《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第5章

第5章定積分及其應(yīng)用

5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分基本定理5.3定積分的計(jì)算方法5.4無(wú)限區(qū)間上的廣義積分5.5定積分的應(yīng)用

5.1定積分的概念與性質(zhì)

5.1.1實(shí)際背景問(wèn)題

引例1(校園花壇面積問(wèn)題)某校園有一個(gè)橢圓花壇如圖5-1所示，已測(cè)得花壇邊界最長(zhǎng)距離為20米，最短距離為10米，試計(jì)算花壇的面積.

如圖5-1所示的圖形，由于不是規(guī)則圖形，所以它的面積不能用學(xué)過(guò)的規(guī)則圖形的面積公式直接求解.

如圖5-2所示的圖形面積也不能用以前的面積公式計(jì)算.

觀察圖5-2所示的圖形發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積是兩個(gè)曲邊四邊形面積之差.這兩個(gè)曲邊四邊形都是三條邊是直線，并且兩條垂直于第三條，而第四條邊是曲線段，這樣的圖形我們稱為曲邊梯形.下面研究曲邊梯形的面積.圖5-1圖5-2

1.求曲邊梯形的面積

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上非負(fù)、連續(xù)，由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形，如圖5-3所示.圖5-3由函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)可知，當(dāng)區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度很小時(shí)，f(x)的改變量很小，這時(shí)曲邊梯形的面積可用矩形面積近似替代，由此啟發(fā)我們把區(qū)間[a，b]劃分為若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用同底的小矩形面積近似代替對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積，如圖5-3所示，顯然，小矩形越多，小矩形面積總和越接近曲邊梯形面積.為此我們采用以下步驟：

(1)分割：在區(qū)間[a，b]內(nèi)插入分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把區(qū)間[a，b]任意分成n個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]，長(zhǎng)度記為Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n).

(2)近似：在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi，第i個(gè)小曲邊梯形的面積近似為

Ai≈f(ξi)fΔxi(i=1，2，…，n)

(3)求和：將n個(gè)小矩形的面積相加，得到曲邊梯形面積的近似值

(4)取極限：當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}趨近于零(λ→0)時(shí)，小矩形的面積之和趨近于曲邊梯形面積，故有

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

引例2已知變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0，計(jì)算物體在時(shí)間區(qū)間[T1,T2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S.

由于速度v=v(t)連續(xù)，思路與引例1類似：

(1)分割：在時(shí)間區(qū)間[T1，T2]內(nèi)插入分點(diǎn)T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，把區(qū)間[T1，T2]任意分成n個(gè)小區(qū)間[ti－1，ti]，記Δti=ti－ti－1(i=1，2，…，n).

(2)近似：物體在時(shí)間區(qū)間[ti－1,ti]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為

si≈v(τi)Δti，τi∈[ti－1，ti](i=1，2，…，n)

(3)求和：物體在時(shí)間區(qū)間[T1,T2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為

(4)取極限：記λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，則物體所經(jīng)過(guò)的路程為5.1.2定積分的定義

5.1.1節(jié)中的兩個(gè)引例雖然研究的對(duì)象不同，但解決問(wèn)題的思路和數(shù)學(xué)過(guò)程完全相同，抓住它們的共性加以概括，可抽象出如下定義.

定義5.1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，在區(qū)間[a，b]中任意插入分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把區(qū)間[a，b]分成一些小區(qū)間[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn－1，xn]，記Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n)，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，在每個(gè)小區(qū)間上任取ξi∈[xi－1，xi]，作乘積的和式，如果

存在，則稱f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，其極限值稱為f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記為

其中:f(x)稱為被積函數(shù);f(x)dx稱為被積表達(dá)式;x稱為積分變量;a稱為積分下限;b稱為積分上限;[a，b]稱為積分區(qū)間.

如果

不存在，則稱f(x)在區(qū)間[a，b]上不可積.

由定積分的定義可知，前面討論的兩個(gè)引例可分別用定積分表示如下：

(1)曲邊梯形的面積：.(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：對(duì)于定積分的概念，說(shuō)明如下：

(1)定積分的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與區(qū)間[a，b]的分法、點(diǎn)ξ

i的取法及積分變量的記號(hào)均無(wú)關(guān)，即

(2)定義中要求a<b，為方便起見，允許b≤a，并規(guī)定

(3)可積的條件：若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f(x)在[a，b]上可積.(證明略)

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)部都是可積的.5.1.3定積分的幾何意義

(1)若f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(x)≥0，則表示曲邊梯形的面積，即

如圖5-4中陰影部分的面積可表示為圖5-4

(2)若f(x)在區(qū)間[a，b]上有f(x)≤0，則表示曲邊梯形的面積的相反數(shù)，即

(3)若在[a，b]上f(x)有正有負(fù)，則等于[a，b]

上位于x軸上方的圖形面積減去x軸下方的圖形面積.例如，圖5-5中有

其中，A1、A2、A3分別是圖5-5中對(duì)應(yīng)圖形的面積.圖5-55.1.4定積分的性質(zhì)

假設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)可積，根據(jù)定積分的定義可得如下性質(zhì).

性質(zhì)1

被積函數(shù)的常量因子可提到積分號(hào)之前，即

性質(zhì)2

函數(shù)的代數(shù)和可逐項(xiàng)積分，即

這個(gè)性質(zhì)可推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定積分.

性質(zhì)3(積分的可加性)對(duì)任意的a≤c≤b，有

注時(shí)，結(jié)論仍成立，如圖5-6和圖5-7所示.圖5-6圖5-7性質(zhì)4

如果f(x)在區(qū)間[a，b]上恒等于1，則.

性質(zhì)5(積分的比較性質(zhì))在[a，b]上，若有f(x)≤g(x)，則

推論5.1

性質(zhì)6(估值定理)設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最小值、最大值分別記為m和M，則

估值定理的幾何意義：由連續(xù)曲線y=f(x)和直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積介于以b－a為底、以最小值m及最大值M為高的兩個(gè)矩形面積之間，如圖5-8所示.圖5-8性質(zhì)7(積分中值定理)如果f(x)在[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得

積分中值定理的幾何意義：由連續(xù)曲線y=f(x)和直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以b－a為底、以某一點(diǎn)ξ∈(a，b)處的函數(shù)值f(ξ)為高的矩形的面積，如圖5-9所示.通常我們把稱為f(x)在[a，b]上的平均值.

例1

比較定積分和的大小.

解因?yàn)?/2≤x≤1，所以x10≤x8，故由定積分性質(zhì)5可得例2

估計(jì)定積分的取值范圍.

解令f(x)=ln(1+x2)，則

所以f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，于是

0=f(0)≤f(x)≤f(1)=ln2

故由定積分性質(zhì)6可得

5.2微積分基本定理

5.2.1變上限的定積分

定義5.2

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，x∈[a，b]，則定積分

是x的函數(shù)，稱為變上限的定積分或變上限(積分)函數(shù).

對(duì)于函數(shù)Φ(x)，有如下重要性質(zhì).

定理5.1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則變上限積分函數(shù)Φ(x)=∫xaf(t)dt在[a，b]上可導(dǎo)，且

Φ′(x)=f(x)，x∈[a，b]證明給自變量x以增量Δx，則函數(shù)增量

根據(jù)積分中值定理得

ΔΦ=f(ξ)Δx(ξ在x與x+Δx之間)

則當(dāng)Δx→0時(shí)，ξ→x，且f(x)在[a，b]上連續(xù)，于是

故證得

Φ′(x)=f(x)

由定理5.1可知，函數(shù)Φ(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，從而有以下推論.

推論連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)解

(1)

(2)

可以看作是、

構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得一般地，有(3)由于所以

Φ′(x)=－xarctanx

例2

計(jì)算

.

解這是一個(gè)“0/0”型的未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則，得5.2.2微積分基本定理

定理5.2

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則有

∫baf(x)dx=F(b)－F(a)

該式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓-萊布尼茲公式.

證明由定理5.1得，Φ′(x)=f(x)，而F′(x)=f(x)，所以

∫xaf(t)dt=F(x)+C(a≤x≤b)

在上式中，令x=a，可得C=－F(a)，將其代入上式，有

∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)

再令x=b，并把積分變量t換成x，便得到

∫baf(x)dx=F(b)－F(a)

定理5.1和定理5.2揭示了微分與積分以及定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此定理5.1和定理5.2統(tǒng)稱為微積分基本定理.為方便表示，通常記F(b)－F(a)為F(x)|ba，于是，微積分基本公式可寫成例3

計(jì)算∫10x2dx.

解由于1/3x3是x2的一個(gè)原函數(shù)，所以例4

計(jì)算.

解因?yàn)?arctanx)′=1/(1+x2)，所以例5

求∫02π|sinx|dx.解因?yàn)?/p>

5.3定積分的計(jì)算方法

5.3.1定積分的換元積分法

定理5.3

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，作變量替換x=φ(t)，如果

(1)函數(shù)x=φ(t)在[α，β]上可導(dǎo)連續(xù)；

(2)當(dāng)t在[α，β]上單調(diào)變化時(shí)，x在[a，b]內(nèi)相應(yīng)變化，且φ(α)=a，φ(β)=b，則有該式稱為定積分的換元積分公式.

在應(yīng)用定積分的換元積分公式時(shí)須注意：

(1)該公式從右向左應(yīng)用，相當(dāng)于不定積分的第一類換元積分法(湊微分法).一般不用設(shè)出新變量，這時(shí)原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就可以直接應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的值.

(2)該公式從左向右應(yīng)用，相當(dāng)于不定積分的第二類換元積分法.計(jì)算時(shí)，需用x=φ(t)把原積分變量x換成新積分變量t，同時(shí)原積分區(qū)間[a，b]相應(yīng)換成新積分區(qū)間[α，β]，即

換元必須同時(shí)換限，上限對(duì)應(yīng)上限，下限對(duì)應(yīng)下限.例5

計(jì)算.

解設(shè)f(x)=x3cosx，顯然這是一個(gè)奇函數(shù)，利用上例結(jié)果可得5.3.2定積分的分部積分法

定理5.4

如果u=u(x)、v=v(x)在[a，b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

即定積分的分部積分公式.

證明因?yàn)閡=u(x)、v=v(x)在[a，b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以

d(uv)=udv+vdu

在上式兩邊取區(qū)間[a，b]上的定積分，可得即移項(xiàng)，得

例8

計(jì)算

解

5.4無(wú)限區(qū)間上的廣義積分

在前面幾節(jié)所學(xué)習(xí)的定積分中，我們研究的對(duì)象是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，但在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)遇到無(wú)限區(qū)間上的積分，這樣的積分稱為無(wú)限區(qū)間上的廣義積分，以前定義的定積分稱為常義積分.

引例求曲線y=1/x2(x≥1)與直線x=1及x軸圍成的開口圖形(見圖5-10)的面積.圖5-10解如圖5-10所示，任取b>1，則在區(qū)間[1，b]上對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為∫b1(1/x2)dx，從而所求開口圖形的面積為

定義5.3

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，任取b>a，我們稱極限

為函數(shù)f(x)在[a，+∞)上的廣義積分，記作若

存在，則稱此廣義積分收斂，否則稱此廣義積分發(fā)散.

類似地，可定義在(－∞，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的廣義積分：在(－∞，+∞)上連續(xù)函數(shù)f(x)的廣義積分：

為了書寫方便，在計(jì)算中可省去極限符號(hào)，記為其中f(x)=F′(x)，F(xiàn)(±∞)應(yīng)理解為極限運(yùn)算.如例2中的計(jì)算可簡(jiǎn)化為

5.5定積分的應(yīng)用

5.5.1定積分的幾何應(yīng)用

1.求平面圖形的面積

(1)由區(qū)間[a，b]上的連續(xù)曲線y=y1(x)、y=y2(x)與直線x=a、x=b圍成的平面圖形(如圖5-11所示)的面積公式為

(2)由區(qū)間[c，d]上的連續(xù)曲線x=x1(y)、x=x2(y)以及直線y=c、y=d圍成的平面圖形(如圖5-12所示)的面積公式為圖5-11圖5-12例1

求橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的面積.

解如圖5-13所示，

選取x為積分變量，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，所求面積為圖5-13令x=asint，則dx=acostdt.當(dāng)x=0時(shí)，t=0;當(dāng)x=a時(shí)，t=π/2.于是因此，橢圓的面積為S=πab.當(dāng)a=b=R時(shí)，得圓的面積公式S=πR2.

例2

計(jì)算拋物線y2=2x與直線x－y=4所圍成的平面圖形的面積.

解方法1:如圖5-14所示，聯(lián)立方程組，求出兩條曲線的交點(diǎn)(2，－2)和(8，4)，選取y為積分變量，則y∈[－2，4]，所求面積為圖5-14方法2:選取x為積分變量，則x∈[0，8].由于下邊界是分段曲線，故用直線x=2將圖形分成兩部分，左側(cè)圖形的面積為右側(cè)圖形的面積為故所求圖形的面積為例3

求曲線y=sinx與y=cosx(x∈[0，π])所圍成的平面圖形的面積.

解如圖5-15所示，曲線y=sinx與y=cosx的交點(diǎn)為,因此所求面積為

2.用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積

由連續(xù)曲線y=f(x)≥0和x軸及直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體，如圖5-16所示，在點(diǎn)x處其垂直于x軸的截面為圓，截面面積S(x)=π[f(x)]2，故旋轉(zhuǎn)體的體積公式為

類似地，由連續(xù)曲線x=g(y)≥0和y軸及直線y=c、y=d(c<d)所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體(見圖5-17)的體積公式為圖5-16圖5-17例4

求拋物線y=x2+1和x軸及直線x=0、x=2所圍成的平面圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一