2024高考數(shù)學二輪復習重難點專題《導數(shù)與不等式恒成立九大題型》題型突破及解析

重難點專題10導數(shù)與不等式恒成立九大題型匯總

題型1直接求導型.....................................................1

題型2端點賦值法.....................................................2

題型3隱零點型.......................................................3

題型4分離參數(shù)法.....................................................4

題型5分離參數(shù)法-洛必達法則.........................................5

題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參...............................................5

題型7絕對值同構(gòu)求參.................................................6

題型8函數(shù)取“整”型.................................................8

題型9“存在”成立問題................................................9

題型1直接求導型

若fCJ在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立：Vx

(2)能成立：3尸￡。真力1。eDtXx)<0<G,

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：3>/(力(或3(f(N)),則

(1)恒成立：3>f(￡］oa，f(x)3；3<f(i)<>a</"(x)Blx；

(2)能成立：a〉Rx)a(f(x)/(x)^；

【例題l】(2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)凡外二三,xG」.其

中。二(。2)U(L+8)

⑴求函數(shù)Kx)在點8處的切線方程；

⑵若式］)>5,且VxwL,Ax)是烈幻恒成立，求d的取值范圍.

【變式1-111.(2023秋?寧夏銀川-高二銀川一中校考階段練習)已知函數(shù)

大力-=*+1(川GR)

(1)當加二［時，證明：?力<1.

(2)若關(guān)于陰勺不等式Hx)〈(加-0］恒成立，求整數(shù)萬的最小值.

【變式1-112.(2023秋?陜西西安-高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)

?x)-JT-jrcrlnjr*2,mG/且mHZ

（1）當用二［時，求曲線V=f（x）在點處的立線方程；

⑵若關(guān)于4的不等式真切是：4恒成立，其中e是芻然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)笈的取

值范圍.

【變式1T】3.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)

戚x）二f,n（x）-1-ln^

（1）若函數(shù)〃x）二隊“一威力，討論當f二1時函數(shù)用》）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)成］）＞2恒成立，求電勺取值范圍.

【變式1-114.（2023秋?云南保山?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)

Wr）二2ar-siru.

（1）當3二7時，求曲線V二f（x）在點處的胡線方程；

（2）當時，Hx）maxcosM亙成立，求實數(shù)￡的取值范圍.

題型2端點賦值法

1.端點賦值法（函數(shù)?般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關(guān)

重要的作用）

2.為了簡化討論，當端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍.注意，開

區(qū)間不一定是充分條件.

有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論.

【例題2】（2022?河西鄭州?統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)4.二Inx-pG-〃。WE.

（1）當P二】時，求函數(shù)月外的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)6"幻+「（2產(chǎn)-^-力對任意X2，都有W（成立，求p的

取值范圍.

【變式2-111.（2022秋-黑龍江雞西?高三校考階段練習）已知函數(shù)

（I）若X=J是Hx）的極值點，求Hx）的單調(diào)性；

⑵若/（X）是斗亙成立，求a的取值范圍.

【變式2-1）2.（2022秋?安徽阜陽-高三安徽省臨泉第一中學?？茧A段練習）

設(shè)函數(shù)Hx）=（x+3）』一】，已知直線y二為是曲線/二f（N）的一條切線.

⑴求實數(shù)a的值；

⑵若不等式HD寸任意>￡（7,,8旭成立，求實數(shù)硒取

值范圍.

【變式2-1]3.（2023春?河南鄭州-高三鄭州外國語學校校考階段練習）已

知函數(shù)f份）=21nx+A.（a,b為實數(shù)）

（1）當6=2時，求過點他-Z的圖象的切線方程；

⑵設(shè)L二若力力學G恒成立，求b的取值范圍.

【變式2T】4.（2023-四川成都?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)

力,=一弓'彷-力X+d在處的切線與y軸垂直.（其中U是自然對數(shù)的底數(shù)）

⑴設(shè)=xW（0,+8）,當2=1時，求正：函數(shù)W（0,+8）上

的圖象恒在函數(shù)gX」的圖象的上方；

⑵“+8）,不等式比1/7>）-85%]>14"】）恒成立，求實數(shù)2的取值

范圍.

題型3隱零點型

1.導函數(shù)（主要是一階導函數(shù)）等零這一步，有根X.但不可解.但得到參數(shù)和X,

的等量代換關(guān)系.備用

2.知原函數(shù)最值處就是一階導函數(shù)的零點處，可代入虛根M

3.利用力與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出h不等式，求得h范圍.

4.再代入?yún)?shù)和々互化式中求得參數(shù)范圍.

【例題3]（2023秋?湖北隨州-高三隨州市曾都區(qū)第一中學?？奸_學考試）已

知函數(shù)W工）=ar>xlru（a6F）圖象在點億/Y/刀處的切線與直線不?打二殛

直.

⑴求實數(shù)a的值；

（2）若存在AG2,使得fGxMM亙成立，求實數(shù)k的最大值.

【變式3-111.（2023秋-四川成都?高三樹德中學?？奸_學考試）己知函數(shù)

*力-ex-ai,aWh.

⑴討論Hx）的單調(diào)性；

(2)若當x2-1時，兒求日的取值范圍.

(3)若存在實數(shù)久，使得6-力恒成立，求的最小值.

【變式3-1]2.(2022秋.江西撫州-高三臨川一中?？计谥?已知函數(shù)

Ax)-eJ-dx&(x)=Wx)?sin”,(aER),其中e=2為自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性，

⑵若當＞2,時，0(?20亙成立時，求a的最大值.(參考數(shù)據(jù)：

Fz20.1)

【變式3-113.(2023?福建泉州?校考模擬預測)已知函數(shù)

/(x)=Inj-jrcr^CZ-aO"?.

(1)若加二，求Hx)的極值；

(2)若對任意亙成立，求整數(shù)m的最小值.

題型4分離參數(shù)法

【例題4】(2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開學考試)已知函數(shù)

真"Iwjefa為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)x工)在工二1處的切線方程；

⑵若犬力打一：7,羽.“打叫亙成立，求證：實數(shù)3＜一」.

【變式4-1]1.(2023秋?廣東江門-高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)

jfx)二

⑴若》二7是函數(shù)p=/GJ的極值點，求田的值；

(2)若對任意的不e(「8),AJ)2"亙成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式4-112.(2023秋-遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學?？茧A段練習)

已知函數(shù)f㈤="+3。/4/+6皿&GR)

(1)討論函數(shù)W工)的單調(diào)性；

⑵若H-刀二，函數(shù)二Mln"，)-JW唾"，8)上恒成立，求整數(shù)a

的最大值.

【變式4-1]3.（2023秋?陜西西安-高三校聯(lián)考開學考試）己知函數(shù)

真力二lnx-x+（x-Ze*-n,meZ.

（1）當加二7時，求曲線y=f（x）在點E汽力）處的支線方程；

⑵若關(guān)于邛勺不等式Hx）〃在刀上恒成立，求冗的最小值.

【變式4-114.（2023?江西?校聯(lián)考模擬預測）設(shè)函數(shù)代外二xlnx+1一%

⑴若Hx）是"亙成立，求實數(shù)4的取值范圍；

⑵在（1）的條件下，證明：u-'Hx）-元I）.

題型5分離參數(shù)法-洛必達法則

1.若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點處”，則可以通過洛必達法則求出“最

值”

2.注意“斷點”是在端點處還是區(qū)間分界處.

【例題5】設(shè)函數(shù)=2-COEJ.（1）求f⑨的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對任何又學4都有fW求巨的取值范圍.

【變式5-1】1.設(shè)函數(shù)/⑨=

（1）求f⑨的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）是否存在實數(shù)小使得關(guān)丁r的不等式/.學珀勺解集為（0,十8）?若

存在，求a的取值范圍：若不存在，試說明理由.

【變式5-1】2.已知函數(shù)十＞）二H曲線在點（右刃處的切線為好白⑺.

（1）證明：對于H＞）學g（x）；

⑵當X》[時，M）》二三恒成立，求實數(shù)3的取值范圍.

題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參

1.含有黑和毛型，大多數(shù)可以考慮變換結(jié)構(gòu)相同，構(gòu)造函數(shù)解決.

2.可以利用第一問的某些結(jié)論或者函數(shù)結(jié)構(gòu)尋找構(gòu)造的函數(shù)特征.

【例題6]（2023-四川宜賓?四川省宜賓市第四中學校?？既＃┮阎瘮?shù)

4

/（x-1-alntx-1）+#+1,g（x）=f（x）+：-（尹-2）

⑴當k7時,求函數(shù)戶外的極值；

⑵若任意X，，打W(7,且，聲七，都有F7-1‘成立，求實數(shù)日的取值

范圍.

【變式6-1]1.(2023春?江蘇揚州?高三揚州中學?？茧A段練習)已知函數(shù)

*力二鏟+eR).

(1)討論Hx)的單調(diào)性；

(2)設(shè)式x)=xL-ln(cx),若a-],且對任意

x,GR,I,+8),必看價)+歐盯)乂恒成立，求實數(shù)萬的取值范圍.

【變式6-1]2.(2023秋?重慶渝北-高三重慶市渝北中學校?？茧A段練習)

已知函數(shù)*力二;/，dln(x-7),虱x)=/(x)?=

(1)當a二一1時，求函數(shù)H力的極值;

⑵若任意北、。與"+8)且，二七，都有「二-E”成立,求實數(shù)言的取值

范圍.

【變式6-1]3.(2022?陜西西安?西安中學校考模擬預測)已知函數(shù)

f幻二1nL其中a"

⑴當己二1時，求函數(shù)V二力(力在區(qū)間C上的最大值；

⑵若]￡(。9,證明對任意孫f引9水孫丁燈)，工X'恒成立.

【變式6-1]4.(2021?甘肅嘉峪關(guān)-嘉峪關(guān)市第一中學?？既?已知函數(shù)

/(x)=at-/(aER).

(1)若曲線(外在*二]處的切線與少軸垂直，求y二,⑴的最大值；

(2)若對任意。wx；W與，都有貝”)，盯(2-2W)＜力4)+ij(2-2n2,求

石的取值范圍.

題型7絕對值同構(gòu)求參

1.含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值.

2.去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù).

【例題7](2023?上海徐匯?位育中學?？寄M預測)已知函數(shù)

大工)=/一旺-4a￡E.

（1）判斷函數(shù)*X）的奇偶性;

（2）若函數(shù)網(wǎng)＞）二萬?衣x）在X二1處有極值，且關(guān)于x的方程用力二n有3個不同

的實根，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）記式了）?1?是自然對數(shù)的底數(shù)）.若對任意？、七GWelfix，）七時,均

有便處卜犬孫）|為?烈力）1成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1]1.（2022秋-天津北辰-高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)

十）弓人（"3"1叱其中a乂.

（1）當a二2時，求曲線V二f（x）在點（1,汽力）處切線的方程；

⑵當aHJ時，求函數(shù)升》）的單調(diào)區(qū)間；

⑶若證明對任意"盯6乜），1X,,亙成立.

【變式7-1]2.（2022秋?天津東麗-高三?？茧A段練習）已知函數(shù)

Xx）=7^2"tflni+A（a€R）

⑴若曲線產(chǎn)父x）在產(chǎn)1處的切線的方程為3尸尸3二0,求實數(shù)5加勺值；

（2）當本1時，?比）二角的），且泉產(chǎn)為，求證X?+E〉2.

（3）若?！丛?,對任意必，血￡（1,2],不等式|犬匹）-￡刀2）|＞劉上-3恒成立，

求龍的取值范圍；

【變式7-1]3.（2021?吉林長春?吉林省實驗?？寄M預測）己知函數(shù)

Hx）-x-7-alnA

⑴討論函數(shù)Hx）的單調(diào)性；

⑵若對任意"nU嘟有WlMJ-xfr）成立，其中式“三

且求實數(shù)a的取值范圍.

【變式7-1]4.（2020秋?海南?？?高三校考階段練習）己知函數(shù)

*x）=lnx?:“"腦￡同，式力〉2"工

（1）討論函數(shù)汽X）二找力?:陽（X）的單調(diào)性；

（2）若-JWdWT時，對任意肛.孫CE4,不等式

I/U）一汽0）1W力川?。?RU川恒成立，求實數(shù)，的最小值.

【變式7-1]5.（2021秋?山西長治?高三山西省長治市第二中學校?？茧A段

練習）已知函數(shù)貝力二

（1）若Hx）在（。刀上的最大值為-Z求a的值;

（2）記式力二力?當時，若對任意外,J?，叼，

總有以廠）=鼠x,）l宜加：一打,求人的最大值.

題型8函數(shù)取“整”型

討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號問題

【例題8]（2023秋-遼寧沈陽-高三沈陽市第一二O中學校考階段練習）已知

-213^6aa（xER/

（1）討論函數(shù)H工）的單調(diào)性；

⑵若力力，函數(shù)與舒曦E+8）上恒成立，求整數(shù)a

的最大值.

【變式8-111.（2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習）已知函數(shù)

）7（布）

*x-2Inx-^O2?T?/￡R

（D當加二2時,證明:W力a

⑵若關(guān)于X的不等式Hx）＜（而■91恒成立，求整數(shù)冗的最小值.

【變式8-1]2.（2022秋-黑龍江哈爾濱?高三?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)

f（j）-r7-3翁+3分

（1）若b=G,求曲線y=在點EHZ））處的切線方程；

⑵若不等式f（T），fG）對任意xe（Z+8）恒成立，求整數(shù)k的

最大值.

【變式8-113.（2023?廣西桂林?校考模擬預測）已知函數(shù)

）（）

#x--7—?-lnx+a

⑴討論函數(shù)歐X）二武”■士的單調(diào)性；

⑵若已二，且存在整數(shù)4使得犬力2兒恒成立，求整數(shù)4的最大值.

（參考數(shù)據(jù)：In2ad6，，ln5L11）

【變式8-1]4.（2022秋?云南?高三云南民族大學附屬中學?？计谥校┮阎?/p>

函數(shù)川工）=Inx+mx（而WR）.

（1）討論函數(shù)X]）的單調(diào)性；

⑵若m為整數(shù)，且關(guān)于x的不等式W：.，（劣-力“一」恒成立，求整數(shù)萬的

最小值.

題型9“存在”成立問題

1.當不能分離參數(shù)時候，要移項分類討論.

2.確定是最大值還是最小值.

【例題9]（2023秋?湖南株洲-高三株洲二中?？奸_學考試）已知函數(shù)

（i）證明：當X〉。時，亙成立；

⑵若關(guān)于印勺方程竽仁二dsiru在（〃叼內(nèi)有解，求實數(shù)d的取值范圍.

【變式9T】L（2023秋-內(nèi)蒙古赤峰-高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)不外二W,

不￡（2兀],f（其是力x）的導函數(shù).

（1）證明：/（封存在唯一零點；

⑵若關(guān)于X的不等式八X）哈+8W，有解，求a的取值范圍.

[變式9-1]2.（2023?全國-高三專題練習）設(shè)函數(shù)

/（x）-（J-切"lnjr?：（dWR

（1）討論函數(shù)Hx）的單調(diào)性；

（2）當3=7時，記儀X）:是否存在整數(shù)t,使得關(guān)于X的不等式

z2烈X）有解?若存在，請求出t的最小值；若不存在，請說明理由.

【變式9T】3.（2022?遼寧?校聯(lián)考一模）已知函數(shù)

f[x）--x3-jTsinoa三卜’?，

（1）討論函數(shù)犬工）的單調(diào)性；

⑵證明：存在。￡卜+,3,使得不等式有解（e是自然對數(shù)的底）.

【變式97】4.（2022秋?北京?高三北京市第十二中學?？茧A段練習）已知

函數(shù)fG）二+ax+a）.

（1）當時,求函數(shù)打燈的單調(diào)區(qū)間：

⑵若關(guān)于x的不等式f份）在2+8）上有解，求實數(shù)a的取值范圍；

⑶若曲線/二川力存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)a的取值范圍；（只需直接

寫出結(jié)果）

【變式9-1]5.（2022?北京海淀?101中學統(tǒng)考模擬預測）設(shè)函數(shù)

/W-Inj*—T,g（x）^ax-i

（i）求函數(shù)e=的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當己二1時，記加，=是否存在整數(shù)L使得關(guān)于x的不等式

21方有解？若存在，請求出人的最小值；若不存在，請說明理由.

1.（2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）已知函數(shù)真X）二（x-I）e',/（x）

是貝工）的導函數(shù).

（1）設(shè)烈力二式力-三，證明：烈力是增函數(shù)；

⑵當天乂時，是＞2恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

2.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)立力二鏟（x￡R）.

（1）若函數(shù)Hx）的圖象與函數(shù)夕=3/?＞。）的圖象有兩個公共點，求實數(shù)a

的取值范圍；

（2）若加（溝"GR）在x￡（0,7）恒成立，求〃一才的最小值.

3.（2023?福建廈門?廈門一中校考一模）函數(shù)H力二:'Mx-D-Z.

（1）當a乂時,求函數(shù)代外的極值；

（2）若對任意xU（I,，8）,不等式WC恒成立，求實數(shù)d的取值范圍.

4.（2023-貴州畢節(jié)?校考模擬預測）已知函數(shù)

/(x)冗尸-sin/，7,xefco)

(1)當b=7時，若Hx)W】恒成立，求啟的取值范圍；

⑵若「二5**)在忸二四上有極值點兒,求證:Axj+xo〉英+1.

5.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)汽力二十的圖象在(，式力:處的切

線經(jīng)過點(2氏，

(1)求d的值及函數(shù)*力的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)烈力二W,若關(guān)于X的不等式人》式力在區(qū)間E+8)上恒成

立，求正實數(shù)人的取值范圍.

6.(2023?福建福州?福建省福州第一中學?？寄M預測)已知函數(shù)

/(X)-jsim,其中3，"

⑴若Hx)Wx在［0,+8］上恒成立，求z的取值范圍；

⑵證明：力￡(。/8),有k>("9［ln("7)+si血

7.(2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預測)己知函數(shù)衣F)=

(1)討論函數(shù)Wx)的導函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若&,弓，求證：對Hr.，，Hx)*：■〃怛成立.

8.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)

(1)若HJ)為R上的增函數(shù)，求日的取值范圍；

⑵若Hx)在xGE內(nèi)恒成立，bGR,求備的最大值.

9.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)有，x

⑴當E時,討論力?的單調(diào)性；

⑵若f3)<sin力恒成立，求a的取值范圍.

10.(2011?北京?高考真題)已知函數(shù)

f(i)-l-Ax-xlnx(jt￡R),g(x)二三(e7+1)

(1)若x金力時，二儲解，求人的取值范圍；

(2)在(1)的條件下順最小值時，求證：〃力<0(外恒成立.

參考答案與試題解析

重難點專題10導數(shù)與不等式恒成立九大題型匯總

題型1直接求導型....................................................12

題型2端點賦值法....................................................19

題型3隱零點型......................................................27

題型4分離參數(shù)法....................................................34

題型5分離參數(shù)法-洛必達法則........................................40

題型6構(gòu)造輔助函數(shù)求參.............................................45

題型7絕對值同構(gòu)求參................................................53

題型8函數(shù)取“整”型................................................63

題型9“存在”成立問題...............................................71

題型1直接求導型

若f在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立：BXWD,艮窗外匕￡〃/(力<00/(力3〃;

(2)能成立：￡人卬力2。=/(力3〃真力(0o/(jr)3n?.

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：3>/(力(或則

(1)恒成立：==f(x)3；Oa<f(jr)…

(2)能成立：a〉f⑸今二武力一；a<f(J)

【例題1】(2023秋?河南-高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)H*)=」.其

中UQ.8)

⑴求函數(shù)Hx)在點修A3)處的切線方程；

⑵若式且KrG」，Hx)2烈x)恒成立，求的勺取值范圍.

【答案】(1)(4-組nPx-y-Z二。

⑵［小8)

【分析】(1)利用導數(shù)幾何意義可求得切線斜率,(3,結(jié)合咐?力11%求得

切線方程；

a》3

（2）易知將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為“分別在（。力和（2+8]的

情況下得到變形后的不等關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)“外;Znx-8（x-：）,分別在a和

0<33的情況下討論得到吊了）的單調(diào)性，結(jié)合二弓可確定滿足題意的取值范

圍.

=4-0位

［詳解］(1)*

又叱）嚀A嗎

.：/W在點（￡*9）處的切線方程為"然修二（4-夕n0（x-9,即

（4-4lx\2）x-y-2-0.

（2）當x$為時，?力二E<4當天$（1，8）時，/U）二三〃；

?：f[i）<0在工￡」上恒成立，

當aW4時，衣"?忑''，?：/（*）是虱%）不成立，不合題意;

》1ax

當a2°時，不等式可變形為：°"

當才￡（。。時，"卜弓一9)Wl":21nb,即2Q

當x￡（Z+8）時，水”多21nx=21nQ,即4-—《口福WC；

令武力二anx-小勺刀一〃.），則方匕）=二-山弓）=2^￡^2；

令成x)>a/+2x-z,則4二4-4『；

①當△W￡,即a時，“外WC恒成立，即方’（幻W，恒成立，

?:ACD在々?8）上單調(diào)遞減，

則當x￡31）時,Mx）〉MD=0,即且nxM（,-3,

?：ZnqG-31萬2I

當m）時，加力《⑺乂,即且打3G一）,

?：211\虧一3（\狂一卷）WI.

?：w”是式n恒成立，滿足題意；

②當△乂,即oca時,設(shè)M力二。的兩根分別為"％無（孫）,

:工-zW%N；乜?：0《與?（工，

?:當x￡（jr〃力時,Mx）>0,即分（x）乂,?：A（x）在（"力卜單調(diào)遞增.

此時用力<A（/）二4即且nx<&（—）「：且nFr（?W）<，,不合題意；

綜上所述：實數(shù)石的取值范圍為匕,8）.

【點睛】思路點睛?：本題考查利用導數(shù)幾何意義求解切線方程、恒成立問題的求

解；本題求解恒成立的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，通

過討論含參函數(shù)的單調(diào)性，確定符合題意的參數(shù)范圍即可.

【變式1-111.（2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習）已知函數(shù)

*力-2Inx-^jrtr7，/（布￡R）

⑴當州=7時,證明：Xx）<1；

（2）若關(guān)于珅勺不等式式x）恒成立，求整數(shù)口的最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵最小值為3

【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求導得'（公二弓，根據(jù)其正負即可得函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)最值證明即可；

（2）構(gòu)造函數(shù)做）:01-：加“2-防"7在區(qū)間+8）內(nèi)恒成立，再

求出口外的最大值為《3二：一2W0心1

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即求得整數(shù)n的最小值.

【詳解】（1）當加二7時，公〃

「f'（jr）=芍6r）以

令fq）=C,得x=&,

當xc（a、0時，，（力>。五》單調(diào)遞增；

當xEg,+8)時，f⑶汽外單調(diào)遞減，

所以凡力在x二、6處取得唯一的極大值，即為最大值，

所以f(x)3-+X2+1=InZ,

所以WlnZ,

而ln21Ine=],

所以Wx)<1,

(2)令O=以力■(E-加二力ru■如

則G'(x)=二一(2-勸二F'T：

當mW俯，因為xM,所以G'(x)乂，所以口力在心+8)上單調(diào)遞增，

乂因為a力二?>">(

所以關(guān)于x的不等式口公不能恒成立；

當加)。時，G(x)=—-；—.

令G'a)=L得x=：所以當xe(a9時，G'a))。；

當》eg+8)時，0(為(Q

因此函數(shù)口力在?。3上單調(diào)遞增，在(="8)上單調(diào)遞減.

故函數(shù)供力的最大值為G(3==-2M，an2-j.

令區(qū)域二：2rwf21n2-4

因為MT)=]+2tx\20,h(2)—0,從3)=0n^-21n3■彳“，

又因為"功在(。+8)上單調(diào)遞減，所以當序?：時，*㈤<6

所以整數(shù)即勺最小值為3.

【點睛】方法點睛：根據(jù)不等式宜接構(gòu)造函數(shù)，分類討論法，利用導數(shù)研究單調(diào)

性、最值，從而得出參數(shù)端E圍

【變式1-1J2.(2023秋?陜西西安-高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)

翼外二，-質(zhì)lnx+7,用E/且辦N，.

（1）當用二［時，求曲線V=f（x）在點處的立線方程；

⑵若關(guān)于4的不等式真切是：4恒成立，其中e是芻然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)笈的取

值范圍.

【答案】⑴尸一夕"二G

⑵卜3。）

【分析】（1）求導，利用導數(shù)值求解斜率，即可由點斜式求解直線方程，

（2）將問題轉(zhuǎn)化為不七.向在（〃?8）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)

烈"=""血nx'A（x）=~：-（x-31nx?：利用導數(shù)求解單調(diào)性，即可

求解.

【詳解】（1）由題，當期二］時，二/（x）-^x-lnx-j,

，⑺二1,犬力二Z所以切線方程為P-2=x-1,

化簡得x-夕二。即曲線代力在點"處的切線方程為x二Q

⑵*力考」，即/-mln"1是九即"白就nx"是，在（0+8止恒成

立，

令式力二":Hnx?：則屋⑶刁-三-"今

對于y=/一加r-4△=/+42。故其必有兩個零點，且兩個零點的積為-4

則兩個零點一正一負，設(shè)其正零點為孫，8）,則書-血廠】:0,即

…。W

且在（d初上時y=/.mx-1<0,則g'cr）”,此時烈X）單調(diào)遞減，

在（XB+8）卜.y=/?g-l〉Q,g'（x）乂，此時僅x）單調(diào)遞增.

因此當x二立時，烈x）取最小值，

故式324即的廿Y小一91皿一：云

令/0）="：（,-31標-：,則

力⑴刁?捻?（"§】nx-（7-盤）1-

當XE（。力時，B⑶>0,當X￡（7,，8）時，/（幻（0,

則嵐力在（。力上單調(diào)遞增，在（2+8）上單調(diào)遞減，又力（3二萬⑥九，故

e

x。4

顯然函數(shù)”二小一3在1”1上是關(guān)于七的單調(diào)遞增函數(shù)，則"e匕weT,

所以實數(shù)〃的取值范圍為尼°）

【點睛】方法點睛：k于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)

的取值范圍；

2、利用可分離變量，溝造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中

很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變

分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問

題的區(qū)別.

【變式17】3.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)

z<j）-t?=Hx）=7Tn竟

（1）若函數(shù)八x）=成外-威力，討論當［二］時函數(shù)網(wǎng)不）的單調(diào)性：

⑵若函數(shù)Mx）"Z恒成立，求電勺取值范圍.

【答案】⑴在（-21國上單調(diào)遞減，在（InZ+8）上單調(diào)遞增

⑵（e,?8）

【分析】（1）化簡可徨汽工）二鏟利用導數(shù)可求得汽x）單調(diào)性；

（2）分析可知且￥XZ；令烈X）二e”〃，可將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為

式,結(jié)合單調(diào)性可得In"In（"劣-1,令

尿力二ln（x?書一兒利用導數(shù)可求得名外單調(diào)性和用x）z,進而得到珀勺范圍.

【詳解】（1）當？=7時，

人力-eJ*ln^-2*cJ"Ine-^-eJ-2x-2（x>-2）,

力定義域為L2+8）,Fan,

?:當xE（-21必時，/⑶（4當xE（ln2，8）時,/⑶乂;

?:尸（力在（-2InZ上單調(diào)遞減，在（M2+8）上單調(diào)遞增.

（2）若x+2（C,即不<-2,由力得d

則當尸-2"時，放-2?。=="3"，則放外乂不恒成立，

?：f）0且威力定義域為（-2，8）；

由“x）"2恒成立可得：？.erinLln（"2）M,

?：”―、x+ln”ln（j+0+/2=?。‥+ln（x+0,

令”x）=e*則式*Int）

：'y二e，與，二x均為單調(diào)遞增函數(shù)，?：爪X）為單調(diào)遞增函數(shù)，

.："Ini2ln（x+0,>?Int?-J；

令用力二ln（"為一兒則力（幻二七7二一S,

?:當x￡（一2-力時，方'（》當xU,8）時,A\J）<0；

?:用外在（-2-［止單調(diào)遞增，在（7/8）上單調(diào)遞減，」力（力皿二力（一力R,

?：ln"I,解得：Me,即實數(shù)f的取值范圍為（匕+8）.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題的求解；

本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠采用同構(gòu)法，將問題轉(zhuǎn)化為虱了）二T，為勺兩

個函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，進而根據(jù)式x）的單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系.

【變式1T】4.（2023秋?云南保山?高三統(tǒng)考期末）己知函數(shù)

Hx）=2ax-siru.

（1）當時，求曲線V=f（x）在點（。尤如處的次線方程；

（2）當6時，Wx）2〃cos升亙成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【答案】（DP=x

⑵E+8）

【分析】（1）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜率式方程可得切線的方

程；

（2）求出導數(shù)，令令卻X）二人力-aicosi,討論當a6上aWI,0<a<l^f

函數(shù)g3的單調(diào)性，即可得到所求范圍.

【詳解】(1)當己二7時，-2x-sinx,/(x)=2-COSJ,

切線的斜率為4二f'(0二7,

又切點為(00,所以切線方程為，二其

(2)令式力二人力_arcosj,即虱x)ajcosx-sini,

①若a21，貝ij當細，式力學內(nèi)■jcosx-siru,令同力-^x-icosx-sini,

A(x)=2一%osx+xsiru,

當天e(0,兀]時，/?'(x)"

所以"力在(。兀1上單調(diào)遞增，川X)2方(0-Ct

當x￡(八，?8)時，用力-x(7-cosx)*(x-sinj)>4,

所以式外星知外與的成立，符合題意；

②若aW/,則當》￡(“三)時，

式力二2ax-5jrcosx-sinx-?(7-cost)+己x-sinx《0,不合題意；

③若。注意到用。=Qt/(x)-a(cosj-jsinx)-cosxg(0)-a-J,

令6(力=gCO=2a-Wcosx-isinj)-COSJI,則/⑴-(^//)sinx*wcosj,

當xE(a1時，，(外乂，所以g'a)在(0?上單調(diào)遞增，

因為/(。-a-l<0,g0=(2弓)a>0,

所以存在孫￡僅2使得g'a分二。

當Xw(Q用時，sXx]?,所以式力在(〃介)上單調(diào)遞減，式X)<g(。二。不合

題意.

綜上，日的取值范圍為E，8).

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，一種方法為參變分離,

一種方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，并通過利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性來得到函

數(shù)的最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

題型2端點賦值法

1.端點賦值法（函數(shù)一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關(guān)

重要的作用）

2.為了簡化討論，當端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍.注意，開

區(qū)間不一定是充分條件.

有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論.

【例題2］（2022?河南鄭州?統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)f二?力,p

（1）當時，求函數(shù)Hx）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)二對任意刀22都有W（成立，求磔勺

取值范圍.

【答案】（1）H*）的單調(diào)增區(qū)間為（。力；單調(diào)減區(qū)間為（/+8：；&）PW-：

【分析】（1）求出F（現(xiàn)在定義域內(nèi)，分別令,⑶乂求得x的范圍，可得函數(shù)正功

增區(qū)間，/（x）”求得*的范圍，可得函數(shù)月制的減區(qū)間；

（2）求出g'（x）=Iru〃+Zu,由⑴得到InxWx-1，將其代入然后

對，的不同取值進行討論，分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求其最

值，篩選出符合條件的P的取值范圍即可.

【詳解】（1）當p=l時，Hx）二lnx-"7,其定義域為（〃?8）.

所以F（x）=：/，由，（X）W—乂得。J（1.

所以日?的單調(diào)增區(qū)間為（。力，單調(diào)減區(qū)間為（L+8：

（2）由函數(shù)用力r大力rlmr+MM-刀得

g'Cr）=ln""加.

由（1）知，當P=1時，Hx）W/U）=G,即不等式InxWx-1成立.

①當時，/（外二lnx，7+&xW。

即gGJ在〃，+8J上單調(diào)遞減，從而烈x）W烈力二瞬足題意；

②當一：“<%,存在工￡（，一分使得Inx，。"辦n4

從而?、嵌蘒n"/?辦》乂，即g（x）在（七.當上單調(diào)遞增，

從而存在小￡（3使得烈兒）,烈力"不滿足題意；

③當P2/時，由x是[知Kx）"lnj+p（r'-I）2q亙成立，此時不滿足題意.

綜上所述，實數(shù)p的取值范圍為「w-：

【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)12乂力恒成立

92ax）3即可）或aWH力恒成立即可）；②數(shù)形結(jié)合&二f（x）

圖象在V二g（x）上方即可）；③討論最值，或真i）3W/恒成立;④討

論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

【變式2-1]1.（2022秋-黑龍江雞西-高三?？茧A段練習）已知函數(shù)

/（x）==/?（d，1）x，alnx，i

7?

（1）若是Kx）的極值點，求Hx）的單調(diào)性；

⑵若Hx）恒成立，求a的取值范圍.

【答案】（1）增區(qū)間為（aD/ys）；減區(qū)間為（，團

⑵（?8,T

【分析】（1）由二c求得d的值，再由求得Hx）的單調(diào)區(qū)間.

（2）代入刀二7可得再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定最值后即可得解.

【詳解】（1）大力的定義域為（〃，8],八

若X二<5是H力的極值點,則八①二3-（"八6二0,解得3二工

此時fa）r-4t———,

0力在區(qū)間（。/）。（3*°0）±/（x）>Q,Hx）單調(diào)遞增；

在區(qū)間（」,J）±/（x）3H外單調(diào)遞減.

此時是Hx）的極小值點，符合題意.

綜上所述，Hx）的增區(qū)間為（。力,（N+8）；減區(qū)間為（2為

由Hx）去1,得:/?"M④，

設(shè)鼠力-a\nx（x>0）

式2）二19,1）-3?二

所以當a24時，式力〃，①不成立，故

g'Cr）r?（"/）《二空職

所以式x）在區(qū)間（。力上，（n歐力單調(diào)遞減；

在區(qū)間（1，+8）上，，（幻）。爪外單調(diào)遞增，

所以式外學式為二-"；云4解得己w-：

綜上所述，與的取值范圍是（-8,.殳

【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，除了f（%）二。以外，還需要Hx）在；r=々左

右兩側(cè)的單調(diào)性相反.利用導數(shù)研究含參數(shù)的不筆式恒成立問題，可以考慮利用

分離參數(shù)法，也可以直接構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)進行研究.

【變式2-1】2.（2022秋?安徽阜陽-高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習）

設(shè)函數(shù)乂力二（x.a）uJ-7,已知直線y二句是曲線了二人力的一條切線.

⑴求實數(shù)a的值；

（2）若不等式^工）廚任意刀￡（7,+8）恒成立，求實數(shù)1的取

值范圍.

【答案】⑴】

⑵⑺

【分析】（1）設(shè)切點橫坐標為卻，利用導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性即可求出

實數(shù)a的值；

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)求參，含參數(shù)問題討論進行求解.

【詳解】（1）設(shè)直線/二為與曲線V=f（x）相切于點X二即處，

因為，（幻二（""1）匕則，（七）=（九+"7圮勺=2即

而*孫）二（北七）j7二2九所以23+八”二2,即Y升2九-」二0

設(shè)函數(shù)烈J）二1+方-4x￡R,顯然在R上單調(diào)遞增，且式。二4

則烈X）有唯一零點x二。.

所以打二。己二1,即實數(shù)a的值等于L

（2）由（1）知*力二（x，1）』-］，，⑶=（x+22,

?力在區(qū)間（-8,-Z上單調(diào)遞減，在區(qū)間（-2+8）上單調(diào)遞增.

所以時，Hx）=4，二。顯然不符合題意.

注意到=X，1n（"7）是增函數(shù),在區(qū)間上,。（力"S二。

所以，<°不合題意.

接下來對z1°進行討論，

令A（力二7-4"ln（"1）］,

貝盧⑶二（"01-W+與二芻-力，

注意到xW（-Z+8）,三乂，

令力‘（X）二4得（x+1）e，-f=0,

注意到“了）二（"】*在（7,，8）上單調(diào)遞增，且（X一力二。

所以在"0時，有唯一的實數(shù)公￡（7,，8）使得（打腦把打二窘//（%）=〃

當xe（7,6時,分⑶a,A（由單調(diào)遞減,在x￡（>。，8）時尸⑶乂A（j）

單調(diào)遞增.

所以用了）7二方（兒）二（片<0鏟0-1-r（如+111（應+/））,

注意至|J（不，1把叼=f,ln（x,〃）+血=Ini,

所以用力出工二2（,

再設(shè)黃。=f-I-“nl,s'⑴>Inf,

當。時，$'（f）z>c,ED單調(diào)遞增，當時，$'?）"，ED單調(diào)遞減，

所以ED=WE力二。

因為-1-nnr》tXO-1-2-tint<X/）-0f只能/二，

綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是UL

【點睛】方法點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，對導

數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：

（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.

（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用.

【變式2-1]3.（2023春?河南鄭州-高三鄭州外國語學校校考階段練習）己

知函數(shù)燈，二（a,b為實數(shù)）

（1）當6=2時，求過點9■9的Hx）圖象的切線方程；

⑵設(shè)60?/W若亙成立,求b的取值范圍.

【答案】（l）V=4x-E

（2）1-2/8）

【分析】（1）設(shè)出切點，根據(jù)導數(shù)的兒何意義，寫出切線方程；

（2）根據(jù)題意將不等式進行等價轉(zhuǎn)化為證明62-2,當方2-2時，

=打hu+裂二三產(chǎn)：打lnj一工也即證明尸7打12-/》4構(gòu)造

函數(shù)自/二三"+lnx-L利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可證明.

【詳解】（1）因為b二專則fG）二21nx.力工二Wnjr+Zr,

所以,（力二：*,設(shè)切線與H》）圖象切于點（必2。右*2小），

則切線方程為廠G"）X，且5-4

令x二Q,則y=21nxs-2二-2,即打=7,

所以切線方程為V二4x-Z

⑵由&幻3f①，

令國一，則6幻=""》4故心-2,

下面證明：62-2時符合題意.

當b云-2時，自㈤=?xln"：br72產(chǎn)；，xlnx-t

以下證明：尸?xlnjrT》，

構(gòu)造函數(shù)0二.+1g-七

貝必⑴----j—+：7-------------------------二—,

令H(x)-產(chǎn),-兒則〃G”e*7-，

令Hs二可得

令HS—《Q,可得0<J",

于是分31在公”上單調(diào)遞減，在2+8)上單調(diào)遞增，

于是少幻2R⑴二G,

J

所以，當。。<7時，G(i)<0;當=］時，(i)>0.

所以GW在役”上單調(diào)遞減，在2+8J上單調(diào)遞增，

故心》G⑴二Q,

綜上，實數(shù)b的取值范圍/-Z

【點睛】方法點睛：恒(能)成立問題的解法：

若fGJ在區(qū)間土上有最值，則

(1)恒成立：^xEDtf{x}>0^f［x)^>0,VxEAAx)<0^Aj)nxz

(2)能成立：mxe。,五方，。0H>)3>43xE<0<c.

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為:力(或&</(力),則

(1)恒成立：5>Z(x)Oa，f(x)3；a<f(x)0a<Z(T)B1I；

(2)能成立；a爾直<^a>/(x)..x;a<f{x)0a</(x)^.

【變式2-114.(2023?四川成都?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)

"兄)二一己‘彷-力二°處的切線與軸垂直.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))

⑴設(shè)83):三，xe(0,+B),當3二［時，求記：函數(shù)fGJ在尸W(。+8)上

的圖象恒在函數(shù)&K慟圖象的上方；

(2)Hv+8),不等式次片力^)-<:。5了］"111(工+1)怛成立，求實數(shù)￡的取值

范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵(小8)

【分析】(1)根據(jù)切線性質(zhì)可得方二上利用作差法構(gòu)造函數(shù)@(V-f(i)-S⑨,

在由導數(shù)判斷單調(diào)性證明小恒成立即可得出結(jié)論；

(2)將不等式變形可得比根據(jù)題意可知

d-〃-cos*ln("7),即可得利用⑴中的結(jié)論力￡[。-8),

°’云/號*乜結(jié)合IM"】)W】即可得8>1即滿足題意.

【詳解】(1)證明：因為函數(shù)力"%x"處的切線與用睡直，

所以，◎二。

因為‘⑴