安徽省六安新世紀(jì)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期B班期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

六安新世紀(jì)學(xué)校2024年秋學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中試卷B班必修二第八章、第九章、第十章第1節(jié)一、單選題（每題5分總計(jì)40分）1．本周末為校友返校日，據(jù)氣象統(tǒng)計(jì)資料，這一天吹南風(fēng)的概率為，下雨的概率為，吹南風(fēng)或下雨的概率為，則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（

）A． B． C． D．2．某學(xué)校的高一、高二及高三年級(jí)分別有學(xué)生1000人、人、人，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級(jí)學(xué)生的平均身高為、、，估計(jì)該校學(xué)生的平均身高是（

）A． B． C． D．3．某班級(jí)從5名同學(xué)中挑出2名同學(xué)進(jìn)行大掃除，若小王和小張?jiān)谶@5名同學(xué)之中，則小王和小張都沒(méi)有被挑出的概率為（

）A． B． C． D．4．如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形陰影部分表示喜歡理科的百分比,從圖可以看出下列說(shuō)法正確的①性別與喜歡理科有關(guān)②女生中喜歡理科的比為③男生不比女生喜歡理科的可能性大些④男生不喜歡理科的比為A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④5．如圖，四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，，，，則（

）A． B． C．6 D．6．甲同學(xué)近10次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學(xué)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第75百分位數(shù)是（

）A．118 B．121 C．122 D．1237．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件（

）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D．至少有一個(gè)黑球與都是白球8．已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（每題6分，多選或答錯(cuò)不得分，部分答對(duì)答部分分，總計(jì)18分）9．下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B．這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33C．這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D．前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差10．已知互不相同的兩條直線，和兩個(gè)平面，，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，且，則D．若，，且，則11．已知四棱錐的底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，，，E為棱BP上一點(diǎn)，，且PA⊥AC，若四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且球O的體積為，則（

）A．B．C．平面ADE⊥平面PAB D．點(diǎn)E到平面PCD的距離為第II卷（非選擇題）三、填空題）（每空5分，總計(jì)15分）12．已知數(shù)據(jù)，，，，的方差為6，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為；13．一定時(shí)段內(nèi)，降落到水平地面上(假定無(wú)滲漏、蒸發(fā)、流失等)的雨水深度叫做雨量，如日降雨量是在1日內(nèi)降落在某面積上的總雨量已知日降雨量小于10mm稱為小雨、日降雨量在10~25mm稱為中雨、日降雨量在25~50mm稱為大雨、日降雨量在30~100mm稱為暴雨某天下雨，小明將一個(gè)無(wú)蓋的圓錐形的容器放置于屋外，一天后測(cè)得圓錐內(nèi)水的深度為24mm，已知圓錐的高為48mm，則日降雨量為mm.14．如圖，在正方中，分別是的中點(diǎn)，存在過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面截該正方體得到的截面面積為

四、解答題（總分77分）15（第一小題4分，第二小題9分，總計(jì)13分）．柜子里有3雙不同的鞋，分別用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每雙鞋的左腳，，，表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機(jī)地取出2只，那么(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只腳的；②取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋.(3)求取出的鞋不成雙的概率.16（第一小題8分，第二小題7分總計(jì)15分）．某校隨機(jī)抽取了100名同學(xué)參加“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)得到參加競(jìng)賽的每名同學(xué)的成績(jī)（單位：分），然后按40,50，50,60，…，90,100分成6組，并繪制成下面的頻率分布直方圖，已知．(1)求a，b的值，并估計(jì)參加競(jìng)賽的同學(xué)成績(jī)的第30百分位數(shù)；(2)已知成績(jī)?cè)?0,90內(nèi)所有同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?4分，方差為6，成績(jī)?cè)?0,100內(nèi)所有同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?8分，方差為10，求成績(jī)?cè)趦?nèi)所有同學(xué)的平均成績(jī)和方差．17（第一小題7分，第二小題8分總計(jì)15分）．．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．18（第一小題8分，第二小題9分總計(jì)17分）．某中學(xué)高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間為：.其中，且.該50名學(xué)生的期中考試物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：分組50,6060,7080,9090,100頻數(shù)6920105(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值，并估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績(jī)不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6人，從數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好均為物理成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的概率.19（第一小題8分，第二小題9分總計(jì)17分）．如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求與平面所成的角；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)12345678910答案BBBCBDCBABCBD題號(hào)11答案ACD1．B【分析】根據(jù)概率的加法公式即可求解.【詳解】記吹風(fēng)為事件，下雨為事件，因?yàn)?，所以既吹南風(fēng)又下雨的概率為，故選：B.2．B【分析】由分層抽樣的概念求出各個(gè)年級(jí)抽得的人數(shù)，計(jì)算平均數(shù)即可.【詳解】因?yàn)楦咭?、高二及高三年?jí)分別有學(xué)生1000人、人、人，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為人的樣本，則高一、高二及高三年級(jí)分別抽人，人，人，抽出的高一、高二及高三年級(jí)學(xué)生的平均身高為、、，所以該校學(xué)生的平均身高為.故選：B3．B【分析】記另3名同學(xué)分別為a，b，c，應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】記另3名同學(xué)分別為a，b，c，所以基本事件為，，（a，小王），（a，小張），，（b，小王），（b，小張），（c，小王），（c，小張），（小王，小張），共10種．小王和小張都沒(méi)有被挑出包括的基本事件為，，，共3種，綜上，小王和小張都沒(méi)有挑出的概率為．故選：B.4．C【分析】直接讀圖讀出對(duì)應(yīng)百分比，依此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖知女生中喜歡理科的比為，男生不喜歡理科的比為，因此性別與喜歡理科有關(guān)，故①②④正確.故選：C.5．B【分析】根據(jù)斜二測(cè)的性質(zhì)還原圖形，再由勾股定理即可求解.【詳解】解：還原四邊形，如圖所示：依題意可得：．取的中點(diǎn)，連接，則，且，故.故選：B.6．D【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：，，因此第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)123.故選：D．7．C【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球包括一個(gè)黑球一個(gè)白球和兩個(gè)黑球兩種情況，與都是黑球不互斥，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，至少有一個(gè)白球包括一個(gè)白球一個(gè)黑球和兩個(gè)白球兩種情況，與至少有一個(gè)黑球不互斥，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，恰好有一個(gè)黑球、恰好有兩個(gè)黑球還有恰好沒(méi)有黑球這種情況，所以互斥但不對(duì)立，故C正確；D選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球和都是白球互斥且對(duì)立，故D錯(cuò).故選：C.8．B【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，因底面邊長(zhǎng)均為，側(cè)棱長(zhǎng)均為，故球心在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，由正弦定理，解得，在中，，則，在中，由，解得，則球的表面積為.故選：B.9．ABC【分析】ABC選項(xiàng)，由極差，百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)圖形及方差的意義得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10年的糧食年產(chǎn)量極差為，故A正確；B選項(xiàng)，，結(jié)合A選項(xiàng)可知第65百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)33，故B正確；C選項(xiàng)，從小到大，選取第5個(gè)和第6個(gè)的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為，故C正確；D選項(xiàng)，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動(dòng)小于后5年的糧食產(chǎn)量波動(dòng)，所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10．BD【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，，則或與異面，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，B正確；對(duì)于C，若，，且，則或與相交，故C不正確；對(duì)于D，若，，則，過(guò)作平面，使得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?故D正確.

故選：BD11．ACD【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理可判斷C，由外接球的球心在中點(diǎn)，利用球的體積可求出，據(jù)此求出可判斷B，再由勾股定理求出判斷A，利用等體積法可求出E到平面PCD的距離判斷D.【詳解】如圖，則平面ADE⊥平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，是交線，AD⊥AB，平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，因?yàn)槠矫鍭DE，則平面ADE⊥平面PAB，又因?yàn)槠矫鍼AB，所以AD⊥AP，又因?yàn)镻A⊥AC，，平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，故AD，AB，AP兩兩垂直，所以是以AD，AB，AP為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，故側(cè)棱PC為球O的直徑，由，解得，所以，解得，則，，故.由，平面，所以AB⊥平面APD又因?yàn)?，所以CD⊥平面APD，因?yàn)槠矫鍭PD，所以CD⊥PD，由勾股定理得.設(shè)點(diǎn)E到平面PCD的距離為d，由，可知，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，則，且，由，得，解得.綜上，ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD12．【分析】根據(jù)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，，的方差為6，所以數(shù)據(jù)，，，，的方差為：.故答案為：13．2【分析】根據(jù)相似可得雨水的截面圓半徑，根據(jù)圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，因?yàn)閳A錐內(nèi)水的深度為24mm，已知圓錐的高為48mm，由相似得雨水的截面半徑為，由定義，日降雨量為.故答案為：214．【分析】首先作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的平面，進(jìn)而可得截面形狀為正六邊形，再求面積即可得答案.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，可證平面平面，則存在過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，正六邊形是平面截該正方體得到的截面，截面的面積是，故選：C.

15．(1)見(jiàn)解析(2),(3)【分析】（1）通過(guò)列舉法寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）（3）結(jié)合（1）所求的樣本空間，利用古典概型的概率公式逐一求解即可．【詳解】（1）該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；（2）記：“取出的鞋都是一只腳的”,，,，,，,，,，,，，；記“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，,,,，,，,，,，，，（3）記“取出的鞋不成雙”，由（1）得，，,，,，，，；16．(1)，參加競(jìng)賽的同學(xué)成績(jī)的第30百分位數(shù)估計(jì)為(2)，【分析】（1）根據(jù)在頻率直方圖所有小矩形的面積之和為，結(jié)合第30百分位數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)由部分平均數(shù)、方差求總體平均數(shù)和方差的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)樵陬l率直方圖所有小矩形的面積之和為，所以，于是有，因?yàn)?，所以參加?jìng)賽的同學(xué)成績(jī)的第30百分位數(shù)估計(jì)在60,70，設(shè)為，于是有；（2）成績(jī)?cè)?0,90和成績(jī)?cè)?0,100內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為，所以有，.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由正方體的結(jié)構(gòu)特征得到，，再由線面平行及面面平行的判定證面面，最后利用面面平行的性質(zhì)定理即得結(jié)論；（2）利用棱錐的體積公式求體積即可.【詳解】（1）連接，由正方體的性質(zhì)易得，，由面，面，則面，由面，面，則面，因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，則面面，由于面，故平面.（2）由正方體結(jié)構(gòu)特征，易知三棱錐的底面為等腰且高為，所以三棱錐的體積.18．(1)，117.8(2).【分析】（1）計(jì)算，再利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)；（2）計(jì)算得到兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人，設(shè)兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為，物理成績(jī)不是“優(yōu)”的同學(xué)為，列出所有情況，統(tǒng)計(jì)滿足條件的情況，得到概率.【詳解】（1）依題意，，，解得，所以數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分：；（2）數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)有人，物理成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”有5人，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，則兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人.設(shè)兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為，物理成績(jī)不是“優(yōu)”的同學(xué)為，則從4人中隨機(jī)抽取2人的所有情況有：，符合題意的情況有：，故兩人恰好均為物理成績(jī)“優(yōu)”的概率.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)30°；(3)存在，.【分析】(1)首先根據(jù)已知條件并結(jié)合線面垂直的判定定理證明平面，再證明即可求解；(2)根據(jù)(1)中結(jié)論