《工程力學(xué)》課件第6章_第1頁
《工程力學(xué)》課件第6章_第2頁
《工程力學(xué)》課件第6章_第3頁
《工程力學(xué)》課件第6章_第4頁
《工程力學(xué)》課件第6章_第5頁
已閱讀5頁,還剩85頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

第6章彎曲

6.1彎曲的概念與實例6.2梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖6.3彎曲時的正應(yīng)力與強度計算6.4梁的變形6.5提高梁的承載能力的措施6.6組合變形簡介6.1.1基本概念

6.1.1基本概念彎曲是工程實際中常見的基本變形之一。例如,6.1(a)所示為變速箱中的齒輪傳動軸,當(dāng)齒輪受力時,軸就會發(fā)生變形,其軸線會彎曲。又如,圖6.1(b)所示房子上的橫梁,受到樓板的壓力后也會產(chǎn)生同樣的變形。圖6.1以上構(gòu)件的受力特點是:在通過構(gòu)件軸線的平面內(nèi),受到力偶或垂直于軸線的外力作用。其變形特點是:構(gòu)件的軸線由直線變成一條曲線,這種變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的構(gòu)件習(xí)慣上稱為梁。工程實際中常用直梁的橫截面形狀主要有圓形、矩形、T字形和工字形等,如圖6.2所示。圖6.2以上橫截面一般都有一個或幾個對稱軸,由縱向?qū)ΨQ軸與梁的軸線組成的平面稱為縱向?qū)ΨQ平面,如圖6.3所示。工程實踐中,通常把作用在梁上的所有外力都簡化在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi),且常把梁的軸線被彎曲成一條仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的光滑平面曲線的彎曲變形稱為平面彎曲。圖6.36.1.2梁的類型工程實際中,梁的結(jié)構(gòu)繁簡不一。為便于分析和計算,通常對梁進(jìn)行簡化。根據(jù)支座對梁的約束的不同情況,簡單的梁有三種類型,其簡圖如圖6.4所示。

(1)簡支梁:梁的一端為固定鉸鏈支座,另一端為活動鉸鏈支座,如圖6.4(a)所示。

(2)懸臂梁:梁的一端為固定端支座,另一端為自由端,如圖6.4(b)所示。

(3)外伸梁:梁的一端或兩端伸在支座之外的簡支梁,如圖6.4(c)所示。圖6.46.2梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖

6.2.1剪力與彎矩為了計算梁的強度與剛度,必須用截面法求出梁的內(nèi)力。如圖6.5所示,簡支梁在距A端為a的橫截面上受集中力F作用,求簡支梁AB上任意橫截面m-m上的內(nèi)力。首先,利用靜力平衡條件求出A、B的支座反力NA與NB為其次,假想用一截面將梁沿m-m截面截開,取左段進(jìn)行分析,如圖6.5(b)所示。為了達(dá)到平衡,在m-m截面上必須作用一個與NA等值、反向的力Fs。

NA與Fs構(gòu)成力偶,又有讓梁順時針轉(zhuǎn)動的趨勢。為了達(dá)到轉(zhuǎn)動平衡,截面上必須作用有一個力偶M。圖6.5中使梁的橫截面發(fā)生錯動的內(nèi)力Fs稱為剪力;使梁的軸線發(fā)生彎曲的內(nèi)力偶矩M稱為彎矩。其大小可以由平衡條件求出,即式中,C1表示左段截面的形心。若取m-m截面右段為研究對象,作同樣分析后,可求得與左段截面上等值、反向的剪力和彎矩M′,與左段截面上的剪力Fs和彎矩M互為作用與反作用的關(guān)系。為了使同一截面取左、右不同的兩段時求得的剪力和彎矩符號相同,把剪力和彎矩的符號規(guī)定為:使所取該段梁產(chǎn)生“左上右下”的相對錯動的剪力方向為正,反之為負(fù),如圖6.6所示;使所取該段梁產(chǎn)生上凹下凸的彎矩為正,反之為負(fù),如圖6.7所示。圖6.6圖6.7

從上述剪力和彎矩的計算過程中,我們可以看到如下規(guī)律:

(1)橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)(或右側(cè))所有外力的代數(shù)和;

(2)橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)(或右側(cè))所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。為了使所求得的剪力與彎矩符合前面的符號規(guī)定,按此規(guī)律計算剪力時,截面左側(cè)梁上外力向上取正值,向下取負(fù)值,截面右側(cè)梁上外力向下取正值,向上取負(fù)值;計算彎矩時,截面左側(cè)梁上外力對該截面形心的力矩順時針轉(zhuǎn)向取正值,逆時針轉(zhuǎn)向取負(fù)值,截面右側(cè)外力對該截面形心的力矩逆時針轉(zhuǎn)向取正值,順時針轉(zhuǎn)向取負(fù)值??梢詫⑦@個規(guī)則歸納為一個簡單的口訣:左上右下,剪力為正;左順右逆,彎矩為正。6.2.2剪力圖與彎矩圖工程中,梁橫截面上的剪力和彎矩沿梁的軸線發(fā)生變化。若以橫坐標(biāo)x表示梁的橫截面位置,則梁在各橫截面上的剪力Fs和彎矩M可以寫成x的函數(shù):Fs=Fs(x)M=M(x)以上兩式分別稱為剪力方程和彎矩方程。為了直觀地反映梁上各橫截面上的剪力和彎矩的大小及變化規(guī)律,根據(jù)剪力方程和彎矩方程,用橫坐標(biāo)x表示梁的橫截面的位置,縱坐標(biāo)分別表示剪力Fs和彎矩M的大小而畫出圖形,分別稱為剪力圖和彎矩圖。

【例6.1】如圖6.8(a)所示,簡支梁AB受集中載荷F=12kN,試畫出其剪力圖和彎矩圖。圖6.8解

(1)求A、B的支座反力。

(2)列剪力方程與彎矩方程。①對AC段,取距A端為x1的截面左段,畫出受力圖,如圖6.8(b)所示,列平衡方程:②對CB段,取距A端為x2的截面左段,畫出受力圖,如圖6.8(c)所示,列平衡方程:

(3)繪制剪力圖和彎矩圖。根據(jù)梁的各段上的剪力方程和彎矩方程,繪出剪力圖,如圖6.8(d)所示,繪出彎矩圖,如圖6.8(e)所示。從剪力圖上可以看出,在集中力F作用處,剪力圖上會發(fā)生突變,突變值即等于集中力F的大小。由剪力圖和彎矩圖可知,集中力F作用在C截面上,剪力和彎矩都達(dá)到最大值。

【例6.2】如圖6.9(a)所示,簡支梁AB上作用一集中力偶M,試?yán)L出梁AB的剪力圖和彎矩圖。圖6.9解

(1)求AB的支座反力,由力偶系平衡可得

(2)列剪力方程和彎矩方程。

1-1截面:剪力方程為彎矩方程為

2-2截面:剪力方程為

彎矩方程為

(3)繪制剪力圖和彎矩圖。繪制剪力圖,如圖6.9(b)所示;繪制彎矩圖,如圖6.9(c)所示。從彎矩圖上可看出,集中力偶作用處其彎矩有突變,突變值等于集中力偶矩。

【例6.3】如圖6.10(a)所示,懸臂梁AB受均布載荷作用,試?yán)L制其剪力圖和彎矩圖。圖6.10

解設(shè)截面m-m與B端之間的距離為x,取m-m截面的右段為研究對象,畫出受力圖,如圖6.10(b)所示。根據(jù)平衡條件:由Fs=qx可繪出剪力圖,如圖6.10(c)所示;由描點可繪出彎矩圖,如圖6.10(d)所示。6.3彎曲時的正應(yīng)力與強度計算

6.3.1變形幾何關(guān)系通過前面分析梁的內(nèi)力可知,一般情況下,梁橫截面上都存在剪力和彎矩兩種內(nèi)力。剪力是與截面相切的分布內(nèi)力系的合力,它與橫截面上的切應(yīng)力相關(guān);彎矩是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩,它與橫截面上的正應(yīng)力相關(guān)。實踐證明,當(dāng)梁比較細(xì)長時,正應(yīng)力對梁的破壞起決定作用。本節(jié)將重點討論梁橫截面上的正應(yīng)力。如圖6.11所示,一矩形等截面簡支梁AD,已知條件如圖所示。由梁的剪力圖和彎矩圖可看出:AB段和CD段既受剪力作用,又受彎矩作用,稱為剪切彎曲;中間的BC段只受彎矩作用,沒有剪力作用,稱為純彎曲。圖6.11為了了解純彎曲作用時梁的變形,取一矩形等截面梁進(jìn)行純彎曲變形實驗。如圖6.12(a)所示,在梁的表面作出兩條橫向線aa和bb,兩條縱向線11和22。然后在梁的兩端加上一對外力偶矩M,如圖6.12(b)所示。梁發(fā)生純彎曲后,橫向線aa與bb彎成平行的弧線,靠凹邊的縮短,靠凸邊的伸長;縱向線11和22只發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動,仍為直線,且與橫向線垂直。

若將11和22所夾部分取出,如圖6.12(c)所示,上部纖維縮短,下部纖維伸長,根據(jù)變形的連續(xù)性,它們之間有一層縱向纖維既不伸長又不縮短,這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層將橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū),在受拉區(qū)或受壓區(qū)內(nèi),縱向纖維的變形與到中性軸的距離成正比,這表明縱向纖維所受的力也與到中性軸的距離成正比。由于每根縱向纖維可以代表橫截面上的一點,因此橫截面上任意一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比。若將11和22所夾部分取出,如圖6.12(c)所示,上部纖維縮短,下部纖維伸長,根據(jù)變形的連續(xù)性,它們之間有一層縱向纖維既不伸長又不縮短,這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層將橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū),在受拉區(qū)或受壓區(qū)內(nèi),縱向纖維的變形與到中性軸的距離成正比,這表明縱向纖維所受的力也與到中性軸的距離成正比。由于每根縱向纖維可以代表橫截面上的一點,因此橫截面上任意一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比。圖6.126.3.2橫截面上的正應(yīng)力梁受純彎曲時,其橫截面上只有正應(yīng)力,沒有切應(yīng)力。橫截面上任意一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比,距中性軸等高度的各點處正應(yīng)力相等,而中性軸上各點處正應(yīng)力為零。橫截面上應(yīng)力分布如圖6.13(a)所示??梢宰C明,距離中性軸y處點的正應(yīng)力計算公式為,如圖6.13(b)所示。式中,Iz為橫截面對中性軸的慣性矩,對矩形截面,Iz=bh3/12,對圓形截面,Iz=πd4/64。從圖6.13中可以看出,離中性軸最遠(yuǎn)的梁的上、下邊緣處正應(yīng)力最大,最大正應(yīng)力的值為式中,稱為截面對中性軸z的抗彎截面系數(shù),其單位為m3或mm3。對于常見的截面,其抗彎截面系數(shù)分別如下:圖6.13

(1)矩形截面(如圖6.14(a)所示):

(2)圓形截面(如圖6.14(b)所示):

(3)圓環(huán)截面(如圖6.14(c)所示):

其中其他形狀截面的彎曲截面系數(shù)Wz可從有關(guān)資料中查得。

圖6.146.3.3彎曲正應(yīng)力強度條件對于等截面梁,最大正應(yīng)力產(chǎn)生在最大彎矩作用的截面上,此截面稱為危險截面。危險截面的上、下邊緣正應(yīng)力最大。正應(yīng)力最大的點稱為危險截面上的危險點。彎曲正應(yīng)力強度條件為:梁的最大彎曲正應(yīng)力小于或等于材料的許用應(yīng)力,即

當(dāng)材料的抗拉強度與抗壓強度相等時,[σ]采用材料的許用拉(壓)應(yīng)力。當(dāng)材料的抗拉強度與抗壓強度不相同,或橫截面相對中性軸不對稱時,應(yīng)分別建立抗拉強度條件與抗壓強度條件。實際工程中,運用強度條件可以進(jìn)行三方面計算:校核彎曲強度、求許可載荷和設(shè)計截面尺寸。

【例6.4】如圖6.15(a)所示,一矩形截面懸臂梁長l=4m,材料的許用應(yīng)力[σ]=150MPa,求此懸臂梁的許可載荷。圖6.15

解繪出懸臂梁的彎矩圖,如圖6.15(b)所示。圖中,Mmax=Fl=4000F。梁的橫截面抗彎截面系數(shù)為由梁的彎曲正應(yīng)力強度條件得因此,懸臂梁的許可載荷為F=25000N。

【例6.5】某建筑工地上,用長l=3m的矩形截面木板做跳板,木板橫截面尺寸b=500mm,h=50mm,木板材料的許用應(yīng)力[σ]=6MPa。試求:

(1)一體重為700N的工人走過是否安全?

(2)要求兩名體重均為700N的工人抬著1500N的貨物安全走過,木板的寬度不變,重新設(shè)計木板厚度h。

解(1)計算彎矩的最大值Mmax。當(dāng)工人行走到跳板中央時,彎矩最大。校核彎曲強度:所以,體重為700N的工人走過是安全的。

(2)設(shè)工人重力和貨物重力合成為一個集中力,且作用在跳板長度的中點時最危險,此處彎矩最大值為按彎曲強度設(shè)計:

h≥65.95mm所以,木板厚度應(yīng)滿足h≥66mm。

6.4梁的變形

6.4.1撓度與轉(zhuǎn)角如圖6.16所示,懸臂梁AB受載以后軸線由直線彎曲成一條光滑的連續(xù)曲線AB′,曲線AB′稱為撓曲線。梁的變形可以用撓度ω和轉(zhuǎn)角θ來度量。撓度:取軸線上任意一點C,變形后移至C1,其線位移ω為C點的撓度值。轉(zhuǎn)角:梁彎曲變形后,軸上任意一點C處的橫截面m-m將繞中性軸轉(zhuǎn)動一個角度至m′-m′,其角位移θ稱為該截面的轉(zhuǎn)角。6.4.2計算變形的疊加法梁的撓度和轉(zhuǎn)角都是載荷的一次函數(shù),當(dāng)梁上同時受到幾個載荷作用時,由某一載荷作用引起梁的變形不受其他載荷作用的影響,故梁的變形滿足線性疊加原理,即可以分別計算出單個載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角,再將它們求代數(shù)和,得到所有載荷同時作用時梁的總變形。幾種常見梁在簡單載荷作用下的變形見表6.1。表6.1幾種常見梁在簡單載荷作用下的變形

6.4.3剛度條件梁的剛度條件為:最大撓度小于或等于許用撓度,最大轉(zhuǎn)角小于或等于許用轉(zhuǎn)角,即ωmax≤[ω]θmax≤[θ]其中,[ω]、[θ]的具體數(shù)值可查有關(guān)設(shè)計手冊。

【例6.6】如圖6.17(a)所示,行車大梁采用NO.45a工字鋼,跨度l=9m,電動葫蘆重5kN,最大起重量為55kN,許用撓度[ω]=l/500。試校核行車大梁的剛度。圖6.17解將行車簡化后受力情況如圖6.17(b)所示。把梁的自重看成均布載荷,并且當(dāng)電動葫蘆處于梁的中央時,梁的變形最大。

(1)用疊加法求撓度。查手冊可知:NO.45a工字鋼的q=788N/m,Iz=32240cm4,E=200GPa。梁需要承受的最大載荷F=5+55=60kN。查表6.1可得,在力F作用下產(chǎn)生的撓度為

在均布載荷q作用下產(chǎn)生的撓度為梁的最大變形:ωCmax=ωCF+ωCq=0.015m。

(2)校核梁的剛度。梁的許用撓度,則ωCmax<[ω]所以梁的剛度足夠。6.5提高梁的承載能力的措施

1.選用合理截面梁的截面多種多樣,合理截面是指用較小的截面面積獲得較大的抗彎截面系數(shù)Wz或者較大的截面慣性矩Iz。前面的應(yīng)力分布圖6.13已經(jīng)表明:截面上離中性軸愈遠(yuǎn),正應(yīng)力愈大,而中性軸上的正應(yīng)力為零。因此,合理截面應(yīng)當(dāng)是將材料放在離中性軸較遠(yuǎn)的地方,如工字形截面比矩形截面合理,而矩形截面又比圓形截面合理,等等。

2.采用變截面梁對截面形狀一定的梁,其截面尺寸是按需要承受最大彎矩Mmax的截面強度條件設(shè)計的。若做成等截面梁,則對于其他截面,由于承受的彎矩M<Mmax,其材料未被充分利用,造成浪費,并且增大了梁的重量。因此,同一梁上根據(jù)不同截面的載荷大小不同,采用不同的截面尺寸,即采用變截面梁,有利于提高梁的承載能力。圖6.18所示為采用變截面梁形式的托架和階梯軸。圖6.18

3.合理安排載荷如圖6.19(a)所示,當(dāng)簡支梁AB在中點受集中力F作用時,其彎矩圖如圖6.19(b)所示。其上彎矩的最大值出現(xiàn)在中點,且。當(dāng)增加副梁后,如圖6.19(c)所示,所受的載荷相同,但產(chǎn)生的彎矩最大值減小為原來的一半。所以合理地安排載荷,可以提高梁的承載能力。圖6.19

4.減小跨度或增加支承由前面內(nèi)容可知,梁的變形與梁的跨度的高次方成正比,減小跨度l能夠有效提高梁的抗彎剛度并減少彎矩;增加支承也可以提高梁的抗彎剛度。例如,車床上車削工件時,車刀尖給工件作用力,不用尾架頂尖時工件易變形,使用頂尖后,變形可以減小。6.6組合變形簡介

6.6.1組合變形的概念工程實際中,許多構(gòu)件同時受到多種基本變形的作用,如有的構(gòu)件同時受到拉(壓)與彎曲,或者同時受到彎曲與扭轉(zhuǎn)的作用。像這種同時受兩種或兩種以上基本變形的變形形式,稱為組合變形。圖6.20(a)所示的AB構(gòu)件,其受力圖如圖6.20(b)所示。其上作用的力NAx和Fx使桿產(chǎn)生壓縮變形;力NAy、Fy與G使桿產(chǎn)生彎曲變形。所以,AB桿的變形屬組合變形。圖6.20在對組合變形的桿件進(jìn)行強度分析和計算時,通常采用疊加法,即把作用于桿件上的載荷分解、簡化,使簡化后的每一種載荷只產(chǎn)生一種基本變形,并且分別求出每一種載荷使桿件產(chǎn)生的應(yīng)力,然后進(jìn)行疊加,求得截面上的總應(yīng)力。6.6.2拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形如圖6.21(a)所示,矩形截面懸臂梁在自由端B處受外力F的作用。將力F分解為兩個互相垂直的力Fx和Fy,力Fx使AB桿產(chǎn)生拉伸變形,力Fy使AB桿產(chǎn)生彎曲變形。所以AB桿在力F的作用下發(fā)生拉伸和彎曲的組合變形。

(1)內(nèi)力分析。將力F分解為

Fx=Fcosθ

Fy=Fsinθ分力Fx使AB桿產(chǎn)生拉伸變形,橫截面上的應(yīng)力為均勻分布的拉應(yīng)力σN,如圖6.21(b)所示。分力Fy使桿AB產(chǎn)生彎曲變形,橫截面上應(yīng)力分布如圖6.21(c)所示。圖6.21

(2)應(yīng)力計算。由于桿AB任一截面上的應(yīng)力都有拉伸產(chǎn)生的正應(yīng)力與彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力,同一截面上兩種應(yīng)力平行,所以疊加時可以代數(shù)相加。疊加后橫截面上應(yīng)力分布如圖6.21(d)所示,并且最大正應(yīng)力為σmax=σN+σW

(3)強度條件。為了保證此組合變形桿件的承載能力,必須使其橫截面上的最大正應(yīng)力小于或等于材料的許用應(yīng)力,即σmax≤[σ]對于塑性材料,[σ]取材料的拉伸許用應(yīng)力;對于脆性材料,因材料的抗拉與抗壓強度不同,故應(yīng)分別校核。

【例6.7】如圖6.22(a)所示,桿AB為矩形截面,已知F=8kN,材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa,試校核AB桿的強度。解〓[HT](1)選AB為對象,作受力分析,如圖6.22(b)所示?!芃A=FCDsin30°×2.5-8×4=0FCD=25.6kN

(2)作內(nèi)力圖。

AB桿在圖上各力作用下產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形。繪出其軸力圖,如圖6.22(c)所示。繪出其彎矩圖,如圖6.22(d)所示。Mmax=-F×1.5=-12kN·m圖6.23

(3)強度校核。危險點在C截面的上邊緣,其最大拉應(yīng)力為所以強度足夠。6.6.3扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形如圖6.23(a)所示,直角曲拐處于水平位置,C端固定,自由端A處作用一鉛垂方向的外力F。將F平移到B點后,應(yīng)附加力偶T

,如圖6.23(b)所示。其中,力F使BC產(chǎn)生彎曲變形,而力偶T使BC桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。因此BC桿受彎曲和扭轉(zhuǎn)同時作用產(chǎn)生組合變形。彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形是機(jī)械軸類零件最常見的組合變

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論