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文檔簡介
廣東省深圳市紅嶺中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.2.直線與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切3.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.4.若,則()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.6.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.7.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.08.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.9.在正方體中,點、分別為、的中點,過點作平面使平面,平面若直線平面,則的值為()A. B. C. D.10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.6124211.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內(nèi)一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.812.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為14.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個學(xué)生的編號是__________.15.某中學(xué)舉行了一次消防知識競賽,將參賽學(xué)生的成績進行整理后分為5組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組,已知第二組的頻數(shù)是80,則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________.16.在平面直角坐標系中,曲線在點處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若點,的面積為3,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個極值點為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.18.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.19.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點的直線交橢圓于、兩點,若,在線段上取點,使,求證:點在定直線上.20.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點與極值.(2)當,時,證明:.21.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為:(其中為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))(1)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求曲線的極坐標方程;(2)若曲線與直線交于兩點,點的坐標為,求的值.22.(10分)已知數(shù)列{an}滿足條件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;(Ⅱ)設(shè)bn=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Sn.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由已知畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
由幾何法求出圓心到直線的距離,再與半徑作比較,由此可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意,圓的圓心為,半徑,∵圓心到直線的距離為,,,故選:D.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當時,則,;當時,,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時,,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時要注意對的取值范圍進行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.4、D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.5、C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.6、C【解析】
對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于,,是偶函數(shù),故選項錯誤;對于,,定義域為,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項錯誤;對于,當時,;當時,;又時,.綜上,對,都有,是奇函數(shù).又時,是開口向上的拋物線,對稱軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項正確;對于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點,得到每爬1步回到起點,周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達哪個點,即可計算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點,可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點;同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點,所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.8、A【解析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對新定義的理解.9、B【解析】
作出圖形,設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,推導(dǎo)出,由線面平行的性質(zhì)定理可得出,可得出點為的中點,同理可得出點為的中點,結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示:設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,四邊形為正方形,、分別為、的中點,則且,四邊形為平行四邊形,且,且,且,則四邊形為平行四邊形,,平面,則存在直線平面,使得,若平面,則平面,又平面,則平面,此時,平面為平面,直線不可能與平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四邊形為平行四邊形,可得,為的中點,同理可證為的中點,,,因此,.故選:B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.10、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。11、B【解析】
取中點,可確定;根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M行拆解,進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解.12、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.14、18【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.15、30【解析】
根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計算樣本容量,再計算成績在80~100分的頻率,繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是,則樣本容量是,又成績在80~100分的頻率是,則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是.故答案為:30【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,數(shù)形運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
對求導(dǎo),再根據(jù)點的坐標可得切線方程,令,可得點橫坐標,由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)求導(dǎo).根據(jù)單調(diào),轉(zhuǎn)化為對恒成立求解(2)由(1)知,是的兩個根,不妨設(shè),令.根據(jù),確定,將轉(zhuǎn)化為.令,用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】(1)的定義域為,.因為單調(diào),所以對恒成立,所以,恒成立,因為,當且僅當時取等號,所以;(2)由(1)知,是的兩個根.從而,,不妨設(shè),則.因為,所以t為關(guān)于a的減函數(shù),所以..令,則.因為當時,在上為減函數(shù).所以當時,.從而,所以在上為減函數(shù).所以當時,.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題.18、(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因為圓E為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓(點不在軸上),所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,(2)因為,故四邊形為平行四邊形.當直線l的斜率不存在時,則四邊形為為菱形,故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD,∵點D在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程,考查橢圓中四邊形面積的計算,考查橢圓中的定值問題,考查運算求解能力,屬于中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組,解出、的值,進而可得出橢圓的標準方程;(2)設(shè)點、、,設(shè)直線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,并列出韋達定理,由向量的坐標運算可求得點的坐標表達式,并代入韋達定理,消去,可得出點的橫坐標,進而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,解得,.所以橢圓的方程是;(2)設(shè)直線的方程為,、、,由,得.,則有,,由,得,由,可得,,,綜上,點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了點在定直線上的證明,考查計算能力與推理能力,屬于中等題.20、(1)極小值點為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】
先對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性
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