第二章 簡諧運動【速記清單】（解析版）

學(xué)而優(yōu)教有方第二章機械振動重點掌握知識清單01簡諧運動的規(guī)律1、簡諧運動(1)定義：如果質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質(zhì)點的運動就是簡諧運動。(2)平衡位置：物體在振動過程中回復(fù)力為零的位置。(3)回復(fù)力①定義：使物體返回到平衡位置的力。②方向：總是指向平衡位置。③來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力。2、簡諧運動的兩種模型模型彈簧振子單擺示意圖簡諧運動條件①彈簧質(zhì)量要忽略②無摩擦等阻力③在彈簧彈性限度內(nèi)①擺線為不可伸縮的輕細線②無空氣阻力等③最大擺角小于等于5°回復(fù)力彈簧的彈力提供擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力平衡位置彈簧處于原長處最低點周期與振幅無關(guān)T＝2πeq\r(\f(L,g))能量轉(zhuǎn)化彈性勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒重力勢能與動能的相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒重點掌握知識清單02簡諧運動的表達式及圖象1、表達式(1)動力學(xué)表達式：F＝－kx，其中“－”表示回復(fù)力與位移的方向相反。(2)運動學(xué)表達式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫做初相。2、圖象(1)從平衡位置開始計時，函數(shù)表達式為x＝Asinωt，圖象如圖甲所示。(2)從最大位移處開始計時，函數(shù)表達式為x＝Acosωt，圖象如圖乙所示。重點掌握知識清單03單擺及其周期公式1、單擺的受力特征(1)回復(fù)力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F(xiàn)回＝－mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，負號表示回復(fù)力F回與位移x的方向相反。(2)向心力：細線的拉力和擺球重力沿細線方向分力的合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)向＝FT－mgcosθ。(3)兩點說明①當(dāng)擺球在最高點時，F(xiàn)向＝eq\f(mv2,l)＝0，F(xiàn)T＝mgcosθ。②當(dāng)擺球在最低點時，F(xiàn)向＝eq\f(mv\o\al(

2,max),l)，F(xiàn)向最大，F(xiàn)T＝mg＋meq\f(v\o\al(

2,max),l)。2、周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的兩點說明(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。(2)g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。重點掌握知識清單04受迫振動和共振1、簡諧運動、受迫振動和共振的比較振動項目簡諧運動受迫振動共振受力情況受回復(fù)力受驅(qū)動力作用受驅(qū)動力作用振動周期或頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，即固有周期T0或固有頻率f0由驅(qū)動力的周期或頻率決定，即T＝T驅(qū)或f＝f驅(qū)T驅(qū)＝T0或f驅(qū)＝f0振動能量振動系統(tǒng)的機械能不變由產(chǎn)生驅(qū)動力的物體提供振動物體獲得的能量最大常見例子彈簧振子或單擺(θ≤5°)機械工作時底座發(fā)生的振動共振篩、聲音的共鳴等2、對共振的理解(1)共振曲線：如圖，橫坐標(biāo)為驅(qū)動力頻率f，縱坐標(biāo)為振幅A，它直觀地反映了驅(qū)動力頻率對某固有頻率為f0的振動系統(tǒng)受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當(dāng)f＝f0時，振幅A最大。(2)受迫振動中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化：做受迫振動的系統(tǒng)的機械能不守恒，系統(tǒng)與外界時刻進行能量交換。陷阱一：振動路程的計算分析模糊不清(1)求振動物體在一段時間內(nèi)通過路程的依據(jù)：①振動物體在一個周期內(nèi)通過的路程一定為四個振幅，則在n個周期內(nèi)通過的路程必為n·4A。②振動物體在半個周期內(nèi)通過的路程一定為兩倍振幅。③振動物體在eq\f(T,4)內(nèi)通過的路程可能等于一倍振幅，還可能大于或小于一倍振幅，只有當(dāng)初始時刻在平衡位置或最大位移處時，eq\f(T,4)內(nèi)通過的路程才等于振幅。(2)計算路程的方法是：先判斷所求時間內(nèi)有幾個周期，再依據(jù)上述規(guī)律求路程?！纠}1】如圖所示，彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B間距離是20cm，從A到B運動時間是2s，則()A.從O→B→O振子做了一次全振動B.振動周期為2s，振幅是10cmC.從B開始經(jīng)過6s，振子通過的路程是60cmD.從O開始經(jīng)過3s，振子處在平衡位置【答案】C【解析】振子從O→B→O只完成半個全振動，選項A錯誤；從A→B振子也只是半個全振動，半個全振動是2s，所以振動周期是4s，選項B錯誤；t＝6s＝1eq\f(1,2)T，所以振子經(jīng)過的路程為4A＋2A＝6A＝60cm，選項C正確；從O開始經(jīng)過3s，振子處在最大位移A或B處，選項D錯誤?！緩娀?】(2018·天津高考)(多選)一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標(biāo)原點。t＝0時振子的位移為－0.1m，t＝1s時位移為0.1m，則()A．若振幅為0.1m，振子的周期可能為eq\f(2,3)sB．若振幅為0.1m，振子的周期可能為eq\f(4,5)sC．若振幅為0.2m，振子的周期可能為4sD．若振幅為0.2m，振子的周期可能為6s【答案】AD【解析】若振幅為0.1m，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))T＝1s，其中n＝0，1，2，…。當(dāng)n＝0時，T＝2s；n＝1時，T＝eq\f(2,3)s；n＝2時，T＝eq\f(2,5)s。故A正確，B錯誤。若振幅為0.2m，振動分4種情況討論：第①種情況，設(shè)振動方程為x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0時，－eq\f(A,2)＝Asinφ，解得φ＝－eq\f(π,6)，所以由P點到O點用時至少為eq\f(T,12)，由簡諧運動的對稱性可知，由P點到Q點用時至少為eq\f(T,6)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,6)))T＝1s，其中n＝0，1，2，…，當(dāng)n＝0時，T＝6s，n＝1時，T＝eq\f(6,7)s；第②③種情況，由P點到Q點用時至少為eq\f(T,2)，周期最大為2s；第④種情況，周期一定小于2s。故C錯誤，D正確?！緩娀?】(多選)彈簧振子以O(shè)點為平衡位置做簡諧運動，從振子通過O點時開始計時，振子第一次到達M點用了0.3s，又經(jīng)過0.2s第二次通過M點，則振子第三次通過M點還要經(jīng)過的時間可能是()A.eq\f(1,3)sB.eq\f(8,15)sC．1.4sD．1.6s【答案】AC【解析】假設(shè)彈簧振子在B、C之間振動，如圖甲，若振子開始先向左振動，振子的振動周期為T＝eq\f(0.3＋0.1,3)×4s＝eq\f(1.6,3)s，則振子第三次通過M點還要經(jīng)過的時間是t＝eq\f(1.6,3)s－0.2s＝eq\f(1,3)s．如圖乙，若振子開始先向右振動，振子的振動周期為T＝4×(0.3＋eq\f(0.2,2))s＝1.6s，則振子第三次通過M點還要經(jīng)過的時間是t＝1.6s－0.2s＝1.4s，A、C正確．陷阱二：不能用簡諧運動的表達式解決振動問題應(yīng)用簡諧運動的表達式x＝Asin(ωt＋φ)解決簡諧運動問題，首先要明確表達式中物理量的意義，找到各物理量對應(yīng)的數(shù)值，根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)＝2πf確定三個描述振動快慢的物理量間的關(guān)系，有時還需要畫出其振動圖像來解決有關(guān)問題。對于同一質(zhì)點的振動，不同形式的簡諧運動位移表達式初相位并不相同。【例題2】(多選)物體A做簡諧運動的振動位移xA＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,2)))m，物體B做簡諧運動的振動位移xB＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,6)))m。比較A、B的運動，有()A.振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB.周期是標(biāo)量，A、B周期相等，為100sC.A振動的頻率fA等于B振動的頻率fBD.A的相位始終超前B的相位eq\f(π,3)【答案】CD【解析】振幅是標(biāo)量，A、B的振動范圍分別是6m、10m，但振幅分別為3m、5m，選項A錯誤；A、B振動的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,100)s＝6.28×10－2s，選項B錯誤；因TA＝TB，故fA＝fB，選項C正確；Δφ＝(φA－φB)＝eq\f(π,3)為定值，選項D正確?！緩娀?】某彈簧振子在水平方向上做簡諧運動，其位移x隨時間變化的關(guān)系式為，如圖所示，則（）A．彈簧在第1s末與第5s末的長度相同B．簡諧運動的頻率為HzC．第3s末，彈簧振子的位移大小為AD．第3s末至第5s末，彈簧振子的速度方向不變【答案】BCD【解析】A．彈簧振子在水平方向上做簡諧運動，其位移x的正、負表示彈簧被拉伸或壓縮，所以彈簧在第1s末與第5s末時雖然位移大小相同，但方向不同，彈簧長度不同，故A錯誤；B．由圖像可知，周期為8s，故頻率為Hz，故B正確；C．由于周期為8s，則,將t=3s代入，可得彈簧振子的位移大小為A，故C正確；D．第3s末至第5s末，彈簧振子向同一方向運動，速度方向不變，故D正確。故選BCD。【強化4】(多選)(2015·山東)如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡諧運動。以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0時刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6s時，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g＝10m/s2。以下判斷正確的是()A.h＝1.7mB.簡諧運動的周期是0.8sC.0.6s內(nèi)物塊運動的路程是0.2mD.t＝0.4s時，物塊與小球運動方向相反【答案】AB【解析】t＝0.6s時，物塊的位移為y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1m，則對小球有h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，選項A正確；簡諧運動的周期是T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，選項B正確；0.6s內(nèi)物塊運動的路程是3A＝0.3m，選項C錯誤；t＝0.4s＝eq\f(T,2)時，物塊經(jīng)過平衡位置向下運動，則此時物塊與小球運動方向相同，選項D錯誤.陷阱三：對簡諧運動的圖像理解不清對簡諧運動圖像(x－t圖像)的認識(1)形狀：正(余)弦曲線(2)物理意義：表示振動的質(zhì)點在不同時刻偏離平衡位置的位移，是位移隨時間的變化規(guī)律。(3)獲取信息①任意時刻質(zhì)點的位移的大小和方向。如圖甲所示，質(zhì)點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2。②任意時刻質(zhì)點的振動方向：看下一時刻質(zhì)點的位置，如圖乙中a點，下一時刻離平衡位置更遠，故a此刻向上振動。③任意時刻質(zhì)點的速度、加速度、位移的變化情況及大小比較：看下一時刻質(zhì)點的位置，判斷是遠離還是靠近平衡位置，若遠離平衡位置，則速度越來越小，加速度、位移越來越大，若靠近平衡位置，則速度越來越大，加速度、位移越來越小，如圖乙中b，從正位移向著平衡位置運動，則速度為負且增大，位移、加速度正在減小，c從負位移遠離平衡位置運動，則速度為負且減小，位移、加速度正在增大。2.特別提醒振動圖像描述的是振動質(zhì)點的位移隨時間的變化關(guān)系，而非質(zhì)點運動的軌跡。比如彈簧振子沿一直線做往復(fù)運動，其軌跡為一直線，而它的振動圖像卻是正弦曲線?！纠}3】(多選)如圖甲所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動，取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示。下列說法正確的是()A．t＝0.8s時，振子的速度方向向左B．t＝0.2s時，振子在O點右側(cè)6cm處C．t＝0.4s和t＝1.2s時，振子的加速度完全相同D．t＝0.4s到t＝0.8s的時間內(nèi)，振子的速度逐漸增大E．t＝0.8s到t＝1.2s的時間內(nèi)，振子的加速度逐漸增大【答案】ADE【解析】由題圖知，t＝0.8s時，振子在平衡位置向負方向運動，所以速度方向向左，A正確；由題圖乙可知，彈簧振子的振動方程為x＝Asinωt＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)πt))cm，當(dāng)t＝0.2s時，x＝6eq\r(2)cm，即振子在O點右側(cè)6eq\r(2)cm處，B錯誤；t＝0.4s和t＝1.2s時，振子的加速度大小相等，方向相反，C錯誤；t＝0.4s到t＝0.8s的時間內(nèi)，振子向平衡位置運動，速度逐漸增大，D正確；t＝0.8s到t＝1.2s的時間內(nèi)，振子遠離平衡位置運動，加速度增大，E正確。【例題4】(多選)甲、乙兩彈簧振子，振動圖象如圖所示，則可知()A．甲速度為零時，乙加速度最大B．甲加速度為零時，乙速度最小C．1.25～1.5s時間內(nèi)，甲的回復(fù)力大小增大，乙的回復(fù)力大小減小D．甲、乙的振動頻率之比f甲∶f乙＝1∶2E．甲、乙的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1【答案】CDE【解析】由題圖可知，甲運動到最大位移處(速度為零)時，乙剛好運動到平衡位置，加速度為零，速度最大，A錯誤；甲運動到平衡位置(加速度為零)時，乙也運動到平衡位置，速度最大，B錯誤；由|F|＝k|x|可知，C正確；甲做簡諧運動的周期T甲＝2.0s，乙做簡諧運動的周期T乙＝1.0s，甲、乙的振動周期之比T甲∶T乙＝2∶1，根據(jù)周期與頻率成反比，可知甲、乙的振動頻率之比f甲∶f乙＝1∶2，D正確；甲的振幅A甲＝10cm，乙的振幅A乙＝5cm，甲、乙的振幅之比A甲∶A乙＝2∶1，E正確?！緩娀?】如圖甲所示為以O(shè)點為平衡位置，在A、B兩點間做簡諧運動的彈簧振子，圖乙為這個彈簧振子的振動圖像，以向右為x的正方向，由圖可知下列說法中正確的是（）A．此振動的振幅為10cm，振動周期為0.8sB．從t＝0到t＝0.2s時間內(nèi)，彈簧振子做加速度減小的減速運動C．在t＝0.2s與t＝0.6s兩個時刻，振子的動能都為零D．在t＝0.6s時，彈簧振子的彈性勢能最小【答案】C【解析】A．此振動的振幅為5cm，振動周期為0.8s，選項A錯誤；B．從t=0到t=0.2s時間內(nèi)，彈簧振子的位移增大，加速度增加，速度減小，所以彈簧振子做加速度增大的減速運動。故B錯誤；C．在t＝0.2s與t＝0.6s兩個時刻，振子的速度為零，則動能都為零，選項C正確；D．在t=0.6s時，彈簧振子的位移最大，速度最小，由機械能守恒知，彈簧振子有最大的彈性勢能，故D錯誤。故選C?！緩娀?】（多選）如圖所示為某一質(zhì)點的振動圖像，，由圖可知，在和兩個時刻，質(zhì)點振動的速度、與加速度、的關(guān)系為（

）A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相反 D．，方向相反【答案】AD【解析】AB．振動圖像的斜率為振動質(zhì)點的速度、斜率正負表示方向；依題意可知，此時兩時刻斜率均為負，即振動質(zhì)點運動方向相同；又，即t1時刻振子距平衡位置較遠，則，故A正確，B錯誤；CD．依題意，因，t1時刻振子受到的回復(fù)力較大，根據(jù)牛頓第二定律，則有；從題圖可知，由于兩時刻位移方向相反，其回復(fù)力方向相反，則其加速度方向相反，故C錯誤，D正確。故選AD。陷阱四：對單擺的擺長與重力加速度認識不夠1.擺長l①實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點，所以擺長應(yīng)是從懸點到擺球重心的長度：一般即l＝l′＋eq\f(D,2)，l′為擺線長，D為擺球直徑。②等效擺長：圖(a)中甲、乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為l·sinα，這就是等效擺長。其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時，與丙等效。2.重力加速度g若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且懸點處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在位置的高度變化而變化。另外，在不同星球上M和R也是變化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近時的取值。【例題5】(多選)圖甲中擺球表面包有一小塊橡皮泥，在豎直平面內(nèi)其振動圖象如圖乙所示，某時刻橡皮泥瞬間自然脫落，不考慮單擺擺長的變化，則下列說法正確的是()A．t＝0時刻橡皮泥脫落，此后單擺周期T<4sB．t＝1s時刻橡皮泥脫落，此后單擺周期T＝4sC．t＝1s時刻橡皮泥脫落，此后單擺周期T＞4sD．t＝0時刻橡皮泥脫落，此后單擺振幅A＝10cmE．t＝1s時刻橡皮泥脫落，此后單擺振幅A＝10cm【答案】BDE【解析】因為是自然脫落，橡皮泥與擺球之間無相互作用且擺長不變，則擺球仍在原范圍內(nèi)振動，振幅不變，周期不變，所以選項B、D、E正確?！纠}6】(2019·全國卷Ⅱ)如圖，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細鐵釘。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。當(dāng)小球a擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對于其平衡位置的