2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)突破專題12三角函數(shù)基本概念與誘導(dǎo)公式含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1專題12三角函數(shù)基本概念與誘導(dǎo)公式模塊一：隨意角與弧度制1．角的概念的推廣⑴角：一條射線圍著端點(diǎn)（頂點(diǎn)）從一個(gè)位置（始邊）旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置（終邊）所成的圖形．⑵角按其旋轉(zhuǎn)方向可分為：正角（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)），零角（沒(méi)有旋轉(zhuǎn)），負(fù)角（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）．⑶在直角坐標(biāo)系中探討角：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的非負(fù)半軸上，①角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；②若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何象限．⑷終邊相同的角的集合全部與終邊相同的角構(gòu)成的集合．2．弧度制和弧度制與角度制的換算⑴角度制：把圓周等分，其中份所對(duì)的圓心角是度，用度作單位來(lái)度量角的制度叫做角度制．⑵弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做弧度的角．規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零．任一已知角的弧度數(shù)的肯定值，這種以“弧度”作為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制．⑶弧度與角度的換算：，．3．弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.考點(diǎn)1：隨意角與弧度制例1.（1）已知第一象限角，銳角，小于的角，那么、、關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解解：第一象限角，；銳角，小于的角，故選：．（2）時(shí)針走過(guò)2時(shí)40分，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是A． B． C． D．【解答】解：，，由于時(shí)針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，時(shí)針走過(guò)2小時(shí)40分，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為，故選：．（3）有下列說(shuō)法：①與角的終邊方向相反；②與角的終邊相同；③與角的終邊相同；④設(shè)，，，，則．其中全部正確說(shuō)法的序號(hào)是A．①③ B．②③ C．③④ D．①③④【解答】解：依據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：對(duì)于①、與角夾角為，其終邊方向不相反，故①錯(cuò)誤，對(duì)于②、，故兩個(gè)角不是終邊相同的角，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③、，為終邊在軸負(fù)半軸上的角，而，也表示終邊在軸負(fù)半軸上的角，故與角的終邊相同，③正確；對(duì)于④、，中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故有，④正確；綜合可得：③④正確；故選：．例2.（1）下列各式不正確的是A． B． C． D．【解答】解：對(duì)于，，正確；對(duì)于，，正確；對(duì)于，，錯(cuò)誤；對(duì)于，，正確；故選：．（2）下列角位于第三象限的是A． B． C． D．【解答】解：，屬于第三象限角，故角位于第三象限，故選：．（3）已知集合，，則角的終邊落在陰影處（包括邊界）的區(qū)域是A． B． C． D．【解答】解：集合，，表示第一象限的角，故選：．例3.（1）在第四象限，則所在的象限為A．第一象限或第三象限 B．其次象限或第四象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：在第四象限，，；，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為其次象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角；角所在的象限為其次或第四象限．故選：．（2）已知銳角，那么是A．小于的正角 B．第一象限角 C．其次象限角 D．第一或二象限角【解答】解：銳角，，，故選：．考點(diǎn)2：弧度公式和扇形面積公式例4.（1）已知圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則圓錐的高為A． B． C． D．5【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)等于，所以圓錐的底面周長(zhǎng)為，底面半徑為1，圓錐的高為．故選：．（2）已知扇形的周長(zhǎng)是，面積是，試求扇形的圓心角的弧度數(shù)A．1 B．4 C．1或4 D．1或2【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則，解得或．故選：．（3）已知扇形的周長(zhǎng)是，（Ⅰ）若其面積是，求扇形的圓心角的弧度數(shù)；（Ⅱ）求扇形的最大面積及此時(shí)弦長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為：，半徑為，則，，解得：，，或，，，時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是：．，時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是：．（Ⅱ）設(shè)弧長(zhǎng)為，半徑為，由已知，所以，，從而，當(dāng)時(shí)，最大值為225，這時(shí)圓心角，可得：．模塊二：三角函數(shù)定義1．三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)隨意角，終邊上隨意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么⑴比值叫做的正弦，記作，即；⑵比值叫做的余弦，記作，即；⑶比值叫做的正切，記作，即．2．三角函數(shù)的符號(hào)由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知（如下表）：①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）；②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于其次、三象限為負(fù)（）；③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于其次、四象限為負(fù)（異號(hào)）．考點(diǎn)3：利用定義求三角函數(shù)值及推斷正負(fù)例5.（1）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是A． B． C． D．【解答】解：由三角函數(shù)定義知，，，則．故選：．（2）已知，并且是終邊上一點(diǎn)，那么的值等于A． B． C． D．【解答】解：，并且是終邊上一點(diǎn)，，，那么，故選：．例6.（1）若，則在A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．其次、四象限【解答】解：，可知與異號(hào)，說(shuō)明在第或第四象限．故選：．（2）直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊不在坐標(biāo)軸上，則式子的值的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：已知角的終邊不在坐標(biāo)軸上，所以當(dāng)?shù)慕K邊在：①第一象限時(shí)：，②其次象限時(shí)：．③第三象限時(shí)：，④第四象限時(shí)：則式子的值有3和．故選：．（3）函數(shù)的值域是數(shù)集．【解答】解：由題意可知不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)為第一象限角時(shí)，函數(shù)；當(dāng)為其次象限角時(shí)，函數(shù)；當(dāng)為第三象限角時(shí)，函數(shù)；當(dāng)為第四象限角時(shí)，函數(shù)．函數(shù)的值域是數(shù)集，，．故答案為：，，．考點(diǎn)4：利用三角函數(shù)線解不等式例7.（1）在，內(nèi)，不等式的解集是A． B． C． D．【解答】解：在，內(nèi)，滿意的的值是或，所以由函數(shù)，，的圖象可知，不等式的解集是，．故選：．（2）在，上，滿意的取值范圍是．【解答】解：在，上，令；有，，要使得的取值范圍是：故答案為：（3）不等式的解集為．【解答】解：結(jié)合函數(shù)的圖象可得不等式的解集為．故答案為．（4）已知點(diǎn)在角終邊關(guān)于對(duì)稱的曲線上，且，則的坐標(biāo)為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故選：．課后作業(yè)：1．下面表述不正確的是A．終邊在軸上角的集合是， B．終邊在軸上角的集合是 C．終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是 D．終邊在直線上角的集合是【解答】解：對(duì)于，終邊在軸上角的集合是，，故正確；對(duì)于，終邊在軸上的角的集合是，，故正確；對(duì)于，終邊在軸上的角的集合為，，終邊在軸上的角的集合為，，故合在一起即為，，，，故正確；對(duì)于，終邊在直線上的角的集合是，，故不正確．表述不正確的是：．故選：．2．若是其次象限角，則是A．第一象限角 B．其次象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解答】解：不妨令，則，為第一象限角，故選：．3．已知是銳角，那么角是A．第三象限角 B．其次象限 C．小于的正角 D．第一、二或第三象限角【解答】解：是銳角，，，故選：．4．若，則點(diǎn)位于A．第一象限 B．其次象限 C．第三象