《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第1章

第1章函數(shù)與極限1.1函數(shù)1.2常見的經(jīng)濟函數(shù)1.3極限的概念1.4極限的運算1.5函數(shù)的連續(xù)性

1.1函數(shù)

1.1.1函數(shù)的概念

1.常量與變量

在日常生活中，經(jīng)常會遇到不同的量，如收入、成本、產(chǎn)量、身高、路程、某一班級的學(xué)生人數(shù)等，這些量可以分為兩類:一類是在考察的過程中不發(fā)生任何變化，只取一個固定的值，我們把這類量稱為常量，如圓周率π是個永遠(yuǎn)不變的量，某一階段某個班級的學(xué)生人數(shù)也是一個常量；另一類是在考察的過程中不斷地發(fā)生變化，取不同的數(shù)值，我們把這類量稱為變量，如汽車行駛過程中的路程、一天中的氣溫等都是不斷變化的，這些都是變量.

2.函數(shù)的定義

引例1

設(shè)圓的半徑為r，面積為S，于是面積S與半徑r之間的關(guān)系為

S=πr2，r>0

引例2

某企業(yè)生產(chǎn)某一產(chǎn)品的固定成本為5000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加20元，于是生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本C與產(chǎn)量q間的關(guān)系可以表示為

C=20q+5000

以上兩例都給出了兩個變量在某一變化過程中的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)一個變量取一定值時，另一個變量有唯一確定的值與之對應(yīng).在數(shù)學(xué)上，我們將這種變量間的對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系.定義1.1

設(shè)x和y是兩個變量，D是一個給定的非空數(shù)集，如果對于D中的每一個x，變量y按照某一法則f，總有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)，記作

y=f(x)，x∈D

其中:x稱為自變量;y稱為因變量;非空數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域.

對于定義域D中的某一確定值x0，按照對應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y0與之對應(yīng)，這個y0稱為函數(shù)y=f(x)在x0處的函數(shù)值，記作f(x0)或

.

函數(shù)值的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)的值域，記作M，即

M={y|y=f(x)，x∈D}

例1

函數(shù)y=x+1與是否為相同函數(shù)？

解函數(shù)y=x+1的定義域為(－∞，+∞)，而函數(shù)雖然可以整理為y=x+1，但是其在x=1時無意義，故定義域為(－∞，1)∪(1，+∞)，因此它們不是相同函數(shù).

例2

設(shè)f(x+1)=x2－3x，求f(x).

解令x+1=t，則x=t－1，于是

f(t)=(t－1)2－3(t－1)=t2－5t+4

所以

f(x)=x2－5x+4

在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用區(qū)間來表示函數(shù)的定義域和值域，現(xiàn)介紹一種特殊的區(qū)間——鄰域.

把開區(qū)間(x0－δ，x0+δ)(δ>0)稱為以點x0為中心、δ為半徑的鄰域，記作N(x0，δ)，如圖1-1所示.圖1-1把開區(qū)間(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)(δ>0)稱為以點x0為中心、δ為半徑的去心鄰域，記作，如圖1-2所示.圖1-2例3

求下列函數(shù)的定義域:

(1)；

(2)f(x)=arccos(2x－1)；

(3)

解

(1)這是兩個函數(shù)之和的定義域，先分別求出每個函數(shù)的定義域，然后再求其公共部分即可.

要使函數(shù)有意義，必須滿足x2－x－2≥0，解得x≤－1或x≥2，即定義域為(－∞，－1］∪［2，+∞).

要使函數(shù)有意義，必須滿足x+2>0，解得x>－2，即定義域為(－2，+∞).

于是，所求函數(shù)的定義域為(－2，－1］∪［2，+∞).

(2)要使arccos(2x－1)有意義，必須滿足－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，即函數(shù)的定義域為[0，1)].

(3)要使函數(shù)ln(x+2)/x+1有意義，必須滿足，解得－2<x<－1和－1<x<+∞，即函數(shù)的定義域為(－2，－1)∪(－1，+∞).

注在實際應(yīng)用問題中，除了要根據(jù)函數(shù)解析式本身來確定自變量的取值范圍外，還應(yīng)考慮變量的實際意義.一般來講，經(jīng)濟變量往往都大于零.

3.函數(shù)的表示方法

常用函數(shù)的表示方法通常有以下三種：

(1)解析法:把自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系由數(shù)學(xué)表達(dá)式給出，便于理論研究.

微積分中的絕大部分函數(shù)都是用這種方法表示的，如y=x2－x+2.

(2)圖像法:把函數(shù)關(guān)系用平面上的點集反映出來，一般情況下，它是一條平面曲線.如圖1-3所示的是氣象站的自動溫度記錄儀所記錄的某地當(dāng)天的氣溫變化曲線，該曲線將氣溫T與時間x的函數(shù)關(guān)系清晰直觀地表示出來，如x=12時，T=10℃.圖1-3

(3)表格法:把變量間的函數(shù)關(guān)系通過表格形式反映出來.如表1-1給出了2014年3月開始執(zhí)行的中國銀行的人民幣定期儲蓄存期與年利率的函數(shù)關(guān)系.

表1-1

4.分段函數(shù)

某城市電話局規(guī)定的市話收費標(biāo)準(zhǔn)如下：當(dāng)月所打電話次數(shù)不超過30次時，只收月租費10元，超過30次時，每次加收0.20元，則電話費y和用戶當(dāng)月所打電話次數(shù)x的關(guān)系可表示如下：像這種在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)關(guān)系用不同的式子來表示的函數(shù)，通常稱為分段函數(shù).分段函數(shù)是微積分中常見的一種函數(shù).例如，符號函數(shù)(如圖1-4所示)可以表示成

注

(1)分段函數(shù)是用幾個不同解析式表示一個函數(shù)，而不是表示幾個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集.圖1-4例4

設(shè)函數(shù)求f(－π)、f(1)、f(5)及函數(shù)的定義域.解因為－π∈[－4，1)，所以f(－π)=cos(－π)=－1.因為1∈[1，3)，所以f(1)=2.因為5∈[3，+∞)，所以f(5)=5×5－1=24.函數(shù)的定義域為[－4，+∞).1.1.2函數(shù)的幾種特性

1.函數(shù)的有界性

定義1.2

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，如果存在一個正數(shù)M，使得對于任意x∈(a，b)，恒有|f(x)|≤M，則稱函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有界;否則，稱f(x)在(a，b)內(nèi)無界.

這個性質(zhì)表明函數(shù)在(a，b)內(nèi)的值域包含在有限區(qū)間

[－M，M]內(nèi)，幾何上表現(xiàn)為，函數(shù)圖像位于直線y=－M和y=M之間的區(qū)域內(nèi).如圖1-5所示的函數(shù)y在區(qū)間(a，b)內(nèi)有界.圖1-5

2.函數(shù)的單調(diào)性

定義1.3

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于I上任意兩點x1、x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增的(如圖1-6所示)；反之，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的(如圖1-7所示).圖1-6圖1-7單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.

例如:函數(shù)y=x2在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的，在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)則是單調(diào)遞減的，但在定義域(－∞，+∞)內(nèi)則不具單調(diào)性(如圖1-8所示);函數(shù)y=x3在區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的(如圖1-9所示).圖１－８圖１－９

3.函數(shù)的奇偶性

定義1.4

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱，如果對于任一x∈D，恒有f(－x)=f(x)成立，則稱f(x)為偶函數(shù)；如果恒有f(－x)=－f(x)成立，則稱f(x)為奇函數(shù).

例如:y=cosx是偶函數(shù)，因為f(－x)=cos(－x)=cosx=f(x);y=sinx是奇函數(shù)，因為f(－x)=sin(－x)=－sinx=－f(x).

注偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱(如圖1-8所示)，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱(如圖1-9所示).例5

求證：在(－∞，+∞)內(nèi)，

為奇函數(shù).

證明因為所以

為奇函數(shù).

4.函數(shù)的周期性

定義1.5

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零正數(shù)T，滿足：對于任一x∈D，恒有

f(x+T)=f(x)

則f(x)稱為周期函數(shù)，T稱為f(x)的周期.通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期.

例如:函數(shù)y=sinx、y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù)，而函數(shù)y=tanx、y=cotx都是以π為周期的周期函數(shù).

周期函數(shù)在每個周期長度為T的區(qū)間上，具有相同的圖形形狀.1.1.3反函數(shù)

定義1.6

設(shè)y=f(x)是x的函數(shù)，定義域為D，值域為M，如果對于值域M中的每一個y，按照某種對應(yīng)法則f－1，在定義域D中都有唯一的x值與之對應(yīng)，則得到一個定義在M上，以y為自變量、x為因變量的新函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的反函數(shù)，記作

x=f－1(y).

顯然，y=f(x)與x=f－1(y)互為反函數(shù)，并且它們的定義域和值域互換.習(xí)慣上，我們總是用x表示自變量，用y表示因變量，因此通常把函數(shù)x=f－1(y)改寫為

y=f－1(x).

注單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，并且函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱.1.1.4基本初等函數(shù)

微積分學(xué)研究的主要對象是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是由六類基本初等函數(shù)構(gòu)成的.基本初等函數(shù)包括常函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)六大類，這些大部分在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，這六類基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、基本性質(zhì)見表1-2.定義1.7

把正弦函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間

上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，其定義域為[－1，1]，值域為

.

顯然，y=arcsinx表示了一個正弦值等于x的角，與正弦y=sinx相反，這里自變量x表示正弦值，而y則表示了一個在閉區(qū)間

上的角.例如，表示了正弦值為的角，由于

，所以

.

反正弦y=arcsinx是閉區(qū)間[－1，1]上的單調(diào)遞增有界函數(shù)，且arcsin(－x)=－arcsinx.類似地，我們有如下幾類反三角函數(shù)的定義.定義1.8

把余弦函數(shù)y=cosx在閉區(qū)間[0，π]上的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，其定義域為[－1，1]，值域為[0，π].

反余弦y=arccosx是閉區(qū)間[－1，1]上的單調(diào)遞減有界函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，且有arccos(－x)=π－arccosx.

定義1.9

把正切函數(shù)y=tanx在開區(qū)間

內(nèi)的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記作y=arctanx，其定義域為(－∞，+∞)，值域為

.

反正切y=arctanx是開區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)的單調(diào)遞增有界函數(shù)，且arctan(－x)=－arctanx.定義1.10

把余切函數(shù)y=cotx在開區(qū)間(0，π)內(nèi)的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx，其定義域為(－∞，+∞)，值域為(0，π).

反余切y=arccotx是開區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)的單調(diào)遞減有界函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，且有arccot(－x)=π－arccotx.1.1.5復(fù)合函數(shù)

在經(jīng)濟管理活動和工程技術(shù)領(lǐng)域中，許多函數(shù)往往比較復(fù)雜.例如，企業(yè)的產(chǎn)品收入R是產(chǎn)量Q的函數(shù)，而產(chǎn)量Q又是時間t的函數(shù)，于是時間t通過產(chǎn)量Q間接影響收入R，則收入R構(gòu)成時間t的函數(shù)，這種函數(shù)就是復(fù)合函數(shù).

定義1.11

設(shè)函數(shù)y=f(u)、u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定義域中，則y通過中間變量u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，記作

y=f[φ(x)]

其中，x是自變量，u稱為中間變量.

例如，y=eu、u=sinx可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=esinx.例6

已知

，u=x－1，將y表示成x的函數(shù).

解因為

的定義域為u∈[0，+∞)，u=x－1的值域為u∈(－∞，+∞)，因此可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).將u=x－1代入，可得

例7指出下列復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的:

(1)y=sin2x；

(2)y=lncosx；

(3)

.

解

(1)令u=sinx，則y=sin2x是由y=u2、u=sinx復(fù)合而成的.

(2)令u=cosx，則y=lncosx是由y=lnu、u=cosx復(fù)合而成的.

(3)令u=arctanx2，則y=eu.令v=x2，則u=arctanv.

因此y=earctanx2是由y=eu、u=arctanv、v=x2復(fù)合而成的.1.1.6初等函數(shù)

定義1.12

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或者有限次的復(fù)合而構(gòu)成的，并且能用一個解析式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).

例如，y=5x+sinx，y=x3arccosx，，

等都是初等函數(shù).

須指出，分段函數(shù)大多情形下不能用一個解析式表示出來，因而一般不是初等函數(shù)，但也有例外.如分段函數(shù)

，可以改寫成y=|x|，所以它還是初等函數(shù).

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算而得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).初等函數(shù)的分解往往是對簡單函數(shù)來說的.例8

指出下列初等函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)和簡單函數(shù)構(gòu)成的:

(1)

(2)

解

(1)令u=x2+x－3，則.因此

是由

和u=x2+x－3構(gòu)成的.

(2)令

，則y=arctanu.因此是由y=arctanu和

構(gòu)成的.

1.2常見的經(jīng)濟函數(shù)

1.2.1需求函數(shù)與供給函數(shù)

1.需求函數(shù)

“需求”是指在一定的價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品數(shù)量.消費者對某種商品的需求往往是由多種因素決定的，如消費者的收入、其他替代商品的價格等都會影響需求，其中，商品的價格是影響需求的一個主要因素.現(xiàn)在不考慮價格以外的其他因素，只研究需求與價格間的關(guān)系.

設(shè)P表示商品價格，Q表示需求量，需求量Q與商品價格P間的函數(shù)關(guān)系為Q=f(P)，這個函數(shù)就稱為需求函數(shù).從需求的特征來看，需求函數(shù)一般是單調(diào)遞減函數(shù)：商品的價格低，需求量大；商品的價格高，需求量小.

常見的需求函數(shù)有如下幾種：

(1)線性函數(shù)Q=a－bP(a>0，b>0)；

(2)二次函數(shù)Q=a－bP－cP2(a>0，b>0，c>0)；

(3)指數(shù)函數(shù)Q=ae－bP(a>0，b>0).

需求函數(shù)Q=f(P)的反函數(shù)稱為價格函數(shù)，記作P=f－1(Q).例1

市場上某種襯衫的銷售量Q是價格P的線性函數(shù).當(dāng)價格P為50元/件時，可售出1500件；當(dāng)價格P為60元/件時，可售出1200件.試求襯衫的需求函數(shù)和價格函數(shù).

解設(shè)需求函數(shù)為Q=a－bP，依題意有

解之，得

a=3000，b=30

故所求需求函數(shù)為

Q=3000－30P

這時，價格函數(shù)為

2.供給函數(shù)

“供給”是指在一定的價格條件下，生產(chǎn)者或企業(yè)愿意出售并且能夠出售的商品數(shù)量.

某種商品的供給量也是由多種因素決定的，如生產(chǎn)中的投入成本、技術(shù)狀況等.這里略去價格以外的其他因素，只討論供給量Q與價格P間的函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)稱為供給函數(shù)，記作

Q=φ(P)

從供給的特征來看，供給函數(shù)一般是單調(diào)遞增函數(shù)：商品價格低，生產(chǎn)者不愿生產(chǎn)，供給減少；商品價格高，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)，供給增加.常見的供給函數(shù)有如下幾種：

(1)線性函數(shù)Q=aP－b(a>0，b>0)；

(2)二次函數(shù)Q=－a+bP+cP2(a>0，b>0，c>0)；

(3)指數(shù)函數(shù)Q=aekP－b(a>0，b>0，k>0).

例2

當(dāng)雞蛋收購價格為6元/千克時，某收購站每月能收購5000千克；當(dāng)收購價格為6.2元/千克時，每月能收購5500千克.試求雞蛋的線性供給函數(shù).

解設(shè)雞蛋的線性供給函數(shù)為Q=aP－b，依題意有解之，得

a=2500，b=10000

故所求供給函數(shù)為

Q=2500P－10000

3.二者間的關(guān)系

需求函數(shù)和供給函數(shù)可以幫助我們分析市場規(guī)律，二者關(guān)系密切.當(dāng)市場上某種商品的需求量與供給量相等時，需求與供給之間達(dá)到某種均衡，這時的商品價格和需求量(供給量)分別稱為均衡價格和均衡數(shù)量.如圖1-10所示，若把需求曲線和供給曲線畫在同一坐標(biāo)系中，由于需求曲線是單調(diào)遞減的，供給曲線是單調(diào)遞增的，所以二者將交于一點(P0，Q0)，這里的P0、Q0分別就是均衡價格和均衡數(shù)量.

例3

設(shè)某商品的供給函數(shù)為Q=(1/3)P－2，需求函數(shù)為Q=40－(2/3)P，試求該商品處于市場平衡狀態(tài)下的均衡價格和均衡數(shù)量.

解在市場平衡狀態(tài)下，供給量與需求量相等，故有圖1-10

解之，得

P=42

將P=42代入Q=(1/3)P－2中，解得

Q=12

故在市場平衡狀態(tài)下的均衡價格和均衡數(shù)量分別為42和12.1.2.2總成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)

1.總成本函數(shù)

總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所消耗的經(jīng)濟資源(勞動力、設(shè)備、原材料等)或費用的總和.總成本包括固定成本和可變成本兩部分.固定成本是指與產(chǎn)量無關(guān)的成本，如設(shè)備維修、場地租賃等費用，用C0表示；可變成本是指隨產(chǎn)量變化而變化的成本，如原材料、勞動力等費用，用C1(Q)表示.總成本即表示為C(Q)=C0+C1(Q).

平均成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品時，每單位數(shù)量產(chǎn)品的平均成本，即平均成本函數(shù)為例4

設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為

C=5000+(Q2/4)

求生產(chǎn)200個單位產(chǎn)品時的總成本和平均成本.

解依題意知，生產(chǎn)200個單位產(chǎn)品時的總成本為

C=5000+(2002/4)=15000

這時的平均成本為

2.收益函數(shù)

總收益是指生產(chǎn)者銷售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得到的全部收入.設(shè)P為商品價格，Q為商品銷售量，則總收益函數(shù)為R(Q)=PQ.平均收益是指銷售一定數(shù)量的商品時，每單位數(shù)量的商品所得的平均收入，記作，即每單位商品的售價.

例5

設(shè)某商品的銷售價格(單位：元)與銷售量間的關(guān)系為P=60－(Q/1000)，求銷售量為1000時的總收益和平均收益.

解由于總收益函數(shù)為所以，當(dāng)銷售量為1000時的總收益為

平均收益為

3.利潤函數(shù)

利潤是衡量企業(yè)經(jīng)濟效益的一個重要指標(biāo).一般地，利潤是銷量Q的函數(shù)，且利潤函數(shù)等于收益函數(shù)與成本函數(shù)之差，即L(Q)=R(Q)－C(Q).

例6

某商品的總成本函數(shù)為C(Q)=100－5Q+Q2(單位：百元)，若該商品的銷售單價為25百元，試求：

(1)該商品的利潤函數(shù)；

(2)生產(chǎn)10件該商品時的總利潤；

(3)生產(chǎn)30件該商品時的總利潤.

解

(1)由于總收益函數(shù)為R(Q)=25Q，所以利潤函數(shù)為

L(Q)=－Q2+30Q－100

(2)生產(chǎn)10件該商品時的總利潤為L(10)=100百元.

(3)生產(chǎn)30件該商品時的總利潤為L(30)=－100百元.一般情形下，收入是銷售量的增函數(shù)，但由例6可以看出，利潤并不總是隨著銷售量的增加而增加的.

生產(chǎn)某種商品的總成本是產(chǎn)量Q的增函數(shù)，但是商品的需求量Q由于受到商品價格、消費者的收入水平等諸多社會因素的影響，往往不總是增加的.換句話說，對于某種商品而言，銷售的總收益R(Q)有時會顯著增加，有時會明顯減少，甚至達(dá)到頂點，如果此時繼續(xù)銷售，利潤反而下降.因此，利潤函數(shù)往往有三種情形：

(1)L(Q)=R(Q)－C(Q)>0，此時稱為有盈余生產(chǎn)，即生產(chǎn)處于有利潤狀態(tài)；

(2)L(Q)=R(Q)－C(Q)<0，此時稱為虧損生產(chǎn)，即生產(chǎn)處于虧損狀態(tài)；

(3)L(Q)=R(Q)－C(Q)=0，此時稱為無盈虧生產(chǎn)，這時的產(chǎn)量Q0稱為無盈虧點.

1.3極限的概念

極限是微積分學(xué)中的重要概念之一，用于研究變量在某一變化過程中的變化趨勢.微積分學(xué)中的一些概念和性質(zhì)都是通過極限來確定的.

1.3.1極限的概念

1.x→∞時函數(shù)的極限

x→∞是指x的絕對值無限增大，既包括x取正值無限增大，也包括x取負(fù)值絕對值無限增大.

引例1

觀察下列函數(shù)的圖像(見圖1-11)，討論當(dāng)x→∞時的變化趨勢：

(1)y=(1/x)；(2)y=(1/x2)；(3)y=sinx.圖1-11從圖1-11中不難看出，當(dāng)x→∞時有如下結(jié)論：

(1)y=(1/x)→0；

(2)y=(1/x2)→0；

(3)y=sinx總在閉區(qū)間[－1，1]上周期性取值，但并不趨向于某個常數(shù).

顯然，(1)、(2)中的兩個函數(shù)在x→∞的變化過程中與常數(shù)0無限接近，這時，我們稱函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限存在，且極限都為0.

定義1.13如果當(dāng)x的絕對值無限增大時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限，記作或f(x)→A(x→∞)如果從某一點起，x只能取正值或負(fù)值且絕對值無限增大，則有下面的定義.

定義1.13′

如果當(dāng)x>0且無限增大時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時的極限，記作或f(x)→A(x→+∞)

定義1.13″

如果當(dāng)x<0且其絕對值無限增大時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→－∞時的極限，記作或f(x)→A(x→－∞)

顯然，由上述定義可得出如下定理.定理1.1

的充分必要條件是

.

例1

討論當(dāng)x→∞時函數(shù)y=arccotx的極限情況.

解如圖1-12所示，當(dāng)x→+∞時，y=arccotx→0，即

當(dāng)x→－∞時，y=arccotx→π，即

故當(dāng)x→∞時，的極限不存在.圖1-12

2.x→x0時函數(shù)的極限

x→x0是指x的絕對值無限接近x0，既包括x從大于x0的右側(cè)(記作x→x+0)無限接近，也包括x從小于x0的左側(cè)(記作x→

x－0)無限接近.

引例2

觀察下列函數(shù)的圖像(見圖1-13)，討論當(dāng)x→3時的變化趨勢：

(1)y=x+3；

(2)y=(x2－9/x－3).圖1-13定義1.14

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域

內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量x趨近于x0時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常數(shù)A，則A稱為x→x0時函數(shù)f(x)的極限，記作

或f(x)→A(x→x0)

這時我們稱存在，否則稱不存在.

引例2中的極限分別可以表示為.

須指明，函數(shù)f(x)在點x0的極限是否存在與f(x)在點x0處是否有定義無關(guān).

根據(jù)極限的定義，顯然有

(c為常數(shù)).定義1.14′

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的左半鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量x從x0的左側(cè)趨近于x0時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常數(shù)A，則A稱為x→x0時函數(shù)f(x)的左極限，記作或f(x0－0)=A

定義1.14″

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的右半鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量x從x0的右側(cè)趨近于x0時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常數(shù)A，則A稱為x→x0時函數(shù)f(x)的右極限，記作或f(x0－0)=A

根據(jù)上面的定義，我們可以得出函數(shù)在點x0的極限以及左、右極限間的關(guān)系.定理1.2

的充分必要條件是

.

注左、右極限的概念通常用于求分段函數(shù)在分段處的極限.例2

設(shè)函數(shù)，

討論

是否存在.解這是一個分段函數(shù)，如圖1-14所示，因為顯然，函數(shù)f(x)在點x0=1的左、右極限都存在但不相等，因此不存在.圖1-14例3

設(shè)函數(shù)

，討論是否存在.

解這是一個分段函數(shù)，如圖1-15所示，因為顯然，函數(shù)f(x)在點x0=0的左、右極限都存在且相等，因此

.例4

設(shè)函數(shù)，問k為何值時，存在.

解要使

存在，必須使

成立.又故k=11.3.2無窮大量與無窮小量

1.無窮大量

有一類函數(shù)在自變量的某一變化過程中絕對值可以無限增大，我們稱這一類函數(shù)為無窮大量.

定義1.15

當(dāng)x→x0(或x→∞)時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)f(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮大量，簡稱無窮大，記作或例如:當(dāng)x→0+時，cotx、lnx均為無窮大；當(dāng)x→∞時，x2+2、x均為無窮大.

在理解無窮大量的概念時，應(yīng)注意以下幾點：

(1)定義中自變量的變化過程適用于函數(shù)極限的六種情形；

(2)無窮大的定義對數(shù)列同樣適用，如數(shù)列{n(n+1)}當(dāng)n→∞時就是無窮大量；

(3)無窮大是一個變量，無論絕對值多大的常數(shù)，都不是無窮大量；

(4)當(dāng)我們說某個函數(shù)是無窮大量時，必須同時指出它的極限過程.

2.無窮小量

與無窮大量相反，有一類函數(shù)在自變量的某一變化過程中絕對值無限變小，即極限為零，我們稱這一類函數(shù)為無窮小量.

定義1.16

當(dāng)x→x0(或x→∞)時，如果函數(shù)f(x)的極限為零，則稱函數(shù)f(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮小量，簡稱無窮小，記作或例如:當(dāng)x→0時，sinx、tanx、x2均為無窮小量；當(dāng)x→1時，lnx為無窮小量；當(dāng)x→∞時，1/(x－3)、1/x3均為無窮小量.無窮小量通常用小寫希臘字母α、β、γ等來表示.

和無窮大量類似，在理解無窮小量的概念時，也應(yīng)注意以下幾點：

(1)定義中自變量的變化過程適用于函數(shù)極限的六種情形；

(2)無窮小的定義對數(shù)列同樣適用，如數(shù)列{1/(n+1)}當(dāng)n→∞時就是無窮小量；

(3)無窮小是極限為零的變量，無論絕對值多小的非零常數(shù)，都不是無窮小量；

(4)當(dāng)我們說某個函數(shù)是無窮小量時，必須同時指出它的極限過程.

有了無窮小量的概念之后，我們可以給出函數(shù)極限與無窮小量間的一個重要關(guān)系：定理1.3

函數(shù)f(x)極限為A的充分必要條件是f(x)可以表示為A與一個無窮小量之和，即

limf(x)=A

f(x)=A+α(其中α為同一變化過程中的無窮小量)

3.無窮小量的性質(zhì)

性質(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.

注無限多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.例如，當(dāng)n→∞時，1/n2，2/n2，…，n/n2均為無窮小，但即不是無窮小.性質(zhì)2

有限個無窮小的乘積仍是無窮小.

性質(zhì)3

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.

推論常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.

例5

求解因為，所以(1/x2)為x→∞時的無窮小；又0≤1+sinx≤2，所以1+sinx為有界函數(shù).由性質(zhì)3可得，(1/x2)sin(1+x)是x→∞時的無窮小量，即

4.無窮小的比較

前面討論了兩個無窮小的和、差、積仍然是無窮小，但對于兩個無窮小的商，卻會出現(xiàn)不同的情況，例如，當(dāng)x→0時，3x、2x2、x3、4x3都是無窮小，而定義1.17

設(shè)α、β是同一變化過程中的兩個無窮小量.

(1)若

，則稱α是比β高階的無窮小量，也稱β是比α低階的無窮小量，記作α=o(β).

(2)若

(c為不等于零的常數(shù))，則稱α與β是同階無窮小.特別地，c=1時，稱α與β是等價無窮小，記作α~β.

例6

當(dāng)x→∞時，比較下列各組無窮小量：

(1)(1/x2)與(1/x)；

(2)1/(x+1)與1/(x2－1).解

(1)因為，所以當(dāng)x→∞時，1/x2是比(1/x)高階的無窮小.

(2)因為，所以當(dāng)x→∞時，1/(x+1)是比1/(x2－1)低階的無窮小.

5.無窮小量與無窮大量間的關(guān)系

當(dāng)x→∞時，函數(shù)y=x2為無窮大量，而y=1/x2為無窮小量；當(dāng)x→0時，函數(shù)y=tanx為無窮小量，而y=cotx為無窮大量.顯然，它們之間存在著倒數(shù)關(guān)系，故有如下結(jié)論.

定理1.4

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮?。环粗?，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，則1/f(x)為無窮大.

我們可以利用無窮小量與無窮大量間的關(guān)系來判斷函數(shù)的極限情況.例7

求

.

解因為

，即當(dāng)x→1時，x－1是無窮小量，所以

.

1.4極限的運算

1.4.1極限的性質(zhì)

前面我們討論了函數(shù)極限的各種情形，它們描述的問題可以統(tǒng)一表述為：在自變量x的某一變化過程中，函數(shù)f(x)無限趨近于某個確定的常數(shù)A.因此，它們有一系列的共性.下面僅以x→x0為例給出函數(shù)極限的性質(zhì).

性質(zhì)1(唯一性)若

，則A=B.性質(zhì)2(有界性)若

，則存在點x0的某一去心鄰域

，在該鄰域內(nèi)函數(shù)f(x)有界.性質(zhì)3(保號性)若

且A>0(或A<0)，則存在點x0的某個去心鄰域，在該鄰域內(nèi)f(x)>0(或f(x)<0).

推論若在點x0的某個去心鄰域

內(nèi)，f(x)≥0(或f(x)≤0)，且

，則A≥0(或A≤0).

注若把x→x0換成自變量x的其他變化過程，極限的上述性質(zhì)仍然成立.1.4.2極限的四則運算法則

利用極限的定義只能計算一些簡單函數(shù)的極限，而實際問題中的函數(shù)要復(fù)雜得多.下面我們介紹極限的四則運算法則，并運用這些法則求一些較復(fù)雜的函數(shù)極限.

定理1.5

設(shè)在自變量的同一變化過程中，limf(x)=A，limg(x)=B，則有：

法則1lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=A±B；

法則2lim［f(x)·g(x)］=limf(x)·limg(x)=A·B；

法則3lim(f(x)/g(x)=(limf(x)/limg(x))=A/B，其中l(wèi)img(x)=B≠0.

注法則1、2可以推廣到有限個函數(shù)的情況，此外還有以下推論.推論1lim[C·f(x)]=C·limf(x)=C·A.

推論2lim[f(x)]n=［limf(x)］n=An.

例1

求.

解

例2

求

解因為

，所以例3

求

.

解先對分母求極限，即

此時，由于分母極限為零，所以不能直接使用商的極限法則.再對分子求極限，即

由于分子極限不為零，所以此時可以先求原來函數(shù)倒數(shù)的極限，即最后，根據(jù)無窮小的倒數(shù)為無窮大，可得

例4

求

解當(dāng)x→2時，分子、分母極限同時為零，極限法則不成立，而題中分子、分母明顯有公因式x－2，由極限定義可知，x→2但x≠2，故可約去使分子、分母極限為零的公因式x－2后再求極限，即例5

求

解當(dāng)x→0時，分子、分母極限同時為零，極限法則不成立，故先將分子有理化，約去分子、分母中極限為零的公因式后再求極限，即

例6

求

.解當(dāng)x→∞時，分子、分母極限都不存在，極限法則不成立.這時，對該分式作適當(dāng)變形：給分子、分母同除以它們的最高次冪x2，然后再求極限，即

例7

求

.

解本例不同于例6，應(yīng)給分子、分母同除以分母的最高次冪x4，然后再求極限，即例8

求

.解由上例可知由于無窮小量的倒數(shù)為無窮大量，所以

一般地，當(dāng)x→∞時，兩個多項式商的極限有如下結(jié)論：1.4.3兩個重要極限

1.

(1)極限類型：“(0/0)”型.

(2)函數(shù)結(jié)構(gòu)：(sinu/u)型(其中u為自變量x的函數(shù)，且為無窮小量).

例9

求

解

例10

求解

例11

求

解

例12

求.

解先利用三角函數(shù)公式將1－cosx換成2sin2(x/2)后，再求極限，即例13

求

解

2.

(1)極限類型：“1∞”型.

(2)函數(shù)結(jié)構(gòu)：(1+(1/u))u(其中u為自變量x的函數(shù)，且為無窮大量).

注如果令(1/x)=t，則x→∞時，t→0，上述公式還可以表示成例14

求.

解令(5/x)=(1/u)，則x=5u，且當(dāng)x→∞時，u→∞，

故有

例15

求解例16

求

.

解

例17

求.

解由于，故令u=2x+1，則x=(u/2)－(1/2)，且x→∞時，u→∞，于是有

例18

求

.

解

1.4.4連續(xù)復(fù)利問題

作為第二重要極限的應(yīng)用，本節(jié)介紹復(fù)利公式.所謂復(fù)利計息，就是將第一期的利息與本金之和作為第二期的本金，然后反復(fù)計息.

設(shè)本金為p，年利率為r，則一年后的本利和為

S1=p+pr=p(1+r)

若每年計息一次，那么t年后的本利和為

St=p(1+r)t

這就是以年為期的復(fù)利公式.

若一年計息m次，則每期的利率為(r/m),于是t年后的本利和為

St=p(1+(r/m))mt

若一年計息無窮多次，則為連續(xù)復(fù)利計息，即令m→∞，則t年后的本利和(即終值)為

公式St=pert反映了現(xiàn)實世界中一些事物生長或消失的數(shù)量規(guī)律，如馬爾薩斯人口模型、樹木的生長、細(xì)胞的繁殖、鐳的衰變等.

1.5函數(shù)的連續(xù)性

1.5.1函數(shù)連續(xù)性的概念

1.改變量

定義1.18

如果變量u從初值u0變到終值u1，則把終值與初值的差u1－u0稱為變量u在u0點的增量，又稱變量u的改變量，記作Δu，即

Δu=u1－u0

注增量Δu可以是正的，可以是負(fù)的，亦可為零.

現(xiàn)在設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如圖1-16所示，當(dāng)自變量x在此鄰域內(nèi)從x0變到x0+Δx時，函數(shù)y相應(yīng)的從f(x0)變到f(x0+Δx)，于是函數(shù)y相應(yīng)的增量為

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)

2.函數(shù)在一點處的連續(xù)性

從圖1-16可以看出，函數(shù)y=f(x)在點x0附近是連續(xù)變化的，它的圖像是一條不間斷的曲線，并且當(dāng)自變量的改變量Δx趨于零時，函數(shù)的改變量Δy亦趨于零.

這時，我們稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).

定義1.19

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點x0處的增量Δx趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)y的增量Δy也趨于零，即

則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).點x0稱為函數(shù)的連續(xù)點.圖1-16例1

用連續(xù)定義證明函數(shù)y=x2+1在點x0=2處連續(xù).

證明給自變量x以增量Δx，則相應(yīng)的函數(shù)增量為

Δy=[(2+Δx)2+1]－(22+1)=4Δx+(Δx)2

于是有故函數(shù)y=x2+1在點x0=2處連續(xù).在定義1.19中，如果令x=x0+Δx，則有Δy=f(x)－f(x0)，并且當(dāng)Δx→0時，有x→x0,當(dāng)Δy→0時，有f(x)→f(x0)，因此函數(shù)在點x0處連續(xù)的定義又可敘述如下：定義1.20

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).

說明：如果

，則稱函數(shù)f(x)在點x0處左連續(xù)；如果

，則稱f(x)在點x0處右連續(xù).顯然，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處左連續(xù)且右連續(xù)時，即

函數(shù)在點x0處連續(xù).

例2

討論在x=0處的連續(xù)性.

解因為所以

又

f(0)=1

即

所以f(x)在x=0處連續(xù).

3.初等函數(shù)的連續(xù)性

定義1.21

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù).

可以證明，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)的圖像是一條不間斷的曲線.

根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論可以得出：求初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點的極限，只需求出該點的函數(shù)值即可.

例3

求下列函數(shù)的極限：

(1)

(2)解

(1)因為為初等函數(shù)，其定義域為(－∞，+∞)，又2∈(－∞，+∞)，所以

(2)因為