大學物理(二)習題答案

大學物理(二)練習冊參考解答

第12章真空中的靜電場

一、選擇題

1(A),2(C),3(C),4(A),5(C),6(B),7(C),8(D),9(D),10(B),

二、填空題

(1).電場強度和電勢，。二r/夕°，

(2).(g2+q。/'0、([3、夕4;

(3).0,2/(26b);(4).B?/(2⑨)；

?I'

(7).-2X103V；⑻.乜兇---------

4兀4Hrb)

(9).0,pEsina；(10).(-8-24xy)?+(-12x2+40y)J(SI)；

三、計算題

oo

1.將一“無限長”帶電細線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，

電荷線密度為九四分之一圓弧AB的半徑為R,試求圓心O

點的場強.

AM0L

------OO

B

解：在。點建立坐標系如圖所示.

半無限長直線A8在0點產(chǎn)生的場強：

E=---(?-7)

7

4兀4R\

半無限長直線88在O點產(chǎn)生的場強：OO

及=---(-?+7)

-4吟jR'7

四分之?圓弧段在O點產(chǎn)生的場強：

M----。+7)

4兀

由場強疊加原理，0點合場強為：_一一一OO

E=E+&+M=」一(：+j)B

1-34冗&/?'7

2.實驗表明，在靠近地面處有相當強的電場，電場強度E垂直于地面向下，大小約為100

N/C：在離地面1.5km高的地方，后也是垂直于地面向下的，大小約為25N/C.

(1)假設(shè)地面上各處巨都是垂直于地面向下，試計算從地面到此高度大氣中電荷佗平均

體密度；

(2)假設(shè)地表面內(nèi)電場強度為零，且地球表面處的電場強度完全是由均勻分布在地表面

的電荷產(chǎn)生，求地面上的電荷面密度.(已知：真空介電常量4=8.85Xl()/2c2?N」?m-2)

??解：(1)設(shè)電荷的平均體密度為〃，取圓桿形高斯而加圖(1)(側(cè)面乖百

底面，底面AS平行地面)上下底面處的

場強分別為Ei和則通過高斯面的電場強度通量為：’

提?dS=E2A5-EIAS=(E2-￡I)AS

高斯面S包圍的電荷Xqi=h\Sp

由高斯定理(&-Ei)\S=h'Spl￡Q

p=-E,)=4.43X1013c/m3

h-

(2)設(shè)地面面電荷密度為⑦由了電荷只分布在地表面，所以電力線終止(1)

于地面，取高斯面如圖⑵

由高斯定理捱*

-￡AS=——o&S

與)

一￡OE=-8.9X10,℃/m3

3.帶電細線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度為Q/losinO，

式中務(wù)為一常數(shù)，0為半存R與x軸所成的夾角，如圖萬?示.試

求環(huán)心。處的電場強度.

解：在。處取電荷元，其電荷為出/=&1/=/W?sin°d°

它在O點產(chǎn)生的場強為dE=

471%/?-4兀分/?

在x、)，軸上的二個分量

dEi二一dEcos。，dEv=—dEsin。

對各分量分別求和

E=--------[sin^cos0d族=0

xJo

4nsQR

E=———「sin2°d@=—^―

?'47t%RJ°84R

E=Ej+Ej=--^j

X,B%R

4.一“無限長”圓柱面，其電荷面密度為：

<T=OJjCOS,式中0為半徑R與X軸所夾的角,

試求圓柱軸線上一點的場強.

解：將柱面分成許多與軸線平行的細長條，每條可視為“無限

長”均勻帶電直線，其電荷線密度為

2=5）cos0Rd0,

它在。點產(chǎn)生的場強為：

dE=——-——=%cos。d(/>

2式％R2兀￡'o

它沿x、,，軸上的二個分量為：

d￡r=—d￡cos^=-——^―cos2

2兀4

()

d￡v-=_dEsin(j)=^~sin(bcos°d°

2兀4

積分：E=cos2=-^-

J。2兀42%

—ITsin°d(sin.)=0

4°2兀4

5.一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為

P='J（，WR）（。為一正的常量）

71R

p=0（/>/?）

試求：（1）帶電球體的總目荷；（2）球內(nèi)、外各點的電場強度；（3）球內(nèi)、外各點的電勢.

解：（1）在球內(nèi)取半徑為八厚為”的薄球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為

dq=pdV=qr4nr2dr/（7t/?4）=4qQdr/R*

則球體所帶的總電荷為Q=[,夕dV=（4q/R"/dr=q

（2）在球內(nèi)作一半徑為力的高斯球面，按高斯定埋有

/

4兀=一('SI—.4nr2d

11%JoRR"函

得E尸"二SWR）,￡方向沿半徑向外.

4兀

在球體外作半徑為r2的高斯球面，按高斯定理有4啟E?=qI￡。

得號二—^^S>R）,艮方向沿半徑向外.

■4兀￡0百一

（3）球內(nèi)電勢

q=『耳?d『+「及dr=「——―-dr+「~^-^-dr

九JR~%4兀％R梟4兀4廣

二」_______e二=q14一回d)

4

3TI￡0R12Tt￡()R12?！?寵(R3

球外電勢

［七d一/9>R)

6.如圖所示，一厚為b的“無限大”帶電平板，其電荷體密

度分布為夕=AA(OWKWZ?),式中我為一正的常量.求：

(1)平板外兩側(cè)任一點Pi和P2處的電場強度大??；

(2)平板內(nèi)任一點P處的電場強度；

(3)場強為零的點在何處？

解：(1)由對稱分析知，平板外兩側(cè)場強大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面?.設(shè)

場強大小為E.

作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小為S,如圖所示.

按高斯定理￡￡?d亍二Z4/%，即

得到E=kb2/(4ib)(板外兩側(cè))

(2)過。點垂直平板作一柱形高斯面，底面為S.設(shè)該處場強為E',如圖所示.按高斯

定理有

得到(￡+?S=^。點=等

(OWxWb)F=—|x2--1

2%l2J

為2

(3)￡'=0,必須是/一,=0,可得x=b/g

2

7.一“無限大”平面，中部有一半徑為R的圓孔，設(shè)平面上均勻帶電,

電荷面密度為G如圖所示，試求通過小孔中心。并與平面垂直的直

線上各點的場強和電勢(選。點的甩勢為零).

解：將題中的電荷分布看作為面密度為加勺大平面和面密度為H的圓盤疊加的

結(jié)果.選x軸垂直于平面.坐標原點0在圓盤中心，大平面在x處產(chǎn)生的場強為

E.=---j—rI

2%國

圓盤在該處的場強為

左2

???左=耳+及=——:X1

R2+W

該點電勢為

ocyxd.v

U=

2%JR2+X2

8.一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個半徑4=5X10,m的

圓柱形陰極A和一個套在陰極外的半徑&=4.5X103m的

同軸圓筒形陽極8,如圖所示.隨穎甯勢比E含趣高300V，

忽略邊緣效應(yīng).求電子剛從陰極射出時所受的電場力.(基本

電荷e=1.6X10l9C)

解：與陰極同軸作半徑為MRiVrVR)的單位長度的圓柱形高斯面，設(shè)陰極上電荷線密度為

2.按高斯定理有2冗任二如食

得到E=2/Qjiar)(/?i<r<??2)

方向沿半徑指向軸線.兩極之間電勢差

〃口1己▲一Xdr4]R2

U,-UR=\Edr=-------=----------In—

JA27C/JRr2n￡0R、

得到上二午工，所以公號二號」

2兀4ln(/?2//?,)111(/?,//?))r

在陰極表面處電子受電場力的大小為

UHU

F=eE{Ri)=ei~\—

c(R/Rj叫

=4.37X1014N

方向沿半徑指向陽極.

四研討題

1.真空中點電荷q的靜電場場強大小為

4加0r

式中「為場點離點電荷的距離.當r-0時，E-8,這一推論顯然是沒有物理意義的，應(yīng)如

何解釋？

參考解答：

點電荷的場強公式僅適用于點電荷，當，一0時，任何帶電體都不能視為點電荷，所以

點電荷場強公式已不適用.

若仍用此式求場強E,其潔論必然是錯誤的.當時，需要具體考慮帶電體的大小和電

荷分布，這樣求得的E就有確定值.

2.用靜電場的環(huán)路定理證明電場線如圖分布的電場不可能是靜電場.

參考解答:

證；在電場中作如圖所示的扇形環(huán)路abcda.tnab和cd段場強方向

與路徑方向垂直.在反和曲段場強大小不相等（電力線疏密程度不

同）而路徑相等.因而

fEd/=￡；Ed/-￡E,d/^0

按靜電場環(huán)路定理應(yīng)有f￡-d/=0,

此場不滿足靜電場環(huán)路定理，所以不可能是靜電場.

3.如果只知道電場中某點的場強，能否求出該點的電勢？如果只知道電場中某點的電勢,

能否求出該點的場強？為什么？

參考解答:

「零劣點一

由電勢的定義：U=1,Ed/

J場點

式中后為所選場點到零勢點的積分路徑上各點的場強，所以，如果只知道電場中某點的場

強，而不知道路徑上各點為場強表達式，不能求出該點的電勢。

由場強與電勢的關(guān)系：E=-gradU

場中某點的電場強度是該點電勢梯度的負值。如果只知道電場中某點的電勢值，而不知道其

表達式，就無法求出電勢的空間變化率，也就不能求出該點的場強。

4.從工廠的煙囪中冒出的滾滾濃煙中含有大量顆粒狀粉塵，它們嚴重污染了環(huán)境，影響到

作物的生長和人類的健康。靜電除塵是被人們公認的高效可靠

的除塵技術(shù)。先在實驗室內(nèi)模擬一下管式靜電除塵器除塵的全

過程，在模擬煙囪內(nèi)，可以看到，有煙塵從“煙囪”上飄出。

加上電源，煙囪上面的煙塵不見了。如果撤去電源，煙塵又出

現(xiàn)在我們眼前。請考慮如何計算出實驗室管式靜電除塵器的工

作電壓，即當工作電壓達到什么數(shù)量級時，可以實現(xiàn)良好的靜

電除塵效果。

參考解答：

先來看看靜電除塵裝置的結(jié)構(gòu)：在煙囪的軸線上，懸置了一根導(dǎo)線，稱之謂電暈線；在

煙囪的四周設(shè)置了一個金屬線圈，我們稱它為集電極。電流面壓電源的正極接在線圈上，負

極接在電暈線上，如右上圖所示?？梢钥闯?，接通電源以后，集電極與電暈線之間就建立了

一個非均勻電場，電暈線周圍電場最大。改變直流高壓電源的電

壓值，就可以改變電暈線周圍的電場強度。當實際電場強度與空

氣的擊穿電場3x103Vmm7相近時空氣發(fā)生電離，形成大量的正

離子和自由電子。自由電子隨電場向正極飄移，在飄移的過程中和塵埃中的中性分子或顆

粒發(fā)生碰撞，這些粉塵顆粒吸附電子以后就成/荷電粒子，這樣

就使原來中性的塵埃帶上了負電。在電場的作用下，這些帶負電

的塵埃顆粒繼續(xù)向正極運動，并最后附著在集電極上。(集電極

可以是金屬線圈，也可以是金屬圓桶壁)當塵埃積聚到一定程度

時，通過振動裝置，生埃顆粒就落入灰斗中。這種結(jié)構(gòu)也稱管式

靜電除塵器。如右中圖所示。

對管式靜電除塵器中的電壓設(shè)置，我們可以等價于同軸電纜

來計算。如右下圖所示，心與〃，分別表示電暈極與集電極的半徑,

L及。分別表示圓筒高度及直徑。一般4為3-5m,。為20a300mm，

故L?D,此時電暈線外的電場可以認為是無限長帶電圓柱面的電場。設(shè)單位長度的圓柱

面帶電荷為晨用靜電場高斯定理求出距軸線任意距離，?處點P的場強為：

E=一——r--------(1)式中戶為沿徑矢的單位矢量。

2碼/

內(nèi)外兩極間電壓U與電場強度E之關(guān)系為

U=]Edl---------(2),將式⑴代入式⑵，

積分后得：丸=—2皿，故E=

In上rln-^

rr

由于電暈線附近的電扇a雖度最大，使它達各a空氣電離的最大電

場強度E,”時，就可獲得高壓電源必須具備的電壓

U=Ellt-ra\n^

ra

代入空氣的擊穿電場，并取一組實測參數(shù)如下：

月”=3x106V-m",r=q=0.5xl0?2m，7=o」5m,計算結(jié)果U=5.1X104V.

若施加電壓U低于臨界值，則沒有擊穿電流，實現(xiàn)不了除塵的目的。也就是說，在這

樣尺寸的除塵器中，通常當電壓達到105V的數(shù)量級時，就可以實現(xiàn)良好的靜電除塵效果。

靜電除塵器除了上述的管式結(jié)構(gòu)外還有其它的結(jié)構(gòu)形式，如板式結(jié)構(gòu)等?？梢詤㈤営嘘P(guān)資料,

仿上計算，也可以自行獨立設(shè)計一種新型結(jié)構(gòu)的靜電除塵器。

第13章靜電場中的導(dǎo)體和電解質(zhì)

一、選擇題

1(D),2(A),3(C),4(C),5(C),6(B),7(C),8(B),9(C),10(B)

二、填空題

(I).4.55X105C；

(2).cr(x,y,z)/￡o,與導(dǎo)體表面垂直朝外(。>0)或與導(dǎo)體表面垂直朝里0).

(3).￡r91,￡r；(4).\l￡r，1/8；

(5).<T,(y/(￡o￡r);(6).---；

4nsQR

(7).P,-P,0；(8)(I-￡r)a/Sr；

(9).452；(10).￡r,￡r

三、計算題

1.如圖所示，一內(nèi)半徑為〃、外半徑為〃的金屬球殼，帶有電荷Q，在球殼

空腔內(nèi)距離球心，?處有一點電荷外設(shè)無限遠處為電勢零點，試求：

(1)球殼內(nèi)外表面上的電荷.

(2)球心O點處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢.

(3)球心。點處的總電勢.

解.：(1)由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-分外表面上帶電荷妙Q.

(2)不論球殼內(nèi)表面二的感生電荷是如何分布的，因為任一電荷元離。點的

距離都是公所以由這些電荷在。點產(chǎn)生的電勢為

u二也二二

“4?！?44兀

(3)球心O點處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點電荷g在。點

產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和

Uo=U/U_q+UQ”

qq.Q+q_q/i,1、.Q

------------1-----=-----(----卜一)T--------

4兀4兀4?！辍?84兀rab4?！?)Z?

2.一圓柱形電容器，外柱的直徑為4cm,內(nèi)柱的直徑可以適當選擇，若其間充滿各向同性

的均勻電介質(zhì)，該介質(zhì)的擊穿電場強度的大小為Eo=200KV/cm.試求該電容器可能承受的

最高電壓.(自然對數(shù)的底e=2.7183)

解：設(shè)圓柱形電容器單位長度上帶有電荷為九則電容器兩極板之間的場強分布

為E=Ar)

設(shè)電容器內(nèi)外兩極板半徑分別為，?()，R則極板間電壓為

t/=(E-dr=f^—dr=—In—

,J.*2it￡r2?！?

電介質(zhì)中場強最人處在內(nèi)柱福上，當這里場強達到瓦時電容器擊穿，這時應(yīng)有

R

2=2兀er0E0，U=r0E0In—

G

適當選擇用的值，可使U有極大值，

j21j

即令dU/d“=&)ln(A/“)—d=0,得q=A/e，顯然有一?<0,

%

故當r(y=R/e時電容湍可承受最高的電壓=RE。/?=147kV.

3.如圖所示，一圓柱形電容器，內(nèi)筒半徑為修，外筒半徑

為&(&V2/?,),其間充有相對介電常量分別為分和&2=打

/2的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R.若兩種介

質(zhì)的擊穿電場強度相同，問：

(1)當電壓升高時，哪層介質(zhì)先擊穿？

(2)該電容器能承受多高的電壓？

解：(I)設(shè)內(nèi)、外筒單位長度帶電荷為+4和一九兩筒間電位移的大小為

0=2/(2")

在兩層介質(zhì)中的場強大小分別為

E\=-A/(2TIG)￡r\r),氏二4/(2兀句82，)

在兩層介質(zhì)中的場強最大處是各層介質(zhì)的內(nèi)表面處，即

E\M-X!(2TICO￡出),EIM=2/(2nib&2R)

可得EIM//to/?.)=R/(2R^

已知Ri〈2R,可見因此外層介質(zhì)先擊穿.

(2)當內(nèi)筒上電量達到%M，使E2M=&f時，即被擊穿，

Zw=2兀&)SrlREst

此時.兩筒間電壓(即最高電壓)為：

4.一空氣平行板電容器，兩極板面積均為S,板間距離為d(d遠小于極

板線度)，在兩極板間平行地插入一面枳也是S、厚度為“<")的金屬片，

如圖所示.試求：

(I)電容。于多少？

(2)金屬片放在兩極權(quán)間的位置對電容值有無影響？

解：設(shè)極板上分別帶電荷氣和-仍金屬片與4板距離為4,與“板距離為金屬片與A

板間場強為4=q/(%S)

金屬板與B板間場強為E?=qg)S)

金屬片內(nèi)部場強為￡=0

則兩極板間的電勢差為

UA-UB=E,d+Ed)

.22=Ts(d'+d2=7sid~t)

由此得C=q/(UA-UB)=^S/(d-t)

因C值僅與d、/有關(guān)，與4、必無關(guān)，故金屬片的安放位置對電容值無影響.

5.如圖所示，一電容器由兩個同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為

a,外簡半徑為江筒長都是中間充滿相對介電常量為&

的各向同性均勻電介質(zhì).內(nèi)、外筒分別帶有等量異號電荷

和-。.設(shè)0-a)?a,可以忽略邊緣效應(yīng)，求：

(1)圓柱形電容器的目容；

(2)電容器貯存的能量.

解：由題給條件(〃一和L>>〃，忽略邊緣效應(yīng)，應(yīng)用高斯定理可求出兩

筒之間的場強為：E=Q/(2Ti￡0￡rLr)

兩筒間的電勢差U=f—2——=—2—In-

a

*2Ttc^crLr2ngML

電容器的電容C=QIU=（2兀4jL）川n（b/a）］

電容器貯存的能量W=^CU2=［Q2/（4兀/￡，）］、（〃/4）

-Q

解：可將上下兩部分看作兩個單獨的電容器串聯(lián)，兩電容分別為

2cls—2c?、S

dd

C=2￡聲2s

串聯(lián)后的等效電容為

d（4+邑）

帶電荷土。時，電容器的電場能量為w=?=Q2"g+'

2C4uS

將8的介質(zhì)板抽去后，電容器的能量為卬，=020％+￡2)

4蓼0萬2s

外力作功等于電勢能增加，即4=AW=Wr-W=^-\-1

4s1qcj

7.如圖所示，將兩極板間距離為d的平行板電容器垂直地插入到密度為「、

相對介電常量為&的液體電介質(zhì)中.如維持兩極板之間的電勢差U不變，

試求液體上升的高度力.

解：設(shè)極板寬度為心液體未上升時的電容為

G=G)HL/d

液體上升到"高度時的電容為

「\H-h)LhLF.3T）〃「

C=￡。-----+-y=1+

daH

在U不變下，液體上升后極板上增加的電荷為

△Q=CU-C°U=（￡，-\）hLD/d

電源作功A=RQU=￡o13—'）hLU2/d

液體上升后增加的電能

△嗎二CU?-沁行=9。")叱"

LzL

叫=/夕g加

液體上升后增加的重力勢能

因A=AWI+AW2,可解出h=

思考題1.無限大均勻帶電平面（面電荷密度為。）兩側(cè)場強為E=。/（2%）,而在靜電平

衡狀態(tài)下，導(dǎo)體表面（該處表面面電荷密度為。）附近場強為E=為什么前者比后

者小一半？

參考解答：

關(guān)鍵是題目中兩個式中的。不是一回事。下面為了討論方便，我們把導(dǎo)體表面的面電

荷密度改為",其附近的場強則寫為七=。7%.

對于無限大均勻帶電平面（面電荷密度為。），兩側(cè)場強為E=。/（2%）.這里的a是指

帶電平面單位面積上所帶的電荷。

對于靜電平衡狀態(tài)下的導(dǎo)體，其表面附近的場強為E=k/%.

這里的o'是指帶電導(dǎo)體表面某處單位面枳上所帶的電荷。

如果無限大均勻帶電平面是一個靜電平衡狀態(tài)下的無限大均勻帶電導(dǎo)體板，則。是此導(dǎo)

體板的單位面積上（包括導(dǎo)體板的兩個表面）所帶的電荷，而/僅是導(dǎo)體板的一個表面單位

面積上所帶的電荷。

在空間僅有此導(dǎo)體板（即導(dǎo)體板旁沒有其他電荷和其他電場）的情形下，導(dǎo)體板的表面

上電荷分布均勻，且有兩表面上的面電荷密度相等。在此情況下兩個面電荷密度間的關(guān)系為

。=2。'。這樣，題目中兩個￡式就統(tǒng)一了。

思考題2：由極性分子組成的液態(tài)電介質(zhì)，其相對介電常量在溫度升高時是增大還是減??？

參考解答：

由極性分子組成的電介質(zhì)（極性電介質(zhì)）放在外電場中時，極性分子的固有電矩將沿外

電場的方向取向而使電介質(zhì)極化。由于極性分子還有無規(guī)則熱運動存在，這種取向不可能完

全整齊。

當電介質(zhì)的溫度升高對，極性分子的無規(guī)則熱運動更加劇烈，取向更加不整齊，極化的

效果更差。此情形下，電極化強度2=注將會比溫度升高前減小。

AV

在電介質(zhì)中的電場E不太強時，各向同性電介質(zhì)的戶和區(qū)間的關(guān)系為

。-1）豆.

很明顯，在同樣的電場下，當溫度升高后，相對介電常量乙要減小。

思考題3：有一上下極板成。角的非平行板電容器（長為〃，寬為6）,其電

容如何計算？

參考解答：

設(shè)一平行板電容器是由長為〃，寬為。的兩導(dǎo)體板構(gòu)成，板間距為d，則電容為

品=竿，若該電容器沿兩極板的長度同一方向有dx的長度增

量，則電容為C='S+dx）=c0+竺包,在此基礎(chǔ)上推廣到

dd

如圖所示的電容器，可以認為是在C。的基礎(chǔ)上,上極板沿與長度

方向成。角度連續(xù)增加到"下極板沿長度方向連續(xù)增加到〃cos。

構(gòu)成，把該電容器看成是由兩個電容器并聯(lián)時，該電容器的電容為

反產(chǎn)出山ai,cl+bs\nO

+-------In--------------

Dd+1tan0tan。d

即非平行板電容器的電容，

八fxi,d+bs\nO

C=-------In--------------

tan。d

思考題4：為了實時檢測紡織品、紙張等材料的厚度（待

測材料可視作相對電容率為母的電介質(zhì)），通?；a(chǎn)流

水線上設(shè)置如圖所示的傳感裝置，其中A、8為平板電容

器的導(dǎo)體極板，S為極板面積，義為兩極板間的距離。試

說明檢測原理，并推出直接測量電容。與間接測量厚度〃

之間的函數(shù)關(guān)系。如果要檢測鋼板等金屬材料的厚度，結(jié)

果又將如何？

參考解答：

設(shè)極板帶電夕=&B,

兩板電勢差：△〃=絳電電介/

△（7=生（4）-〃）+旦〃

4%%

則c=—=——包空——

A[7d+sr（dQ-d）

介質(zhì)的厚度為：d=jd°C_￡°*S=_^_冊

DC￡r-\⑸-1)C

實時地測量A、3間的電容量C,根據(jù)上述關(guān)系式就可以間接地測出材料的厚度、通常

智能化的儀表可以實時地顯示出待測材料的厚度。

如果待測材料是金屬導(dǎo)體，其A、8間等效電容與導(dǎo)體材料的厚度分別為：

￡QS

do~d

第14章穩(wěn)恒電流的磁場

一、選擇題

1(B),2(D),3(D),4(B),5(B),6(D),7(B),8(C),9(D),10(A)

二、填空題

（1）.最大磁力矩，磁矩；(2).TIK2C；

4,.

(3).外）〃（4。）；(4).

4兀H

(5).網(wǎng)i,沿軸線方向朝右.；⑹.〃0〃/(2欣；),0

(7).4；(8).mg/(IB)；

(9).alB;(10).正，負.

三計算題

1.一無限長圓柱形銅導(dǎo)體(磁導(dǎo)率網(wǎng)),半徑為R，通有均勻分布的電流/.今

取一矩形平面S(長為1m,寬為2R),位置如右圖中畫斜線部分所示，求

通過該矩形平面的磁通量.

解.：在圓柱體內(nèi)部與導(dǎo)體中心軸線相距為廠處的磁感強度的大小，由安培

環(huán)路定

律可得:(r<R)

因而，穿過導(dǎo)體內(nèi)畫斜線部分平面的磁通6為

0,=(B-dS==f^4rdr=^

JJJ2JI/?24兀

在圓形導(dǎo)體外，與導(dǎo)體中心釉線相距，?處的磁感強度大小為

3="(r>R)

271r

因而，穿過導(dǎo)體外畫斜線部分平面的磁通魚為

R=fB-dS=dr=^ln2

」“2兀

穿過整個矩形平面的磁通量。=二必+組ln2

47i2兀

2.橫截面為矩形的環(huán)形螺線管，圓環(huán)內(nèi)外半徑分別為尺和&，芯子材

料的磁導(dǎo)率為〃，導(dǎo)線總匝數(shù)為N,繞得很密，若線圈通電流/,求.

(1)芯子中的8值和芯子截面的磁通量.

(2)在"Ri和處的B值.

解.：(1)在環(huán)內(nèi)作半徑為，,的圓形回路，由安培環(huán)路定理得

B?2口=心1,8=/(2")

在r處取微小截面dS=灰1二通過此小截面的磁通量

d^=B6S=^-bdr

2nr

穿過截面的磁通量

G=(BdS=幺"力”=處"In&

⑵同樣在環(huán)外(rvRi和廠〉&)作圓形回路，由于，=0

B?2nr=0

/.8=0

3.一根很長的圓柱形銅導(dǎo)線均勻載有10A電流，在導(dǎo)線內(nèi)部作一平面S,S的一個邊是導(dǎo)

線的中心軸線，另一邊是S平面與導(dǎo)線表面的交線，如圖所示.試計算通__________

過沿導(dǎo)線長度方向長為1m的一段S平面的磁通量.（

（真空的磁導(dǎo)率〃（）=4RX107T-m/A,銅的相對磁導(dǎo)率〃/M）\y~~S~

解：在距離導(dǎo)線中心軸線為k與x+dx處，作一個單位長窄條,

其面積為dS=ldx.窄條處的磁感強度

~2兀R2

所以通過dS的磁通量為dS=8dS=KMVdx

2九R2

通過1m長的一段S平面的磁通量為

0=f2&事工=及紀=10-6Wb

J2兀R24兀

4.計算如圖所示的平面載流線圈在"點產(chǎn)生的磁感強度.設(shè)線圈中的

電流強度為/.

解：如圖，CD、人廠在P點產(chǎn)生的B=0

B=BAB+BBC+BDE+BEF

BAB=a，(sin人一sin/Q,方向③

4TUZ

其中sin=a1(42a)=1/叵,sin=0

同理，^5=——,方向?.

BC4vlm

同樣BDE=處叵似i），方向

?B—2從（）/N（）l_^^從。］

407ta8兀a

方向區(qū).

5.如圖所示線框，銅線橫截面積S=2.0mm?,其中OA和。O'兩段保持水平不動，ABCD

段是邊長為"的正方形的三邊，它可繞OO'軸無摩擦轉(zhuǎn)動.整個

導(dǎo)線放在勻強磁場月中，月的方向豎直向上.已知銅的密度p=8.9

X103kg/m\當銅線中的電流/二10A時，導(dǎo)線處于平衡狀態(tài)，44

段和CO段與豎直方向的夾角a=15".求磁感強度月的大小.

解：在平衡的情況下，必須滿足線框的重力矩與線框所受的磁力矩平衡（對00'軸而言）.

重力矩M、=2apgS?（asin。+apgSasina

=2Sa2p^sina

2

磁力矩A/2=Biersin(—K-6Z)=laBcosa

平衡時A/,=M2

所以2S/°gsina=/片8＜：052

B=2S/?gtga//k9.35xlO-3T

6.如圖兩共軸線圈，半徑分別為凡、電流為八、h.電流

的方向相反，求釉線上相電中點O為x處的尸點的磁感強度.

解：取x軸向右，那么有

用=2—沿,軸正方向

B,=—產(chǎn)―”沿x軸負方向

-2[/?；+(b-x)2]

氏R；i\〃0氏212

宿?S?%)2]3/2[咫1(》X)2]3,2

若B>0,則月方向為沿/軸正方向.若8<0,則月的方向為沿x軸負方向.

7.如圖所示.一塊半導(dǎo)體樣品的體積為aX/7Xc.沿c方向有電流/,沿厚度。邊方向加有

均勻外磁場月（月的方向和樣品中電流密度方向垂

直）.實驗得出的數(shù)據(jù)為a=O.IOcm、力=0.35cm、c=

1.0cm、7=1.0mAsB=3.0X101T,沿8邊兩側(cè)的電勢

差U=6.65mV,上表面電勢高.

（1）問這半導(dǎo)體是p型（正電荷導(dǎo)電）還是n型（負電

荷導(dǎo)電）？

（2）求載流子濃度山］即單位體積內(nèi)參加導(dǎo)電的帶

電粒子數(shù)）.

解：（1）根據(jù)洛倫茲力公式：若為正電荷導(dǎo)電，則正電荷堆枳在上表面，霍耳電場的方?向由

上指向下，故上表面電勢高，可知是p型半導(dǎo)體。

（2）由霍耳效應(yīng)知，在磁場不太強時，霍耳電勢差U與電流強度/，磁感強度B成正比,

ID1

而與樣品厚度〃成反比，即：U=K—而K=—

a”o4

:.根據(jù)題給條件，載流子濃度為：%=衛(wèi)=2.82x102。m3

aqU

四研討題

1.將磁場的高斯定理與電場的高斯定理相比，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。從類比的角度可作

何聯(lián)想？

參考解答：

磁場的高斯定理與電場的高斯定理:

§/.dS=0,正"dS=Z夕

作為類比，反映自然界中沒有與電荷相對應(yīng)“磁荷”（或叫單獨的磁極）的存在。但是狄拉

克1931年在理論上指出，允許有磁單極子的存在，提出：

n

94=2

式中。是電荷、沏是磁荷。電荷量子化已被實驗證明了。然而迄今為止，人們還沒有發(fā)現(xiàn)

可以確定磁單極子存在可重復(fù)的直接實驗證據(jù)。如果實驗上找到了磁單極子，那么磁場的高

斯定理以至整個電磁理論都將作重大修改。

1982年，美國斯坦福大學曾報告，用直徑為5cm的超導(dǎo)線圈放入直徑20cm的超導(dǎo)鋁筒，

由于邁斯納效應(yīng)屏蔽外磁場干擾，只有磁單極子進入才會引起磁通變化。運行151天，記錄

到一次磁通變化，但此結(jié)果未能重及。

據(jù)查閱科學出版社1994年出版的，由美國引力、宇宙學和宇宙線物理專門小組撰寫的

《90年代物理學》有關(guān)分冊，目前已經(jīng)用超導(dǎo)線圈，游離探測器和閃爍探測器來尋找做單

極子。在前一種情況，一個磁單極子通過線圈會感應(yīng)出一個階躍電流，它能被一個復(fù)雜裝置

探測出來，但這種方法的探測面積受到線圈大小的限制。游離探測器和閃爍探測器能做成大

面積的，但對磁單極子不敏感?，F(xiàn)在物理學家們?nèi)詧猿謹U大對磁單極子的研究，建造閃爍體

或正比計數(shù)器探測器，相應(yīng)面積至少為1000m2。并建造較大的，面積為lOOmz量級的環(huán)狀

流強探測器，同時加強尋找陷落在隕石或磁鐵礦中的磁單極子的JJ乍。

2.當帶電粒子由弱磁場區(qū)向強磁場區(qū)做螺旋運動時，平行于磁場方向的速度分量如何變

化？動能如何變化？垂直于磁場方向的速度分量如何變化？

參考解答：

當帶電粒子由弱磁場區(qū)向強磁場區(qū)做螺旋運動時.，它所受到的磁場力有一個和前進方向

相反的分量，這個分量將使平行于磁場方向的速度分量減小，甚至可使此速度分量減小到零,

然后使粒子向相反方向運動（這就是磁鏡的原理）。

當帶電粒子由弱磁場區(qū)向強磁場區(qū)做螺旋運動時，由于平行于磁場方向的速度分量減

小，因而與這個速度分量用關(guān)的動能也減小。然而磁力對帶電粒子是不做功的，粒子的總動

能不會改變，因此，與垂直于磁場方向的速度分量相關(guān)的動能在此運動過程中將會增大，垂

直于磁場方向的速度分量也相應(yīng)地增大。

3.電磁流量計是一種場效應(yīng)型傳感器，如圖所示：截面矩形的非磁性管，其寬度為乩高度為

人管內(nèi)有導(dǎo)電液體自左向右流動，在垂直液面流動的方向

加一指向紙面內(nèi)的勻強磁場，當磁感應(yīng)強度為B時,測得液

體上表面的〃與下表面的b兩點間的電勢差為U,求管店導(dǎo)

電液體的流量。

參考解答：

導(dǎo)電液體自左向右在非磁性管道內(nèi)流動時，在洛侖茲力作用下，其中的正離子積累于

上表面，負離子積累于下表面，于是在管道中又形成了從上到下方向的勻強霍爾電場E,它

同勻強磁場4一起構(gòu)成了速度選擇器。因此在穩(wěn)定平衡的條

件下，對于以速度u勻速流動的導(dǎo)電液體，無論是對其中的

正離子還是負離子,都有

qE=q—=qvB

???流速u=葛,液體流量Q=vhd=與.

如果截面園形的非磁性管，磁感應(yīng)強度；。一測量管內(nèi)徑；U—流量信號(電動勢);

u—液體平均軸向流速，L測量電極之間距離。

霍爾電勢Uc

Ue=kBLv(1)k1無量綱)的常數(shù)，

在圓形管道中，體積流量是：

八出

Q=——u(2)

4

把方程(1)、(2)合并得：液體流量。=更.巳

4kLB

或者。=K￡,K校準系數(shù)，通常是靠濕式校準來得到。

第15章磁介質(zhì)的磁化

一、選擇題

1(C),2(B),3(B),4(C),5(D)

二、填空題

(1).-8.88X106,抗.

(2).鐵磁質(zhì)，順磁質(zhì)，抗磁質(zhì).

(3).7.96XIO5A/m,2.42X102A/m.

(4).各磁疇的磁化方向的指向各不相同，雜亂無章.

全部磁疇的磁化方向的指向都轉(zhuǎn)向外磁場方向.

(5).矯頑力大，剩磷也大；例如永久磁鐵.

(6).磁導(dǎo)率大，矯頑力小，磁滯損耗低.變壓器，交流電機的鐵芯等.

三計算題

1.一根同軸線由半徑為體的長導(dǎo)線和套在它外面的內(nèi)半徑為&、外半徑

為R3的同軸導(dǎo)體圓筒組成.中間充滿磁導(dǎo)率為〃的各向同性均勻非鐵磁絕

緣材料，如圖.傳導(dǎo)電流/沿導(dǎo)線向上流去，由圓筒向下流怛I,在它們的

截面上電流都是均勻分布的.求同軸線內(nèi)外的磁感強度大小B的分布.

解：由安培環(huán)路定理:印3=。

0<r</?)區(qū)域：2nrH=Ir2/R；

IrB="o"

2咽2，-2兀R；

R\<r</?2區(qū)域:=I

—,B=-^~

2兀廠2兀廠

0“7M產(chǎn)-R：）

R2Vr</?3區(qū)域:

（R"R；）

“="2nr工R；-R；

°2"R；-R；

區(qū)域:H=0,8=0

2.一根很長的同軸電纜，由一導(dǎo)體圓柱(半徑為幻和同軸的導(dǎo)體圓管(內(nèi)、外半徑分別為4

c)構(gòu)成，使用時，電流/從一導(dǎo)體流出，從另一導(dǎo)體流回.設(shè)電流都是均勻地分布在導(dǎo)體的

橫截面上，求：導(dǎo)體圓柱內(nèi)(X。)和兩導(dǎo)體之間3<，y份的磁場強度〃的大小.

解：由電流分布的軸對稱性可知，在同一橫截面上繞軸半徑為「的圓周上各點的B值相等,

其方向是沿圓周的切線方向.用，的環(huán)路定律可求出.

(1))<aH?2兀r=反［H=—^-r-

na~2ncr

(2)a</<bH?2nr=I,H=—^―

2nr

3.螺繞環(huán)中心周氏/二10cm,環(huán)上均勻密繞線圈N=2C0匝，線圈中通有電流/=0.1A.管

內(nèi)充滿相對磁導(dǎo)率4200的磁介質(zhì).求管內(nèi)磁場強度和磁感強度的大小.

解:H=nl=Nl/1=200A/m

B=/JH=RW,H=1.06T

4.一鐵環(huán)的中心線周長為0.3m,橫截面積為1.0X104m2,在環(huán)上密繞300值表面絕豫的

導(dǎo)線，當導(dǎo)線通有電流3.2X1CPA時，通過環(huán)的橫截面的磁通量為2.0X10工Wb.求：

(1)鐵環(huán)內(nèi)部的磁感強度；

(2)鐵環(huán)內(nèi)部的磁場強度；

(3)鐵的磁化率；

(4)鐵環(huán)的磁化強度.

8=2=2x10-21

解：⑴

S

⑵n=1000mbH=nh=32A/m

(3)相對磁導(dǎo)率〃，==497

N°H

???磁化率X，n=1=496

(4)磁化強度M=R〃"=1.59X104A/m

四研討題

1.順磁質(zhì)和鐵磁質(zhì)的磁導(dǎo)率明顯地依賴于溫度，而抗磁質(zhì)的磁導(dǎo)率則幾乎與溫度無關(guān)，為

什么？

參考解答：

順磁質(zhì)的磁性主要來源于分子的固有磁矩沿外磁場方向的取向排列。當溫度升高時，由

于熱運動的緣故，這些固有磁矩更易趨向混亂，而不易沿外磁場方向排列，使得順磁質(zhì)的磁

性因磁導(dǎo)率明顯地依賴于溫度。

鐵磁質(zhì)的磁性主要來源于磁疇的磁矩方向沿外磁場方向的取向排列。當溫度升高時，各

磁疇的磁矩方向易趨向混亂而使鐵磁質(zhì)的磁性減小，因而鐵磁質(zhì)的磁導(dǎo)率會明顯地依賴于溫

度。當鐵磁質(zhì)的溫度超過居里點時，其磁性還會完全消失。

至于抗磁質(zhì)，它的磁性來源于抗磁質(zhì)分子在外磁場中所產(chǎn)生的與外磁場方向相反的感生磁

矩，不存在磁矩的方向排列問題，因而抗磁質(zhì)的磁性和分子的熱運動情況無關(guān)，這就是抗磁

質(zhì)的磁導(dǎo)率幾乎與溫度無關(guān)的原因。

2.在實際問題中用安培環(huán)路定理￡后(7=￡/。計算由鐵磁質(zhì)組成的閉合環(huán)路，在得出H

后，如何進一步求出對應(yīng)的B值呢？

參考解答：

由于鐵磁質(zhì)的〃「不是一個常數(shù)，因此不能用B代，來進行計算，而是應(yīng)當查閱手冊

中該鐵磁材料的B-H曲線圖，找出對應(yīng)于計算值H的磁感強度B值