統(tǒng)計學 第9章 方差分析

38周后小雞個體增重(克)yij小雞序號j123456yi.y.j1y11y12…y1n2.y21y22…y2n2.MMMmym1ym2…ymnmH0:μ1=μ2=…=μm方差分析的目的是檢驗因變量y與自變量x是否獨立，而實現(xiàn)總變差平方和(SST)=組間變差平方和(SSR)+組內(nèi)變差平方和(SSE)（9.1）SST=(9.2)SSR=(9.3)SSE=(9.4)H0：μ1=μ2=…=μm應較??；若式(9.7)較大，當大過一定界限時，應認為樣本提供了拒絕H0的較強的證據(jù)?？梢宰C明，F(xiàn)統(tǒng)計量式(9.7)服從分子自由度為m?1，分母自由度為n?m的F_分布。H0：μ1=μ2=μ3=μ4H1：μ1,μ2,μ3,μ4不完全相同=3627988.333－3620876式中MSR叫做組間均方差，MSE叫做組內(nèi)均方差。F值m－1=3MSR=2370.714n?m=17MSE=2341.863n－1=20驗統(tǒng)計量的樣本值落入接受域，所以不能拒絕H0，即沒有得到足以表明四種配方的飼料下3.方差分析中的“因子”和“處理”（2）處理，也稱水平或等級。進行方差分析時，往往把因子分成幾種不同的因B子的各種處理BjB1B2…BCy111y121…y1c1AAiA1My11nMy12n…My1cnMMMMAryr11Myr1nr1yr21Myr2nr2……yMyrcn表中，yijk（i=1,2,…,r;j=1,2,…,c;k=1,2,…,nij）是因變量y的觀測數(shù)據(jù)（是數(shù)量型變量A和B是對y的兩個影響因素（它們可以是數(shù)量型分別是B1，B2，…Bc；在每一個AiBj組格內(nèi)（i=1,2,…,r;j=1,2,…,c）抽取一個容量為nij的簡單隨機樣本，樣本單位的序號用足標k表示。配方中的氧化劑，B1，B2，…Bc是氧化劑的劑量；y是橡膠的定伸強力，yijk劑量與第j種氧化劑劑量搭配下抽取的第k個橡膠樣品的定伸強力。再如，A為某種新型飲料的顏色，A1，A2，…Ar市，B1，B2c是C個不同城市，y是超級市場飲料的銷售量，yijk是第i種顏色與第j個城市搭配下抽取的第k個超級市場的飲料銷售個處理是rc個總體，即Ai和Bj的每一種搭配形成的組格都是一個總體（隨機變量yij）。對一個組格總體的nij個觀察yij1,yij2,…,yijnij才是隨機樣本。我們把Ai與Bj的搭配所形成的組格總體即隨機變量Yij的期望值記作μij，于是可以寫B(tài)因子的各種處理BjB1B2…BcAAiA1μ11μ12…μ1cμ1.A2μ21μ22…μ2cμ2.MMMMMArμr1μr2…μrcμr.μ.1μ.2…μ.cμ..表中，橫行的各行平均值μi.表示在A的第i種處理下對B的各種處理產(chǎn)生的期望結(jié)果求平均（即“i.”表示在i下對j求平均縱欄的各欄平均值μ.j表示在B的第j種處理下時對i和j求平均。它們分別定義為ⅱ)檢查因子對的變量y是否顯著地有影響；這也就是要檢查因子B的各種處理對y的作用是否顯著地有差別；或者說，也就是要檢查各個μ.j是否顯著地不ⅲ)檢查因子A和因子B的交互作用對變量y是否顯著地有影響；這也就是要檢查因子A的r種處理與因子B的c種處理的各種搭配下的交互作用對y的作用是否顯著地有差μ..是μij的基礎水平，在μ..的基礎上加上（正或負的）三種作用量，最終形成了μij。這就μij=μ..+Ai對y的影響量+Bj對y的影響量+Ai與Bj的交互影響量（9.11）首先，Ai對y的影響量。在A的第i種處理下，由于B采取不同的處理，會發(fā)生不同的數(shù)據(jù)μi1,μi2,…，μic。于基礎水平μ..的變化量。于是，這個影響量應該是μi.?μ..。其次，Bj對y的影響量。再次，Ai與Bj對y的交互影響量對y的交互影響量，它應該是μij?[μ..+(μi.?μ..)+(μ.j?μ..)]=μij?μi.?μ.j+μ..μi.?μ..αiμj?μ..μij?μi.?μ.j+μ..ij（二）隨機變量yijk的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表9.4中yijk是在Ai與Bj搭配的組格總體中抽取容量為nij的簡單隨機樣本的第k個分上加εijk便是yijk的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。因為yijk使用了三重足標，它表示ij格內(nèi)的第k個分量，相應地，式（9.16）中的各個μ也應針對第k個分量，使用三重足標。事實上，各種μ值對于ijyijk=+αi+ij+εijk(9.17)其中，εijk是隨機項，E(εijk)=0。(1)μij.ij.=yijk(9.19)（5）εijk=yijk?μij.于是，用樣本值表示的yijk的結(jié)構(gòu)為yijk=y...+(yi..?y...)+(y.j.?y...)+(yij.?yi..?y.j.+y...)+(yijk?yij.)H01:μ1.=μ2.=…=μr.=μ.(或:α1=α2=…=αr=0)H02:μ.1=μ.2=…=μ.c=μ.(或:β1=β2=…=βc=0)H03:μij?[(μi.?μ.)+(μ.j?μ.)]=μ.(?i,j)（或:(αβ)ij=0(?i,j)）們便全為0，這是因為，只有在條件αi=0下，才有各個αi相等，所以各個αi相等等價于它們?nèi)珵?。在H02和H03中同理.ijk等號兩邊平方時，等號右邊得到的各個叉積項通過對i、j、k求和都成為0，所以得到式(9.25)。式中的五項從左到右順序稱做：總離差平方和（SSTA因子處理間離差平方和（SSAB因子處理間離差平方和（SSBAB交互作用處理間離差平方和（SAB）組格式(9.25)中的總離差平方和SST，A因子處理間離差平方和SSA，B因子處理間離差平方和SSB，AB交互作用處理間離差平方和SAB，組格內(nèi)離差平方和SSE分別除以它們各總方差MST=(9.26)A因子處理間方差MSA=(9.27)B因子處理間方差MSB=(9.28)AB交互作用處理間方差MAB=(9.29)組格內(nèi)方差MSE=(9.30)(1)針對H01(2)針對H02(3)針對H03當?shù)玫酱蟮腇A(FB,FAB)值時，拒絕零假設H01(H02,H03)。確定自由度的一般規(guī)則是：所研究的數(shù)據(jù)項數(shù)減：約束條件數(shù)，再減：用樣本估計量(1)總離差平方和SST所研究的數(shù)據(jù)yijk的項數(shù)是nij，若就無限總體來建立離差平方和，應當是總體的一個參數(shù)μ…被樣本估計，所以自由度成為nij?1。也可以這樣解釋：在2中，y…作為和yijk的數(shù)值給定。在這樣的約束條件下，yijk的數(shù)值只有nij?1個可以自由選取。（2）A因子處理間離差平方和SSA該離差平和實際上只對i求和，因此數(shù)據(jù)項數(shù)為r。對于無限總體的離差平方和 2來說，沒有約束條件，自由度是r?，F(xiàn)在，參數(shù)μ…被樣本估計，故應該（3）B因子處理間離差平方和SSB（9.35）首先9.35）中數(shù)據(jù)yij.，有rc項，沒有其他約束條件，自由度是rc其次，用y...估計μ…,式（9.35）變成自由度成為rc?1。再次，用yi..估計μi..，用y.j.估計μ.j.，式（9.36）變成式（9.34）。這時，注意到y(tǒng)i..雖有r個，但它的均值已被確定應等于y...，所以，能夠自由取值的是r?1個，也就是能夠不對yij.的取值產(chǎn)生約束的是r?1個；同理，用y.j.估計μ.j.后能夠不對y.j.的取值產(chǎn)生約束的是c?1個。所以，SAB的自由度應為rc在無限總體中，這個離差平方和是2數(shù)據(jù)yijk共在總體中沒有約束條件，自由度是nij。參數(shù)，共有rc個，當它們分別用樣本的yij.來估計時，自由度成為nij?rc即二因子方差分析的第一個假定前提是：假定表(9.4)各組格的無限總體都是正態(tài)隨機變量。也有的文獻用另一種類似的說法：假定各個yijk(或εijk)為獨立同方差的正態(tài)隨機變量?；?9.14)中，才把μij數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基準水平選作出式(9.25)的過程中使影響量的叉積項對i、df——————————————9.1某企業(yè)為了擴大市場占有率，為開展產(chǎn)品是否顯著地有差異？(α=0.05）1234569.2在農(nóng)業(yè)科學實驗中，常將各塊試驗田按所考察因素的處理水平的多少劃分成若干一二三四五程度（按父母中較高者，文化程度記作：A——大專以上，B——高中，C——初中，D（500，女，A498，男，A540，男，A530，女，A）（450，女，A400，女，A560，男，A460，男，A）（510，男，A520，女，A524，男，A450，男，B）（490，女，B430，男，B520，男，B540，女，B）（410，男，B390，男，B580，女，B320，男，B）（430，男，B400，女，B550，女，B370，女，B）（380，男，B470，男，B570，女，C320，女，C）