2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE6-4.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．理解反函數(shù)的概念，了解存在反函數(shù)的條件，會(huì)求簡(jiǎn)潔函數(shù)的反函數(shù)．2．理解互為反函數(shù)圖像間的關(guān)系．3．知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a＞0且a≠1)．1．通過(guò)學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)求反函數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．通過(guò)互為反函數(shù)圖像間關(guān)系的應(yīng)用，提升直觀想象素養(yǎng)．必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)反函數(shù)的概念(1)一般地，假如在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中__隨意一個(gè)y__的值，只有__唯一__的x與之對(duì)應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù)．此時(shí)，稱y＝f(x)存在反函數(shù)，可以記作x＝f－1(y)．(2)一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)x＝f－1(y)，習(xí)慣上反函數(shù)的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)記作y＝f－1(x)．思索：函數(shù)f(x)＝x2有反函數(shù)嗎？為什么？提示：沒(méi)有．若令y＝f(x)＝1，則x＝±1，即x值不唯一，不符合反函數(shù)的定義．學(xué)問(wèn)點(diǎn)求反函數(shù)的兩種方法(1)可以通過(guò)對(duì)調(diào)y＝f(x)中的x與y，然后從x＝f(y)中求出y得到反函數(shù)y＝f－1(x)．(2)從y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y對(duì)調(diào)得到y(tǒng)＝f－1(x)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)互為反函數(shù)的圖像與性質(zhì)(1)圖像y＝f(x)與y＝f－1(x)的圖像關(guān)于直線__y＝x__對(duì)稱．(2)性質(zhì)①y＝f(x)的定義域與y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域與y＝f－1(x)的__定義域__相同．②假如y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)，那么它的反函數(shù)y＝f－1(x)肯定存在．此時(shí)，假如y＝f(x)是增函數(shù)，則y＝f－1(x)也是__增函數(shù)__；假如y＝f(x)是__減函數(shù)__，則y＝f－1(x)也是減函數(shù)．關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型推斷函數(shù)是否有反函數(shù)┃┃典例剖析__■典例1(1)下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是(D)A．xx＞0x＝0x＜0f(x)10－1B．xx是有理數(shù)x是無(wú)理數(shù)g(x)10C．x12345h(x)－12042D．x12345l(x)－2－1034(2)推斷下列函數(shù)是否有反函數(shù)．①f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)；②g(x)＝x2－2x．[分析]依據(jù)反函數(shù)的定義進(jìn)行推斷．[解析](1)因?yàn)閒(x)＝1時(shí)，x為隨意的正實(shí)數(shù)，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此f(x)的反函數(shù)不存在；因?yàn)間(x)＝1時(shí)，x為隨意的有理數(shù)，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此g(x)的反函數(shù)不存在；因?yàn)閔(x)＝2時(shí)，x＝2或x＝5，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此h(x)的反函數(shù)不存在；因?yàn)閘(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中隨意一個(gè)值，都只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，因此l(x)的反函數(shù)存在．(2)①令y＝f(x)，因?yàn)閥＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，是由反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是減函數(shù)，因此隨意給定值域中的一個(gè)值，只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，所以f(x)存在反函數(shù)．②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，即對(duì)應(yīng)的x不唯一，因此g(x)的反函數(shù)不存在．規(guī)律方法：判定函數(shù)存在反函數(shù)的方法(1)逐一考查值域中函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量的取值，假如都是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在．(2)確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，假如函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)存在．(3)利用原函數(shù)的解析式，解出自變量x，假如x是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1．推斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)．(1)y＝eq\f(1,x＋1)－2；(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．[解析](1)y＝eq\f(1,x＋1)－2是由函數(shù)y＝eq\f(1,x)向左平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是減函數(shù)，因此隨意給定值域中的一個(gè)值，只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，所以函數(shù)存在反函數(shù)．(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，對(duì)稱軸為x＝1，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，因此隨意給定值域中的一個(gè)值，只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，所以函數(shù)存在反函數(shù)．題型求反函數(shù)┃┃典例剖析__■典例2求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y＝2x＋1(x∈R)；(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；(3)y＝eq\f(x＋2,x＋1)(x∈R且x≠－1)．[分析]依據(jù)求反函數(shù)的步驟求反函數(shù)．[解析](1)函數(shù)y＝2x＋1，當(dāng)x∈R時(shí)，y＞0．方法一：∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互換得反函數(shù)為y＝－1＋log2x(x＞0)．方法二：對(duì)y＝2x＋1中的x，y互換得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函數(shù)為y＝－1＋log2x(x＞0)．(2)由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x＞1，知y∈R，∴反函數(shù)為y＝ex－1＋1(x∈R)．(3)y＝eq\f(x＋2,x＋1)＝1＋eq\f(1,x＋1)(x∈R且x≠－1)，∴y∈R且y≠1．對(duì)y＝eq\f(x＋2,x＋1)，x，y互換得x＝eq\f(y＋2,y＋1)，∴反函數(shù)為y＝eq\f(2－x,x－1)(x∈R且x≠1)．規(guī)律方法：1.求反函數(shù)時(shí)，要先確定原函數(shù)的值域．2．兩種方法：x，y先互換，再求y與先求x，再x，y互換．3．最終要注明反函數(shù)的定義域．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2．求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y＝eq\r(2x－x2)(1≤x≤2)；(2)y＝x2－1(x≤0)；(3)y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x＞0)．[解析](1)∵1≤x≤2，∴0≤2x－x2≤1，∴y∈[0,1]．∵y＝eq\r(2x－x2)，∴y2＝2x－x2，－(x－1)2＝y(tǒng)2－1，(x－1)2＝1－y2，∵x∈[1,2]，∴x－1＝eq\r(1－y2)，∴反函數(shù)為y＝1＋eq\r(1－x2)(0≤x≤1)．(2)∵y＝x2－1(x≤0)，∴y≥－1．∴x＝－eq\r(y＋1)，x，y互換得反函數(shù)為y＝－eq\r(x＋1)(x≥－1)．(3)∵x＞0，∴1＋eq\f(1,x)＞1，y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＞0，∴1＋eq\f(1,x)＝2y，即x＝eq\f(1,2y－1)，x，y互換得反函數(shù)為y＝eq\f(1,2x－1)(x＞0)．題型互為反函數(shù)的圖像間的關(guān)系┃┃典例剖析__■典例3已知函數(shù)y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,4)，其反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,0)，求a、b的值．[解析]∵函數(shù)y＝ax＋b(a＞0，a≠1)的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,0)，∴函數(shù)y＝ax＋b的圖像過(guò)點(diǎn)(0,2)，∴2＝a0＋b，∴b＝1．∴y＝ax＋1．又∵函數(shù)y＝ax＋1(a＞0，a≠1)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,4)，∴4＝a＋1，∴a＝3．∴a＝3，b＝1．規(guī)律方法：1.定義域、值域關(guān)系的應(yīng)用原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，值域是反函數(shù)的定義域，在求值的過(guò)程中，可以利用這一關(guān)系，轉(zhuǎn)化已知函數(shù)的求值，不必求出反函數(shù)或原函數(shù)．2．圖像的應(yīng)用原函數(shù)的圖像與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)是P1(y，x)，利用這一關(guān)系可以將已知一條曲線上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到另一條曲線上，干脆求點(diǎn)或求值．┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3．(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝2lg(2x－1)，則f－1(0)的值為(B)A．0 B．1C．10 D．不存在(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,1)，其反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,8)，則a＋b等于(C)A．6 B．5C．4 D．3[解析](1)令f(x)＝0得：2lg(2x－1)＝0?x＝1，所以f－1(0)＝1．(2)函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,1)，其反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,8)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋b＝1，,loga8＋b＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋b＝a，,8＋b＝a2，))a＝3或a＝－2(舍)，b＝1，所以a＋