2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：數(shù)列大題分類講解

數(shù)列高考大題的類型與解法

數(shù)列問題也是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣亳不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，

都必有一個數(shù)列問題的12分大題或兩到三個數(shù)列問題的5分小題。從題型上看是17或18

題的12分大題或選擇題〔也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考

生都會拿到7到12分；縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來數(shù)列大題問題主要包括：①等差數(shù)

列與等比數(shù)列之間的綜合，求基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的前n項(xiàng)和；②等差數(shù)列

與等比數(shù)列之間的標(biāo)合，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和：③等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的

綜合，運(yùn)用拆項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和：④等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用錯項(xiàng)相

減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；⑤等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等幾種

類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解

答數(shù)列大題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通

過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個問題。

【典例I]解答下列問題：

1、記S“為等差數(shù)列｛。〃｝的前n項(xiàng)和，己知=S[（）=40°

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛\an\｝的前n項(xiàng)和（（2023全國高考乙卷文）

2

2、設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,且d>l,令記S”，。分別為數(shù)列｛g｝,

冊

｛b,r）的前n項(xiàng)和。

（1）若3a2=3%+%，53+T3=21,求數(shù)列｛an｝的道項(xiàng)公式；

（2）若｛b“｝為等差數(shù)列，且S99一n廣99,求d（2023全國高考新高考I）

3、數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，b,尸。”-6,n為奇數(shù)，記S“，7；分別為｛4｝,｛bJ的

[24“，n為偶數(shù)，前n項(xiàng)和，S4=32,T3=16O

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式：

（2）證明：當(dāng)n>5時(shí)，7；>S“（2023全國高考新高考H）

4、（理）已知數(shù)列｛凡）滿足：q=-2,an+]=2an+4.

（1）證明數(shù)列｛?！?4）是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“。

（文）在等比數(shù)列｛4“｝中，已知%=8卬，且可，生+1，%成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛|%-4|｝的前n項(xiàng)和5“（2017成都市一珍）

5、已知數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和s“=口'（n^N*）。

2

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)〃=2“"+（-1）"%,求數(shù)列｛bn｝的前2n項(xiàng)和7；。

K思考問題

（1）【典例1】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類詞題

需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列,

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)

構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；

（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)q和公

差d（或公比q）,再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解

答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是幾項(xiàng)的和，各項(xiàng)分別組合構(gòu)成一個基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的

特征，然后利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【典例2]解答下列問題：

1、已知數(shù)列｛%｝中，a2=\,設(shè)S,為）的前n項(xiàng)和，2s“二n%。

（1）求數(shù)列｛4』的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛寫1｝的前n項(xiàng)和7；。（2023全國高考甲卷理）

2、己知等比數(shù)列｛%｝的公比為3,且4,%+3,%-6成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列⑺凡｝的前n項(xiàng)和Z,（成都市高2020級高三二診）

3、（理）設(shè)數(shù)列｛〃“｝滿足q=3,%+[=3%-4n。

（1）計(jì)算出，如，猜想數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

n

（2）求數(shù)列｛2an）的前n項(xiàng)和S”

（文）設(shè)等比數(shù)列｛4｝滿足。|+。2=4,a5-a1=8o

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記S”為數(shù)列｛嗓3勺｝的前n項(xiàng)和，若S,”+S,川=S“日求m（2020全國高考新課

標(biāo)III）。

4、已知等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，公比q>l,且%+1為卬，/的等差中項(xiàng)，53=14。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記b“二a”.log?an，求數(shù)列｛b〃｝的前n項(xiàng)和，（2019成都市高三二診）

R思考問題2』

（1）【典例2】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類詞題

需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列,

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)

構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；

（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)q和公

差d（或公比q）,再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；笫二小題是?般數(shù)列求和的問題，解

答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是兩個因式的積，其中一個因式分裂巴來構(gòu)成等差數(shù)列，另一個因式分裂

出來構(gòu)成等比數(shù)列的特征，然后利用錯項(xiàng)相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【典例3］解答下列問題：

1、已知數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛么）是公比為2的等比數(shù)列，且生"2=。3一5

—bq-o

（1）證明：。1二4；

（2）求集合出a=。朗+q,l〈m?500｝中元素個數(shù)（2022全國高考新高考H卷）

2、已知等差數(shù)列｛〃“｝滿足2a2+%=。，%=2。4-2。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)勿=2""，求數(shù)列｛"｝的前n項(xiàng)和（成都市2019級高二一診）

「+1，n為奇數(shù)，

3、已知數(shù)列｛%｝滿足：。尸1,4+尸］%+2,n為偶數(shù)。

（1）記“=〃2”，寫出4，b2,并求數(shù)列｛么｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛4｝的前20項(xiàng)和（2021全國高考新高考I）°

4、（理）已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛%｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取

兩個作為條件，證明另外一個成立。①數(shù)列｛6｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛底｝是等差數(shù)列；

③4=3注：若選擇不同組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分。

（文）記S”為｛““｝的前n項(xiàng)和，已知%>0,生=3/，且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列，證明：

數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列（2021全國高考甲卷）。

2I

5、（理）記5”為｛牝｝的前n項(xiàng)和，勿為數(shù)列｛S.｝的前n項(xiàng)積，已知力+二=2。

S“b.

（1）證明：數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式。

（文）設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛么｝滿足：b,廣旦,已知外,3%，9%成

等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛〃”）,SJ的通項(xiàng)公式；

q

（2）記S“和7；分別為｛*｝,｛4｝的前n項(xiàng)和，證明：邛昔（2021全國高考乙卷）。

6、記S”是公差不為。的等差數(shù)列｛/｝的前n項(xiàng)和，若〃3=53，〃2?4=S-

（1）求數(shù)列｛〃.｝的通項(xiàng)公式％;

（2）求使S“>見成立的n的最小值（2021全國高考新高考H卷）。

7、已知數(shù)列｛%｝中，%=1,%=3，an+2+3atl=4an^,bn=an+l-an,nsN*。

（1）求數(shù)列｛b“｝的通項(xiàng)公式；

（2）!?.（??=log.（凡+b“）,數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和為S“?求S”（2021成都市高三三診）.

8、設(shè)｛〃“）是公比不為1的等比數(shù)列，%為電，%的等差中項(xiàng)。

（1）求｛4｝的公比；

（2）若。尸1,求數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和S“（2020全國高考新課標(biāo)I理）。

9、己知公比大于1的等比數(shù)列｛?！埃凉M足。2+%=20,%=8。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）記①為｛《,｝在區(qū)間（0,m］（meM）中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列｛/%｝的前100項(xiàng)和

S］（）0（2020全國高考新高考I）

10、已知公比大于1的等比數(shù)列｛an｝滿足4+4=20,%=8。

（1）求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

（2）求。1電-。2%+-----+（—1）"T〃用（2020全國高考新高考0）

11、（文）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，已知$9二-%。

（1）若出=4,求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

（2）若q>0,求使得S“Na”的n的取值范圍（2019全國高考新課標(biāo)I）

12、（理）已知數(shù)列｛?〃｝和｛"｝滿足q=l,/?,=0,4?7=3凡-4+4,4”用=35-%-4。

（1）證明：（4+么｝是等比數(shù)列，｛〃”-4｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛4｝和｛5｝的通項(xiàng)公式。

（文）已知｛凡）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,。產(chǎn)2,%文電+16。

（1）求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)〃,=log2an,求數(shù)列｛”,｝的前n項(xiàng)和（2019全國高考新課標(biāo)II）

K思考問題35

（1）【典例3】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合問題，解答這類問題需要理解等差數(shù)列,

等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題；

（2）第一小族一般是求通項(xiàng)公式的問題,解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)為和公

差d（或公比q）,再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；笫二小題一般是求數(shù)列的前n項(xiàng)和，

解答時(shí)應(yīng)該分辨清楚數(shù)列是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，然后直接選用相應(yīng)的前n項(xiàng)和公式通

過運(yùn)算求出結(jié)果。

【典例4］解答下列問題：

VI

1、記S”為數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和，已知q=l,｛—｝是公差為一的等差數(shù)列。

a?3

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）證明：---H---H---+—<2（2022全國高考新高考I卷）

%a2an

2、（理）S”為數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，已知%>0,a；+2a〃=4S“+3。

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)求數(shù)列｛b,J的前n項(xiàng)和。

（文）已知等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S”滿足：S，=0,S5=-5O

（1）數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛——!——｝的前n項(xiàng)和（2021全國高考乙卷）。

3

3、已知｛〃“｝是遞增的等比列數(shù)，q=l,且2%，2%,%成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)--------!--------（n￡N*）,求數(shù)列｛b.｝的前n項(xiàng)和S.（2020成都市

1082。“+/?！ā?2

高三二珍）

4、己知等差數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S“，且生=2,SN=66.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）（理）若數(shù)列｛b〃｝滿足b〃=」一，求證：b1+b.+------+b“<l。（文）若數(shù)列｛b〃｝

滿足b“=2“"，求數(shù)列｛，｝的前n項(xiàng)和7；（2017成都市高三零珍）

R思考問題4』

（1）【典例4】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類詞題

需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列，

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)

構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；

（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)q和公

差d（或公比q）,再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；笫二小題是?般數(shù)列求和的問題，解

答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是一個分式,分式的分子為常數(shù)，分母是兒個連續(xù)整數(shù)的積這一結(jié)果特征,

然后利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【典例5］解答下列問題：

2s

1、記S”為數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和，已知一+n=2〃”+l。

n

（1）證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

（2）若4,%，為成等比數(shù)列，求S”的最小值（2022全國高考甲卷）

2、設(shè)S“為等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，已知卬=-7,83=15。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S“，并求S”的最小值（2018全國高考新課標(biāo)H卷（理））

3、設(shè)｛凡｝是等差數(shù)列,^=-10,a2+10,4+8,%+6成等比數(shù)列。

（I）求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

（2）記｛牝｝的前n項(xiàng)和為S”，求S〃的最小值（2019全國高考北京（文））

K思考問題5J

（1）【典例5】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題.解

答這類問題需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌

握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意

等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，運(yùn)用求函數(shù)最值的基本方法就可求出結(jié)果；

（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)為和公

差d（或公比q）,再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第一小題是求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最

值問題，解答時(shí)注意等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用求函數(shù)最值的基本方法就

可求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值。

數(shù)列高考大題的類型與解法

數(shù)列問題也是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，可以這樣亳不夸張地說，只要是數(shù)學(xué)高考試卷，

都必有一個數(shù)列問題的12分大題或兩到三個數(shù)列問題的5分小題。從題型上看是17或18

題的12分大題或選擇題〔也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考

生都會拿到7到12分；縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來數(shù)列大題問題主要包括：①等差數(shù)

列與等比數(shù)列之間的綜合，求基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的前n項(xiàng)和；②等差數(shù)列

與等比數(shù)列之間的標(biāo)合，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和：③等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的

綜合，運(yùn)用拆項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和：④等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，運(yùn)用錯項(xiàng)相

減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；⑤等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的綜合，求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等幾種

類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解

答數(shù)列大題問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通

過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個問題。

【典例I］解答下列問題：

1、記S“為等差數(shù)列（〃〃｝的前n項(xiàng)和，已知〃2=11，§10=4（）。

（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛\an\］的前n項(xiàng)和7；（2023全國高考乙卷文）

【解析】

【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及

運(yùn)用：④拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用。

【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問

題條件得到關(guān)于首項(xiàng)4,公差d的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)q,公差d的值，就可求

出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列｛七｝通項(xiàng)公式得到數(shù)列｛|〃“|｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用拆

項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列（|您|｝的前n項(xiàng)和Tn。

【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列｛勺｝的首項(xiàng)為4,公差為d,“2=11,Slo=40,:.ax

+d=ll①，10%+45d=40②，聯(lián)立①②解得:q=13,d=-2,/.an=ai+（n-1）d=13-2n+2

2

=15-2n：（2）???由（1）知，an==15-2n,|/15-2n,1^7,Ttl=（\4n-n,lWrS7,

2n-15,n>8,k2-14n+98,n>8o

2

2、設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且d>l,令b〃=43,記S“，7；分別為數(shù)列｛%｝,

a?

｛bj的前n項(xiàng)和。

（1）若3a2=3《+。3,53+T3=21,求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）若｛b“｝為等差數(shù)列，且，廣7；9=99,求d（2023全國高考新高考1）

【解析】

【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及

運(yùn)用；④拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用。

【解題思路】（I）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問

題條件得到關(guān)于首項(xiàng)公差d的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)《，公差d的值，就可求

出數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列｛*｝通項(xiàng)公式，數(shù)列｛b〃｝的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列

的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于首項(xiàng)為％,公差d的等式，從而得到首項(xiàng)為q關(guān)于d的表

示式，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，拆項(xiàng)求和的基本方法得到關(guān)于d的方程，求解方程就可

求出d的值。

【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列｛/｝的首項(xiàng)為q,?等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,且d>1,

b“二〃'〃,3〃產(chǎn)3。1+%,S,+7',=21,34+3d=4q+2d①，3a.+3d+-+-----

??4?II1qq+.d1

12

+------=21②，聯(lián)立①②解得：。產(chǎn)3,d=3,.\a=a,+3(n-1)=3n；(2)設(shè)等差數(shù)列

q+2d

2c

｛%｝的首項(xiàng)為q,???筆差數(shù)列｛%｝的公差為d,且d>l,b,二口2,:.b1=~,b、

凡4

‘一，b.=——,{b〃}為等差數(shù)列，.?.：一=一+-------,=(&-d)(o-2d)

4+da]+2dq+dq%+2d

,n2+〃n2+nn1

=0,4=d或。產(chǎn)25當(dāng)％=d時(shí),b=-----=-----------=—+—,599=99d+99x49d

and+(n-\)ddd

\9999x5199x51

=99x50d,Tgg=—(1+2+---+99)H-----=----------599-T-99X50d-------=99,

99ddd99d

51.,iv+nn1+nn

50d-y=l,n(50d-51)(d+l)=0,/.d=—；a,=2d時(shí)，Vb=-----=------------=—

5()'"atl2”+(〃-IMd

I99x50

S=2x99d+99x49d=99x51d,T=—(1+2+……+99)=------,VS-7；=99x51d

9999dcl999

99x50

=99,.\51d--=1,=>(51d+50)(d-l)=0,d=l與題意不符，，綜上所述，若

dd

｛bj為等差數(shù)列，且耳9-？；9=99,則仁2。

3、數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，bn=(an-6,n為奇數(shù)，記S”，7；分別為｛%｝,｛b“｝的

<

2an,n為偶數(shù)，前n項(xiàng)和，S4=32,T3=16o

(1)求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)n>5時(shí)，7；>S“(2023全國高考新高考II)

【解析】

【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及

運(yùn)用；④拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用。

【解題思路】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，結(jié)合問

題條件得到關(guān)于首項(xiàng)q，公差d的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)％,公差d的值，就可求

出數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)數(shù)列｛/｝通項(xiàng)公式得到數(shù)列｛b.｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用拆

項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和Tn關(guān)于n的表示式，運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)

和公式得到S”關(guān)于n的表示式，就可證明結(jié)論。

【詳細(xì)解答】(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)為卬，公差為d,???S4=32,T3=16,.-.2^

+3d=16①，q+d-3=4②，聯(lián)立①②解得:q=5,d=2,Aan=a1+(n-1)d=5+2n-2=2n+3；

(2)?「當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b/r=an-6=2n+3-6=2n-3,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b/;=2an=4n+6?/.當(dāng)n

為奇數(shù)時(shí)，T=2(1+3+-----+n-2)+—-------+4(2+4+-----+n-1)H———-+2n-3=—/Z'H

“2222

3313

n-8?當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T=2(1+3+-----+n-1)H—n+4(2+4+------+n)+3n=-n~H-----n,

222

S”=5n+_—x2=n2+4n,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)=3n2+—n-8-n2-4n=—n2+—n-8>—

“2""22222

1531315

?1-----8=20-8=12>0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T'-S'=—n"+—n-/?"-4n=—n"H—n>0,.二綜上所述，

22222

當(dāng)n>5時(shí)，T,，>Sn=

4、(理)已知數(shù)列｛凡｝滿足：q=-2,an+l=2an+4.

(I)證明數(shù)列｛%+4>是等比數(shù)列：

(2)求數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和5.。

(文)在等比數(shù)列｛4｝中，已知%=8卬，且卬，生+1，%成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛|?！?4|｝的前n項(xiàng)和S“（2017成都市一珍）

【解析】

【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式

及運(yùn)用；④等差中項(xiàng)定義與性質(zhì)：⑤等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；⑦拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用。

【解題思路】（理）（I）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法，結(jié)

合問題條件就可證明數(shù)列（4+4｝是等比數(shù)列；（2）杈據(jù)（1）得到數(shù)列數(shù)列｛凡）的通

項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列｛*｝的前n項(xiàng)

和S“。（文）根據(jù)等比數(shù)列和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得

到關(guān)于首項(xiàng)外，公比q的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)q,公比q的值，就可求出數(shù)列｛〃“｝

的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）得到數(shù)列｛《,-4｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與

拆項(xiàng)求和的基本方法就可求出數(shù)列｛|%-4|）的前n項(xiàng)和。

（I+4

【詳細(xì)解答】（理）（1）。向=2%+4.,。向+4=2?！?8+2（4+4）,=>^—=2,

q+4

???a產(chǎn)2,%+4=?2+4=2,.,.數(shù)列｛/+數(shù)是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列;⑵V

由（1）知，a+4=2x2"“二2",=2"-4,S=-4n+（2+22+-----+2"）=-4n+

〃"〃1-2

=2〃+L4n2

（文）設(shè)等比數(shù)列｛?！埃氖醉?xiàng)為4,公比為q,。產(chǎn)84,且4,%+1，%成等差數(shù)

列，「.①，2qq+2=q+qd②，聯(lián)立①②解得：a,=2,q=2,二.數(shù)列｛?！埃?/p>

w2

通項(xiàng)公式為勺=2X2"T=2”：⑵???由（1）知,an-4=2-4,S?=-4n+（2+2+------2”）

2x（l-2”）?

=-4n+---------------=2-4n-2。

1-2

2

5、已知數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和s“二號W（neN.）。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)a=2%+(-Ifa?t求數(shù)列｛b?｝的前2n項(xiàng)和7；。

【解析】

【考點(diǎn)】①數(shù)列通項(xiàng)公式與前n和公式之間的關(guān)系及運(yùn)用；②己知數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求數(shù)

列通項(xiàng)公式的基本方法；③拆項(xiàng)求和法及運(yùn)用。

【解題思路】(1)根據(jù)教列通項(xiàng)公式與前n和公式之間的關(guān)系，運(yùn)用已知數(shù)列前n項(xiàng)和公

式，求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；(2)根

據(jù)(1)得到數(shù)列數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與拆項(xiàng)求和的基本方

法就可求出數(shù)列｛燈｝的前n項(xiàng)和Tn。

【詳細(xì)解答](1)①當(dāng)「二1時(shí)，q=S]=V_Ll,②當(dāng)n22時(shí)，a”=S“-S“_1

=〃-+〃(〃])--(〃一])=2二0,當(dāng)門二1時(shí)，1成立，...數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式為4=n；

221〃”

nn=

(2)bn-2""+(―l)cilt-2"+(―l)n?Tn(-1+2-3+4-----(n-1)+(―1)”n)

+2c2")=2n+,+y-2(n為偶數(shù))或7；=(-1+2-3+4----+(n-1)+(-1/n)

2x(1-2"),n-\+]〃+1+4新、

+---------=2+1+-----n-2=2------2(n為奇數(shù))。

1-222

R思考問題

(1)【典例1】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類'可題

需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列,

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)

構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；

(2)第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)q和公

差d(或公比q),再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；笫二小題是一般數(shù)列求和的問題，解

答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是幾項(xiàng)的和，各項(xiàng)分別組合構(gòu)成一個基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)的

特征,然后利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【典例2]解答下列問題：

已知數(shù)列中，出=1，設(shè)S〃為｛/｝的前n項(xiàng)和，2S”=n?！薄?/p>

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛號)的前n項(xiàng)和7；。(2023全國高考甲卷理)

【解析】

【考點(diǎn)】①數(shù)列定義與性質(zhì)；②數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系及運(yùn)用；③數(shù)學(xué)疊

乘法及運(yùn)用；④錯項(xiàng)相減求和法及運(yùn)用。

【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合

問題條件得到關(guān)于a-的等式，利用數(shù)學(xué)疊乘法就可求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）

根據(jù)數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式得到數(shù)列｛色券）的通項(xiàng)公式，運(yùn)用錯項(xiàng)相減求和的基本方法就可

求出數(shù)列（｝的前n項(xiàng)和7。

2

【詳細(xì)解答］（1）當(dāng)n=l時(shí)，2s產(chǎn)2%=卬，q=0；當(dāng)nN2時(shí)，?.?2S〃=nq,①，2S〃_產(chǎn)

(n-1)②，①?②得：2=2an=nan-(n-1)an_｛,=>(n-2)an=(n-1)

a3aq2a、

4=二”24，n，

a—=——=—?=—=n-l%=n-l(n>2),

.\〃-2，a_n-3a

nn2色2/1y

???當(dāng)n=l時(shí)，成立，，數(shù)列｛〃0｝的通項(xiàng)公式為4“二n-l；（2）?數(shù)列｛｝

r〃一1十1、r〃if=1+21+31+,、I11

—｝=■，?,?^7X^TX7T一…+（n?l）X聲+nx萬①，①一彳得:

乙乙乙乙乙乙乙?

1Tl11+(n-l)x[+nx擊②,①-②得:*

—T=—+2x—+3x—+-

2M222324

111/-nx西=1-(n+2)1

++nX=1

+------^7T^7'^TTn=2-(n+2)o

2、己知等比數(shù)列｛勺｝的公比為3,且％,%+3,%-6成等差數(shù)列。

⑴求數(shù)列（凡｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛n4｝的前n項(xiàng)和1（成都市高2020級高三二診）

【解析】

【考點(diǎn)】①等比數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差中項(xiàng)定義與性質(zhì)；③等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④

錯項(xiàng)相減法求數(shù)列前n和的基本方法。

【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條

件得到關(guān)于q的等式，從而求出q的值，就可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列

｛n4｝的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用錯項(xiàng)相減法求數(shù)列前n和的基本方法，就可求出數(shù)列｛n/｝的前n

項(xiàng)和Tn。

【詳細(xì)解答】(1)」等比數(shù)列｛4｝的公比為3,且為，生+3,4-6成等差數(shù)列，，2(3G+3)

a=_ax

=〃[+3〃]6=>q=-6,%=-6x3"?=-2x3"；(2)nn2nn?=-2(3+2+

XxWx2X34

333+-------+(n-l)3'+n3")①，①x3得;3Tn=_2(3+23+3X3+-------+(n-1)

234n+,

X3〃+nx3向）②。①?②得：-2Tn=2（3+3+3+3+….…+3”.nx3）=.2（“不）口

1—3

x3'f,x3/l|。

3、（理）已知數(shù)列｛/｝滿足：。尸?2,。用=2勺+4.

（1）證明數(shù)列｛%+4｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S,,。

（文）在等比數(shù)列｛勺｝中，已知％=8q,且q,%+1，%成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛|凡-4|｝的前n項(xiàng)和S.（2017成都市一珍）

【解析】

【考點(diǎn)】①等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；②等差中項(xiàng)的定義與性質(zhì)；③證明數(shù)列是等比數(shù)列的基

本方法；④求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法；⑤拆項(xiàng)求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。

【解題思路】（理）（1）運(yùn)用證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法就可證明數(shù)列｛與+4）是等

比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列

｛%｝的前n項(xiàng)和S”.；（文）（1）運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合問題

條件得到關(guān)于首項(xiàng)《，公比q的方程組，求解方程組求出首項(xiàng)％,公比q的值，從而求出

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出數(shù)列｛/-4｝的通項(xiàng)公式，利用拆

項(xiàng)求和法求出數(shù)列｛%-4｝的前n項(xiàng)和S-

a4-4

（詳細(xì)解答]（理）（1）證明：.%+]=2%+4.,+4=2/+8=2（勺+4）,=，=2,

%+4

???%=2,卬+4=-2+4=2,數(shù)列｛%+4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列：（2）丁由

23

（1）知4“+4=2x2"T=2",an=2"4S“=2-4+2-4+2-4+--+2"-4=（-4-4-------4）

+（2+22+23+--+2M）=-422x（、2）=2"i-4n-2；（文）（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的

1-2”

公比為q,Va4=a1,%+1,%成等差數(shù)列，24q+2=%+qd②，聯(lián)

立①②解得4=2,q=2,，數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為：q,=2x2〃T=2〃；(2)「由(1)

知?！癬4==2"-4,^=5?=2-4+22-4+23-*4+---+2"-4=(-4-4--------4)+(2+22+234-

+2")=-4n+2x(J2)=2_-4n2

1-2

4、己知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和S產(chǎn)￡13(nGAr)。

2

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2%+(-1)"%,求數(shù)列｛4｝的前2n項(xiàng)和7；。

【解析】

【考點(diǎn)】①數(shù)列前n項(xiàng)和公式及運(yùn)用；②數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用。

【解題思路】(1)運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系，結(jié)合問題條件就可求出

數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；(2)由⑴得到數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式：%=(n+1)+2”，將

每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，從而可知數(shù)列｛4｝由兩個基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)，利用基

本數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分別求出兩個基本數(shù)列的前n和，把兩個前n和相加，就可求出數(shù)

列｛4｝的前n項(xiàng)和S〃的值。

211

【詳細(xì)解答】⑴，?數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和丫亨(昨心.??當(dāng)e時(shí)’Si尸千

25―I)2+〃T2

qcn+nn+〃一〃2+2〃-1+〃-1

=1；當(dāng)nN2時(shí),=2n-l,

~2~~T

???當(dāng)n=l時(shí)，a[=2x1-1=1成立，.?.%=2n-l(n￡N*)；(2).由(1)得=2n-l,/.bn=

2n-,w354ff-,

2%+(-1)"。”，=2+(-l)(2n-l),Tf=(2+2+2+--------+2)-(1+5+9+——+

22Z,

八…、2X[1-(2)](ii4〃3)〃(3?4〃i)ni

4n-3)+(3+7+11+-……+4n-l)=—*=------------=^----------------—+--------------<-=-x24/,+l

1-4223

2i2

---(2n"-n)+(2+n)=-x24,H1+2n--。

333

K思考問題22

(l)【典例2】是等差數(shù)列，等比數(shù)列之間的綜合與一般數(shù)列求和的問題，解答這類,可題

需要理解等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基本概念，掌握等差數(shù)列,

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能熟練運(yùn)用公式解答相關(guān)問題，注意一般數(shù)列的結(jié)

構(gòu)特征，選用恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蟪鼋Y(jié)果；

（2）第一小題一般是求通項(xiàng)公式的問題，解答時(shí)只需根據(jù)題給條件求出數(shù)列的首項(xiàng)為和公

差d（或公比q）,再運(yùn)用通項(xiàng)公式就可以得出結(jié)果；第二小題是一般數(shù)列求和的問題，解

答時(shí)注意數(shù)列通項(xiàng)是幾項(xiàng)的和，各項(xiàng)分別組合構(gòu)成一個基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的

特征，然后利用拆項(xiàng)求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【典例3]解答下列問題：

1、已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是公比為2的等比數(shù)列，且生

=o

（1）證明：1二b]；

（2）求集合｛k|%=*+q,lKm4500｝中元素個數(shù)（2022全國高考新高考H卷）

【解析】

【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等比數(shù)列定義與性質(zhì)；③等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；④

等比數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；⑤表示集合的基本方法。

【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列｛0｝的首項(xiàng)為外，公差為d,等比數(shù)列｛〃,｝首項(xiàng)為4，

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到

關(guān)于q,d,4的方程組，求解方程組求出《，乙就可證明結(jié)論；（2）由（1）知

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合問題條件得到k關(guān)于m的表示式，由m的取值

范圍，求出k的取值范圍，從而就可求出求集合｛可4=",+4,1<m<500｝中元素個數(shù)。

【詳細(xì)解答】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d,等比數(shù)列｛〃,｝首項(xiàng)

為4,a〉-b、—a、~by—b&-q+d-2b、=a1+2d-4b、，—d-2=0①，

[+2d-44=84-〃「3d,=>l2A-2〃「5d=0②，聯(lián)立①②得：2A-2q=0,/=4；(2)

klk2

由(1)知〃]=G=@,=Z?j.2~=d.2~,am+=—+(m-1)d+—=md?bk=anl+a1,

22

d.2A-2=md,=2"2=m,Vl<m<500,1<2k~2<500,zz>0<k-2<8,?.2<k<10,

=集合｛k|%=q”+%,l?m4500｝=｛2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,集合｛k也=%+外,

14m?500｝中元素個數(shù)是9個。

2、已知等差數(shù)列｛“”｝滿足2。2+。5=。，%=2%-2。

（1）求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)勿=24，求數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和（成都市2（）19級高三一診）

【解析】

【考點(diǎn)】①等差數(shù)列定義與性質(zhì)；②等差數(shù)列通項(xiàng)公式及運(yùn)用；③數(shù)列前n項(xiàng)和定義與性質(zhì)；

④求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法。

【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于等差數(shù)列I。"

的首項(xiàng)，公差的方程組，求解方程組求出數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)，公差的值就可得出數(shù)列｛q｝的

通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，運(yùn)用求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法就可求出數(shù)列

劭"的前n項(xiàng)和。

【詳細(xì)解答】（1）設(shè)等差數(shù)列｛凡）的首項(xiàng)為卬，公差為d,2出+%=0，

3q+6d=O①，q+6d=2q+6d-2②，聯(lián)立①②解得：q=2,d=-l,.,.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

i，nn+3

為4=2+（n-1）x（-l）=-n+3；（2）1/bn=2=2=數(shù)列｛"｝的前n項(xiàng)和為

21114（1-下）ii

S=2+2+1H--1——+----■<-----=------=8（1---）=8-----a

n2222‘TI1T2‘T

1—

2

4+1，n為奇數(shù)，

Y

3、已知數(shù)列｛〃“｝滿足：％=