9.2三角形的內(nèi)角和外角第二課時(shí)七年級數(shù)學(xué)下冊課件（冀教版）

9.2三角形的內(nèi)角和外角第2課時(shí)目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入

如圖給我們展示了一個(gè)三角形的鋼架，在實(shí)際生活中這樣的例子很多，這主要是利用三角形的穩(wěn)定性，除此之外，你還知道三角形的哪些性質(zhì)呢?新課精講探索新知1知識點(diǎn)三角形的外角定義

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.探索新知例1如圖，△CEF的外角為__________________．圖中△CEF的三邊的延長線只有EF的延長線FA，CE的延長線EB，延長線FA

與邊FC構(gòu)成的角為∠AFC；延長線EB與邊EF構(gòu)成的角為∠BEF.由三角形外角的概念可以判斷∠AFC，∠BEF是△CEF的外角.導(dǎo)引：∠AFC，∠BEF探索新知總

結(jié)

判定一個(gè)角是三角形的外角的三個(gè)條件：一是頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；二是一邊是三角形的一條邊；三是另一邊是三角形的另一條邊的延長線．典題精講如圖，下列關(guān)于△ABC的外角的說法正確的是(

)A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角1D典題精講關(guān)于三角形的外角，下列說法中錯(cuò)誤的是(

)A．一個(gè)三角形只有三個(gè)外角B．三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角C．三角形的每個(gè)外角是與它相鄰內(nèi)角的鄰補(bǔ)角D．一個(gè)三角形共有六個(gè)外角2A探索新知2知識點(diǎn)三角形的外角性質(zhì)

現(xiàn)在我們討論三角形的外角及外角和.

如圖，一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對應(yīng)一個(gè)相鄰的內(nèi)角和兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角.探索新知

三角形的外角與內(nèi)角有什么關(guān)系呢？

在圖中，顯然有∠CBD(外角)+∠ABC(相鄰的內(nèi)角)=180°.

那么外角∠CBD與其他兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角又有什么關(guān)系呢？

依據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，

我們有∠ACB

+∠BAC

+∠ABC=180°.探索新知

由上面兩個(gè)式子，可以推出∠CBD

=180°－∠ABC，

∠ACB+∠BAC=180°－∠ABC.

因而可以得到你與你的同伴所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：∠CBD=∠ACB+∠BAC.探索新知?dú)w納由此可知，三角形的外角有兩條性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰

的內(nèi)角.探索新知如圖，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°.求：(1)∠B的度數(shù)；(2)∠BFD的度數(shù)．例2探索新知(1)在△ABC中，∵∠BCD=∠A+∠B(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).∴∠B=∠BCD－∠A

=92°－27°=65°.(2)在△BEF中，∵∠BFD=∠A+∠BED(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).∠BED=44°(已知)，∠B=65°(已求).∴∠BFD=44°+65°=109°.解：探索新知總

結(jié)

利用三角形的外角的性質(zhì)求角的度數(shù)常與內(nèi)角的度數(shù)相結(jié)合來應(yīng)用.典題精講如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長線上，∠DBC=112°，∠A=35°.求∠C.1因?yàn)椤螪BC是△ABC的一個(gè)外角，所以∠DBC＝∠A＋∠C，所以∠C＝∠DBC－∠A＝112°－35°＝77°.解：典題精講如圖，

∠DAC，∠EBA，∠FCB分別是∠ABC的三個(gè)外角，求∠DAC+∠EBA+∠FCB的度數(shù).2典題精講因?yàn)椤螪AC，∠EBA，∠FCB分別是△ABC的三個(gè)外角，所以∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∠EBA＝∠BAC＋∠ACB，∠FCB＝∠BAC＋∠ABC.所以∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB.又因?yàn)椤螦BC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，所以∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB＝360°.解：典題精講如圖，在△ABC中∠BAD=∠CAD，∠B=64°，∠C=55°，請各用兩種方法求∠ADB和∠ADC的度數(shù).3典題精講方法一：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－55°＝61°，因?yàn)椤螧AD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30.5°.在△ABD中，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－64°－30.5°＝85.5°.在△ACD中，∠CAD＋∠C＋∠ADC＝180°，所以∠ADC＝180°－∠C－∠CAD＝180°－55°－30.5°＝94.5°.解：典題精講方法二：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－55°＝61°.因?yàn)椤螧AD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30.5°.因?yàn)椤螦DB是△ACD的一個(gè)外角，∠ADC是△ABD的一個(gè)外角，所以∠ADB＝∠CAD＋∠C＝30.5°＋55°＝85.5°，∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30.5°＋64°＝94.5°.典題精講三角形，一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的4倍，又等于與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角的2倍，求這個(gè)三角形各內(nèi)角的度數(shù).4如圖，由已知，得∠ACD＝4∠ACB＝2∠B，所以∠ACD＋∠ACB＝4∠ACB＋∠ACB＝5∠ACB＝180°，解得∠ACB＝36°，所以∠ACD＝36°×4＝144°，∠B＝2×36°＝72°.又因?yàn)椤螦CD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝144°－72°＝72°，所以這個(gè)三角形各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，72°，72°.

解：典題精講已知：如圖，點(diǎn)E在BA的延長線上，∠EAD=∠CAD，∠B=∠C.對AD∥BC進(jìn)行說理.5典題精講因?yàn)椤螮AC是△ABC的一個(gè)外角，所以∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和)．因?yàn)椤螮AC＝∠EAD＋∠CAD，所以∠EAD＋∠CAD＝∠B＋∠C，又因?yàn)椤螮AD＝∠CAD，∠B＝∠C(已知)，所以∠EAD＝∠B，所以AD∥BC(同位角相等，兩直線平行)．解：典題精講如圖，∠1是哪個(gè)三角形的外角？∠2是哪個(gè)三角形的外角？利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).6典題精講∠1是△FCE的外角，∠2是△BDL的外角．因?yàn)椤?是△FCE的一個(gè)外角，∠2是△BDL的一個(gè)外角，所以∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°.解：探索新知例3如圖，請確定∠1與∠2的大小關(guān)系，并說明理由．要判斷∠1與∠2的大小關(guān)系，而這兩個(gè)角之間沒有直接關(guān)系，則需找出一個(gè)角作為橋梁將這兩個(gè)角聯(lián)系起來，而∠3能擔(dān)當(dāng)這種角色；用三角形外角的性質(zhì)，先判斷∠3與∠1的大小關(guān)系，再判斷∠3與∠2的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷∠1與∠2的大小關(guān)系．導(dǎo)引：探索新知∠1>∠2.理由如下：∵∠1是△ABC的一個(gè)外角，∴∠1>∠3.∵∠3是△FGC的一個(gè)外角，∴∠3>∠2.∴∠1>∠2.解：探索新知總

結(jié)

“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”是說明有關(guān)角的不等關(guān)系的一條重要定理，用它可判斷與三角形有關(guān)的角的大小問題．本題通過∠3把∠1和∠2聯(lián)系在一起．典題精講如圖，∠A＝50°，∠C＝70°，則外角∠ABD的度數(shù)是(

)A．110°

B．120°C．130°D．140°如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝35°,∠ACE＝60°,則∠A＝(

)A．35°

B．95°C．85°D．75°1BC2典題精講如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠13B典題精講如圖，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，則∠AEC等于(

)A．20°

B．50°C．80°D．100°如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的E處，折痕為CD，則∠EDB＝________．4C510°探索新知3知識點(diǎn)三角形按角分類1.一個(gè)三角形的內(nèi)角最多有幾個(gè)直角，最多有幾個(gè)鈍角？2.一個(gè)三角形能不能三個(gè)內(nèi)角都是銳角？探索新知

一個(gè)三角形最多有一個(gè)內(nèi)角是直角.因?yàn)榧僭O(shè)它有兩個(gè)內(nèi)角是直角，那么這個(gè)三角形的內(nèi)角和就大于180°了，這與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾，所以一個(gè)三角形最多有一個(gè)內(nèi)角是直角.同樣，一個(gè)三角形最多有一個(gè)內(nèi)角是鈍角.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角有可能都是銳角.探索新知?dú)w納

我們把三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形(acutetriangle)，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形(righttriangle)，有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形(obtusetriangle).探索新知如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個(gè)三角形是(

)A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形例4導(dǎo)引：設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為2x，3x，5x，由三角形的內(nèi)角和等于180°，可列出方程2x＋3x＋5x＝180°，解得x＝18°，∴三角形最大的內(nèi)角是5x＝90°，故這個(gè)三角形是直角三角形.A探索新知總

結(jié)

利用方程思想解決問題，用未知數(shù)分別表示出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理列出方程，解方程求出未知數(shù)的值，進(jìn)一步求出最大內(nèi)角，再進(jìn)行判斷即可．典題精講1已知某三角形的一個(gè)外角是55°，這個(gè)三角形是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形？因?yàn)槿切蔚囊粋€(gè)外角是55°，所以這個(gè)三角形中與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為180°－55°＝125°，所以這個(gè)三角形是鈍角三角形．解：典題精講2小熊和小貓想把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個(gè)直角三角彤，能做到嗎？如果使折痕把原三角形分成兩個(gè)銳角三角形呢？如果能，說明折的方法；如果不能，說明理由.典題精講能分成兩個(gè)直角三角形，折的方法是沿三角形的一條高折；不能分成兩個(gè)銳角三角形.如圖.與原來的三角形紙片一邊相交的折痕把原來的三角形紙片分成了兩部分，形成了兩個(gè)新三角形紙片，因?yàn)椤?和∠2是鄰補(bǔ)角，它們的和是180°，所以如果其中一個(gè)角是直角，那么另一個(gè)角也一定是直角；如果其中一個(gè)角是銳角，那么另一個(gè)角一定是鈍角.解：典題精講3如果三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形一定是(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．任意三角形下列條件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:

∠C＝1:2:3；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C.能確定△ABC是直角三角形的條件有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4CD易錯(cuò)提醒如圖，在△ABC的邊BC的延長線上取點(diǎn)D，E，連接AD，AE，則下列式子中正確的是(

)A．∠ACB＞∠ACDB．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3C．∠ACB＞∠2＋∠3D．以上都正確易錯(cuò)點(diǎn)：忽略外角的性質(zhì)中“不相鄰”這一條件.C學(xué)以致用小試牛刀下面給出的四個(gè)三角形都有一部分被遮擋，其中不能判斷三角形類型的是(

)C1小試牛刀2如圖，在△ABC中，D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，試說明：∠BDC＞∠A.如圖，延長BD交AC于點(diǎn)E.因?yàn)樵凇鰽BE中，∠BEC＞∠A，在△CDE中，∠BDC＞∠BEC，所以∠BDC＞∠A.解：小試牛刀3如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是∠ACB與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，BD的延長線交AC于點(diǎn)E.(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度數(shù)；(2)若∠EDC＝50°，求∠A的度數(shù)；(3)請直接寫出∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系(不必說明理由)．小試牛刀(1)∵∠A＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝110°.∵BD，CD分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝55°.∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝125°.解：小試牛刀(2)∵∠EDC＝50°，∴∠DBC＋∠DCB＝50°.∵BD，CD分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)＝100°.∴∠A＝80°.(3)∠BDC＝90°＋∠A.小試牛刀如圖，在△ABC中，D為BC的延長線上一點(diǎn)，∠A＝60°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)O，求∠O的度數(shù)．由題意得∠OBC＝∠ABC，∠DCO＝∠ACD，∴∠O＝∠DCO－∠OBC＝∠ACD－∠ABC＝(∠ACD－∠ABC)＝