第五單元平行四邊形和梯形（單元復習講義）教師版-2024-2025學年四年級上冊（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年四年級數(shù)學上冊單元復習講義（人教版）第五單元平行四邊形和梯形（思維架構(gòu)+知識精講+習題精練+知識拓展）知識點01：平行與垂直1.平行與垂直在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。2.垂線的畫法一、過直線上一點，畫這條直線的垂線的步驟：(1)把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；(2)沿直線移動三角尺，使三角尺的直角頂點和直線上的已知點重合；(3)從直角的頂點起沿另一條直角邊畫一條直線；(4)拿走三角尺，在垂足處標出垂直符號。二、過直線外一點，畫這條直線的垂線的步驟：(1)把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；(2)沿直線移動三角尺，使三角尺的另一條直角邊經(jīng)過直線外一點；(3)沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線；(4)拿走三角尺，在垂足處標出垂直符號。3.點到直線的距離從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做這點到直線的距離。4.平行線的畫法1.畫平行線的步驟：(1)固定三角尺，沿一條直角邊先畫一條直線；(2)用直尺緊靠三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后平移三角尺；(3)再沿同一條直角邊畫出另一條直線。2.平行線間的距離處處相等。考點1：平行的特征及性質(zhì)【例1】要想創(chuàng)造出一組平行線，下面（

）的方法是錯誤的。A． B． C． D．【答案】B【分析】平行線的特征：兩直線互相平行時，從一條直線上任意一點向另一條直線作垂線，所得的平行線間的垂直線段的長度，叫做平行線間的距離；平行線之間的距離處處相等；據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：A．中，觀察發(fā)現(xiàn)2個三角尺與直尺垂直的2條直角邊互相平行，可以創(chuàng)造出一組平行線；B．中，光用一把直尺，無法判斷這兩條直線互相平行，不可以創(chuàng)造出一組平行線；C．中，觀察發(fā)現(xiàn)直線CD與直線EF，都和直線AB垂直，那么直線CD與直線EF互相平行，可以創(chuàng)造出一組平行線；D．中，觀察發(fā)現(xiàn)上面直線與三角尺形成的角加上下面直線與三角尺形成的同一邊的角的度數(shù)相加，正好為180°，說明這兩條直線互相平行；所以的方法是錯誤的。故答案為：B【趁熱打鐵】木工師傅常把兩把曲尺的一邊緊靠木板的一邊，再看另一邊對應曲尺上的刻度。如果相等，木工師傅就能判斷木板的兩邊平行。你能說出其中的道理嗎？【答案】平行線間的距離處處相等【分析】同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線，組成平行線的兩條直線互相平行；兩條平行線間的所有垂線段都相等；依此解答?！驹斀狻磕竟煾党０褍砂亚叩囊贿吘o靠木板的一邊，再看另一邊對應曲尺上的刻度。如果相等，木工師傅就能判斷木板的兩邊平行。那是因為平行線間的距離處處相等?？键c2：垂直的特征及性質(zhì)【例2】經(jīng)過直線外一點畫已知直線的垂直線段，小明畫的線段是2厘米，小飛畫的線段是4厘米，小芳畫的線段是15毫米，其中有一人畫對了，（

）畫對了。A．小明 B．小飛 C．小芳 D．無法確定【答案】C【分析】從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫作點到直線的距離；因此，誰畫得線段最短，則誰就畫對了，1厘米＝10毫米，依此選擇?！驹斀狻?厘米＝20毫米，4厘米＝40毫米15毫米＜20毫米＜40毫米，因此小芳畫對了。故答案為：C【趁熱打鐵】兩條直線互相垂直，這兩條直線的交點叫做（

）。A．交點 B．垂足 C．端點【答案】B【分析】垂直的概念：兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足；據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：兩條直線互相垂直，這兩條直線的交點叫做垂足。故答案為：B考點3：過直線外一點畫平行線【例3】過點A畫直線的平行線。【分析】過直線外一點作已知直線的平行線的方法：先把三角尺的一條直角邊與已知直線重合，再用直尺緊靠著三角尺的另一條直角邊，固定直尺，然后沿著直尺平移三角尺，使直線外的點在三角尺的直角邊上，沿直角邊畫出另一條直線即可。【詳解】畫圖如下：考點4：過直線上或直線外一點作垂線【例4】過直線外一點畫這條直線的垂線?！痉治觥堪讶前宓囊粭l直角邊靠緊已知直線，沿這條直線滑動三角板，當另一條直角邊經(jīng)過已知點時，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過直線外一點的這條直線的垂線?！驹斀狻咳鐖D：考點5：畫指定長、寬（邊長）的長方形、正方形【例5】張爺爺和隊友正在排練風箏節(jié)代表隊入場式，下圖是他們的隊形示意圖。（1）代表隊的入場造型是一個長方形，請把這個長方形補充完整。（2）站在隊外的A是領隊張爺爺，現(xiàn)在他要返回第一排，沿直線走到B處是最近路線嗎？如果是，請畫出他的行走路線：如果不是，請畫出你認為最近的行走路線。答案】【分析】（1）長方形的兩組對邊平行，相鄰的兩條邊互相垂直，則分別過兩條邊的頂點作鄰邊的平行線即可；（2）站在隊外的A是領隊張爺爺，現(xiàn)在他要返回第一排，沿直線走到B處不是最近路線，根據(jù)垂直線段的性質(zhì)：從直線外一點向已知直線畫垂直線段和斜線，垂線段最短。把第一排看作一條直線，站在隊外的A看作一個點，由點向直線畫垂直線段即可?！驹斀狻浚?）長方形補充完整如下：（2）站在隊外的A是領隊張爺爺，現(xiàn)在他要返回第一排，沿直線走到B處不是最近路線。最近的行走路線作圖如下：知識點02：平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形容易變形。從平行四邊形一條邊上的一點到對邊引垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。平行四邊形有無數(shù)條高。長方形和正方形都是特殊的平行四邊形?？键c6：平行四邊形的概念及特點【例6】按要求在下面的平行四邊形中畫一條線段。（1）分成兩個平行四邊形。

（2）分成兩個梯形。

【答案】【分析】（1）兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形，把一個平行四邊形分成兩個平行四邊形，只需要在平行四邊形的一組對邊端點之間各取一個點，然后連接這兩個點（頂點除外），且這條線要平行于平行四邊形的另外兩條邊。（2）只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形；在平行四邊形的一組對邊端點之間各取一個點，然后連接這兩個點（頂點除外），只要這兩個點的連線不平行于平行四邊形的另外兩條對邊，就可以把它分成兩個梯形?！驹斀狻浚ù鸢覆晃ㄒ唬境脽岽蜩F】數(shù)一數(shù)，圖中有多少個平行四邊形？【答案】18個【分析】平行四邊形是指在同一個平面內(nèi)，由兩組平行線段組成的閉合圖形。線段AB邊上一共有6條線段，線段AD邊上一共有3條線段，把AB邊上的每一條線段看作是平行四邊形的一條邊，把AD邊上的每一條線段看作是平行四邊形的另一條邊，圖中一共有3×6＝18（個）平行四邊形?！驹斀狻?×6＝18（個）答：共有18個平行四邊形?？键c7：平行四邊形和梯形的高及畫法【例7】按要求在方格紙上畫圖。（每個小方格的邊長表示1厘米）（1）底是6厘米、高是4厘米的平行四邊形。（2）上底是2厘米、下底是4厘米、高是3厘米的梯形。【答案】【分析】（1）兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形；由此可先畫一條長6厘米的線段（6個小格）作為平行四邊形的底，然后在距離底邊4厘米（4個小格）處的位置畫一條與底邊平行的線段，長度為6厘米（6個小格），并且向右移動一個小格，最后用直尺分別將兩條線段左邊、右邊的兩個端點連接起來，即可得到一個底是6厘米，高是4厘米的平行四邊形。（2）只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形；因此可先用直尺畫一條長4厘米（4個小格）的線段作為梯形的下底，再在距離下底3厘米（3個小格）處的任意一個小格處，畫一條長2厘米（2個小格）的線段作為梯形的上底，與下底互相平行，最后將這兩條線段左右兩邊的端點用線段分別連起來，即可得到一個梯形；【詳解】（1）、（2）作圖如下圖：（梯形的畫法不唯一）考點8：平行四邊形的不穩(wěn)定性及應用【例8】拉動長方形木框，變形為平行四邊形，下列說法不正確的是（

）。A．平行四邊形具有不穩(wěn)定性 B．四根木條的長度沒有變化C．長方形的周長大于平行四邊形的周長 D．形狀變了，周長不變【答案】C【分析】長方形、平行四邊形都具有不穩(wěn)定性，容易變形。把長方形拉動成平行四邊形，形狀變了，但是四根木條的長度沒有變化，所以周長沒變?！驹斀狻坷瓌娱L方形木框，變形為平行四邊形，說法不正確的是：長方形的周長大于平行四邊形的周長。故答案為：C【趁熱打鐵】下列說法錯誤的是（

）。平行四邊形具有穩(wěn)定性 平行四邊形的兩組對邊分別平行 C．長方形是特殊的平行四邊形【答案】A【分析】A．平行四邊形易變形，具有不穩(wěn)定性；B．兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形；C．兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，長方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，因此長方形是特殊的平行四邊形?！驹斀狻緼．平行四邊形具有不穩(wěn)定性，所以原題說法錯誤；B．平行四邊形的兩組對邊分別平行，此說法正確；C．長方形是特殊的平行四邊形，此說法正確。故答案為：A知識點03：梯形只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。在梯形里，互相平行的一組對邊分別叫做梯形的上底和下底，不平行的一組對邊叫做梯形的腰。從上底的一點到下底引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做梯形的高，梯形有無數(shù)條高。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。四邊形之間的關(guān)系：考點9：梯形的概念及特點【例9】()個梯形?！敬鸢浮?5【分析】根據(jù)對梯形的認識解答本題，應用一一列舉的方法，從只有一個梯形的圖形開始列舉，要做到不重復，也不遺漏。梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。根據(jù)梯形的定義來找即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：單獨的一個梯形有4個；由2個梯形組成的梯形有6個；由3個梯形組成的梯形有2個；由4個梯形組成的梯形有2個；最后加上最大的那個梯形；4＋6＋2＋2＋1＝15（個）【趁熱打鐵】在梯形中，()的一組對邊叫做梯形的底，不平行的一組對邊叫做梯形的()。【答案】互相平行腰【詳解】只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。在梯形中，互相平行的一組對邊叫做梯形的底，不平行的一組對邊叫做梯形的腰。考點10：直角梯形及等腰梯形的概念及特點【例10】下圖中，圖()中A的周長等于B的周長；圖()中A的周長小于B的周長；圖()中A的周長大于B的周長?！敬鸢浮竣佗邰冖堋痉治觥扛鶕?jù)長方形對邊相等，①中A的周長和B的周長除了中間共同的一條曲線，還分別有一條長方形的寬和長，因此周長一樣；等腰梯形的腰一樣長，但是梯形上底和下底長度不一樣，②中A的周長和B的周長除了中間共同的一條曲線，A有一條腰和一條短的下底，B有一條腰和一條長的上底，因此A的周長小于B的周長；平行四邊形對邊相等，③中A的周長和B的周長除了中間共同的一條曲線，還分別有平行四邊形相鄰的兩條邊，因此周長一樣；④中A的周長和B的周長除了中間共同的一條線，A有大長方形完整的一條寬和長還有兩條小線段，B沒有大長方形完整的一條長和寬，所以A的周長大于B的周長?！驹斀狻繄D①③中A的周長等于B的周長；圖②中A的周長小于B的周長；圖④中A的周長大于B的周長?！境脽岽蜩F】一個等腰梯形的周長是35厘米，上底與下底的和是15厘米，每條腰長()厘米?！敬鸢浮?0【分析】梯形有4條邊，它的周長是這4條邊的長度之和，用35減15即可求出兩腰的和，而這個梯形是等腰梯形，即兩條腰相等，再用兩腰的和除以2即可求出每條腰的長度?！驹斀狻浚?5－15）÷2＝20÷2＝10（厘米）每條腰長10厘米。

一、選擇題1．把一個平行四邊形任意分割成兩個梯形，這兩個梯形的（

）總是相等的。A．周長 B．高 C．上底和下底的和 D．以上都有可能2．等腰梯形中，（

）一定相等。A．上底和下底 B．上底和腰 C．兩個底角3．下列說法中正確的是（

）。A．梯形是一種特殊的平行四邊形B．在梯形中，平行的一組對邊叫作梯形的腰C．直角梯形有無數(shù)條高D．只有一組對邊平行的圖形都是梯形4．下面各組圖形中，（

）是一組平行線，（

）是一組互相垂直的直線。①

②

③A．①② B．②③ C．①③5．如圖，以點A為一個端點的線段中，最短的是（

）。A．AB B．AC C．AD D．AE二、填空題6．()個梯形。7．在梯形的一組平行的對邊之間畫一條垂線段長3厘米，這個梯形的高是()厘米。8．從直線外一點向已知直線畫線段，()最短。9．下列圖形中各有幾個平行四邊形？()個

()個10．長方形的對邊互相()，鄰邊互相()。數(shù)學書封面的上下兩條邊互相()，右邊和上邊互相()。三、判斷題11．等腰梯形是軸對稱圖形。()12．兩個完全一樣的平行四邊形一定可以拼成一個長方形。()13．平行四邊形的四條邊都可以作底。()14．平行四邊形只有兩條高。()15．把一個長方形框架拉成一個平行四邊形，平行四邊形與長方形相比，周長和面積都不變。()四、解答題16．用一根長46厘米的鐵絲圍成一個上底是6厘米、下底是14厘米的等腰梯形，這個等腰梯形的腰長是多少厘米？17．生活中，木工師傅要判斷木板的兩邊是否平行，常常把兩把曲尺緊靠木板的兩邊，然后看看曲尺對應的刻度是否相同，如果相同，就說明木板兩邊平行。請你根據(jù)平行的知識，說一說這樣操作的原理。這樣的現(xiàn)象我們生活中還有很多，請你想一想，寫一寫，哪些地方也用到了這個平行的知識？18．數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個正方形？（1）

（2）參考答案：1．B【分析】平行四邊形的兩組對邊是平行的，它的高有無數(shù)條且都是相等的，所以無論怎樣分割成兩個梯形，這兩個梯形的高都是從平行四邊形的同一邊（或平行邊）上垂直下來的，所以它們的高是相同的。【詳解】把一個平行四邊形任意分割成兩個梯形，這兩個梯形的高都是從平行四邊形的同一邊（或平行邊）上垂直下來的，所以這兩個梯形的高總是相等的。故答案為：B2．C【分析】兩腰相等的梯形叫作等腰梯形，梯形的上下底平行，兩個底角是由底邊和兩條腰組成的角，經(jīng)過對折這兩個角可以完全重合，所以兩個底角一定相等。【詳解】A．等腰梯形中平行的兩條線段，較短的是上底，較長的是下底。B．等腰梯形中，上底和腰不一定相等。C．等腰梯形中，兩個底角一定相等。故答案為：C3．C【分析】只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。互相平行的一組對邊分別是梯形的上底和下底，不平行的一組對邊是梯形的腰。從梯形一條底邊上的一點到它對邊的垂直線段叫做梯形的高，據(jù)此解答。【詳解】A．梯形是一組對邊平行，平行四邊形是兩組對邊平行，所以原題表達錯誤；B．互相平行的一組對邊分別是梯形的上底和下底，不平行的一組對邊是梯形的腰，所以原題表達錯誤；C．梯形兩底間的距離叫做梯形的高，梯形也有無數(shù)條高，通常過上底的一個頂點作下底的垂線用三角板的直角可以畫出梯形的一條高，所以原題表達正確；D．有一組對邊平行的四邊形叫梯形，所以原題表達錯誤。故答案為：C4．A【分析】同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線，組成平行線的兩條直線互相平行；在同一平面內(nèi)，兩條直線相交成直角，這兩條直線互相垂直；依此選擇。【詳解】各組圖形中，①是一組平行線，②是一組互相垂直的直線；③是一組相交的直線。故答案為：A5．C【分析】連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，據(jù)此選擇即可?！驹斀狻緼D垂直于BE，最短的是AD。故答案為：C6．28【分析】根據(jù)對梯形的認識解答本題，應用一一列舉的方法，從只有一個梯形的圖形開始列舉，要做到不重復，也不遺漏。梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。根據(jù)梯形的定義來找即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：單獨的一個梯形有6個；由1個梯形和1個長方形組成的梯形有6個；由2個梯形組成的梯形有4個；由2個梯形和1個長方形組成的梯形有3個；由3個梯形組成的梯形有2個；由2個梯形和2個長方形組成的梯形有4個；由4個梯形和2個長方形組成的梯形有2個；最后加上最大的那個梯形；6＋6＋4＋3＋2＋4＋2＋1＝28（個）7．3【分析】從梯形一條底邊上的一點到它對邊的垂直線段叫做梯形的高，梯形的高是梯形兩底之間的垂線段，據(jù)此答題?！驹斀狻吭谔菪蔚囊唤M平行的對邊之間畫一條垂線段長3厘米，這條垂線段就是梯形的高，所以這個梯形的高是3厘米。8．垂直線段【分析】直線外一點A，過A點向直線畫線段，如圖：連接點到直線的線段中，垂線段最短，有且只有一條，據(jù)此解答即可?！驹斀狻繌闹本€外一點向已知直線畫線段，垂直線段最短。9．69【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，平行四邊形是指一種四邊形，其對邊分別平行且相等。據(jù)此數(shù)出圖中平行四邊形，數(shù)的時候先從不是拼接的數(shù)起，然后數(shù)拼接而成的，不要漏數(shù)?！驹斀狻咳鐖D所示：單個的有：①，②，③，共三個兩個的有：①②，②③，共兩個三個的有：①②③，共一個所以一共6個（2）如圖所示：單個的有：①，②，③，④，共四個兩個的有：①②，①③，②④，③④，共四個四個的有：①②③④，共一個所以一共9個10．平行垂直平行垂直【分析】同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)的兩條不重合的直線，只有兩種位置關(guān)系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情況；垂直的概念：兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足；據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析：長方形的對邊互相平行，鄰邊互相垂直；數(shù)學書封面的上下兩條邊互相平行，右邊和上邊互相垂直。11．√【分析】辨識軸對稱圖形的方法：如果一個圖形，沿著一條直線對折，兩邊的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，據(jù)此判斷即可?！驹斀狻康妊菪味际莾裳嗟鹊膱D形，是軸對稱圖形；故答案為：√12．×【分析】要拼成一個長方形，?需要滿足以下條件：?兩個平行四邊形的相鄰邊必須相等，?這樣它們才能無縫拼接。?兩個平行四邊形的夾角（?即相鄰邊之間的角）?必須是直角，?這樣拼接后的圖形才是長方形。?長方形的四個角都是直角，而平行四邊形的內(nèi)角都不是直角，所以兩個完全一樣的平行四邊形不能拼成四個角都是直角的長方形?！驹斀狻科叫兴倪呅嗡膫€角都不是直角，所以兩個完全一樣的平行四邊形無法拼成四個角都是直角的長方形。故答案為：×13．√【分析】平行四邊形的底和高是相對應的，只要是由平行四邊形的一邊找一點向?qū)呑鞔咕€，和這條垂線垂直的邊就是底，據(jù)此解題?！驹斀狻科叫兴倪呅蔚牡缀透呤窍鄬?，只要是由平行四邊形的一邊找一點向?qū)呑鞔咕€，和這條垂線垂直的邊就是底，所以平行四邊形的四條邊都可以作底。故答案為：√14．×【分析】根據(jù)平行四邊形高的含義：平行四邊形的高是指對邊之間的距離，那么兩組對邊之間都可以畫無數(shù)條垂直線段，所以有無數(shù)條高?！驹斀狻科叫兴倪呅斡袩o數(shù)條高，所以平行四邊形只有兩條高這句話錯誤。故答案為：×15．×【分析】封閉圖形一周的長度是這個圖形的周長；面積是指物體所占的平面圖形的大??；把一個長方形框架拉成平行四邊形，四條邊的長度沒有發(fā)生變化，則平行四邊形的周長＝長方形的周長；平行四邊形的底對應長方形的長，比較平行四邊形的高和長方形寬的大小關(guān)系，據(jù)此解題即可?！驹斀狻堪岩粋€長方形框架拉成一個平行四邊形，如下圖：觀察可知：長方形和平行四邊形相比，平行四邊形的底等于長方形的長，平行四邊形的高小于長方形的寬，所以，把一個平行四邊形框架拉成一個長方形，長方形和平行四邊形相比周長不變，面積改變了。故答案為：×16．13厘米【分析】等腰梯形的兩腰相等，用鐵絲的長度減去上底和下底的長度，等于兩腰的長度和，再