教育統(tǒng)計(jì)學(xué) 課件第6-7次課-數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述與數(shù)據(jù)的表示;第8次 概率與概率分布

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述與數(shù)據(jù)的表示學(xué)部本科科生課課程北京師范大學(xué)教育學(xué)部胡詠梅第一節(jié)描述統(tǒng)計(jì)的原理第二節(jié)數(shù)據(jù)的表示第三節(jié)描述統(tǒng)計(jì)的SPSS操作contents31.一班、二班學(xué)生數(shù)學(xué)（英語、物理）

平均成績(jī)分別是多少？2.一班、二班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)最高分分

別是多少？3.哪個(gè)班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)更整齊（或更

分散）？4.從兩個(gè)班成績(jī)來看，這次數(shù)學(xué)考試

是偏難還是偏易？5.從兩個(gè)班學(xué)生數(shù)學(xué)、物理成績(jī)來看，

是否數(shù)學(xué)成績(jī)高的學(xué)生，其物理成績(jī)

也高？概括描述數(shù)值數(shù)據(jù)一個(gè)變量的問題：解釋數(shù)值數(shù)據(jù)的特征

l

集中趨勢(shì)l

變異程度（或離散程度）l

分布形狀兩個(gè)以上變量的問題：l

相關(guān)分析第一節(jié)

描述統(tǒng)計(jì)的原理4數(shù)值數(shù)據(jù)的特征標(biāo)準(zhǔn)差半四分位距峰度中位數(shù)分布形狀集中量數(shù)差異量數(shù)方差眾數(shù)全距偏態(tài)平均數(shù)s1.概念：描述統(tǒng)計(jì)是通過圖表或統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，以對(duì)數(shù)據(jù)

分布形態(tài)、數(shù)字特征和隨機(jī)變量之間關(guān)系進(jìn)行估計(jì)和描述的方法。它包括

集中趨勢(shì)分析、離散趨勢(shì)分析和相關(guān)分析三部分。2.特點(diǎn)：以簡(jiǎn)單明了的統(tǒng)計(jì)量或統(tǒng)計(jì)圖表來描述龐大的數(shù)據(jù)。一、描述統(tǒng)計(jì)集中量數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。（一）平均數(shù)（二）中位數(shù)（三）眾數(shù)二、集中量數(shù)

1.概念：平均數(shù)是取某一變量的所有數(shù)值的總和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的值。又稱算術(shù)平均數(shù)。2.

公式：

總體平均數(shù)為

μ

,

數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為N；

樣本平均數(shù)為

X，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為n；Xi

表示第

i個(gè)數(shù)據(jù)；n表示數(shù)據(jù)的數(shù)量；Σ

是累加求和符號(hào)，即

Xi

=

X1

+

X2

+

X

3

+

…

+

X

ni

=

1

（一）平均數(shù)（Mean）

（二）中位數(shù)（Median）

1.概念：中位數(shù)是指按數(shù)值的大小順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)。2.

求法（1）將所有數(shù)據(jù)按大小順序排序。n+

1（2）如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，中數(shù)為位于這列數(shù)據(jù)第2

位置上的數(shù)。如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，中數(shù)為位于這列數(shù)據(jù)第

位置和第

+

1

位置上的兩

個(gè)數(shù)值的平均數(shù)。3.例子：

3,6,

8,

9,

12,

15,

16；3,6,

8,

9,

12,

151.概念：眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值。2.

例子：50,55,

60,

60,

60,

65,

66,

70,

903.注意：一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有多個(gè)眾數(shù)。

（三）眾數(shù)（Mode）

101.定類變量：眾數(shù)口沒有單位、沒有順序口例：9個(gè)學(xué)生的居住地：3,2,

1,

1,

1,

1,3,2,

21為北京，2為上海，3為廣州2.定序變量：中位數(shù)、眾數(shù)口無單位，有順序口例：

9個(gè)學(xué)生的年級(jí)：3,3,2,2,

2,

1,

1,

1,

1口例：9個(gè)學(xué)生的成績(jī)排名：

1,2,2,4,5,5,7,8,9（四）集中量數(shù)的使用時(shí)機(jī)3.定距/定比變量：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)口有單位，有順序口例：數(shù)學(xué)成績(jī)：78,56,89,58,67,97,85,83,97口例：量表得分：5,5,

4,

4,

3,

2,

2,

2,

1（四）集中量數(shù)的使用時(shí)機(jī)測(cè)量層次集中量數(shù)眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)定類變量√定序變量√√定距/定比變量√√√優(yōu)點(diǎn)不受極端值的影響，

計(jì)算方法簡(jiǎn)便。對(duì)數(shù)值變化不敏感，

較少受極端值影響，

計(jì)算方法較為簡(jiǎn)便。測(cè)量最為精確，考慮到每一個(gè)樣本，具有代表性。缺點(diǎn)測(cè)量過于粗糙，無法反映所有樣本

的狀況。無法反映所有樣本

的狀況。易受極端值的影響。

（五）集中量數(shù)的測(cè)量特性與優(yōu)缺點(diǎn)假如某班1小組期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?83

，52

，96

，79

，83

，88

，64

，79

，83

，69試用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別描述數(shù)學(xué)成績(jī)的集中趨勢(shì)。練習(xí)一

10=

77

.683

+

52

+

96

+

79

+

83

+

88

+

64

+

79

+

83

+

691.

平均數(shù)題解1s=位置位置

+

1=6中位數(shù)

原數(shù)據(jù)：83排序數(shù)據(jù)：

52排序位置:

183795888362.

中位數(shù)（Median）798387979496693699610648375264283889題解3.

眾數(shù)原數(shù)據(jù)：83

52

96

79

83

88

64

79

83

69排序數(shù)據(jù)：

52

64

69

79

79

83

83

83

88

96排序位置:12

3

45

6

7

8

910題解

題解差異量數(shù)是描述數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。（一）全距（二）半四分位距（三）標(biāo)準(zhǔn)差和方差三、差異量數(shù)1.概念：全距是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。

R=

Xmax

-Xmin2.全距反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)的最大范圍。3.不考慮數(shù)據(jù)如何分布，取決于數(shù)據(jù)的極端值。4.

注意：全距越大，說明觀察值分布越分散，反之就越集中。（一）全距（Range）

1.

百分位數(shù)（Percentile）指以一定順序排列的一組觀測(cè)值中某個(gè)百分位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)值。百分位數(shù)用Pp表示，作為下標(biāo)的p表示百分位置。例：P80表示第80百分位數(shù)，P80=

60分在一組觀測(cè)值中，小于這個(gè)數(shù)值的觀測(cè)值個(gè)數(shù)占80%

，大于它的占20%。

（二）半四分位距（Semi-interquartilerange）20第i個(gè)四分位數(shù)的位置：Qi

=

Q1是第一四分位數(shù)

(P25)

，是處于(n+1)/4位置上的觀測(cè)值，即25%的觀測(cè)值比Q1

小。Q2是第二四分位數(shù)(P50

)

，中位數(shù)，處于2(n+1)/4=(n+1)/2的位置上，即50%的觀測(cè)值比

Q2

小。Q3是第三四分位數(shù)(P75)

，處于3(n+1)/4

的位置上，即75%的觀測(cè)值比Q3

小。25%

25%

25%

25%是將一組已排序的數(shù)據(jù)按個(gè)數(shù)四等分的百分位數(shù)。分別是位于25%

、50%

、75%的百2.

四分位數(shù)（Quartile）Q1

Q2

Q3分位數(shù)。3.

四分位距（IQR

，又稱四分差）指排序數(shù)據(jù)處于中間50%數(shù)據(jù)的全距。公式：為第三和第一四分位之差I(lǐng)QR=

Q3–Q14.半四分位距（SIQR

，又稱絕對(duì)中位差）是四分位距的一半。

半四分位距越大，代表分?jǐn)?shù)的離散程度越大。1.標(biāo)準(zhǔn)差：刻畫數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離的一種統(tǒng)計(jì)量。2.方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方?？跇?biāo)準(zhǔn)差是最常用和最重要的變異性測(cè)量?？?/p>

表示全部觀測(cè)值相對(duì)于平均數(shù)的平均變異程度。（三）標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)和方差（Variance）3.公式推導(dǎo)目標(biāo)：測(cè)量到平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)距離步驟1：求每個(gè)數(shù)到平均數(shù)的距離（離差）數(shù)據(jù)的離差

=X

-μ例：對(duì)于一個(gè)μ

=50的樣本分布，如果X=53

，

離差=53

-

50=

3如果X=45

，

離差=45–50=-5離差：符號(hào)（+或

-）與數(shù)字步驟2：求離差的平均數(shù)（將離差相加，再除以N）

例：下面這組N=4的數(shù)據(jù)，和是∑X=

12,平均數(shù)是

μ

=12/4=3,對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)，離差為X8

1

3

0X-μ

+5-20-3∑(X-μ)=

0注意：離差總和為零。因此無法測(cè)量離散程度。2s然后：用這個(gè)平方值計(jì)算平均離差平方，稱為方差?？傮w方差

=

平均離差平方=

方差是離差的平方的平均數(shù)。注意：距離的平方的平均數(shù)不是對(duì)離散程度的最好描述。

步驟4：標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根。標(biāo)準(zhǔn)差步驟3：去掉符號(hào)（+和-）

去掉符號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)方法：將每個(gè)數(shù)據(jù)的離差平方?！页銎椒胶蟮木嚯x

的平均數(shù)（方差）找出距離（每

個(gè)數(shù)值與平均

數(shù)之間的距離）如果計(jì)算所有

距離的平均數(shù)，

總會(huì)得到零標(biāo)準(zhǔn)差：距離平

均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)距離計(jì)算方差的平方根將每個(gè)距離平方

離差平方和

=(X1

-

X)2

+

(X2

-

X)2

+

…+

(X3

-

X)2n

-

1總體方差公式

樣本方差公式

()(

)()

1X

X

X

X

X

Xn一

+

一

+

+

一=一總體標(biāo)準(zhǔn)差公式：標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根樣本標(biāo)準(zhǔn)差公式22223…1測(cè)量層次離散量數(shù)全距四分位距標(biāo)準(zhǔn)差/方差定類變量定序變量√√定距/定比變量√√√優(yōu)點(diǎn)計(jì)算方法簡(jiǎn)便，適用于大部分測(cè)量尺度。對(duì)極端值較不敏

感，能表現(xiàn)定序變量

的變異情形。測(cè)量最為精確，考慮到每一個(gè)樣

本，具有代表性。缺點(diǎn)測(cè)量過于粗糙，無法反映所有樣本狀況，

易受極端值的影響。穩(wěn)健性較好，不

過無法反映所有

樣本的變異狀況。當(dāng)樣本量較小時(shí)，

易受極端值的影

響。（四）變異量數(shù)的測(cè)量特性與優(yōu)缺點(diǎn)30假如某班1小組期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?83

，52

，96

，79

，83

，88

，64

，79

，83

，69試用全距、四分位距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差分別描述數(shù)學(xué)成績(jī)的離散程度。練習(xí)二題解

1.全距和四分位距原始數(shù)據(jù)：835296

79

83

88

64

79

83

69排序數(shù)據(jù)：526469

79

79

83

83

83

88

96排序位置

12

3

4

5

6

7

8

9

10o

全距

=X最大

-X最小=96-52=44o

Q1

的位置

(n+1)/4=2.75≈3

，Q1

=69o

Q3

的位置

3(n+1)/4=8.25≈

8

，Q3

=83o

四分位距

=Q3

-Q1

=83-69

=

14S

=

i

1

,

其中

77

.6i(2X)21-nXS2

=

(83-

77.6)2

+

(52-

77.6)2

+…(69-

77.6)2

=

160.210-12.樣本方差（Sample

Variance）原數(shù)據(jù)：835296

79

83

88

64

79

83

69題解

··160

.2

=

12

.73.樣本標(biāo)準(zhǔn)差(Sample

Standard

Deviation)題解一、統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖的一般說明二、數(shù)據(jù)表示中的錯(cuò)誤第二節(jié)

數(shù)據(jù)的表示35（一）統(tǒng)計(jì)表1.統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)及其

編制的原則和要求2.統(tǒng)計(jì)表的種類（二）統(tǒng)計(jì)圖1.統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)及其繪

制規(guī)則2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類一、統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖的一般說明數(shù)學(xué)語文英語1班8488952班9089923班8693874班9690891.統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)及其編制的原則和要求標(biāo)題，表號(hào)，標(biāo)目，線條，數(shù)字，表注（一）統(tǒng)計(jì)表

例：

表4.

1四年級(jí)各班各科學(xué)期平均成績(jī)注：4班是實(shí)驗(yàn)班。年份19981999200020012002總和錄取人數(shù)132154144123125678簡(jiǎn)單表，組合表，復(fù)合表（1）簡(jiǎn)單表舉例：只按一個(gè)標(biāo)志分組。標(biāo)志是年份表4.2

元培中學(xué)各年的高考錄取人數(shù)2.統(tǒng)計(jì)表的種類優(yōu)良中及格差總和1班8251520502班9201531483班515227352總和226052124150

（2）組合表舉例：按二個(gè)標(biāo)志分組表4.3

元培中學(xué)五年級(jí)的體育達(dá)標(biāo)結(jié)果按班級(jí)和

成績(jī)分組1班

2班

3班優(yōu)

良

中

及格

差男

女

男

女

男

女

男

女

男

女

（3）復(fù)合表舉例：按三個(gè)標(biāo)志分組表4.4

元培中學(xué)五年級(jí)的體育達(dá)標(biāo)結(jié)果按班級(jí)，成績(jī)，

和性別分組5048521501310629108102857122412109316521324390145223701120022班級(jí)總和總和例：成

績(jī)

等

級(jí)人數(shù)圖4.1

四年級(jí)數(shù)學(xué)考試成績(jī)1.統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)及其繪制規(guī)則標(biāo)題，圖號(hào)，標(biāo)目，圖形，圖注（二）統(tǒng)計(jì)圖

2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類圖4.2四年級(jí)數(shù)學(xué)考試成績(jī)（1）條形圖2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類圖4.3

四年級(jí)數(shù)學(xué)考試成績(jī)（2）柱形圖（3）圓形圖（餅圖）2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類圖4.4四年級(jí)數(shù)學(xué)考試成績(jī)2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類圖4.s

元培學(xué)校高考入學(xué)率的變化（4）折線圖4s2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類（5）散點(diǎn)圖（加趨勢(shì)線）圖4.7

文化課學(xué)習(xí)成績(jī)與體育成績(jī)的關(guān)系（6）復(fù)式條形圖——按兩個(gè)標(biāo)志分組2.統(tǒng)計(jì)圖的主要種類圖4.8四年級(jí)數(shù)學(xué)考試成績(jī)應(yīng)用普遍程度統(tǒng)計(jì)：o

圓形圖（5%)o

條形圖（25%)o

柱狀圖和線形圖（50%)o

散點(diǎn)圖（10%）o

其它（10%)選擇圖的形式選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖

示例：各高校4種科研合作類型的科研質(zhì)量對(duì)比圖（篇均被引次數(shù)作為科研質(zhì)量指標(biāo)）o

以上是各高校4種科研合作類型的科研質(zhì)量對(duì)比圖（篇均被引次數(shù)作為科研質(zhì)量指標(biāo)），第一個(gè)圖是雷達(dá)圖，優(yōu)點(diǎn)是不同合作類型直接比較得

很清楚，缺點(diǎn)是具體到每個(gè)高校的數(shù)據(jù)不清晰；第二個(gè)圖是做的簇狀條

形圖，4種合作類型的條形圖均從起點(diǎn)開始，缺點(diǎn)是對(duì)比條形太多，不

易看清是哪類合作；第三個(gè)圖是堆積條形圖，就是4個(gè)合作類型的篇均

被引次數(shù)放在一個(gè)直條圖上（此圖相對(duì)最合適），優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔，可以看

清四類合作篇均被引次數(shù)的相對(duì)差異。選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖1.使用花哨(Junk)圖表2.數(shù)據(jù)比較時(shí)沒有可靠的相對(duì)基準(zhǔn)3.壓縮或擴(kuò)大縱軸4.縱軸上無零點(diǎn)二、數(shù)據(jù)表示中的錯(cuò)誤在報(bào)紙、雜志上的圖表里通常都會(huì)加上花哨的圖標(biāo)和符號(hào)以增加吸引力，這種做法常常會(huì)掩蓋或曲解數(shù)據(jù)應(yīng)傳遞的準(zhǔn)確信息。

最低小時(shí)工資（wage)

1960:

$1.00

1970:

$1.60

1980:

$3.101.花哨圖表（ChartJunk）最低小時(shí)工資

$1960

1970

1980

19904201990:

$3.8053某校2000-2003年初中升高中的比例百分比某校2000-2003年初中升高中人數(shù)2.無相對(duì)基準(zhǔn)30%20%

10%

0%300200100000年

01年

02年

03年00年

01年

02年

03年人數(shù)通常百分比之間較為可比，而絕對(duì)數(shù)之間比較卻可能產(chǎn)生誤解。實(shí)例：比較各校畢業(yè)班的升學(xué)情況，應(yīng)當(dāng)采用升入高一級(jí)學(xué)校的百分比，

而不是升入高一級(jí)學(xué)校的學(xué)生總數(shù)。相對(duì)基準(zhǔn)（RelativeBasis）季度銷售

季度銷售$

$50

25

0

1季

2季

3季

4季

1季

2季

3季

4季3.壓縮縱軸20010003.擴(kuò)大縱軸（單元刻度值過?。?023-3-52023-3-5合理的縱軸刻度月銷售量$一

三

五

七

九

十一4.縱軸無零點(diǎn)一

三

五

七

九

十一454239366040200月銷售量$一、單選題的統(tǒng)計(jì)分析二、復(fù)選題的統(tǒng)計(jì)分析三、排序題的統(tǒng)計(jì)分析四、量表題的統(tǒng)計(jì)分析第三節(jié)

描述統(tǒng)計(jì)的SPSS操作（一）頻數(shù)分析（二）輸出描述性統(tǒng)計(jì)量（三）列聯(lián)表分析一、單選題的統(tǒng)計(jì)分析62

數(shù)據(jù)文件4-1.sav為某小學(xué)五年級(jí)學(xué)生語文成績(jī)等級(jí)得分

1為“>=90”分，2為“80-90”分，3為“70-79”分，4為“60-69”分，5為

“<=59”分。

假如我們統(tǒng)計(jì)語文成績(jī)五個(gè)等級(jí)各組的人數(shù)和比例，并以柱狀圖和餅

圖來表示。（一）頻數(shù)分析

（1）打開數(shù)據(jù)文件：4-1.sav（2）單擊Analyze—Descriptive

Statistics—Frequencies（3）將“語文成績(jī)等級(jí)”變量選入Variable(s)列表框中（4）勾選左下角“Display

frequency

tables”64（一）頻數(shù)分析

（5）輸出結(jié)果

66（6）使用Excel作圖：柱狀圖和餅圖

a.

SPSS輸出結(jié)果復(fù)制到Excel中6768b.

選中變量列和有效百分比列，單擊“插入”

，選中“柱形圖”。a.將SPSS輸出結(jié)果復(fù)制到Excel中b.選中變量列和有效百分比列，單擊插入，選中圖形（6）使用Excel作圖：柱狀圖和餅圖

69l

保留兩位小數(shù)點(diǎn)l

帶有百分號(hào)c.

其他要求：70制作圓餅圖71721.研究問題：求出樣本觀測(cè)量在數(shù)學(xué)、英語測(cè)驗(yàn)成績(jī)的描述性統(tǒng)計(jì)量。2.數(shù)據(jù)：4-1.sav（二）輸出描述性統(tǒng)計(jì)量

（1）打開數(shù)據(jù)文件：4-1.sav（2）單擊Analyze—Descriptive

Statistics—Descriptives（3）將“數(shù)學(xué)”和“英語”變量選入Variable(s)列表框（4）單擊Options

，選中相應(yīng)選項(xiàng)7s（5）SPSS輸出結(jié)果

78l

單擊Statistics

，選中相應(yīng)選項(xiàng)l

單擊Analyze—Descriptive

Statistics—Frequenciesl

將“數(shù)學(xué)”和“英語”變量選入Variable(s)列表框中方式二：

79l

SPSS輸出結(jié)果1.研究問題：輸出班級(jí)變量與性別變量的列聯(lián)表，并用柱狀圖表示（三）列聯(lián)表分析

2.數(shù)據(jù)：4-1.sav（2）單擊Analyze—Descriptive

Statistics—Crosstabs（3）將“班級(jí)”選入Row(s)

，將“性別”選入Column(s)（4）單擊Cells

，選中

Row,Column,Total等選項(xiàng)（1）打開數(shù)據(jù)文件4-1.sav

81（5）SPSS輸出結(jié)果

8a.將SPSS輸出結(jié)果復(fù)制到Excel中b.建立數(shù)據(jù)表格，選中行、列變量類別及數(shù)據(jù)，單擊插入-三維柱形圖。（6）使用Excel作圖：柱狀圖或條形圖84c.點(diǎn)擊圖形網(wǎng)格線，點(diǎn)擊右鍵，再單擊“刪除”

，去掉網(wǎng)格線。8s6d.

單擊柱形，點(diǎn)右鍵，單擊“添加數(shù)據(jù)標(biāo)簽”。8788e.

單擊左上角菜單欄中的“切換行列”。（6）使用Excel作圖：柱狀圖或條形圖

練習(xí)一遍剛才的演示l求出班級(jí)變量與性別變量的列聯(lián)表，并用柱狀圖表示。l

要求：數(shù)字保留2位小數(shù)點(diǎn)，帶有百分號(hào)%練習(xí)三二、復(fù)選題的描述統(tǒng)計(jì)

（一）頻數(shù)分析（二）列聯(lián)表分析91

數(shù)據(jù)文件4-2.sav中涉及一題：“您未來選擇孩子就讀的中學(xué)時(shí)，會(huì)考慮哪

些因素？”

該題可復(fù)選，共四個(gè)選項(xiàng)：學(xué)校辦學(xué)口碑、校長(zhǎng)領(lǐng)導(dǎo)風(fēng)格、學(xué)校升學(xué)率、

交通因素。

a1m1表示選項(xiàng)“學(xué)校辦學(xué)口碑”

，a2m2表示選項(xiàng)“校長(zhǎng)領(lǐng)導(dǎo)風(fēng)格”,a3m3

表示選項(xiàng)“學(xué)校升學(xué)率”

，a4m4表示選項(xiàng)“交通因素”

，以上四個(gè)變量均

為二分變量，1表示選中，0表示未選中。

統(tǒng)計(jì)各選項(xiàng)勾選的次數(shù)及百分比，并用柱狀圖表示（一）頻數(shù)分析

o

（1）讀取數(shù)據(jù)文件4-2.sav；o

（2）按Analyze—Multiple

Response—Define

Variable

Sets

…順序逐一單

擊鼠標(biāo)鍵，打開Define

Multiple

Response

Sets主對(duì)話框o

（3）

將所有選項(xiàng)變量選入變量集中編計(jì)數(shù)輸入命新

a1

。點(diǎn)擊Add

，增加生成新的虛擬變量$a93單擊Analyze—Multiple

Response—Frequencies復(fù)選題的頻數(shù)分析使用Excel作圖：柱狀圖或條形圖

a.將SPSS輸出結(jié)果復(fù)制到Excel中b.建立數(shù)據(jù)表格，單擊插入，選中圖形96c.選中百分比數(shù)據(jù)列，點(diǎn)擊菜單欄右上角的“排序和

篩選”

，選中“升序”

，并選中“擴(kuò)展選定區(qū)域”

97c.

選項(xiàng)排序練習(xí)一遍剛才的演示l求全體樣本在復(fù)選題一“您未來選擇孩子就讀的中學(xué)時(shí)，會(huì)考慮哪些因

素？”各選項(xiàng)勾選的次數(shù)及百分比，并用柱狀圖排序表示。l

要求：數(shù)字保留2位小數(shù)點(diǎn)，不帶有百分號(hào)。練習(xí)四

數(shù)據(jù)文件4-2.sav

統(tǒng)計(jì)不同年齡父母樣本在題項(xiàng)“您未來選擇孩子就讀的中學(xué)時(shí)，會(huì)考慮

哪些因素？”各選項(xiàng)勾選的個(gè)數(shù)、百分比情況，并用條形圖表示。（二）列聯(lián)表分析（1）單擊Analyze—Multiple

Response—Crosstabs（2）將需要分析的變量age選入行變量欄，并定義取值范圍。由于age變量

為三分變量，1表示“35歲以下”

，2表示“36-44歲”

，2表示“45歲以

上”，因此定義取值范圍最大值為3

，最小值為1。101

單擊Options

，打開設(shè)置

103結(jié)果報(bào)表

104a.將SPSS輸出結(jié)果復(fù)制到Excel中b.建立數(shù)據(jù)表格，單擊插入，選中圖形使用Excel作圖：柱狀圖或條形圖105三、排序題的描述統(tǒng)計(jì)

“對(duì)于子女小學(xué)高年級(jí)的學(xué)習(xí)科目，您重視的重要性次序?yàn)楹危?/p>

（請(qǐng)按不滿意程度

排序，1-最重視的學(xué)科，2-次重視的學(xué)科，3-第三重視的學(xué)科，4-第四重視的學(xué)科，

5-最不重視的學(xué)科）

”。

在數(shù)據(jù)文件4-2.sav中，a2m1為“語文”變量，a2m2為“數(shù)學(xué)”變量，a2m3為“英

語”變量，a2m4為“

自然”變量，a2m5為“社會(huì)”變量，它們均為分類變量，1

表示最重視的學(xué)科，2表示次重視的學(xué)科，3表示第三重視的學(xué)科，4表示第四重視

的學(xué)科，5表示最不重視的學(xué)科。

了解全體樣本“對(duì)于子女小學(xué)高年級(jí)的學(xué)習(xí)科目重視的重要性次序”情況并用柱

狀圖表示。（1）打開數(shù)據(jù)文件：4-2.sav（2）單擊Analyze—Descriptive

Statistics—Descriptives（3）將科目變量選入Variable(s)列表框中（4）單擊Options

，選中均值、標(biāo)準(zhǔn)差等描述性統(tǒng)計(jì)量107SPSS輸出結(jié)果

使用Excel作圖：柱狀圖或條形圖

a.將SPSS輸出結(jié)果復(fù)制到Excel中b.建立數(shù)據(jù)表格，單擊插入，選中圖形練習(xí)一遍剛才的演示l了解全體樣本對(duì)于題項(xiàng)二“對(duì)于子女小學(xué)高年級(jí)的學(xué)習(xí)科目”

，重視

的重要性次序，并用條形圖表示。l

要求：數(shù)字保留2位小數(shù)點(diǎn)，并排序練習(xí)五110（一）量表層面的加總（二）量表層面單題平均分（三）量表的描述統(tǒng)計(jì)四、量表題的描述統(tǒng)計(jì)n

數(shù)據(jù)文件4-3.savn該數(shù)據(jù)反映教師工作滿意度水平，將“教師工作滿意度”分為對(duì)領(lǐng)導(dǎo)

與管理的滿意度、對(duì)學(xué)校發(fā)展環(huán)境的滿意度、對(duì)付出-回報(bào)合理性的滿

意度、對(duì)自我實(shí)現(xiàn)的滿意度和對(duì)人際關(guān)系滿意度五個(gè)維度。n

“對(duì)領(lǐng)導(dǎo)與管理的滿意度”維度包含b1至b5變量5個(gè)題項(xiàng)，現(xiàn)對(duì)該維度

進(jìn)行加總。（一）量表層面的加總

（1）打開數(shù)據(jù)文件：4-3.sav（2）單擊Transform—ComputeVariable（3）在Compute

Variable對(duì)話框中輸入加總變量名稱（factor1）及計(jì)算公

式（sum

b1to

b5或b1+b2+b3+b4+b5）。113n

數(shù)據(jù)文件：4-3.savn

對(duì)“對(duì)領(lǐng)導(dǎo)與管理的滿意度”維度計(jì)算單題平均分。（1）單擊Transform—ComputeVariable；（2）在Compute

Variable對(duì)話框中輸入單題平均分變量名稱（ave1）及計(jì)

算公式（factor1/5）（二）量表層面的單題平均分

o

若我們要對(duì)量表“對(duì)領(lǐng)導(dǎo)與管理的滿意度”維度進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)即對(duì)新生成

的維度總分（factor1）和維度的單題平均分（ave1）進(jìn)行描述，需要進(jìn)行

如下操作：o

（1）讀取數(shù)據(jù)文件4-3.sav；o

（2）單擊Analyze—Descriptive

Statistics—Descriptives；o

（3）將新變量選入Variable(s)列表框中。（三）量表的描述統(tǒng)計(jì)116SPSS輸出結(jié)果

作業(yè)及練習(xí)

1.假如某班學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?3,50,87,79,83,88,65,79,83

。試用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別描述數(shù)學(xué)成績(jī)的集中趨勢(shì),用全距、四分位距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差分別描述數(shù)學(xué)成績(jī)的離散程度。2.利用SPSS軟件,將下列兩種數(shù)據(jù)分別制成頻數(shù)分布表,并繪制條形圖,給出它們的四分位數(shù)的

值,對(duì)它們的成績(jī)分布情況進(jìn)行比較。甲班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī):60,63,96,52,59,45,32,82,68,68,62,70,76,91,72,86,77,69,88,86,95,71,75,72,57,75,84,90,53,40,47,87,97,71,75,82,87,64,74,81乙班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī):48,61,78,39,40,60,72,65,43,76,52,50,54,55,64,99,67,63,74,67,75,85,78,96,66,44,88,82,58,95,67,77,89,56,73,62,88,63,50,913.使用數(shù)據(jù)文件“exe4-1.sav”

,給出教師性別變量與年齡變量的列聯(lián)表,并用柱形圖表示(要求:數(shù)字保留2位小數(shù)點(diǎn),帶有百分號(hào)“%”)。4.使用數(shù)據(jù)文件“exe4-1.sav”

,“教師學(xué)校認(rèn)同感”維度包含a1至a6共6個(gè)題

項(xiàng),求出“教師學(xué)校認(rèn)同感”維度總分和單題平均分,并進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)分析。作業(yè)及練習(xí)概率與概率分布學(xué)部本科科生課課程教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

北京師范大學(xué)教育學(xué)部胡詠梅隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件概率的兩種定義(統(tǒng)計(jì)、古典）概率的性質(zhì)概率的加法、乘法定理事件的概率計(jì)算隨機(jī)變量及其概率分布二項(xiàng)分布及其計(jì)算正態(tài)分布及其性質(zhì)正態(tài)分布表的使用正態(tài)分布在考試成績(jī)中的應(yīng)用37contents什么是隨機(jī)現(xiàn)象？在一定條件下，事先可以斷言必然會(huì)發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象，叫做確定性

現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象又分兩種情況：一是在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象，簡(jiǎn)稱

必然現(xiàn)象。二是在一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象，簡(jiǎn)稱為不可能現(xiàn)象。

在一定條件下，事先不能斷言會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象，叫做隨機(jī)現(xiàn)象。1.隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件什么是隨機(jī)試驗(yàn)？對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察叫做一次隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)反映了隨機(jī)現(xiàn)象的兩

個(gè)顯著特點(diǎn)：（1）一次試驗(yàn)之前，不能預(yù)言發(fā)生哪一種結(jié)果，這說明隨機(jī)現(xiàn)象具有偶

然性。（2）在相同條件下，進(jìn)行“大數(shù)次”的重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)某些

統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這說明隨機(jī)現(xiàn)象具有規(guī)律性。1.隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件什么是隨機(jī)事件？o

隨機(jī)試驗(yàn)的各種可能的結(jié)果，我們稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。o

“正面朝上”是一個(gè)事件A，

“反面朝上”是另一個(gè)事件B。1.隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件頻率o

設(shè)在N次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為n

，則稱n/N為事件A發(fā)生的頻率，

記作FN(A)。o2.概率的定義

（5.1）次數(shù)n與頻率

FN事

件試

驗(yàn)

次

數(shù)頻率所逼

近的定值1000020000300004000050000正面向上249460.49890.5000反面向上250540.50110.5000n487599221494119934FN0.48750.49610.49800.498451251007815059200660.51250.50390.50200.5016表

1拋硬幣的大數(shù)次試驗(yàn)所呈現(xiàn)的頻率向定值逼近的情況nFN概率o

將隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小稱作隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。o

概率的統(tǒng)計(jì)定義o

概率的古典定義

2.概率的定義

o

概率的統(tǒng)計(jì)定義與頻率是密切相關(guān)的，若隨機(jī)試驗(yàn)滿足以下條件：①

每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的可能性不變；②

試驗(yàn)?zāi)艽罅恐貜?fù)，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立。o

此時(shí)，事件A發(fā)生的概率就是事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值。2.概率的統(tǒng)計(jì)定義定義1在N次重復(fù)試驗(yàn)中，當(dāng)N無限增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率n/N穩(wěn)定在一個(gè)確定的常數(shù)附近，我們就用這個(gè)常數(shù)來表示事件A發(fā)生的概率，記

作P(A)。

（5.2）例：A表示事件“隨機(jī)拋扔質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上”

，則：P(A)=0.50002.概率的統(tǒng)計(jì)定義

概率的古典定義要求隨機(jī)試驗(yàn)滿足以下兩個(gè)條件：①每次試驗(yàn)中所可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的。這些結(jié)果叫作基本事

件。②每次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件的出現(xiàn)是等可能的，即每個(gè)基本事件出現(xiàn)的

可能性是相等的。2.概率的古典定義定義2

若某項(xiàng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，設(shè)共有n個(gè)，并且這些結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性。如果這些結(jié)果中的m個(gè)出現(xiàn)將導(dǎo)致事件A發(fā)生，

則事件A的概率為：

（5.3）n2.概率的古典定義例如,拋硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其基本事件只有兩個(gè)：A=“正面朝上”，

B=“反面朝上”

，而且這兩個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等，所以拋硬幣時(shí)出

現(xiàn)事件A的概率為：1

2.概率的古典定義學(xué)生從三道題中任選兩題有三種可能的結(jié)果：第一題和第二題；第一題和第三題；第二題和第三題。所以，基本事件數(shù)n=3。如果用A表示事件“恰好抽到第一題和第二題”

，則A只包含前述三個(gè)結(jié)果中的一個(gè)。因此，m=

1

。于是，事件A發(fā)生的概率為：P(A)=1/3。例5-1：某學(xué)生從教師準(zhǔn)備好的三道試題中隨機(jī)抽出兩道題，問恰好抽到第一題和第二題的概率是多少？事件的概率計(jì)算

例5-2：在一個(gè)盒子中有10個(gè)球，分別標(biāo)有1

、2

、

…

、10

，現(xiàn)在隨機(jī)地取出一個(gè)球，求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。解：用A表示“抽到偶數(shù)球

”這一事件?；臼录?shù)n為10

，事件A

包含的基本事件的個(gè)數(shù)m為5

（即抽到2

、4

、6

、8

、10號(hào)球）

，所以抽到

偶數(shù)球的概率為:P(A)

=

=

=

事件的概率計(jì)算以上兩種定義的概率都具有以下基本性質(zhì)：①

非負(fù)性：

P(A)≥0。②正規(guī)性：

必然事件Ω發(fā)生的概率為：P(Ω)=1③

事件A的逆事件

A（即“A不發(fā)生”這一事件）發(fā)生的概率：

P(A)=

1-P(A)。3.概率的性質(zhì)例5-3：在五選一的單項(xiàng)選擇題中，每題有5個(gè)備選的答案，即n=5

，但只

有1個(gè)是正確答案，即m=

1

，如果一個(gè)答題者不具備答此題的知識(shí)，他完全憑隨機(jī)猜測(cè)，那么他回答正確的概率P(A),

回答錯(cuò)誤（即逆事件A

）

的概率

=

1-P

事件的概率計(jì)算?

加法定理設(shè)A1

，A2

，

?

,

An

是n個(gè)互不相容的事件，即它們中任何兩個(gè)都不

可能同時(shí)發(fā)生。則“A1

，A2

，

?

,

An

中至少有一個(gè)發(fā)生”這個(gè)事件的概

率是這n個(gè)互不相容事件的概率之和，即：P(A1+A2

+

…+An)=P(A1)+P(A2)+

…+P(An)(5.4)其中A1

+A2

+

…+An表示“A1

，A2

，

?

,

An

中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事

件。4.概率的加法和乘法定理例5-4：有一個(gè)盒中有紅色粉筆8支，藍(lán)色粉筆7支，白色粉筆5支，問任意摸得一支紅色或藍(lán)色粉筆的概率是多少？解：設(shè)摸出一支紅色粉筆的事件為A

，摸出一支藍(lán)色粉筆的事件為B

，

事件A和事件B是互不相容的。由于盒中共有20支粉筆，所以，

即任意摸得一支紅色或藍(lán)色粉筆的概率是

4

。事件的概率計(jì)算根據(jù)加法定理?

乘法定理設(shè)A1

，A2

，

?

,

An

是n個(gè)相互獨(dú)立的事件，即它們中任何一個(gè)事件是

否發(fā)生都不會(huì)影響其它事件的發(fā)生。則“n個(gè)相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生”這一事件的概率是n個(gè)相互獨(dú)立事件的概率之積，即：P(A1A2…An)=P(A1)?P(A2)

…P(An)（5.5）其中A1A2…An

表示“n個(gè)相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生”這一事件。4.概率的加法和乘法定理例5-5：某年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中有10道四選一的單項(xiàng)選擇題，若一考生全憑隨機(jī)猜測(cè)，則他將這10道題全猜對(duì)的概率有多大？解：設(shè)Ai表示“該生猜對(duì)第i題”這一事件，i=

1,2,

…

,

10

。顯然，這10

個(gè)事件相互獨(dú)立，且P(Ai

,i=

1,2,

…

,

10

。根據(jù)乘法定理，

即他將這10道題全猜對(duì)的概率是0.00000094

，這個(gè)概

率是相當(dāng)小的，接近于0。事件的概率計(jì)算?

隨機(jī)變量表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量，即隨機(jī)變量是隨機(jī)事件

的數(shù)量化表示。隨機(jī)變量每取一個(gè)數(shù)值，就表示一個(gè)隨機(jī)事件，變量取

不同的數(shù)值就表示不同的事件。例如，某班有男女生各若干名，如果從班上隨機(jī)抽取1人，則抽得學(xué)

生的性別是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象（可將性別作為隨機(jī)變量）

，結(jié)果可能是男，

也可能是女。如果我們用1表示“男

”

，0表示“

女

”

，則這兩個(gè)事件

（

“抽得一名男生”和“抽得一名女生”

）便各有一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。6.隨機(jī)變量及其概率分布o(jì)

隨機(jī)變量按其取值是否連續(xù)，可以分為非連續(xù)型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)

變量。o

在非連續(xù)型隨機(jī)變量中，如果它的取值可以按照一定次序一一列舉出來，

則稱之為離散型隨機(jī)變量。例如，從10人中抽出2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，抽取的結(jié)果按性別分共有三種

情況，如果用上述方法加以量化，即用0表示“抽到2個(gè)女生”

，用1表

示“抽到2個(gè)男生”

，用2表示“抽到1男1女”

，則變量可能取的值為0

、

1與2

，我們當(dāng)然可以將它們一一列舉出來。因此，抽出2人的性別變量

是離散型變量。6.隨機(jī)變量及其概率分布對(duì)離散型隨機(jī)變量X

，當(dāng)我們把它們可能取的每一個(gè)值xi

和與之對(duì)應(yīng)

的概率P(X=xi)=pi

列入表中，則我們就能夠全面地展示離散型隨機(jī)變量X

的概率分布，從而掌握它的取值規(guī)律。XPx1

x2

…

…

xi

…

…p1

p2

…

…

pi

…

…離散型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可取的值是充滿整個(gè)取值區(qū)間的。因此，人們研究連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布時(shí)，所考察的都是它在一個(gè)個(gè)區(qū)間上的取值的

概率。連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)間[x1,

x2]中取值的概率用P(x1≤X≤x2

)

表示，其分

布規(guī)律由密度函數(shù)f(x)

決定。

(5.6)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布

o

二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)

用。它適用于n次獨(dú)立試驗(yàn)即貝努里（Bernoulli）概型問題，貝努里概

型具有以下的特點(diǎn)：1）n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的（所謂相互獨(dú)立是指各次

試驗(yàn)的結(jié)果彼此間沒有什么影響）。2）每次試驗(yàn)都是在相同的條件下進(jìn)行，并且只有兩

個(gè)結(jié)果A和A：P(A)=p,P(A)=1-p=q。7.離散型變量的分布--二項(xiàng)分布如果用隨機(jī)變量X表示在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則有P(X

=

k)

=

C

pk

qn-k

(p>0,q=

1-p,k=0,

1,2,

…

,n)(5.7)稱X服從二項(xiàng)分布。7.離散型變量的分布--二項(xiàng)分布例5-6：有10道是非題，若一考生完全不懂，全憑猜測(cè)作答，問分別答對(duì)5道題、6道題的概率各為多少？至少猜對(duì)1道題的概率又是多少？解：把考生回答一道題看作一次試驗(yàn)，則回答10道題是10次相互獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，記答對(duì)的概率為p

，答錯(cuò)的概率為q

，則

p=q=

1/2。貝努里（Bernoulli）概型用隨機(jī)變量X表示10次試驗(yàn)中答對(duì)的題數(shù)，由公式（5.7）得：猜中5道題的概率為：

猜中6道題的概率為：

二項(xiàng)分布

至少猜中1道題的概率為：P（至少猜中1道題）=

1-P(10道題全答錯(cuò))=

1-P(X=0)=

1-

C

p

0

q

10=

1-

|((

,)|

=0.9990210100二項(xiàng)分布

可以證明，二項(xiàng)分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：μ

=np

(5.8)σ

2

=npq

(5.9)

(5.

10)理論上可以證明，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。二項(xiàng)分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差?正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的密度函數(shù)：

(5.

11)其中μ和σ

2分別為正態(tài)分布的均值和方差。我們將該分布記作

X~N(μ,σ

2

)

。2當(dāng)

μ

=0,

σ

2

=1時(shí)，分布密度為

。此時(shí)，我們稱隨機(jī)變量X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,

1)。8.正態(tài)分布及其性質(zhì)正態(tài)分布的密度曲線?

曲線呈鐘形，且位于x軸的上方。?以直線

x=μ為對(duì)稱軸，向左、右無限延伸，且以x軸為漸近線。即當(dāng)

x→+∞

時(shí)，f(x)→0

，但曲線始終不與x軸相交。?

當(dāng)

x

=

μ

時(shí)，曲線處于最高點(diǎn)，即當(dāng)x=μ

時(shí)，f(μ)

=

為最大值；曲線呈現(xiàn)“

中間高，兩邊低”的形狀。正態(tài)分布的特征正態(tài)曲線與x軸之間的面積等于1

，而且曲線f(x)與兩直線x=x1

、x=x2

(

x1<x2

)

及x軸所圍成的面積等于隨機(jī)變量x落入?yún)^(qū)間(x1

,x2)的概率，即概

率P(x1

<x<x2)為圖中陰影部分的面積。正態(tài)分布的特征

正態(tài)分布N(μ,σ2

)是由均值

μ

和標(biāo)準(zhǔn)差

σ唯一決定的分布。如下圖所示。正態(tài)分布

則Z~N(0,1)

。利用(5.

12)式可將各種形狀的正態(tài)曲線轉(zhuǎn)換成前圖所示的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。正態(tài)分布表包括以下三列：第一列表示曲線底線即橫軸上的位置，用Z表示。對(duì)于正態(tài)分布x

~N(μ,σ

2

)而言σ正態(tài)分布表的使用

若x

~

N(μ,σ

2

)

，令

(5.

12)第二列是縱高Y

，即曲線的高度。對(duì)于某Z0值縱高Y的值由

計(jì)算。第三列是上圖中陰影部分的面積，用P表示，即P(0<Z≤Z0)。P如Z=

1時(shí)，P=0.3413；

Z=2時(shí)，P=0.4772；

Z=3時(shí)，P=0.4987。9.正態(tài)分布表的使用使用正態(tài)分布表時(shí)要注意以下兩個(gè)問題：（1）

正態(tài)分布表只列出Z≥0

所對(duì)應(yīng)的縱高和面積。當(dāng)Z≤0時(shí)，可根據(jù)正

態(tài)曲線的對(duì)稱性，在正態(tài)分布表中查出-Z所對(duì)應(yīng)的面積和縱高即可。即P(Z0<Z≤0)=P(0<Z≤-Z0)，例如，P(-1<Z<0)=P(0<Z<1)。（2）對(duì)服從正態(tài)分布N(μ,σ

2

)的變量x

，先進(jìn)行變換

z=(x

-μ)

/

σ轉(zhuǎn)化為

Z值后，才能查表。9.正態(tài)分布表的使用例5-7：設(shè)X服從正態(tài)分布X~

N(μ,σ

2

)

,求以下事件的概率。(1)P(μ—σ≤

x≤μ

+

σ)(2)

P(μ—

2σ≤x≤μ

+

3σ)(3)

P(μ—

2.79σ≤x≤μ

+

2.79σ)

9.正態(tài)分布表的使用

(1)P(μ—σ≤x≤

μ

+

σ)=P(—σ

≤

x

—μ

≤

σ)

σ=P(—1≤Z≤1)=2P(0≤Z

≤1)=2

×

0.3413=0.6826(2)

P(μ-

2σ≤

x≤

μ

+

3σ)=P(-2σ

≤

x

-μ

≤

3σ)

σ=P(-2≤

Z≤3)=P(-2≤Z≤0)

+

P(0<

Z≤3)=0.4772+

0.4987=0.9759(3)

P(μ一

2.79σ≤x≤μ

+

2.79σ)=P(一2.79σ

≤x

一

μ

≤2.79σ)

σ=P(一2.79≤Z

≤2.79)=2P(0<Z

≤2.79)=2

×

0.4974=0.9948例5-8：Z~N(0,

1)

，已知下列概率，求對(duì)應(yīng)的Z值。(1)P(0<Z≤Z0)=0.3765(2)P(-Z0<Z≤Z0)=0.2661(3)

P(Z

≥Z0

)=0.059.正態(tài)分布表的使用（1）P(0<Z≤Z0)=0.3765解：從正態(tài)分布表中第三列找出與概率0.3765相近的值為0.37698

，對(duì)應(yīng)

的Z0

≈

1.

16

。(2)P(-Z0<Z≤Z0)=0.2661解：由對(duì)稱性，P(0<Z≤Z0)=1/2P(-Z0<Z≤Z0)=0.2661/2=0.

13305,查表第三列得與之相近的數(shù)為0.

13307

，因而所對(duì)應(yīng)的Z0=0.34.9.正態(tài)分布表的使用(3)P(Z≥Z0

)=0.05P(0<Z≤Z0)=1/2-P(Z≥Z0)=0.5-0.05=0.495,查表第三列0.495所對(duì)應(yīng)的Z0

≈

2.58。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱為Z分?jǐn)?shù)，它以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，反映了一個(gè)分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所

處的位置。若已知一個(gè)總體，則這個(gè)總體中的原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)用下式計(jì)算：

(5.

13)其中Z為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，x

為原始分?jǐn)?shù)，μ

為總體平均數(shù)，σ

為總體標(biāo)準(zhǔn)差。10.正態(tài)分布在考試成績(jī)中的應(yīng)用若總體的μ

和

σ

未知，我們通常用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替，即用如下公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：

(5.

14)其中Z為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，x為原始分?jǐn)?shù)，x

為樣本平均數(shù)，S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。易證，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z的均值為0

，方差為1

。若x服從正態(tài)分布x~N(μ,σ

2

)

,

則其標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)z=