2024-2025學年江蘇省宿遷市高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省宿遷市高二（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x?3y+1=0的傾斜角為A.2π3 B.5π6 C.π32.圓x2+y2+10x+10y=0與圓A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切3.已知點A(2,3)與點B(?1,4)關于直線l對稱，則直線l的方程為(

)A.3x?y+2=0 B.x+3y+2=0 C.x+3y?2=0 D.3x?y?2=04.設a為實數(shù)，若直線ax?4y+3=0與x?2y+1=0平行，則它們之間的距離為(

)A.510 B.55 C.5.已知橢圓的兩個焦點分別為(0,3)，(0,?3)，點(74,?3)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為A.12 B.23 C.346.以雙曲線x216?yA.x216+y29=1 B.7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦AB，其中點A在第一象限，若AF=4BF，則直線AB的斜率為(

)A.2 B.233 C.8.已知橢圓x24+y23=1的上頂點為A，過橢圓左焦點F且斜率為33的直線交橢圓于A.10 B.8 C.63 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設m為實數(shù)，直線l：x+my?2m?1=0，點M(2,3)，N(4,?5)，則下列說法正確的有(

)A.直線l過定點(1,2)

B.若點M，N到直線l的距離相等，則m=23

C.直線l與x軸一定相交

D.若直線l10.設m為實數(shù)，方程x2+y2A.m>?1

B.若m=±12，則圓和兩坐標軸均相切

C.若圓關于直線2x?y+5=0對稱，則m=1

D.無論11.在平面直角坐標系xOy中，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，直線AO，BO分別交拋物線準線于C，D兩點，則下列說法正確的有(

)A.BC//x軸 B.CF⊥DF

C.以AB為直徑的圓與拋物線準線恒相交 D.△OAB面積的最小值為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設a為實數(shù)，直線l1：ax+3y?2=0，l2：x+(a?2)y+2=0，若l1⊥l13.圓x2+y2=r2上有且只有2個點到直線x?14.如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射關線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.設a>0，若雙曲線E：x2a2?y28=1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C，D四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的頂點B(3,1)，直線AC的方程為x?y+1=0，BC邊上的中線AM所在的直線方程為2x?3y+1=0．

(1)求頂點A，C的坐標；

(2)求△ABC的面積．16.(本小題15分)

設a為實數(shù)，圓M的方程為x2+y2+2x?6y+a=0．

(1)若圓x2+y2=9和圓M的公共弦長為26，求a的值；

(2)若過點(4,?1)17.(本小題15分)

已知動點P(x,y)到點F(1,0)的距離比到直線x+3=0的距離小2，過P作圓A：x2+(y?4)2=1的一條切線，Q為切點，過P作直線l：x+1=0的垂線，垂足為B．

(1)求點P的軌跡方程；

(2)當P、A、B三點共線時，求線段PQ的長；

(3)判斷滿足18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為E，實軸長為4，過雙曲線C的左焦點F作直線l，當直線l與x軸垂直時，直線l與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，此時△MNE為等腰直角三角形．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)當直線l與雙曲線C的漸近線平行時，求直線l與雙曲線C的交點坐標；

(3)當直線l與雙曲線C的左支交于A，B兩點時，直線AE，BE分別交直線x+1=0于P，Q兩點，在x軸上是否存在定點D19.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點D(1,32)，離心率為32，左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為B．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點D的直線m與橢圓C的另外一個交點為E，當△BDE的面積最大時，求直線m的方程；

(3)若點M、N是直線l上不同的兩點，則向量MN以及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，當直線l′⊥l時，直線l′的方向向量稱為直線l的法向量.設k、?為實數(shù)，直線l：y=kx+?的一個法向量為t，H為直線l上任一點，點T為坐標平面內(nèi)的定點，我們把t?HT|參考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.D

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.3213.(0,2)

14.3

15.解：(1)由已知AC：x?y+1=0，AM：2x?3y+1=0，

則x?y+1=02x?3y+1=0，解得x=?2y=?1，即A(?2,?1)，

設C(a,b)，則BC中點M(a+32,b+12)，

又點C在直線AC上，點M在直線AM上，

即a?b+1=02?a+32?3?b+12+1=0，解得a=2b=3，即C(2,3)；

綜上所述：A(?2,?1)，C(2,3)；

(2)由(1)得AC=(2+2)16.解：(1)圓M的方程為x2+y2+2x?6y+a=0，圓O：x2+y2=9；

兩圓方程相減可得，2x?6y+a+9=0，即兩圓公共弦所在直線方程2x?6y+a+9=0，

圓x2+y2=9和圓M的公共弦長為26，圓心O到直線2x?6y+a+9=0的距離為d=|a+9|22+62=|a+9|210，

所以9=(262)2+(|a+9|210)2，解得a=1或?19，

所以實數(shù)a的值為1或?19．

(2)過點(4,?1)的圓N與圓M相切，切點為(1,2)，

可將點A(1,2)代入圓M：x2+y2+2x?6y+a=0，可得a=5，

所以圓M的方程為x2+y2+2x?6y+5=0，即(x+1)2+(y?3)2=5，

所以圓M的圓心為(?1,3)，半徑為5，

設圓N的標準方程為(x?m17.解：(1)由題意可知，動點P(x,y)到點F(1,0)的距離比到直線x+3=0的距離小2，可知，點P到點F(1,0)的距離等于點P到直線x=?1的距離，

點P的軌跡是以點F為焦點，直線x=?1為準線的方程，

設其方程為y2=2px，則p2=1，可得p=2，點P的軌跡方程為y2=4x．

(2)由過P作圓A：x2+(y?4)2=1的一條切線，Q為切點，過P作直線l：x+1=0的垂線，垂足為B.如圖，當P、A、B三點共線時，點A(0,4)，直線PB的方程為y=4，

聯(lián)立y2=4xy=4，解得x=y=4，此時，點P(4,4)，

則|PA|=(4?0)2+(4?4)2=4，

∵AQ⊥PQ，由勾股定理可得|PQ|=|PA|218.解：(1)由題意得2a=4a+c=b2ac2=a2+b2，

解得a=2b=23，

則雙曲線C的方程為x24?y212=1；

(2)易知雙曲線C的漸近線方程為y=3x，

當直線l與y=3x平行時，

直線l的方程為y=3(x+4)，

聯(lián)立x24?y212=1y=3(x+4)，

解得x=?52y=332．

當直線l與y=?3x平行時，

直線l的方程為y=?3(x+4)，

聯(lián)立x24?y212=1y=?3(x+4)，

解得x=?52y=?332，

所以直線l與雙曲線C的交點坐標為(?52,332)或(?52,?332)；

(3)因為雙曲線C的漸近線方程為y=±3x，

顯然直線AB不與x軸重合，

設直線AB的方程為x=my?4，A(x1,y1)，B(x2,y219.解：(1)由題意得1a2+34b2=1ca=32c2=a2?b2，

解得a=2b=1c=3，

則橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)易知B(2,0)，

所以直線BD的斜率為kBD=321?2=?32，

直線BD的方程為y=?32(x?2)，

即3x+2y?23=0，

若△BDE的面積最大，

此時點E到直線