2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點2-3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（專題分層練）解析版

專題驗收評價

專題2-3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

內(nèi)容概覽

A-?？碱}不丟分

一,導(dǎo)數(shù)的運算（共1小題）

二.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共1小題）

三.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共2小題）

四.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共4小題）

五,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共7小題）

六.用定積分求簡單幾何體的體積（共1小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（24題）

C?挑戰(zhàn)真題爭滿分（3題）

A??？碱}不丟分、

7

一,導(dǎo)數(shù)的運算（共1小題）

I.（2023?松江區(qū)校級模擬）在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)/（A）=ad+bx2+ex+d（a工0）及其導(dǎo)函數(shù)的圖

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的圖象，即可求解.

【解答】解:當(dāng)/‘@）＞0時，y=/a）遞增,當(dāng)ra）〈o時,了=/（外遞減,

故①②中函數(shù)圖象的增減趨勢與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的，故①@正確，

③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少.故③錯誤.

④卜導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不減少，故④錯誤.

故選：A.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共1小題）

2.（2023?寶山區(qū)校級三模）函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)），=/'"）的圖像如圖所示，則函數(shù)），=/*）的圖像可能

【分析】分析導(dǎo)函數(shù)的圖像可判斷函數(shù)的大致單調(diào)區(qū)間從而決定原函數(shù)的圖像.

【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)圖像可知原函數(shù)在（—,〃）單調(diào)遞減，3方）單調(diào)遞增，（Ac）單調(diào)遞減，（c,y）單調(diào)

遞增，

其中a<0<b<c，

由圖可知A,C選項/*）先遞增，故不滿足題意，

其選項，/*）的增區(qū)間為（ab），（c,+oo）,且a<0<0vci故不滿足題意，

故選：D.

【點評】本題主要考杳了利用導(dǎo)函數(shù)圖像判斷原函數(shù)圖像，屬干基礎(chǔ)撅.

三.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共2小題）

3.（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知函數(shù)/（幻=4-/小-2.

（I）求曲線y=/（幻在x=l處的切線方程；

（2）函數(shù)人勸在區(qū)間（2,Z+lX&eN）上有零點，求2的值;

I1

（3）記函數(shù)且（幻=5/一6一2-/（用，設(shè)用,匕（大<工2）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，若〃…5，且

8(玉)蟲七)..々恒成立，求實數(shù)￡的取值范圍.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點坐標(biāo)，即可求出切線方程;

(2)求出/(幻的導(dǎo)數(shù)，判斷/(外的單調(diào)性，利用零點存在性定理判斷即可；

(3)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令/(幻=0,依題意方程/一(〃+1口+1=。有兩不相等的正實根占、與，利用韋達(dá)

定理，結(jié)合匕的取值方程，即可求出N的取值范圍，則g(斗)-且(工2)=2/叼-Lx；-士)，構(gòu)造函數(shù)

2<

nA)-2/,Lv-1(A2—Ae(O,l],利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解.

【解答】解：(1)因為/*)=4-/心一2,所以尸(外=1一,，.??切線斜率為/'(1)=0,

x

又/(1)=-1,切點為所以切線方程為y=-l；

X—1

(2),/f\x)=------,XG(0,+OO),

X

當(dāng)Ovxvl時，f\x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減：

當(dāng)時，Ax)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

所以f3的極小值為/(1)=-1<0,/(e-2)=e-2-Ine-2-2=e-2>0,

.?J(x)在區(qū)間(0,1)上存在一個零點%,此時A=0：

又/(3)=3—/〃3—2=1—歷3v0,f(4)二4一切4-2=2-2加2=2(1-加2)>0,

A/W在區(qū)間(3,4)上存在一個零點再，此時&=3.

綜上，A的值為0或3；

(3)函數(shù)g(x)=；]2_/次_2_/1)=/心+；12,XG(O,-KC),

所以《(")=3+4—(〃+1)=3_。+1*+1,

XX

由g'(x)=O得/-(/?+l)x+l=0,依題意方程/-S+l)x+l=0有兩不相等的正實根內(nèi)、七，

Xy+X2=b+\txyx2=1,/.x,=—>

?X

又b..—,%H—=/>+1...—>0<X|<X-,=—?解得0<X]”一，

2芭22

x1,,1,1

=+

g(M)—g(，q)+l)(x1-x2)=lltiXy--(xf—7),

x222x；

構(gòu)造函數(shù)/(幻=2阮￥-,(/一4),Xe(0,i],

2x22

所以尸，(x)=2_x_4=TV：1)」<0,

XXr

F(x)(0,-J卜單調(diào)遞減：

(3)g(x)=-e"在［0,e］遞減,可得百時,g(x,)-g(w)<0,

If\xx)-f(x,)IVg(x)-g(x2)|，即為I)-f(x2)|<g(.q)-g(4)，

即g(X1)-g(w)</U1)-f(x2)<g(%2)-g(x)，

即為腐葭黑篇域;對陽

x2G［0?e］且X］>x2時恒成立.

所以/(x)+g(x)在［0,e］遞減;/*)-g(x)在［0，e］遞增.

當(dāng)r(x)+g'(x),,。在［0，弓恒成立時，可得2工-4-乙,0，即a.2x-e'在［0，e］恒成立.

由y=2x—，的導(dǎo)數(shù)為-可得y=2x—，在［0,加2)遞增，在(/〃2,e］遞減，

則)，=2x-ex的最大值為2m2-2,則a..2/〃2-2；

當(dāng)J'(x)-g'(x)..O在［0,e］恒成立時,可得2i+e*..0,即a,2.v+/在［0，e］恒成立.

由y=2x+V的導(dǎo)數(shù)為y=2+》>0,可得y=2x+e"在［0,e］遞增,則最小值為1,則6L

綜上可得。的取值范圍是［2加2-2,1］.

【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性和極值、最值，以及函數(shù)奇偶性的判斷，考查分類討論思

想和轉(zhuǎn)化思想、運算能力和推理能力，屬于中檔題.

四,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(共4小題)

5.(2023?徐匯區(qū)校級一模)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-l)(e*-e),g(x)=e'-ar-1,其中awR.若對\/與曰0，+a)，

都肛eR,使得不等式/(%),,g(.)成立，則a的最大值為()

A.0B.-C.1D.e

e

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出/(刈在R上的最小值，再解存在性問題去掉內(nèi)，接著再分類討論，解關(guān)于超的恒

成立問題，從而得解.

【解答】解:v/(x)=(.r-l)(^-e),xwR,

/.f\x)=xex-e,,又/'(1)=0,

又當(dāng)x>l時，ex>e,/.xe^>e,.,.x^-e>0>ff(x)>0,

當(dāng)0vx<l時，\<ex<e,0<xex<e,:.xex-e<0,/.f\x\<0,

當(dāng)X,0時，0ve\,1,/.xe\,0,xex-<?<0?f\x)<0,

.?..(￥)在(YC,1)上單調(diào)遞減，在[1,+8)上單調(diào)遞增,

⑴=0，

Vx2e[0?-HO),都肛e/?,使得不等式g(.馬)成立,

網(wǎng)G[0,-KO),fQJmin，，冢/)恒成立，

VAje[0,-KO),以工2)..。恒成立，

即Vxe[0,+8）,g（K）=e*-依-I..O恒成立,

又g，(X—,(A-..0),且/⑶在[0,+8)上單調(diào)遞增，

g'(x).-g'(0)=l-a，

①當(dāng)l-a.O,即怎1時，<(x)..O,「.g。)在[0,+oo)上單調(diào)遞增,

/.g(x)最小值為g(0)=0,

廠.冬,1時，g(x)..O恒成立，

②當(dāng)1-〃<0時，即a>l時，令g'(x)=e'-。，=0，得x=/〃a，

/..Ve(01〃a)時，g")<0；xe(Ina,心)時，g\x)>0,

.?.g(x)在(OJM單調(diào)遞減,在(Zna,E)單調(diào)遞增,而g(0)=0,

g(x)的最小值g(lna)<0,

Vxe[O,+ao),g(x)="不恒成立，

」.”>1不滿足題意，

綜合①②可得”的范圍為(-co,I],

〃的最大值為1.

故選：C.

【點評】本題考查存在性問題與恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，分類討論思想，屬中檔

題,

6.(2023?靜安區(qū)二模)已知函數(shù)-(〃+l)x+a加:.(其中。為常數(shù)).

(I)若。=一2,求曲線y=/(x)在點(2,f(2))處的切線方程；

(2)當(dāng)avO時，求函數(shù))，=7。)的最小值；

(3)當(dāng)時，試討論函數(shù)y=/(x)的零點個數(shù)，并說明理由.

【分析】(1)當(dāng)。=一2時，求得廣(x)=x+l-3得到r(2)=2且/(2)=4-2//z2,進(jìn)而求得切線方

x

程;

(2)求得八x)=(.")(一0,利用導(dǎo)數(shù)求得困數(shù)/(x)的單調(diào)性和極值，即可求解；

x

(3)當(dāng).=0時，求得y=/'(x)在(0,"K?)上有一個零點；當(dāng)Ovavl時，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)。x)的單調(diào)性

和極值，進(jìn)而得出函數(shù)零點的個數(shù).

【解答】(1)解：當(dāng)。=一2時，可得/(幻」/+工_2加r,

可得/(幻=x+]_2=*+2)(Jl),所以/(2)=2且/(2;=4-27/22,

XX

所以切線方程為y-(4一2/〃2)=2(x-2),即2x-y-2ln2=0,

所以曲線y=/(x)在點(2,f(2))處的切線方程為2x-y-2/nx=0.

(2)解：由函數(shù)/(x)=gx2-(a+l)x+H〃x,可得函數(shù)/a)的定義域為(0,位)，

又由r(x)=S-aS——>令r(%)=o,解得.距=〃，芭=i,

X

當(dāng)a<0時，f(x)與r。)在區(qū)間(0,內(nèi))的情況如下表:

X(0,1)1(1,+co)

/3——0+

/(X)極小值

所以函數(shù)的極小值為/(1)=-?-1,也是函數(shù)/(幻的最小值,

2

所以當(dāng)。<0時，函數(shù)/3)的最小值為-a-；;

(3)解：當(dāng)a=0時，f(x)=^x2-x,令/(x)=0,解得內(nèi)=2,9=0(舍去)所以函數(shù)y=/(x)在(0,+oo)

上有一個零點；

當(dāng)Ovavl時，/(外與尸(x)在區(qū)間(0,+oo)的情況如下表：

X(0,4)a3J)1(1,+00)

八幻+0—0+

/(X)T極大值極小值?

所以函數(shù)/(x)在(0M)單調(diào)遞增，在(41)上單調(diào)遞減，

此時函數(shù)f(x)的極大值為/(〃)=-ga?-〃+alna<0,

所以函數(shù)y=/⑴在(0,1)上沒有零點；

又由/⑴=—1一。<0且函數(shù)/(X〕在(1,+co)上單調(diào)遞增,

口當(dāng)x->+8時，f(x)>+QO,

所以函數(shù)/(X)在(1,+8)上只有一個零點，

綜上可得，當(dāng)0,,4<1時，/。)在(0,e)上有一個零點.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點問題，屬于中檔題.

7.(2023?虹口區(qū)校級模擬)已知=f+x

⑴求函數(shù)y=/*)的極小值；

(2)當(dāng)xw|-2,4］時,求證：工-6頌(x)x；

(3)設(shè)廠(x)=|f(x)-a+a)|(aeR)),記函數(shù)y=尸(4在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)

最小時，求。的值.

【分析】(I)由題意，對/*)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得極小值；

(2)設(shè)g(x)=/(x)-x,此時將求證工-6期(x)x,轉(zhuǎn)化成求證-6領(lǐng)卜(犬)()，對g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)

得到gW的單調(diào)性和極值，進(jìn)而即可得證；

(3)結(jié)合(2)中所得結(jié)論,對…|。+6|和|a|<|a+6］進(jìn)行討論即可求解.

【解答】解：(1)已知=—V+x,函數(shù)定義域為農(nóng)，

可得fXx)=—x2-2x+\?

4

令尸(x)=0，

7

解得凳或x=2,

當(dāng)時，r(x)>o,/(X)單調(diào)遞增：

當(dāng);<x<2時，r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時，/Xx)>0,/(幻單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時，函數(shù)/1)取極小值，極小值為/(2)=0；

<2)證明；不妨設(shè)g(x)=〃％)-4='丁一Y,函數(shù)定義域為［2,4J,

4

可得/(幻=2%2一2工，

4

令g'*)=。，

解得x=0或1=巴

3

當(dāng)一2,xv0時，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

Q

當(dāng)時，g，(x)vO,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)4時，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

因為#(0)=g(4)=0，^(-2)=-x(-8)-4=-6,

4

,8,I51264-64/

e(—)=—x-------=>—6,

3427927

所以當(dāng)xe［—2,4］時，-6效卜(幻0,

故當(dāng)xe［-2,4］時，x-6^/(x)x；

(3)由(2)知-6頒(x)-x0,

所以-6-°闔T(x)-x-a-a?

因為F(x)=|f(x)-(x+a)Hf(x)-x-a\,

不妨設(shè)f{x)-x=t,

此時0,

此時函數(shù)y=Rx)在區(qū)間［-2,4］上最大值為y=p-a|在-6領(lǐng)10時的最大值，

所以M(a)是|。+6|中的較大者，

若|。|」a+61,即4,-3時，M(a)=|?|=.3；

若|。|<|。+6|,即〃>一3時，M(a)=|。+6|=。+6>3,

所以當(dāng)M(a)最小時，M(a)=3,此時〃=-3.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力.

8.(2023?楊浦區(qū)校級三模)已知函數(shù)g(x)=ad-(〃+2)x,h(x)=Inx,令/(x)=g(x)+/z(x).

(1)當(dāng)〃=l時，求函數(shù)y=g(x)在x=l處的切線方程；

(2)當(dāng)〃為正數(shù)且掇*e時，/*)*=-2,求〃的最小值；

(3)若‘⑶)一."0)>_2對一切0<%<七都成立,求。的取值范圍.

內(nèi)r

【分析】(1)杷〃=i代入，對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程：

(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系分析函數(shù)的最小值的取得條件，即可求解；

(3)已知不等式可轉(zhuǎn)化為人與)+2與</(占)+2七對一切〈玉〈占都成立，結(jié)合已知不等式考慮構(gòu)造函數(shù)

V)=f(A)+2x=ax2-ax+Inx,x>0,從而有F(x)在(0，*?)上單調(diào)遞增，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可求.

【解答】解:(1)a=l時，g(x)=d-3x,g,(x)=2x-3,

故g(1)=-2,g1(1)=-1,

所以)，=g(x)在x=1處的切線方程為)，+2=-(^―1),即K+y+1=0；

(2)f(x)=g(x)+h(x)=ax2~(a+2)x+lux,1領(lǐng)ke，

mil"/\12ar~~(a+2)x—1(2x-\)(ax-\)

則fW=-(a+2)+-=---------------=------------,

XXX

因為a>0,

當(dāng)a.l時，易得/(x)在［1,上單調(diào)遞增，/(?*=/(1)=-2,

當(dāng)時，f(x)在［1,&上單調(diào)遞減，在e，可上單調(diào)遞增，

eaa

故/。)哂=/(3<-2,不合題意；

a

當(dāng)0<%!時，/(幻在［1，e］上單調(diào)遞減，/。)在［1，上的最小值/(e)<f(1)=-2,不符合題意，

e

故a的最小值為1;

X

(3)若―"?)>一2對一切0<內(nèi)<x,都成立，則f(xi)-)<2x,-2%對一切0v$<看都成立，

芯一七

所以/(X］)+2玉<f(x2)+2X2對■一切<玉<修都成立，

令F(x)=f(x)+2x=ax2-cix+Im,x>0?

則F(x)在(0,-FOO)上單調(diào)遞增，

所以Fr(x)-2ax-?+—=——竺里..0在x>0時恒成立，即20r2-ar+L.O在x>0時恒成立，

XX

當(dāng)4=0時，k(x)=L.O在x>0時恒成立，符合題意，

X

當(dāng)〃工0時，因為y=2a/-av+l過定點(0,1),對稱軸x=2，則只要△="一前,。，

4

所以啖力8,

故〃的取值范圍為［0,8］.

【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討

論思想及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

五.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程(共7小題)

9.(2023?徐匯區(qū)校級一模)若直線)，=6+/，是曲線/*)二《一2與8*)=#+2022—2022的公切線，貝必=(

10111012

A.B.1D.2022

K)12Ion

【分析】設(shè)出公切線與兩曲線的切點坐標(biāo)，分別求出在切點處的切線方程，利用斜率相等及切線在)，軸上

的截距相等即可求解左值.

【解答】解：設(shè)直線丁=公I(xiàn)匕與/（%）的圖象相切于點,3[）,與g（x）的圖象相切于點2（巧，y2）,

2022

又廣。）=j2,g，（x）=e"M2,且y2=e^-2022.

曲線y=/（x）在點片區(qū)，x）處的切線方程為），一,「2=--2（工一內(nèi)），

J>2022>2O22XX

曲線y=g（x）在點P2（x2,/）處的切線方程為y-^+2022=^（-2）.

fXj-2=*+2022

故《「2t42022，解得內(nèi)一x,=2024,

HIy,-ye'T_*+2O22+202220221011

故&=2=------------------=-----=----.

X]-x2xy-x220241012

故選：A.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

10.（2023?徐匯區(qū)校級一模）己知函數(shù)y=/（x）,其中"t）=e'sinx,則曲線），=/*）在點（0,/⑼）處的

切線方程為_y=x_.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出r（o）,即可得出切線方程.

【解答】解：因為/（x）=e'sinx,所以7（xQe'sin.r+e'cosx,

則/（0）=0，/\0）=e0sinO+e°cosO=l,

所以所求切線的方程為），=工.

故答案為：y—x.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2023?徐匯區(qū)校級三模）設(shè)P是曲線y=-F+x+；上任意一點，則曲線在點尸處的切線的傾斜角a

的雙值范圍是—[0一夕55一乃）_.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)的值域，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：由己知得tana=y=-3/+L,l=tan'，

4

由ae[0,乃）得ae[0,—]U（—>萬）.

42

故答案為：[0,-]U（-,兀）.

42

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.（2023?普陀區(qū)校級模擬）若曲線y=（x+。）。'有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是-

-4)kJ(0j_+<?)_.

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為(為,(即+〃)/),利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程，再把原點代入可

得年+")-。=0,因為切線存在兩條，所以方程有兩個不等實根，由即可求出。的取值范圍.

【解答】解：y'=e'+(x+a)e3設(shè)切點坐標(biāo)為(曲，(*。+〃)*),

.??切線的斜率k=泮+(x0+0],

/.切線方程為y-(而+=(淖+(而+)(x-x0),

x

又,切線過原點，-(毛+a)*=(e°+(風(fēng)+)(-x0),

整理得：與？+4/一a=0,

?切線存在兩條，.?.方程有兩個不等實根，

△=/+4a>0,解得a<T或a>0,

即〃的取值范圍是(一8,-4)U(0,+00),

故答案為：(一8，-4)U(0,+OD).

【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，屬于中檔題.

13.(2023?上海模擬)若曲線y=式有兩條過(l,a)的切線，則。的范圍是—(-oo,0)—.

【分析】由題可將曲線)，=”心有兩條過(l,a)的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=lnx-x+\圖象與直線y=a有兩個

交點,然后利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)單調(diào)性，畫出f(x)大致圖象，即可得答案.

【蟀答】解：設(shè)切線切點為(小,%)，Xy=/ar+l,所以切線斜率為阮0+1,

因為%=人"/)，所以切線方程為：y-玉)〃/=(bix0+l)(x-x0).

又切線過(1,。)，則。一天/九％=(。/+1)(1-蒞)，即一切+1,

則由題可知函數(shù)f(x)=lnx-x+\圖象與直線y=a有兩個交點，

11_'?

由f(X)=一一1=-->0得0vx<l,由r(x)v0得X>1,

XX

所以/(x)在(0.1)上單調(diào)遞增，在(l,y)上單調(diào)遞減.

又(1)=0,又xfO,/(x)f-OO，工->+00，?

據(jù)比可得/(幻大致圖象如下.

/(x)=Iav-x+l

則由圖可得，當(dāng)ae(Yo,0)時，曲線y=力“有兩條過(l,a)的切線.

故答案為：(-oo.O).

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

14.(2023?黃浦區(qū)校級三模)已知函數(shù)/(x)=』sin(2x+馬的圖像在(N,/(、))處的切線與在(W，/(馬))

3

處的切線相互垂直，那么|3-七|的最小值是

【分析】求出尸(刈，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到cos(2x+§?co$(2&+令=-1,根據(jù)余弦函數(shù)的最值可得

cos(2X]+—)=1KCOS(2X2+-)=-1?或cos(2x1+-)=-!Hcos(2x2+—)=1?分兩種情況求出|3-再|(zhì),然

3333

后求出其最小值即可.

【解答】解：因為/(x)='sin(2.x+馬，

23

所以,廣(X)=gcos(2x+/)X2=COS(2.X+y)>

,

依題意可得ra)?f(x2)=-\,

所以COS(2X1+3)?cos(2x,+-^)=-1,

所以COS(2Xj+])=1且COS(2X2+y)=-1,

或cos(2.「+馬=-1且COS(2JT2+-)=1?

33

當(dāng)cos(2X1+為=1且cosQx2+馬=一1時，2\]+匹=2仁萬，k、eZ,2x+—=+n,4eZ、

33323

所以“I_巧=g_&)/r_/,k、GZ,k2GZ,

所以|王一WR伏i一&)乃一，&eZ,k2eZ,

所以當(dāng)4一&=()或K一&=1時，1%-占I取得最小值

當(dāng)cos(2X]+?)=—1且cos(2x?+《)=I時，2芭+?=2公乃+乃，《eZ,2x2+y=2k27r,k2eZ,

所以X]—W=(4—42)乃+geZ,k2eZ,

所以|內(nèi)一工21=1（K-攵2）%,1，ksZ、k2^Z,

所以當(dāng)匕一22=（）或K一心=T時，1%一七I取得最小值1?

綜上所述：|西-占|的最小值是g.

/

故答案為：

2

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

15.（2023?黃浦區(qū)校級模擬）曲線），=丁-4x在點（1,-3）處的切線傾斜角為_。不_.

4

【分析】先求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把x=l代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)直線斜

率與傾斜角的關(guān)系得到傾斜角的正切值等于切線方程的斜率，然后利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出傾斜

角的度數(shù).

【解答】解：由），=d—4x,得到了=3/-4,

所以切線的斜率A=Vz=3-4=7,設(shè)直線的傾斜角為a,

則tana=-l,又26（。,乃），

所以a=網(wǎng).

4

故答案為：—

4

【點評】此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握直線斜率與傾斜角間的關(guān)系，靈

活運用特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一?道綜合題.

六.用定積分求簡單幾何體的體現(xiàn)（共1小題）

16.（2023?寶山區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線/:2x+y-2=0,將/與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形

繞），軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_|萬

【分析】由題意此幾何體的體積可以看作是：V=1了由，求出積分即得所求體積，方法二由題意

可得繞軸旋轉(zhuǎn)，形成的是以1為半徑，2為高的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式，即可求得所得幾何體的

體積.

【解答】解：由題意可知：V=嗚-1）訕，

???，=W^）＞_g），2+y）I；，

2乃

=--?

3

方法二：由題意可知繞y軸旋轉(zhuǎn)，形成的是以1為半徑，2為高的圓錐,

則V=Lrx/x2=軍，

33

故答案為24.

3

【點評】本題考查用定積分求簡單幾何體的體積，求解的關(guān)鍵是找出被積函數(shù)來及積分區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.

B?拓展培優(yōu)拿高分X

一.選擇題（共3小題）

I.（2022?上海自主招生）limZ（5~V）-23=*S2./（3）=3,/（x）在（3,f（3））處切線方程為（）

Z2x-2

A.2x+y+9=0B.2x+y-9=0C.-2x+y+9=0D.-2x+y-9=0

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出（（3）=-2,再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解.

【解答】解：1加"5-幻—3=2,〃3）=3,令△x=x-2,

12x-2

./（33）-/⑶二_］沁/（3-4―f（3）=⑶二］,解得r（3）=_2>

?r-*°AX-I-&x

.?J（x）在（3,f（3））處切線方程為「-3=-2（工-3）,BP2x+y-9=0.

故選：B.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?上海自主招生）等比數(shù)列｛q｝嗎=—3,&=2,limS.=（）

Sy8I，

22

A.不存在B.-C.--D.-2

33

【分析】運用等比數(shù)列前〃項和公式求S“，再求極限即可.

【蟀答】解：.?等比數(shù)列｛叫，q=-3,率=：,

SK8

(-3)[i-(-lyi

T，j二--------產(chǎn)一

與解得,

4q21-(-2)

二liniS”=-2.

?r—

故選：D.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的基本運算，極限的計算，是基礎(chǔ)題.

3.(2022?上海自主招生)/。)="-(1+2〃)丹2①x(a>0)在(』」)中有極大值，則。的取值范圍為()

22

A.(1,2)B.(L+x)C.(2,田)D.(l,+oo)

e

【分析】對“刈求導(dǎo)，根據(jù)八處在d,i)中有極大值，可得方程ra)=o在區(qū)間d,i)內(nèi)有解，然后求出〃

22

的取值范圍即可.

2

【解答】解:由/(x)=-------(1+2a)x+21nx(a>0),得fr(x)=av-(l+2a)+一，

2x

?7Y*I

函數(shù)f(x)=———(1+2a)x+21nx(a>0)在區(qū)間(一,1)內(nèi)有極大值,

22

o1

???方程/(外=依一(1+2〃)+—=0在區(qū)間(一,1)內(nèi)有解，

x2

71

即方程0￥-(1+2〃)+；=0在區(qū)間(5，1)內(nèi)有解，

,《=，在區(qū)間d,i)內(nèi)有解，

x2

故4」￡(1,2),

X

則a的取值范圍是(1,2).

故選：A.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題.

二,填空題(共1小題)

4.(2023?嘉定區(qū)二模)若關(guān)于x的函數(shù))，-立且在A上存在極小值(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)，的取

e

值范圍為_(0,4)_.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=+3；一”,令人(幻=一父+3/一。，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出

e

W),h(2),再分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值點，即可判斷.

【解答】解：因為)，=二^,所以y=T'+3f—

ee

令h(x)=一爐+-。，貝IJ/f(x)=-3x2+6.r=-3x(x-2),

所以當(dāng)xvO或x>2時"(x)vO,當(dāng)0vxv2時"(幻>0,

所以〃(外在(-oo,0),(2,內(nèi))上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，又〃(0)=-〃，h(2)=4-a，

當(dāng)>0即4V。時人(工)與x軸有且只有一個交點，不妨設(shè)交點橫坐標(biāo)為,

則當(dāng)x<x0時〃(x)>0,即y>o,當(dāng)%>小時版x)vO,即y〈o,

即),二=￡在(-0,與)上單調(diào)遞增，在(%,+8)上單調(diào)遞減，此時函數(shù)在x=x0處取得極大值，無極小值,

e

不符合題意；

當(dāng)4-avO,即々>4時力(幻與x軸有且只有一個交點，不妨設(shè)交點橫坐標(biāo)為5,

則當(dāng)xv%時〃(幻>0,即y>o,當(dāng)時力(x)<o,即y〈o,

即),二±±￡在(ro，Z)上單調(diào)遞增，在(x4，y)上單調(diào)遞減，

e

此時函數(shù)在K=Z處取得極大值，無極小值，不符合題意；

當(dāng)〃=0時，當(dāng)x,3時，力(x)..O,即y..O,當(dāng)x>3時,h(x)<0spy<0,

所以)，=二^在(-00.3)上單調(diào)遞增，在(3,400)上單調(diào)遞減，

e

此時函數(shù)在x=3處取得極大值，無極小值，不符合題意；

當(dāng)々=4時,當(dāng)X…-1時h(x\y0BP/?0,當(dāng)xv—1時h(x)>0Bp/>0,

所以y=立且在(f,_])上單調(diào)遞增，在(T,+00)上單調(diào)遞減，

eK

此時函數(shù)在x=-l處取得極大值，無極小值，不符合題意；

當(dāng)一av0v4—。，即0v<v4時h(x)的圖象如下所示:

即力(，6與x軸有3個交點，不妨依次設(shè)為王、A-2、&,

則當(dāng)xv%或“2vxv當(dāng)時力(外>0，即y'>0,當(dāng)4>X3或內(nèi)v八vM時皿x)<0,即y<0,

所以)，==￡在x=W處取得極小值，符合題意，

e

綜上可得實數(shù)”的取值范圍為(0,4).

故答案為：(0.4).

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題，屬于中檔題.

三,解答題(共20小題)

5.(2022?上海自主招生)/(x)=Inx-mx1+(1-2m)x+1,對Vx>0,f(x)?0,求整數(shù)m的最小值.

【分析】結(jié)合函數(shù)解析式的特征分別考查〃=20和〃2=1兩種情況即可求得整數(shù)機(jī)的最小值.

【解答】解:當(dāng)"7=0時，/(X)="LY+X+1,此時/(1)>0不合題意,

2

當(dāng)〃2=I時，f(x)=bix-x-X+[f

.,12x2+x-\(J+1)(2X-1)

/(x)=——2x-l=--------=-----------,

x-x-x

當(dāng)0<xv4時，/(x)單調(diào)遞增，

2

當(dāng)時，/'(x)v0，/(X)單調(diào)遞減，

函數(shù)的最大值為y(―)=/w—————+1=bi\/e—bi\[\G<0?

即〃?.=I滿足題意，

下面證明當(dāng)機(jī).1時，f(xX,0對x>0恒成立，

由于f(x)?(%-1)-儂2+(1-2ni)x+1=-mx2+(1-2m)x,

其對稱軸為x--——=———1<0>

2m2m

故當(dāng)x>0時，/(x)<0,

綜上可得，整數(shù)，〃的最小值為1.

【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最值等知識,

屬于中等題.

6.(2023?虹口區(qū)校級三模)已知函數(shù)/。)=〃--戾T-(4+1)K(〃、bsR).

(I)當(dāng)。=2,〃=0時，求函數(shù)圖像過點(0,f(0))的切線方程；

(2)當(dāng)〃=1時，既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)ae(0,l),〃=1時，X、/分別為了(幻的極大值點和極小值點，且/(%)+的匕)>°，求實數(shù)左的

取值范圍.

【分析】(1)由題意，將。=2,〃=。代入/(x)解析式中，對/。)進(jìn)行求導(dǎo),得到廣(0)和-0)的值，代

入切線方程中即可求解；

(2)將。=1代入函數(shù)/。)解析式中，對進(jìn)行求導(dǎo)，將戶3)既存在極大值，又存在極小值，轉(zhuǎn)化成

;⑶=0必有兩個不等的實根，利用導(dǎo)數(shù)得到/0)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而即可求解：

(3)將〃代入函數(shù)/(x)解析式中，對/(X)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析.f(x)的極值，將/(X。?@(出)>0

恒成立轉(zhuǎn)化成/〃4<(1-■!").忙1,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解即可.

kx+\

【解答】解：(1)己知/。)=而一伙尸一(。+1?(。、此2，函數(shù)定義域為R,

當(dāng)〃=2,。=0時，/(x)=2e'-3x,

可得八x)=2/-3,

此時((0)=-1,

易知/(0)=2,

所以函數(shù)/(幻過點(0,f(0))的切線方程為y-2=-(x-0),

即為x+y-2=0；

(2)當(dāng)人=1時，f(x)=ael-e-x-(a+\)x,

xx

可得f\x)=ae+e--(a+\)=Q(一)""=,

exex

因為函數(shù)/(x)既存在極大值，又存在極小值，

所以ra)=o必有兩個不等的實根，

此時。>0,

令ra)=o,

解得K=0或七=一/〃。，且一/〃.工0,

所以a>0且aw1；

不妨考慮當(dāng)司<々的情況下，

當(dāng)時，/?)>(),/(幻單調(diào)遞增；當(dāng)王〈4〈超時，/'(劉<0，/(幻單調(diào)遞減；

當(dāng)X〉看時，/&)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/0)分別在X=X，x=與取得極大值和極小值，滿足條件，

當(dāng)3的情況下，

當(dāng)XVX2時，/'(1)>0，/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)XjVXVX］時，/'(x)v0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)人>M時，r(x)>0,單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/。)分別在X=M，x=K取得極大值和極小值，滿足條件，

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(()，l)D(l,-K?)；

(3)當(dāng)ac(0,l),"=1時，/(X)=aex-e~x-(?+l)x,

由(2)得，0?

當(dāng)xvO時，r(A-)>0,/。)單調(diào)遞增；當(dāng)Ovxv-/〃。時，r(.v)<0,/*)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>T〃〃時，/*)單調(diào)遞增，

所以/(x)在內(nèi)=0處取得極大值/(X))=a-\；在天=-Ina取得極小值/(x2)=I一。+(。+\)lna,

因為/(內(nèi))+￡)>()恒成立，

所以a-1+%[1-a+(a+>0對任意的ae(0,1)恒成立，

此時/(七)</(%)<()，

則火<0,

所以k(a+1)/776/>(k-1)((7-1),

Ina<(1--)?――-?0<x<1>

kx+\

不妨設(shè)g(x)=函數(shù)定義域為(0,1),

kx+\

，2,

iioA+工'+1

可得?廠1=>上丁，

xk(x+1)x(x+l)-

2

令方程x2+—x+1=0,

k

4,4(1-公)

可得△二”7二，，，

k~k-

當(dāng)△,,(),即鼠-i時,g，a)..o,以外單調(diào)遞增；

所以g(x)vg<1>=0,

即勿〃<(1一人)?二」，符合條件；

kx+1

當(dāng)△>(),即一lv&<0時，

設(shè)方程x2+±x+l=0的兩個根分別為s，%，

k

,2

可得用+匕=——>0,x^x=1,

k4

不昉設(shè)0<丹<1<x4,

當(dāng)當(dāng)vxvl時，g，(x)vO,g(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)fvxvl時，g(x)>g(1)=0,

即/,心>(1一!).七1,不符合條件；

kx+\

綜上，實數(shù)k的取值范圍為(-co,-1J.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想、分類討論和運算能力.

7.(2023?閔行區(qū)二模)如果曲線)=/(x)存在相互垂直的兩條切線，稱函數(shù)y=/(")是“正交函數(shù)”.已

知/(x)=x2+ax+2/〃x,設(shè)曲線y=/(x)在點M(x0,/(與))處的切線為小

(I)當(dāng)/'(1)=0時，求實數(shù)”的值；

(2)當(dāng)〃=-8,%=8時，是否存在直線〃滿足且(與曲線相切？請說明理由；

(3)當(dāng)上..-5時，如果函數(shù))，=/@)是“正交函數(shù)”，求滿足要求的實數(shù)。的集合。：若對任意awD,曲

線)，=/(幻都不存在與人垂直的切線12,求質(zhì)的取值范圍.

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值直接可得參數(shù)值；

(2)假設(shè)存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得人，再利用垂直可得心，再根據(jù)./(%)=&是否有解確定假設(shè)是

否成立；

(3)根據(jù)二階導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，分別討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而可得。，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況分

別解不等式即可.

【解答】解：(1)由題設(shè).函數(shù)定義域為(0,4on),且/(、)=2工+〃+士,

X

由r(1)=4+a=o,則々=^.

233

(2)當(dāng)〃=一8時，f(.r)=2x+--8,則((8)=—,

x4

即的斜率4q，假設(shè)4存在，則4的斜率內(nèi)=-4，

74

則f\x)=占有解，即2X+±-8=-*在(0,y)上有解，

x33

該方程化簡為33/—130X+33=0,解得工=3或11,符合要求，