人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一3.1 函數(shù)的概念及表示（精講）（含答案及解析）

3.1函數(shù)的概念及表示（精講）一．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函數(shù)的概念抓住兩點(diǎn)①可以“多對(duì)一”、“不可一對(duì)多”②集合A中的元素?zé)o剩余，集合B中的元素可剩余.2.對(duì)于“f(x)”中的“x”，即可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式.二.區(qū)間設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.區(qū)間的左端點(diǎn)必小于右端點(diǎn)；2.區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；3.用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，不屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用空心點(diǎn)表示；4.無窮大(∞)是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)，因此它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法則；5.包含端點(diǎn)用閉區(qū)間，不包含端點(diǎn)用開區(qū)間，以“＋∞”或“－∞”為區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這一端必須是小括號(hào)．三.同一個(gè)函數(shù)1.前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).四.常見函數(shù)的值域(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)镽，值域是R.(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).五.函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系六.分段函數(shù)分段函數(shù)在書寫時(shí)要用大括號(hào)，把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式，并寫出各段的定義域.1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).2.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.3.作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象.4.注意事項(xiàng)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)；(2)分段函數(shù)中各段自變量的取值范圍的交集是空集；(3)處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，從而選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一.根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法1.任取一條垂直于x軸的直線l；2.在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；3.若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).二.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法三．求函數(shù)定義域1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.2.如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合.4.如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集.5.如果f(x)是根據(jù)實(shí)際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合.四．判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)1.定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù).2.函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.3.在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.五．求函數(shù)值1.方法：①已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.2.關(guān)注點(diǎn)：用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.六．求函數(shù)值域的常用方法1.觀察法：通過對(duì)解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域.2.配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式，即可化為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函數(shù)，則可通過配方再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域，但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法.3.換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域.4.分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)分式函數(shù)，即將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”的形式，便于求值域.七．求函數(shù)解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設(shè)出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.八．分段函數(shù)1.函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.3.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟：(1)定類型：根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點(diǎn)，先確定函數(shù)的類型；(2)設(shè)函數(shù)式：設(shè)出函數(shù)的解析式；(3)列方程(組)：根據(jù)圖象中的已知點(diǎn)，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式；(4)下結(jié)論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.4.作分段函數(shù)圖象的注意點(diǎn)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，定義域內(nèi)各分界點(diǎn)處的取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開或連接，特別注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷【例1-1】（203·江蘇揚(yáng)州）下列對(duì)應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，B．，，C．，D．，【例1-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰）下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·江蘇）（多選）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的是（）A．：把對(duì)應(yīng)到 B．：把對(duì)應(yīng)到C．：把對(duì)應(yīng)到 D．：把對(duì)應(yīng)到2．（2022·江西景德鎮(zhèn)）（多選）托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關(guān)系屬于集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．3．（2023·云南昆明）已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．4．（2023·北京）（多選）下列是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)二區(qū)間的表示【例2】（2022廣東湛江）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.【一隅三反】1．（2023云南大理）集合可用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．2．（2023廣州）若實(shí)數(shù)滿足，則用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．考點(diǎn)三函數(shù)的定義域【例3-1】（1）（2023·湖南衡陽）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【例3-2】（1）（2023·海南）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是__________.（2）（2023·上海）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.（3）（2022廣西）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是__________.【例3-3】（2023·河北衡水）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023安徽）已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【一隅三反】1．（2023·福建）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.3．（2022秋·福建）已知函數(shù)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)開________________4．（2023·湖南）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_______.5．（2022秋·山東煙臺(tái)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.考點(diǎn)四同一函數(shù)的判斷【例4】（2022秋·福建福州）下列函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）.A．與 B．與

C．與 D．與【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2023·山東）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023河南）下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是（）①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③考點(diǎn)五三種函數(shù)的表示方法【例5】（2023新疆）某公共汽車，行進(jìn)的站數(shù)與票價(jià)關(guān)系如下表：行進(jìn)的站數(shù)123456789票價(jià)111222333此函數(shù)的關(guān)系除了圖表之外，能否用其他方法表示？【一隅三反】1．（2023內(nèi)蒙古）公司生產(chǎn)了10臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某種筆記本的單價(jià)是5元，買個(gè)筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知完成某項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間與參加完成此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)之間滿足關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且參加此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)不能超過8．（1）寫出關(guān)于的解析式；（2）用列表法表示此函數(shù)；（3）畫出此函數(shù)的圖象．考點(diǎn)六求函數(shù)值或值域【例6-1】（2023湖北）已知，，求：(1)；(2)；(3).【例6-2】（2023·江蘇）試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【一隅三反】1．（2023·江蘇連云港）（多選）下列函數(shù)與的值域相同的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·浙江杭州）求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.（4）考點(diǎn)七函數(shù)解析式【例7】（2023·江西南昌）根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足【一隅三反】1．（2023·云南大理）根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足2．（2023·全國·專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為__________．(2)已知滿足，求的解析式．(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．考點(diǎn)八分段函數(shù)【例8-1】（2023·廣西梧州）已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.【例8-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）畫出函數(shù)的圖象．【例8-3】（2022秋·廣東深圳）已知.(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù).(2)畫出區(qū)間上的的圖象；(3)根據(jù)圖象寫出區(qū)間上的值域.【一隅三反】1．（2022秋·廣東汕頭·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)(1)求，，；(2)若，求的值．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)作出函數(shù)的簡圖；(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)在所給坐標(biāo)系中作出的簡圖；(2)解不等式.4．（2023·山東棗莊）某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：①公里以內(nèi)(含公里)，票價(jià)元；②公里以上，每增加公里，票價(jià)增加元(不足公里的按公里計(jì)算)．如果某條線路的總里程為公里，(1)請根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出該函數(shù)的圖像．

3.1函數(shù)的概念及表示（精講）一．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函數(shù)的概念抓住兩點(diǎn)①可以“多對(duì)一”、“不可一對(duì)多”②集合A中的元素?zé)o剩余，集合B中的元素可剩余.2.對(duì)于“f(x)”中的“x”，即可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式.二.區(qū)間設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.區(qū)間的左端點(diǎn)必小于右端點(diǎn)；2.區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；3.用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，不屬于這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的實(shí)數(shù)用空心點(diǎn)表示；4.無窮大(∞)是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)，因此它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法則；5.包含端點(diǎn)用閉區(qū)間，不包含端點(diǎn)用開區(qū)間，以“＋∞”或“－∞”為區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這一端必須是小括號(hào)．三.同一個(gè)函數(shù)1.前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).四.常見函數(shù)的值域(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)镽，值域是R.(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).五.函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系六.分段函數(shù)分段函數(shù)在書寫時(shí)要用大括號(hào)，把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式，并寫出各段的定義域.1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).2.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.3.作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象.4.注意事項(xiàng)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)；(2)分段函數(shù)中各段自變量的取值范圍的交集是空集；(3)處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，從而選擇相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一.根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法1.任取一條垂直于x軸的直線l；2.在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l；3.若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).二.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法三．求函數(shù)定義域1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.2.如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合.4.如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集.5.如果f(x)是根據(jù)實(shí)際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合.四．判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)1.定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù).2.函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.3.在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.五．求函數(shù)值1.方法：①已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.2.關(guān)注點(diǎn)：用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.六．求函數(shù)值域的常用方法1.觀察法：通過對(duì)解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域.2.配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式，即可化為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函數(shù)，則可通過配方再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域，但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法.3.換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域.4.分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)分式函數(shù)，即將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”的形式，便于求值域.七．求函數(shù)解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設(shè)出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.八．分段函數(shù)1.函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.3.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟：(1)定類型：根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點(diǎn)，先確定函數(shù)的類型；(2)設(shè)函數(shù)式：設(shè)出函數(shù)的解析式；(3)列方程(組)：根據(jù)圖象中的已知點(diǎn)，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式；(4)下結(jié)論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.4.作分段函數(shù)圖象的注意點(diǎn)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，定義域內(nèi)各分界點(diǎn)處的取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開或連接，特別注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷【例1-1】（203·江蘇揚(yáng)州）下列對(duì)應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，滿足函數(shù)的定義，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，集合A中取，在集合B中沒有對(duì)應(yīng)元素，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，集合A中取，在集合B中沒有對(duì)應(yīng)元素，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中當(dāng)時(shí)，在集合B中都有兩個(gè)元素與x對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A．【例1-2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰）下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橛珊瘮?shù)的概念可知，一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)函數(shù)值，故ABD正確；選項(xiàng)C中，當(dāng)x=0時(shí)有兩個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，所以C錯(cuò)誤.故選：C.【一隅三反】1．（2023·江蘇）（多選）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的是（）A．：把對(duì)應(yīng)到 B．：把對(duì)應(yīng)到C．：把對(duì)應(yīng)到 D．：把對(duì)應(yīng)到【答案】AB【解析】選項(xiàng)A，是實(shí)數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)．它的對(duì)應(yīng)關(guān)系是把乘再加，對(duì)于任一，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，如，則與之對(duì)應(yīng)；選項(xiàng)B，同理B也是實(shí)數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)；選項(xiàng)C，不是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值不存在；選項(xiàng)D，不是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值不存在．故選：AB.2．（2022·江西景德鎮(zhèn)）（多選）托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關(guān)系屬于集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題意，，A項(xiàng)，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值為，與集合不對(duì)應(yīng)，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，B正確；C項(xiàng)，在中，當(dāng)時(shí)，定義域不合要求，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，D正確；故選：BD.3．（2023·云南昆明）已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)選項(xiàng)A：存在點(diǎn)使一個(gè)與兩個(gè)對(duì)應(yīng)，不符合，排除；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，沒有與之對(duì)應(yīng)的，不符合，排除；對(duì)選項(xiàng)C：的范圍超出了集合的范圍，不符合，排除；對(duì)選項(xiàng)D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D4．（2023·北京）（多選）下列是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)只有一個(gè)和它對(duì)應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對(duì)多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.故選：ABD.考點(diǎn)二區(qū)間的表示【例2】（2022廣東湛江）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.【答案】見解析【解析】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)（2）{x|x<0}＝(－∞，0)(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].【一隅三反】1．（2023云南大理）集合可用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，用開區(qū)間表示為故答案為：A。2．（2023廣州）若實(shí)數(shù)滿足，則用區(qū)間表示為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知可以等于，不能等于，所以是半開半閉區(qū)間，D選項(xiàng)符合.故答案為：D.考點(diǎn)三函數(shù)的定義域【例3-1】（1）（2023·湖南衡陽）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】（1）且（2）【解析】（1）依題意，，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)榍?故選：A（2）要使函數(shù)有意義，則，解得，即且，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【例3-2】（1）（2023·海南）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是__________.（2）（2023·上海）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.（3）（2022廣西）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是__________.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，即且，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：.（2）令，得，從而，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，即，得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋骸纠?-3】（2023·河北衡水）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)有意義，則有，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：C【例3-4】（2023安徽）已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【答案】D【解析】由題意知解得<x<5即定義域?yàn)楣蔬x：D.【一隅三反】1．（2023·福建）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由，得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋海蚀鸢笧椋?．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】令，可得，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.3．（2022秋·福建）已知函數(shù)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)開________________【答案】【解析】由已知，的定義域?yàn)?，所以?duì)于需滿足,解得故答案為：.4．（2023·湖南）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)中，所以，即的定義域?yàn)?故答案為：.5．（2022秋·山東煙臺(tái)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)矩形另一邊的長為m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面積，解得：.故答案為：考點(diǎn)四同一函數(shù)的判斷【例4】（2022秋·福建福州）下列函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）.A．與 B．與

C．與 D．與【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，，顯然與對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，但定義域相同均為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由題意得，即的定義域?yàn)?，，即的定義域?yàn)楹?，兩函?shù)定義域不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，即兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，兩函數(shù)定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，故D正確.故選：D【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故的定義域?yàn)?對(duì)于A，的定義域?yàn)?，且解析式與相同，故為同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于B,，故不是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于C,的定義域?yàn)?，而?duì)定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于D,的定義域?yàn)?，而?duì)定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選:A2．（2023·山東）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，因?yàn)?，且，的定義域均為R，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，，和的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閧，且}，函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.3．（2023河南）下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是（）①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③【答案】B【解析】對(duì)①:與的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)；對(duì)②:由，而,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對(duì)③：，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù).故選：B考點(diǎn)五三種函數(shù)的表示方法【例5】（2023新疆）某公共汽車，行進(jìn)的站數(shù)與票價(jià)關(guān)系如下表：行進(jìn)的站數(shù)123456789票價(jià)111222333此函數(shù)的關(guān)系除了圖表之外，能否用其他方法表示？【答案】能，具體見詳解.【解析】根據(jù)題意，可知除了圖表法之外，還可以用解析式法和圖象法表示，解析式法：設(shè)票價(jià)為元，站點(diǎn)的個(gè)位為，則.圖象法：【一隅三反】1．（2023內(nèi)蒙古）公司生產(chǎn)了10臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.【答案】答案見解析.【解析】①列表法x(臺(tái))12345y(元)3000600090001200015000x(臺(tái))678910y(元)1800021000240002700030000②圖象法：如圖所示.③解析法：售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）某種筆記本的單價(jià)是5元，買個(gè)筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).【答案】見解析.【解析】這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集.用解析法可將函數(shù)表示為，.用列表法可將函數(shù)表示為筆記本數(shù)12345錢數(shù)510152025用圖象法可將函數(shù)表示為：3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知完成某項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間與參加完成此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)之間滿足關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且參加此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)不能超過8．（1）寫出關(guān)于的解析式；（2）用列表法表示此函數(shù)；（3）畫出此函數(shù)的圖象．【答案】（1）函數(shù)解析式是（2）詳見解析（3）圖象見解析【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以．又，為正整數(shù)，所以此函數(shù)的定義域是，所以所求函數(shù)解析式是．（2），2，3，4，5，6，7，8，列表如下：123456781971005335（3）此函數(shù)的圖象如圖所示：考點(diǎn)六求函數(shù)值或值域【例6-1】（2023湖北）已知，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)-23；-1(2)-20；-51(3)8x2-46x+40；4x2-6x-55【解析】(1)=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1；(2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.【例6-2】（2023·江蘇）試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定義域?yàn)?，值域?yàn)?2)定義域?yàn)?，值域?yàn)?3)定義域是，值域?yàn)?4)定義域是，值域是.【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，同理可得，，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)?（4）要使函數(shù)有意義，需滿足，即，故函數(shù)的定義域是.設(shè)，則，于是，又，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?【一隅三反】1．（2023·江蘇連云港）（多選）下列函數(shù)與的值域相同的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故其值域?yàn)?；?duì)A：當(dāng)時(shí)，，其值域?yàn)椋蔄正確；對(duì)B：，故，其值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，其值域?yàn)?，故C正確；對(duì)D：令，故的值域即的值域；又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.2．（2022秋·浙江杭州）求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.（4）【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）設(shè),則,所以,根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?,所以函數(shù)的值域?yàn)?（3）因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)?（4），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)值域?yàn)?；考點(diǎn)七函數(shù)解