湖南省益陽市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

益陽市2024屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（時(shí)量：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，進(jìn)而可得共軛復(fù)數(shù).【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.2.已知，，則是方程的解的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解全稱量詞命題和存在量詞命題的真假以及充要條件的意義即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為：，函數(shù)的最小值為.若“是方程的解”，則，那么就是函數(shù)的最小值，所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分條件；若“，”，則為函數(shù)的最小值，所以，即，所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要條件.綜上可知：“是方程的解”的充要條件是“，”.故選：C3.頂角為的等腰三角形，常稱為“最美三角形”．已知，則“最美三角形”的底邊長與腰長的比為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式求出，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】如圖，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，又，則，解得或（舍去），即，又，所以，即“最美三角形”的底邊長與腰長的比為.故選：B4.已知數(shù)列滿足且，則（）A.128 B.64 C.32 D.16【答案】D【解析】分析】根據(jù)遞推公式列出前幾項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榍遥?，則，，則，，則，，則，，則，，則，，則，則.故選：D5.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，依題意可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故的最小值為.故選：D6.2023年的某一天某紅酒廠商為了在線出售其紅酒產(chǎn)品，聯(lián)合小Y哥直播間，邀請某“網(wǎng)紅”來現(xiàn)場帶貨．在帶貨期間，為吸引顧客光臨直播間、增加客流量，發(fā)起了這樣一個(gè)活動：如果在直播間進(jìn)來的顧客中，出現(xiàn)生日相同的顧客，則獎勵生日相同的顧客紅酒1瓶．假設(shè)每個(gè)隨機(jī)來訪的顧客的出生日期都是相互獨(dú)立的，并且每個(gè)人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在遠(yuǎn)小于365時(shí)，近似地，，其中．如果要保證直播間至少兩個(gè)人的生日在同一天的概率不小于，那么來到直播間的人數(shù)最少應(yīng)該為（）A.21 B.22 C.23 D.24【答案】C【解析】【分析】設(shè)人數(shù)為，根據(jù)古典概型概率公式求出“至少有兩個(gè)人在同一天生日”的概率，再進(jìn)行化簡計(jì)算即可.【詳解】設(shè)直播間進(jìn)來了個(gè)人，則這個(gè)人生日的可能性有種，這個(gè)人中任意兩個(gè)人都不在同一天生日的可能結(jié)果種數(shù)為，設(shè)“這個(gè)人中任意兩個(gè)不是同一天生日”，根據(jù)古典概型概率公式可得，則其對立事件“這個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日在同一天”的概率為.由題意：，從而，得，化簡得，即，故.故選：C.7.如圖所示，4個(gè)球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個(gè)“最密堆壘”．顯然，即使是“最密堆壘”，4個(gè)球之間依然存在著空隙．材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個(gè)原子的“最密堆壘”的空隙中如果再嵌入一個(gè)另一種金屬原子并和原來的4個(gè)原子均外切，則材料的性能會有顯著性變化．記原金屬晶體的原子半徑為，另一種金屬晶體的原子半徑為，則和的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意畫出直觀圖，則四個(gè)金屬原子的球心的連線所圍成的圖形為正四面體，設(shè)正四面體的棱長為，高為，外接球球心為，為正三角形的中心，求出外接球的半徑，即可得到，從而得解.【詳解】由題意知，四個(gè)金屬原子球心的連線所圍成的圖形為如圖所示的正四面體，設(shè)正四面體的棱長為，高為，外接球球心為，為正三角形的中心，則必有平面且，，三點(diǎn)共線，在正三角形中，易求得，中，由，可得，在中，由，得，解得，由題意得，所以，所以．故選：D．8.已知的定義域?yàn)槭堑膶?dǎo)函數(shù)，且，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，代入原式化簡后得到，再構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性即可得到，最后根據(jù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)?，即，?gòu)造函數(shù)，則，.將代入，得.再構(gòu)造函數(shù)，則，易知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，由于，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減.又根據(jù)單位圓可得三角不等式，又，，所以，故.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)比大小的問題.題中條件可以構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，然后討論的單調(diào)性，由得到，再由三角不等式得到自變量的大小關(guān)系，最后根據(jù)的單調(diào)性求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分．9.下列命題中，正確的是（）A.函數(shù)與表示同一函數(shù)B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)，則0【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷A、B，根據(jù)函數(shù)的定義判斷C，由函數(shù)解析式求出函數(shù)值，即可判斷D.【詳解】對于A：，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B：函數(shù)與定義域相同，解析式一致故是同一函數(shù)，故B正確；對于C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對于D：因?yàn)椋?，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對出入車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動桿與橫桿組成，為橫桿的兩個(gè)端點(diǎn)．在道閘抬起的過程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動桿的長度為1.6米，橫桿的長度為2米，繞點(diǎn)在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，與水平方向所成的角（）A.則點(diǎn)運(yùn)動的軌跡方程為（其中）B.則點(diǎn)運(yùn)動的軌跡方程為（其中）C.若繞點(diǎn)從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D.若繞點(diǎn)從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成角，則點(diǎn)運(yùn)動軌跡的長度為米【答案】BC【解析】【分析】由題意易判斷點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為原點(diǎn)，OP為半徑的圓，求得方程判斷A；點(diǎn)Q的軌跡是以，半徑為1.6的圓，求得方程判斷B；求得橫桿PQ距水平地面的高度可判斷C；求得點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡的長度即為圓（其中）的弧長判斷D.【詳解】對于A：點(diǎn)P的軌跡顯然是以O(shè)為原點(diǎn)，OP為半徑的圓，故點(diǎn)P運(yùn)動軌跡方程為（其中），故A錯(cuò)誤；對于B：設(shè)，因?yàn)镻Q平行于x軸，所以，所以，又因?yàn)樵诩訄A上，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是以為圓心，1.6為半徑的圓，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為（其中），故B正確；對于C：若OP繞點(diǎn)O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，橫桿PQ達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)橫桿PQ距水平地面的高度為，故C正確；對于D：因?yàn)槔@點(diǎn)O從與水平方向成30°角勻速轉(zhuǎn)動到與水平方向成90°角，故繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角度與點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角度一樣為，所以點(diǎn)Q運(yùn)動軌跡的長度即為圓（其中）的弧長，等于，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在中，角，，所對的邊依次為，，，已知，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.為鈍角三角形C.若．則的面積是D.若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則【答案】BD【解析】【分析】由正弦定理可得，設(shè)，，，即可判斷A，利用余弦定理求出，即可判斷B，結(jié)合A求出邊，再結(jié)合B求出，最后由面積公式判斷C，首先由正弦定理求出，利用等面積法求出，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理，可得，設(shè)，，，則，故A錯(cuò)誤；由題意可知，為最大角，因?yàn)?，故為鈍角，故B正確；若，則，，，又，所以，所以的面積，故C錯(cuò)誤；由正弦定理得，，即，由面積公式可得，即，所以，所以，故，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面上的一個(gè)動點(diǎn)且，則點(diǎn)運(yùn)動所形成的曲線的方程為______．【答案】.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出等式，化簡即可求得軌跡方程.【詳解】設(shè)，則由可得，化簡得.故答案為：.13.已知，且，則滿足且的的最大值為______．【答案】49【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出的系數(shù)，再化簡求最值即可.【詳解】因?yàn)榈南禂?shù)為，其中，要使得，必須是奇數(shù)且，所以，即，所以的最大值為49.故答案為：49.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬θ我獾暮阌?，且，．則______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，利用特殊值推出，，即可得解.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，令，，得，得；令，，得，得；令，，得，得，在中，令，得，令，得，得；令，得，得，．在中，令，，得；令，，得，．依此類推，可得，，因此，，綜上可知．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是利用賦值法推出一般性的規(guī)律，.四、解答題：本題共5小題，共77分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．【答案】（1）2（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)切線方程列出關(guān)于的方程組，解方程組即可.（2）對要證明的式子進(jìn)行化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得(負(fù)值舍去)，所以.【小問2詳解】由第1問可知，.要證，即要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以.16.新鮮是水果品質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進(jìn)貨價(jià)50元、售價(jià)100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折特價(jià)銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費(fèi)用30元．這樣才能保障第二天特價(jià)水果售罄，并且不影響正價(jià)水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596（1）為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購進(jìn)此種水果是箱劃算還是箱劃算？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，地滿足顧客的需求即求表中第分位數(shù)；（2）分別求進(jìn)貨量為和箱時(shí)利潤期望，比較后得出結(jié)論.【小問1詳解】地滿足顧客需求相當(dāng)于估計(jì)某類水果日銷售量的分位數(shù).由表可知，把50個(gè)日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，由，日需求量在箱及以下（含箱）天數(shù)為，可知，可以估計(jì)日需求量的第分位數(shù)為，所以能地滿足顧客的需求，估計(jì)每天應(yīng)該進(jìn)貨量為箱.【小問2詳解】由（1）知，即，設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，若當(dāng)天賣完元，若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，所以元.設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，若當(dāng)天賣完元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，所以元，由于，顯然每天的進(jìn)貨量箱的期望利潤大于每天的進(jìn)貨量為箱的期望利潤，所以每天購進(jìn)此種水果箱劃算一些.17.如圖所示，四邊形為梯形，，，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個(gè)結(jié)論：如果兩個(gè)平面所成的二面角為，其中一個(gè)平面內(nèi)的圖形在另一個(gè)平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學(xué)利用甲的這個(gè)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點(diǎn)，使得．請你對乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行證明．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）在等腰梯形中，過點(diǎn)，分別作，，垂足為，，利用銳角三角函數(shù)得到，再由余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，平面與平面所成的角為，利用空間向量法表示出，求出的取值范圍，再由是在平面上的正投影，求出，結(jié)合題中所給結(jié)論證明即可.【小問1詳解】如圖所示的等腰梯形中，過點(diǎn)，分別作，，垂足為，，則為矩形，，在中，，，所以，則，在中，，∴，∴，∴．又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，所以.【小問2詳解】由（1）可知平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，，，，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)?，，所以，設(shè)平面與平面所成的角為，則，又，所以存在使得，易知平面，平面，所以是在平面上的正投影，，由，所以，所以在線段上存在點(diǎn)，使得.18.已知直線與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，求的取值范圍；（2）已知橢圓在點(diǎn)處的切線為．（i）求證：切線的方程為；（ii）設(shè)射線交于點(diǎn)，求證：為等腰三角形．【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意、關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，不妨設(shè)，則，利用等面積法得出，求出的取值范圍，即可求得的取值范圍；（2）（i）證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為，分斜率存在與斜率不存在兩種情況討論，斜率存在時(shí)設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用和，求出，，整理可得切線方程，即可得證；（ii）設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，，利用兩角和與差的正切公式和斜率公式可得出，再結(jié)合、的取值范圍可得出結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)椤橹本€與橢圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，所以、關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，不妨設(shè)，則，又、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)由題意可得，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離分別為，可得，，又因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以；【小?詳解】（i）首先證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為，①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為.故橢圓點(diǎn)處的切線的方程為.（ii）如圖所示，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，因?yàn)?，，橢圓點(diǎn)處的切線的方程為，所以，則，，因?yàn)?，，，所以，，所以，又、，所以，所以為等腰三角?【點(diǎn)睛】方法