《自動控制原理》習題講解

習題講解2-2:微分方程數(shù)學模型。解:根據(jù)力平衡方程，在不計重力時，可得:系統(tǒng)的微分方程為:在上部分彈簧與阻尼器之間取輔助點，并設該點的位移方向向下。根據(jù)力平衡方程，在不計重力時有:消去中間變量：系統(tǒng)的微分方程為:根據(jù)力平衡方程，在不計重力時，可得:系統(tǒng)的微分方程為:2-4:試分別列寫下圖中各無源網(wǎng)絡的微分方程式。解:根據(jù)電壓平衡可得:微分方程為：解:根據(jù)電壓平衡可得:整理后可得微分方程為:2-5：設初始條件為零，試用拉氏變換法求解下列微分方程式，并概略繪制曲線，指出各方程式的模態(tài)。解：⑴拉氏變換得：拉氏反變換得：特征方程：特征根：運動模態(tài)：⑵拉氏變換得：拉氏反變換得：特征方程：特征根：運動模態(tài)：⑶拉氏變換得：拉氏反變換得：特征方程：特征根：運動模態(tài)：2-17：已知控制系統(tǒng)的結構圖如下圖所示，試通過結構圖的等效變換求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解:提示:比較點后移、引出點前移解:提示:比較點后移2-18：試簡化系統(tǒng)結構圖，并求傳遞函數(shù)和。解：僅考慮輸入作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的結構圖如下:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:解：僅考慮輸入作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的結構圖如下:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:僅考慮擾動作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的結構圖如下：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:2-20：畫出下圖各系統(tǒng)結構圖對應的信號流圖，并用梅森增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。回路1回路2解：僅考慮輸入作用于系統(tǒng)時:回路1回路2僅考慮輸入作用于系統(tǒng)時:前向通道1回路2回路1前向通道1前向通道2前向通道3解：僅考慮輸入作用于系統(tǒng)時:回路2回路1僅考慮輸入作用于系統(tǒng)時:2-21：畫出下圖各系統(tǒng)結構圖對應的信號流圖，并用梅森增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。解：①

求傳遞函數(shù)

：兩前，三回，一對。回路1回路2回路3回路1回路2回路3前向通道1前向通道2回路1回路2回路3②

求傳遞函數(shù)

：兩前，三回，一對。前向通道2前向通道1回路1回路2回路3回路4回路5解：①

求傳遞函數(shù)

：四條前向通道，五個單獨回路，無不接觸回路。前向通道2前向通道1前向通道3前向通道4②

求傳遞函數(shù)

：一前，五回，無。回路5前向通道3-4：已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：試求系統(tǒng)的超調(diào)量、峰值時間和調(diào)節(jié)時間。解：標準二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：解得：3-6：已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：試確定系統(tǒng)的阻尼比和自然頻率。解:系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)是單位脈沖響應的拉氏反變換3-9：控制系統(tǒng)的結構圖如下圖所示。要求：（1）取，計算測速反饋校正系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和速度誤差。解:解得：3-12：已知系統(tǒng)的特征方程如下，試求系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根值。解:列勞斯表如右所示:構造如下輔助方程:對輔助方程求導得導數(shù)方程:勞斯表中第一列各項符號沒有改變，因此可以確定在平面右半部沒有極點解方程可得：它們是系統(tǒng)的共軛虛根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-13：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的值范圍。解:系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:列勞斯表如下:根據(jù)勞斯判據(jù)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足：3-14：已知系統(tǒng)結構圖如下圖所示。試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的反饋參數(shù)的取值范圍。解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)特征方程為:根據(jù)勞斯判據(jù)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足：解:3-17：設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用動態(tài)誤差系數(shù)法求出當輸入信號分別為和

時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3-20：設隨動系統(tǒng)的微分方程為：

其中，和為正常數(shù)，若要求時，

對的穩(wěn)態(tài)誤差不大于正常數(shù)，試問應滿足什么條件？已知全部初始條件為零。解:對系統(tǒng)的微分方程進行拉氏變換得:系統(tǒng)的結構圖如下:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)特征方程為:列勞斯表如下:根據(jù)勞斯判據(jù)，使系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:根據(jù)終值定理可得:令，可得：故滿足題意要求的值范圍為：4-5：設已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求：（3）概略繪制的閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根軌跡的分離點、起始角和與虛軸的交點）。

解：①

標出零極點②

確定實軸上的根軌跡五個開環(huán)極點,無開環(huán)零點,五條根軌跡趨向無窮零點。實軸上，，區(qū)域為根軌跡。③

確定根軌跡的漸近線④

確定分離點和分離角由可得：解得：(用二分法求近似解)。分離角⑤

確定出射角⑥

確定根軌跡與虛軸的交點把代入特征方程并整理得：⑦

繪制根軌跡解得：或（偽解）或解：①

標出零極點②

確定實軸上的根軌跡四個開環(huán)極點,無開環(huán)零點,四條根軌跡趨向無窮零點。實軸上，區(qū)域為根軌跡。4-7：設已知開環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略畫出閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖。

③

確定根軌跡的漸近線④

確定分離點和分離角由