第八章 平面解析幾何（模塊綜合調(diào)研卷）（A4版-教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第八章平面解析幾何（基礎(chǔ)卷）（模塊綜合調(diào)研卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進而根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.2．已知直線與圓交于兩點，且，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】運用垂徑定理結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離．因為，所以，即，解得.故選：D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于兩點，若線段的中點是，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程，由雙曲線方程得到兩漸近線方程，分別聯(lián)立直線與兩漸近線方程，得到點坐標(biāo)，結(jié)合的中點為，可得結(jié)論．【詳解】

直線的斜率不存在時，應(yīng)該在軸上，不符合題意，直線的斜率為0時，兩點重合，不符合題意，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，聯(lián)立解得，不妨令，聯(lián)立，解得，則，因為線段的中點為，所以，即，②式兩邊分別平方得③，將①代入③并化簡可得，所以離心率.故選：D．4．已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直線所過的定點，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時，直線被圓截得的弦長最小，再由垂徑定理得到最小值.【詳解】直線，令，解得，所以直線恒過定點，圓的圓心為，半徑為，且，即在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大為，此時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為.故選：A.5．我國自主研發(fā)的“嫦娥四號”探測器成功著陸月球，并通過“鵲橋”中繼星傳回了月球背面影像圖．假設(shè)“嫦娥四號”在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，其軌道的離心率為e，設(shè)月球的半徑為R，“嫦娥四號”到月球表面最近的距離為r，則“嫦娥四號”到月球表面最遠的距離為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)衛(wèi)星近地點遠地點離月球表面的距離分別為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及離心率得出“嫦娥四號”到月球表面最遠的距離.【詳解】橢圓的離心率，設(shè)衛(wèi)星近地點遠地點離月球表面的距離分別為則故選：B6．設(shè)分別是直線和上的動點，且滿足，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】假設(shè)，，,利用中點坐標(biāo)公式與兩點距離公式代入即可求得軌跡方程.【詳解】設(shè)，，，因為為的中點，則，故，，又因為，所以，即，所以點M的軌跡方程為．故選:A.7．已知點分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為的形式，尋求定點，使得恒成立，轉(zhuǎn)化為，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，取得最小值，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點坐標(biāo)為，又由圓，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)定點，滿足成立，且即恒成立，其中，代入兩邊平方可得：，解得，所以定點滿足恒成立，可得，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時，此時取得最小值，即，設(shè)，滿足，所以，，當(dāng)時，等號成立，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為三點共線時，線段的長的問題，結(jié)合拋物線方程即可求解.8．設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦距，它們的離心率分別為，，橢圓的焦點為，，，在第一象限的交點為，若點在直線上，且，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，先根據(jù)題意得出點P的坐標(biāo)，再將點P分別代入橢圓和雙曲線的方程中，求離心率，即可得解.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，則，又，所以，又點P在第一象限，且在直線上，所以，又點P在橢圓上，所以，即，整理得，兩邊同時除以，得，解得，因為，所以，同理可得點P在雙曲線上，所以，即，解得，所以，故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知動點分別在圓和上，動點在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過點做圓的切線，則切線長最短為【答案】BD【分析】求出兩個圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓關(guān)于對稱的圓方程，利用圓的性質(zhì)求出最小值判斷C；利用切線長定理求出最小值判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，圓的半徑為，A錯誤；對于B，，圓和圓相離，B正確；對于C，圓關(guān)于軸對稱的圓為，，連接交于點，連接，由圓的性質(zhì)得，，當(dāng)且僅當(dāng)點與重合，且是線段分別與圓和圓的交點時取等號，C錯誤；對于D，設(shè)點，過點的圓的切線長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確.故選：BD

10．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A，B在C上（A在第一象限），點Q在l上，以為直徑的圓過焦點F，，則（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．，則【答案】ACD【分析】由題意，利用拋物線的定義以及相似即可判斷AB；結(jié)合拋物線的定義及三角形全等即可判斷BD.【詳解】設(shè)在上的投影為，與軸交于點，因為，兩點均在拋物線上，所以，因為，,故,所以，解得，故選項A正確；對于B，時，，,結(jié)合，,,所以，解得，故B錯誤；對于C:設(shè)點在上的投影為，此時，，所以，因為，所以，即，則為等腰直角三角形，此時，故C正確；對于D，設(shè)點在上的投影為，此時，，所以，因為，所以，即，則為等邊三角形，此時，則,，故D正確；故選：ACD．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：以及垂直關(guān)系得.11．已知雙曲線C：的右焦點為F，過點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，該垂線與另一條漸近線的交點為B，若，則C的離心率e可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】設(shè)出直線方程，分別與兩漸近線聯(lián)立，求得A,B兩點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式代入條件即可求解.【詳解】不妨設(shè)C的一條漸近線的方程為，依題意，直線的斜率為，且，F(xiàn)c,0，則：，設(shè)，聯(lián)立，可得，,設(shè)Ax1,y1，聯(lián)立，可得因為，即，化簡得，又，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以或.故選：BD..【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是求得點的坐標(biāo)，從而得到關(guān)于的齊次方程，進而得解.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．過雙曲線的右支上一點，分別向⊙和⊙作切線，切點分別為，則的最小值為.

【答案】17【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點與圓的圓心重合，利用勾股定理表示出切線長，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.【詳解】由，得，所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為，由圓的方程知：圓圓心的坐標(biāo)為C1(?5,0)，半徑，圓圓心的坐標(biāo)為C2(5,0)，半徑，分別為兩圓切線，，，為雙曲線右支上的點，且雙曲線焦點為，又（當(dāng)為雙曲線右頂點時取等號），，即的最小值為.故答案為：17.13．已知P、Q為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，點P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】結(jié)合題目條件可得四邊形是矩形，設(shè)，由可得，又，化簡計算即可得解.【詳解】如圖，，顯然四邊形是矩形，所以，由題意，，所以，設(shè)，則，所以，又點P在第一象限，所以，故，即，所以，橢圓C的離心率，由可得，又，所以，故.故答案為：.14．已知A，B是拋物線上異于原點的兩點，且以為直徑的圓過原點，過向直線作垂線，垂足為H，求的最大值為.【答案】【分析】結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，推得，設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，求出直線所過定點，再結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解，【詳解】依題意，設(shè)，，以AB為直徑的圓過原點，則，解得，易知直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡整理可得，所以，解得，故直線恒過定點，因為，，則，，，四點共圓，即點在以為直徑的圓（除原點外）上運動，此時該圓直徑為，故的最大值為該圓的直徑，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用向量垂直的性質(zhì)與韋達定理求得直線所過定點，從而得解.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點，線段的中點為.(1)記直線的斜率為，直線的斜率為，求.(2)當(dāng)直線的斜率為3時，求點坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）涉及到中點弦，我們可以采用點差法得到，而由可得，兩式相比即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理可表示的坐標(biāo)為，由得斜率，由此可列方程求出參數(shù)，進而得解.【詳解】（1）因為，所以.又設(shè)，因為，所以.而圓心不在坐標(biāo)軸上，從而，所以.所以，又，所以.（2）設(shè)直線，與聯(lián)立，化簡并整理得：，其中.設(shè)，所以，即點坐標(biāo)為.因為，所以，而，即，解得.因此，所以.16．已知分別是橢圓的左右焦點，如圖，拋物線的焦點為F1?c,0，且與橢圓在第二象限交于點，延長與橢圓交于點．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)和的面積分別為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線的焦點為F1?c,0，知，由結(jié)合拋物線的定義表示出點的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程化簡求解離心率即可，（2）設(shè)出橢圓的方程，設(shè)直線為代入橢圓方程化簡，轉(zhuǎn)化求解的橫坐標(biāo)，然后求解面積之比即可.【詳解】（1）由拋物線的焦點為F1?c,0，知，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，因為，所以，得，所以，所以，所以點的坐標(biāo)為，點在橢圓上，所以，，所以，，化簡整理得，所以，，解得（舍去），或，所以；（2）由（1）知，則，所以橢圓方程為，因為的坐標(biāo)為，F(xiàn)1?c,0，所以，所以直線為，由，得，化簡整理得，所以，得，或，所以，，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓和拋物線的綜合問題，考查橢圓離心率的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的面積關(guān)系，第（2）問解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.17．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結(jié)論并證明.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意可得點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，且焦距為，從而可求出曲線的方程；（2）由條件可設(shè)：，代入雙曲線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)時，可求得，則的平分線為定直線，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，設(shè)雙曲線的方程為，則，.所以，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為.

（2）在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上.證明如下：由條件可設(shè)：.代入，得，設(shè)，，則，得m2≠2所以所以，取，則又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，所以在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在定直線上.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線方程的求解，第（2）問解題的關(guān)鍵是取，通過計算，可得定直線為，考查數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.18．已知拋物線：（）的焦點為，點，過的直線交于，兩點，當(dāng)點的橫坐標(biāo)為1時，點到拋物線的焦點的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線，與的另一個交點分別為，，點，分別是，的中點，記直線，的傾斜角分別為，.求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）關(guān)鍵拋物線的定義可得，求出p即可求解；（2）設(shè)，將直線和直線BD，分別聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理表示，，進而可得、，由中點坐標(biāo)公式與斜率公式可得和，則，當(dāng)時最大，由兩角差的正切公式和換元法可得，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知，，又，所以，所以拋物線C的方程為；（2）由（1）知，，設(shè)，則，設(shè)直線，由可得，，則，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，由斜率公式可得，，又因為直線OP、OQ的傾斜角分別為，所以，若要使最大，需使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題求解過程中，需要熟練運用斜率公式以及類比的思想方法，在得到兩條直線的關(guān)系后，設(shè)，利用換元法，化簡式子，求最值是難點，也是關(guān)鍵點，屬于難題.19．在平面直角坐標(biāo)系中，點，分別是橢圓：的右頂點，上頂點，若的離心率為，且到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點，其中點在第一象限，點在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值，并求出該定值；（ii）設(shè)直線與軸交于點，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析，；（ii）【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）（i）設(shè)直線的方程為，其中，且，設(shè)直線與橢圓交于點，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，，再結(jié)合斜率公式化簡即可得出結(jié)論；（ii）法一：直線的方程為，設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為，分別求出的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求出，即可得的坐標(biāo)，再求出三角形面積的表達式，結(jié)合基本不等式即可得解.法二：直線的方程為，設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為，分別求出的坐標(biāo)，易得點是線段的中點，則，其中為點到直線的距離，求出的最大值即可.【詳解】（1）