解2.能分清二項式系數(shù)與系數(shù)的定義，并會相關求解3.能清晰計算二項式系數(shù)和與系數(shù)和及其大（?。╉椨嬎?.會三項式、乘積式的相關計算【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關最大（小）項計算，需重點強化復習知識講解1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．(2)h(r)是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數(shù)?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．注1．二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即增減性當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當n是偶數(shù)時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n是奇數(shù)時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或二項式系數(shù)和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.考點一、求二項展開式的第項1．（2024·浙江紹興·二模）的展開式的第四項為.1．（2024·陜西寶雞·一模）展開式中的第四項為（

）A． B． C．240 D．2．（2023·北京·?？寄M預測）在的二項展開式中，第四項為．考點二、求指定項的二項式系數(shù)1．（2024·遼寧·模擬預測）二項式展開式的第3項的二項式系數(shù)是.2．（2024·上?！と＃┤舻亩椪归_式中第項與第項的系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為．1．（2024·全國·模擬預測）的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則其展開式中的常數(shù)項為．2．（2024·江蘇無錫·模擬預測）在的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和，則（

）A．16 B．15 C．14 D．13考點三、二項式系數(shù)和1．（2024·浙江·三模）若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為.2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為．（以數(shù)字作答）1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為32，則的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．10 D．202．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）若的展開式的二項式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為.考點四、二項式系數(shù)的增減性和最值1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）的展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項2．（2024·江西南昌·三模）（多選）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．1．（23-24高二下·四川南充·階段練習）的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2024·貴州·模擬預測）的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）考點五、求指定項的系數(shù)1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式中含項的系數(shù)為（

）A．420 B． C．560 D．2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則其展開式中的系數(shù)為．1．（2024·浙江紹興·三模）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）2．（2024·黑龍江大慶·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是.考點六、由項的系數(shù)確定參數(shù)1．（2024·黑龍江·模擬預測）若的展開式中的系數(shù)為144，則.2．（2024·福建寧德·模擬預測）已知的展開式中含項的系數(shù)為160，則實數(shù)a的值為.1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為15，則．2．（2024·山東·模擬預測）二項式的展開式中，的系數(shù)為10，則．考點七、有理項（含常數(shù)項）、無理項及其系數(shù)1．（2024·江西鷹潭·模擬預測）的展開式中，常數(shù)項的值為．2．（浙江·高考真題）在二項式的展開式中，常數(shù)項是；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.1．（2024·湖北武漢·模擬預測）展開式的7項中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）項A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·河南·模擬預測）已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（

）A．6項 B．5項 C．4項 D．3項3．（2024·遼寧·模擬預測）（多選）若的展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，則二項展開式中的有理項（項中是整數(shù)）可以是（

）A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項考點八、二項展開式各項系數(shù)和及奇次項與偶次項的系數(shù)和1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為．2．（2024·福建泉州·一模）（多選）已知展開式中共有8項．則該展開式結論正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為C．系數(shù)最大項為第2項 D．有理項共有4項3．（2024·河南駐馬店·二模）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．4．（2024·四川樂山·三模）設，則（

）A．1 B． C．2024 D．1．（2024·遼寧·三模）（多選）關于二項式的展開式，下列說法正確的是（

）A．第三項系數(shù)為270 B．的系數(shù)為90C．二項式系數(shù)和為 D．系數(shù)和為2．（2024·福建福州·模擬預測）（多選）已知，則（

）A．B．C．D．3．（2024·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．考點九、三項展開式的系數(shù)問題1．（2024·湖南衡陽·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B． C．120 D．1．（2024·云南昆明·模擬預測）的展開式中，項的系數(shù)為（

）A．10 B． C．60 D．2．（2024·安徽·三模）的展開式中的系數(shù)為.考點十、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題1．（2024·山西長治·模擬預測）的展開式中的系數(shù)是（

）A．﹣10 B．0 C．10 D．302．（2024·江蘇南京·模擬預測）的展開式中，的系數(shù)是.1．（2024·江西·一模）的展開式中的常數(shù)項為（

）A．147 B． C．63 D．2．（2024·江西宜春·模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)是．考點十一、求系數(shù)最大(小)的項1．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）的展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第11項 B．第12項 C．第13項 D．第14項2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．考點十二、整除和余數(shù)問題1．（2024·湖北·模擬預測）被9除的余數(shù)為（

）A．1 B．4 C．5 D．82．（2024·甘肅張掖·三模）已知今天是星期四，則天后是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五1．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）被10除的余數(shù)為.2．（2024·貴州黔南·二模）我國農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年考點十三、楊輝三角1．（2024·寧夏·二模）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多規(guī)律，如圖是一個5階楊輝三角．若第行中從左到右第3個數(shù)與第5個數(shù)的比為，則的值為．2．（2023·海南·三模）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（

）A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．D．存在，使得為等差數(shù)列3．（23-24高二上·山東青島·期末）（多選）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B．C．第2020行的第1010個數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為1．（2023·安徽黃山·二模）如圖給出的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)、、、、，依次構成數(shù)列，則.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個數(shù)最大B．C．第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為一、單選題1．（2024·山東菏澤·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．80 B．240 C．1600 D．24002．（2024·山西太原·三模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．-20 B．20 C．-30 D．303．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）已知的展開式中第3項的二項式系數(shù)等于36，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西·模擬預測）若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（

）A．32 B．31 C．16 D．15二、多選題5．（2024·吉林·模擬預測）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．各二項式系數(shù)的和為64 B．各項系數(shù)的絕對值的和為729C．有理項有3項 D．常數(shù)項是第4項6．（23-24高二下·廣東深圳·期中）若，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2024·湖北襄陽·模擬預測）的展開式中的系數(shù)為.8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）若，則.9．（2024·廣東佛山·模擬預測）的展開式中常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）10．（2024·福建南平·模擬預測）在的展開式中，的系數(shù)為．一、單選題1．（2024·山東·二模）展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預測）若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中的系數(shù)為（

）A．8 B．28 C．70 D．2523．（2024·河北邢臺·二模）已知在的二項展開式中，第6項為常數(shù)項，若在展開式中任取3項，其中有理項的個數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．4．（2024·江西鷹潭·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7二、多選題5．（2024·江蘇·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，則（

）A． B．C． D．7．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是1三、填空題8．（2024·山西朔州·一模）的展開式中的系數(shù)為．9．（2024·河北·模擬預測）已知的展開式中各項系數(shù)和為8，則展開式中常數(shù)項為.10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）若關于，的三項式的展開式中各項系數(shù)之和為64，則；其中項系數(shù)的最大值為.