【二輪復(fù)習(xí)】2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測壓軸題05 圓的綜合（5題型+解題模板+技巧精講）（解析版）

壓軸題05

園的綜合

錄

?題型剖析?精準(zhǔn)提分

題型一切線的判定

題型二圓中求線段長度

題型三圓中的最值問題

題型四圓中的陰影部分面積

題型五圓中的比值（相似）問題

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

題型剖析-精準(zhǔn)提分

圓的綜合

題型一切線的判定題型三圓中的最值問題

題型二圓中求線段長度題型四圓中的陰影部分面積

題型五圓中的比值（相似）問題

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的

題型解讀：

考查熱度.

圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題

圓的綜合

的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高.多考

查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值

問題，?般會(huì)用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角

形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，

以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及

以下問題：①切線的判定；②計(jì)算線段長及證明線段比

例關(guān)系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.

右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.

題型一切線的判定

解題模板：

根據(jù)條件確定是否有明確交點(diǎn)

確定交點(diǎn)

根據(jù)有元交點(diǎn)作出相應(yīng)的輔助戰(zhàn)

利用切蝴判定方法進(jìn)行證明

推導(dǎo)證明

技巧：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直（根據(jù)題意，可以證角為90°,如已有90°角，可以嘗試證平行）

沒切點(diǎn)，作垂直，證半徑（通常為證全等，也可以通過計(jì)算得到與半徑相等）

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真題）如圖，A3為的直徑，如果圓上的點(diǎn)。恰使NAQC=N8,求

證：直線CO與：O相切.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出NOD4+NADC=90。，則C/）_LO。，再由切線的判定即可

得出結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，連接0。，

OA=ODf

:.ZA=ZODA,

加為（O的直徑,

:.ZADB=90°,

.??N4+NB=90°,

ZADC=/B,

:.ZODA+ZADC=90°,

即NCDO=90。，

:.CD±OD,

是。的半徑,

???直線。。與。相切.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握

圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式1T】（2023-遼寧?中考真題）如圖，4ABe內(nèi)接于GO,A3是。的直徑，CE平分N4C8交O于

求證：E尸與。。相切；

【分析】連接OE，由AA是（。的直徑可得NAC8=90。，進(jìn)而可得/4星=:/4。8=45。，再根據(jù)圓周角

定理可得/40七=2乙4。七=90。，進(jìn)而可證0七_(dá)148,OE工EF,即可.證明EF與。。相切；

【詳解】證明：如圖，連接OE，

r

.AB是:。的直徑,

Z4CB=90°,

vCE1平分NACB交（O于點(diǎn)E,

Z4CE=-ZACB=45°,

2

Z4OE=2ZACE=90°,

???0E1AB,

EF//AB,

/.OEA.EF,

.?OE是O的半徑，

:?E尸與。相切；

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練應(yīng)用圓周角定

理是解題的關(guān)犍.

【變式1-2](2023-遼寧-中考真題)如圖，是:。的直徑，點(diǎn)C,E在GO上，NC48=2NE4B,點(diǎn)尸在

線段A4的延長線上，且

4

(2)若B"=Lsin/4/石=一，求BC的長.

5

【分析】利用圓周角定理得到N￡C歸=2NE48,結(jié)合已知推出NC48=N反出，再證明△OFES^ABC,推

il|ZOEF=ZC=90°,即可證明結(jié)論成立；

*：BE=BE，:?/EOB=2/EAB,

,/ZC4B=2ZE4B,

KAB=/EOB,

vAB:。的直徑，

???ZC=90°,

*/ZAFE=ZABC^

/.l^OFEs^ABC、

???NOEF=NC=90。,

???OE為。O半徑，

：?EF與〔O相切；

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

熟練掌握圓的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023-湖北鄂州-中考真題)如圖，AB為。的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)。為溝B的中點(diǎn)，過

點(diǎn)C作CZ)_LAE,交4E的延長線于點(diǎn)O,延長。。交4B的延長線于點(diǎn)F.

【分析】連接OC,根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證根據(jù)圓的性質(zhì)得NO4C=NO。，證

明。C〃A。，得到NOb=NZ)=90。，根據(jù)切線的判定定理證明；

【詳解】證明：連接OC，

丁點(diǎn)C為河B的中點(diǎn)，

??EC=CB、

，/D4C=NC4產(chǎn)，

*：OA=OC,

???ZOAC=ZOCA

/.?DACICOA

：.OC//AD,

:.NOCF=ND=90。,

?:。。為半徑，

，DC為O切線；

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出軸助線是解題

的關(guān)鍵.

題型二圓中求線段長度

解題模板：

利用圓的相關(guān)定理和性質(zhì)作輔助線

分析題目條件并選取合適的方法進(jìn)行計(jì)算

分析計(jì)算

【例2】（2023-西藏-中考真題）如圖，已知A8為（Q的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，A。垂直于過點(diǎn)C的直線,

交。。于點(diǎn)￡,垂足為點(diǎn)。，AC平分NBA。.

D

C

￡

⑴求證：co是。的切線；

(2)若AC=8,BC=6,求OE的長.

【答案】(1)見詳解

【分析】（1）連接CO,根據(jù)角平分線的定義有Na4D=2NC4O,根據(jù)圓周角定理有2NC4O=NCQ5,可

得NDAB-NCOI3,進(jìn)而有AO〃OC,進(jìn)而可得NACO_180。-乙4￡9一90。，則有半徑OC_LCZ）,問題得

證；

_________a

（2）連接CO,CE,BC,利用勾股定理可得A8=JAC2+8C?=10,進(jìn)而有sin/CA8=-^=w,

AB5

AC4324

tanNCBA=—=-,根據(jù)ZDAC=ZCAB，即sinADAC=sinZC4B=進(jìn)而可得CD=ACxsinZDAC=—,

BC355

4

根據(jù)四邊形A￡C8內(nèi)接于〔O,可得N￡>EC=N8,UPtanZDEC=tanZC5A=-,再在Rl_EZK;中，可得

“CD24318

DE=-------------=—x-=—.

tanZDEC545

【詳解】（1）連接CO,如圖，

〈AC平分/HAT）,

，ABAD=2ZCAO,

???2ZCAO=ZCOB,

:"DAB=/COB,

/.AD//OC,

???ZADC+ZDCO=\SO0,

VADLCD,

???ZA￡)C=90°,

/.ZZX:0=180°-ZAZX?=90°,

???0C1CD,

???C。是QO的切線；

(2)連接CO,CE,BC,如圖,

???AB為。的直徑，

???Z4C￡?=90°,

VAC=8,BC=6,

工在RtZ\ABC中，AB=y/AC2+BC2=10?

AsinZC45=—=-,tanZCB>4=—=-,

AB5BC3

*/AC平分/BAO,

3

A^DAC=ZCAB,BPsinZDAC=sinACAB=",

5

???在Rt.AOC中，4c=8,

24

CD=ACxsinZ.DAC=—,

5

???四邊形AECB內(nèi)接于(O,

4

/DEC=NB,即tan/DEC=tanNCBA=-,

3

24

???在Rt..￡DC中，CD=y,

.CD24318

??DE=------------=——x-=—.

tanZ.DEC545

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理等知識(shí)，靈活

運(yùn)用解直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023-內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，A8是。。的直徑，E為。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)。是用后的中點(diǎn),

連接8C,過點(diǎn)C的直線垂直于3E的延長線于點(diǎn)。，交府的延長線于點(diǎn)兒

（1）求證：PC為。。的切線；

（2）若。。=2&30，PB=10,求跖的長.

【答案】（1）見解析

⑵BE[

【分析】（1）連接OC，根據(jù)點(diǎn)C是用E的中點(diǎn)可得NABC=NC8O,進(jìn)而證OC〃即，從而得證

NPCO=NO=9（）。即可；

（2）解法一：連接AE交OC于M,根據(jù)PC=2夜80及勾股定理求出OC=g，再證明AE〃叨,從而得

到噂=必，即可求出席的值；解法二：過點(diǎn)、0作OHLBD于點(diǎn)、H,按照解法?步驟求出。。=:,然后

LxKX1/（

10

證明四邊形CO”力是矩形，再證明jPCOs_PZX?,求得8。二了，進(jìn)而求出BE的值.

【詳解】（1）證明：連接OC，

?;BD工CD,

：.ZD=90°,

點(diǎn)C是汁E的中點(diǎn)，

AC=CE，

ZABC=NCBD,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

NOCB=/CBD、

：.OC//BD,

:.^PCO=ZD=90°,

;.OC工PD,

0C是半徑，

??.PC是：。的切線;

(2)解法一：連接交。。于M.

PC=2夜80，BO=CO,

PC=2y/2CO>

?.PB=10,

;.PO=PB—OB=U)—OC,

在RtAPCO'PPC2十OC1=PO：，

/.(2V2CO)2+oc2=(io-oc)2,

.?.。。="|或0。=-5(不符合題意，舍去),

；點(diǎn)C是舛片的中點(diǎn)，0C是半徑，

」0C垂直平分AE,

C/A=OR,

」.0M是八4￡?的中位線，

:.BE=2OM,

?,他是直徑，

.-.Z4EB=ZD=90°,

：.AE//PD,

5

0MON，1

：'~OC=OP=^1=^，

2

.?.OM=-J-OC=-x-=-,

3326

BE=2x-=-

63:

D

解法二：過點(diǎn)。作O”_L8。于點(diǎn)月，

;.NDHO=90°,BE=2BH,

PC=2同O，BO=CO、

PC=2正CO，

PB=1。,

.\PO=PB-OB=\0-OC,

???在RtAPCO111,PC2+OC2=PO2,

/.(2V2C0)2+OC2=(10-OC)2,

.?.OC=g或OC=-5(不符合題意，舍去),

NPDB=ZDHO=NOCD=90°，

???四邊形COHO是矩形，

：.DH=CO=h,

2

OC〃BD、

PCO^PDB,

.POCO

'~PB~~BD'

155

，互=2，

10BD

\BD卷,

，叩=W-2=2,

326

/.BE=2BH=2x-=-.

63

D

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，平行線間線段成比例，相似三角形的的判定與

性質(zhì)，掌握并理解相關(guān)性質(zhì)定理并能綜合應(yīng)用是關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023-遼寧大連-中考真題）如圖1,在中，A6為O的直徑，點(diǎn)C為QO上一點(diǎn)，AD為

⑴求N3EO的度數(shù);

（2）如圖2,過點(diǎn)A作O的切線交8c延長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作。G〃A〃交A8于點(diǎn)G.若AD=2后,

OE=4,求力G的長.

【答案】（1）90。

(2)2x/10

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證得兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

（2）由勾股定理得到邊的關(guān)系，求出線段的長，再利用等面積法求解即可.

【詳解】（1）解：相為＜0的直徑，

.20=90°,

\A￡＞為NC48的平分線，

\?BAC22BAD,

OA=ODt

，/BAD=NODA,

...ZBOD=ABAD+ZOm=2NBAD,

：.ZBOD=ZBAC,

:.OD//AC,

:.ZOEB=ZACB=90°,

.?./BED=90。；

(2)解：連接B。，

設(shè)OA=OB=O7)=，

則OE=r-4,AC=2OE=2—8,AB=2r,

圖2

?」4?為(O的直徑，

.?.ZADB=90°,

在Rt.AOB中，BD2=AB2-AD\

由(1)得，/BED=90。,

:.ZBED=ZBEO=90°,

:.BE2=OB2-OE2,BE?=BD'-DE2，

：.BD2=AB2-ADr=BE'+DE，=OB,-OE2+DE2,

???(2r)y2序)'=r2-(r-4)2+42,

解得/*=7或r=-5(不合題意舍左)，

.-.AB=2r=\4t

BD=SIAB2-AD2=7l42-(2x/35)2=2>/|4,

?.?A尸是。。的切線，

：.AFLAB^

DG//AF,

:.DG±AB,

S?Aol}LD/=-2ADBD=2-ABDGt

“G二處@=2后x4標(biāo)"配

AB14

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握圓周角定理和勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023-湖北恩施-中考真題）如圖，是等腰直角三角形，ZACB=90°,點(diǎn)。為A8的中

點(diǎn)，連接CO交O于點(diǎn)、E,。與AC相切于點(diǎn)。.

（1）求證：BC是。的切線；

⑵延長8交于點(diǎn)G,連接4G交90于點(diǎn)F,若AC=4&，求"G的長.

【答案】（1）見解析

⑵還

3

【分析】（1）連接0。，過點(diǎn)。作OP_L3C于點(diǎn)P,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOCZ）=NOC尸=45。，推

出。O=OP,即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰百角三角形的性質(zhì)求出0A,。。的長，勾股定理求出4G,連接OF,過。作O/7JL4G于點(diǎn)

H,利用面積法求出O",勾股定理求出/傷，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出尸G的長.

【詳解】（1）證明：連接。。，過點(diǎn)。作OP_L4c于點(diǎn)P,

A

二）0與AC相切于點(diǎn)”.

ZODIAC,

???/BC是等腰直角三角形，ZACT=90°,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn),

???/OCD=NOCP=45。,

：?OD=OP,即OP是。的半徑，

???BC是O的切線；

⑵解：U40，AB=AC,ZACB=90°,

AB=>/2AC=S^OCJ~AB,

???點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，

工OC=OA=-AB=4,

2

ZODIAC

???OD=-AC=2y/2,

2

在中，AG=yJOA2+OG2=^42+（2>/2）2=276

連接。尸，過。作O”_LAG于點(diǎn)H,

.八口OAOG4x2724G

??On=--------=------—=-------?

AG2V63

??.HG=>JOG2-OH2=］（2司二孚=平

?：OF=OG,

工FG=2HG=^~.

3

CPB

【點(diǎn)睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定埋，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定埋，正確掌

握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型三圓中的最值問題

解題模板：

根據(jù)題目條件判斷圓中最值模型

利用模型技巧構(gòu)造圖形并確定動(dòng)點(diǎn)位置

分析幾何特征并代入數(shù)值計(jì)算

技巧精講：

1、輔助圓模型

MSI河■情境0B示絡(luò)論

。在。。外

當(dāng)".￡.。三點(diǎn)共貨時(shí),。￡右?值.最大值

.g為d+r.依小假為d-，

點(diǎn)重力。。上一點(diǎn).O。的中校

&花。。上為0J”三點(diǎn)共線時(shí),況〃■偵.最大偵

為，.平面內(nèi)一定點(diǎn)"與點(diǎn)。的

點(diǎn)國最值為d?7?2/（即為。。的女江）,最小他為

即南。。;九求出班的■大值

/?“。（。?￡攻令）

能量小值

"在。0內(nèi)

當(dāng)。.￡。三點(diǎn)共線時(shí),比?在最值,最大價(jià)

G電-

為」?，.最小假為一」

c在優(yōu)弧A。k

（3）^CHlAR11C/f過網(wǎng)心0時(shí).統(tǒng)段CH的

長即為點(diǎn)C到弦3的?大距寓,比叼

S。*第惱0大

46是?0的一條定弦.點(diǎn)。為

啟上一動(dòng)點(diǎn)

C在劣冕4A上

圾闋總值QHCH1AHR,心。在5的廷KfilhM.

線段a/裁長即為0.C到強(qiáng)人3的■大蹌

崗.此時(shí)以.的傷?大

曳里

。。與代次，相離.點(diǎn)〃為。。

以。到“的最小距離比/-，,?大叫聲

上一動(dòng)jfi.R網(wǎng)心。到直線，

是」?『

的即離為d.OO的中技為，

卷

UTJCaWC和△硼）的公共邊.4.BCD網(wǎng)點(diǎn)共■.留心0為三角彩任意

WARM

H.AC.DftA?MM.4C?Z.D一班鄰邊的免近平分級(jí)的交點(diǎn)

般型向11情填圖示籍論

在內(nèi)邊形ABCD中.Z.ABC=

內(nèi)邊形樣a）的外接IM力以為?［校的

Z.ALC=90。捕足Z/WC?

GO

C=l?0'

四點(diǎn)共BH

在后邊形ABCD中,淌￡四邊形ABCD的外接冊為。0,?心0為任

乙ABC+￡ADC?1Q.厚便?納郭邊的里立平分線的交點(diǎn)

（￡00中一48為一條定餃?點(diǎn)Z.4DB=Z4CT=Z/<￡fl（姥A8在劣只IB

通，上也育園蹄角）

定角定茯

點(diǎn)C在00的份上均可（當(dāng)4c>90”時(shí).

在。9中.48為一條定效,CX

點(diǎn)C在劣桑匕當(dāng)4C-9O°UL點(diǎn)（?在半用

。。上任意一動(dòng)點(diǎn)且Z.CN"

會(huì)匕當(dāng)4c<90?時(shí),點(diǎn)C衣優(yōu)孤1：）

乙APRf

畬冬PMAA.剜4。?2尸,當(dāng)PM?L?或

R4?相時(shí).444最小值,比時(shí)AB=2A

已知育外一點(diǎn)「.點(diǎn)〃到六

埃必的距離為定值乂定離）.

定角定育過J&P作PHU?以〃,則用/,A?可福

為定做《宏角LW為4打

2。8="900乙APBa/乙村?，4OM?o,設(shè)。。的半

的中口,求品的?小假

程為，?/^“M0=，*，?EaKPM5t/7/=

▲.￥PUiABsiPA=PHM.w?yo=

了理匕411/>W=P//?A.Wr4r-r%

■小幀.則A8的最小值為6ina

兩定點(diǎn)48在Z.C的一條邊上.過A.8兩京作UM點(diǎn)C的另一邊相切.當(dāng)

*X?ft另有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在這個(gè)角的另點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)rW.Z4Pff?大（同孤阱

一條力上.找一點(diǎn)/?使用4硒》對能闋碼角桁等.■外角小于圈冏角.IH內(nèi)

?X向大于?冏角）

【例3】（2023-湖南長沙-三模）如圖1：在（。中，A3為直徑，C是0。上一點(diǎn)，AC=3,BC=4.過。分別

作OH18c于點(diǎn)H,OD_LAC于點(diǎn)D,點(diǎn)E、尸分別在線段BC、AC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）,且保持ZEOF=900.

（D9C=；四邊形CQO”是（填矩形/菱形/正方形）；S四邊形次〃=:

（2）當(dāng)尸和。不重合時(shí)，求證：AOFD^^OEH：

⑶①在圖I中，P是,CEO的外接圓，設(shè)尸面積為S,求S的最小值，并說明理由；

②如圖2：若。是線段人4上一動(dòng)點(diǎn)，且。4：Q8=l：〃，ZEQF=90°,M是四邊形CEQ產(chǎn)的外接圓，則

當(dāng)〃為何值時(shí)，M的面積最小？最小值為多少？請直接寫出答案.

【答案】（1）2.5；矩形;3；

（2）見解析

（3）①3乃，理由見解析；②〃=乎時(shí)，S有最小值或乃.

16925

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理及勾股定理得出A8=5,再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出化=2.5；利用

矩形的判定得出四邊形C。?！钡男螤睿儆上嗨迫切蔚呐卸ê托再|(zhì)及矩形的面積求法即可得出結(jié)果：

（2）由圓周保定理及等量代換得出/尸8=/反陽，再由相似三角形的判定即可證明；

（3）①由（2）得NACB=90。，/反加=90。，確定圓P經(jīng)過C、F、0、E,即為.COE的外接圓，目后尸

為直徑，由（1）得出E尸取得最小值為;A8=2.5,利用圓的面現(xiàn)求解即可；②根據(jù)題意得：當(dāng)QE_LAC,

43〃

QF_L8。時(shí)，圓M的直徑EF有最小值，再由三角函數(shù)得出&=?；—,QF=--,利用勾股定理及二次

函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：???48為直徑，

???ZACB=90°,

???AC=3,BC=4,

，AB=5,

???OC=-AB=2.5,

2

,：ODLAC,OHIBC,ZACB=90°,

???四邊形8。”是矩形；

'：ODLAC,ZACB=90°,

:.UD〃BC,

A..OAD^BAC,

,ODAO\

..----=------=—,

BCAB2

：.OD=2,

同理得?！?1.5,

$四地形c/xw=2x1.5=3：

故答案為：2.5；矩形；3；

(2)證明：ZODIAC,OH工CB,

：.1FDO=NEHO=9()°,

乂A8為直徑，

???ZACT=90°,

???/DOH=90。=/EOF,

即ZFOD+/DOE=/DOE+/EOH,

，2FOD=NEOH,

/.OFD^.OEH.

(3)①如圖，VZACB=90°.ZEOF=90°,

???圓P經(jīng)過C、F、0、E,即為二COE的外接圓，同￡b為直徑

???當(dāng)E尸最小時(shí)，圓P的面積S有最小值，

當(dāng)產(chǎn)和0重合、E和〃重合時(shí)，

由(1)得O/=2,。七=15取得最小值，

瓦?也取得最小值為^AB=2.5,

此時(shí)S=;rf竺］="乃為最小值.

I2)16

②根據(jù)題意得：當(dāng)QE，AC,QFlBClhj,

圓W的直徑EE有最小值，

此時(shí)4Q=上，BQ=—,NAQE=/48C,EQ=cosAAQEAQ=—,QF=s\nZ.AQBBQ=—

\+nl+〃1+/2l+H

當(dāng)E〃最小時(shí)，S最小，

令1="+l,則E尸=9("2+16=25(!]-18-+9

r⑺t

為關(guān)于！的二次函數(shù)，當(dāng)1=2,即〃=償時(shí)，S有最小值，代入得s最小值為￡乃.

II25925

【點(diǎn)睛】題目主要考杳圓與四邊形綜合問題，包括圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，內(nèi)接三角形和四邊形,

解直角三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵.

【變式3-1](2023-安徽-模擬預(yù)測)如圖，半圓的直徑A4=4,弦CD〃A3,連接AC3DAR8C.

(1)求證：4ADC出4BCD\

(2)當(dāng).86的面積最大時(shí)，求NCA。的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)45°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAQC=ND48,從而可得AC=B。，然后根據(jù)同圓或等圓中弧、弦、

圓周角的關(guān)系可得A0=8C,從而用邊邊邊定理證明三角形全等；

(2)連接OCOD,過點(diǎn)。作OELOC,垂足為點(diǎn)E,通過分析當(dāng)且僅當(dāng)NCOD=90。時(shí)取等號(hào)時(shí)?S八⑺有最

大值為2,分析求解.

【詳解】(1)證明：CD//AB,

:.ZADC=Z.DAB

：.AC=BD，

：.AC=BD,AC+CD=BD+CD，即AQ=8C，

AD=BC.

又CD=DC.

MADC^.BCD(SSS)

(2)解：連接。C。。，過點(diǎn)。作QE_L"，垂足為點(diǎn)E.

：.0C=0D=-AB=2.

2

CD//AB,

SHACD=Sagj=—OC'DE.

?.DEMOD=2,當(dāng)且僅當(dāng)NC8=90。時(shí)取等號(hào),

此時(shí)SACD取人=Qx2x2=2,

???ZC4D=-ZCOD=45°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，同圓或等圓中弧、弦、圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖

形題意，準(zhǔn)確添加輔助線.

【變式3-2](2023-四川-中考真題)如圖I,已知線段A3,AC,線段AC繞點(diǎn)A在直線A4上方旋轉(zhuǎn)，連

接BC,以8c為邊在8C上方作RL.8QC,且NOAC=30。.

(1)若/8。。=90°,以AB為邊在AA上方作且NA￡3=90。，ZEBA=30°,連接OE,用等式表

示線段AC與的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE上AB,A3=4,AC=2,求8c的長；

(3)如圖3,若NBCD=90。，A3=4,AC=2,當(dāng)AO的值最大時(shí)，求此時(shí)tanNCBA的值.

【答案】(l)AC=gGO￡

Q)BC=2不

⑶當(dāng)

【分析】(1)在RlBDC中,ZDBC=30°,RtAfiAE,且ZA￡3=90。，ZEBA=30°,可得YABEsYCBD,

AnRF

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出絲=蕓，ADBE=ZCBA,進(jìn)而證明△A8CSZX￡8O,根據(jù)相似三角形的性

BCBD

質(zhì)即可求解;

(2)延長OE交A8于點(diǎn)尸，如圖所示，在RLAE”中，求得進(jìn)而求得所的長，根據(jù)(I)的結(jié)

論，得出?！?6，在RtBFD中,勾股定理求得8。，進(jìn)而根據(jù)即可求解.

(3)如圖所示，以A8為邊在A8上方作Rt△84E,且N￡43=90。，NE84=30。，連接即，EA,ED,EC,

同(1)可得./3。爐工4c4,進(jìn)而得出。在以E為圓心，逑為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A￡。三點(diǎn)共線時(shí),

3

A。的值最大，進(jìn)而求得COSN4D4=￡^,sinZZ?DA=—,根據(jù)得出N8C4,

過點(diǎn)A作AEIBC,于點(diǎn)尸,分別求得人RCT7,然后求得班,最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】（I）解：在Rt8OC中，NDBC=300,RtARAE,且NA￡8=90。，ZEBA=30°,

:.YABEWCBD,NDBE+NEBC=/ABC+NEBC,BE=AB>.cosZABE=—AB

2

,NDBE=NCBA,

BCBD

：.AABCS^EBD

AC_ABAB25/3

?-~DE~~BE~A~~

——AB

2

：.AC=-y/3DE,

3

故答案為：AC=40DE.

（2）VRtABAE,且ZA￡B=90。，ZEBA=30°,AB=4

：.AE=ABsinZEI3A=-AI3=2NE4￡=6