《機械優(yōu)化設(shè)計（第7版）》課件 孫靖民 第7章多目標及離散變量優(yōu)化；第8章機械優(yōu)化設(shè)計實例

機械優(yōu)化設(shè)計第七章

多目標和離散變量優(yōu)化方法第一節(jié)多目標優(yōu)化問題第二節(jié)多目標優(yōu)化方法第三節(jié)離散變量優(yōu)化問題第四節(jié)

離散變量優(yōu)化方法機械設(shè)計中，同時要求幾項設(shè)計指標達到最優(yōu)的問題

——多目標優(yōu)化設(shè)計問題多目標優(yōu)化問題的類型：

(1)整體多目標優(yōu)化

(2)分層(步)多目標優(yōu)化多目標優(yōu)化問題與單目標優(yōu)化問題有根本性區(qū)別:①單目標問題可以得到最優(yōu)解，而多目標問題往往得不到最優(yōu)解，而只能得到非劣解（有效解）②多目標優(yōu)化問題的任意兩個設(shè)計方案，往往不易于比較其優(yōu)劣。第一節(jié)多目標優(yōu)化問題TlRxRxxfxfxfxFnn)]()(),([)(21minmin..??=判別方案的優(yōu)劣：單目標：只要用f(x)去比較即可絕對最優(yōu)解：多目標優(yōu)化設(shè)計時，幾個分目標同時達到最優(yōu)的解。絕對最優(yōu)解幾乎不可能找到，因為各分目標函數(shù)有時會相互矛盾。非劣解(有效解)：指有m個目標函數(shù)，找不到一個x，使得其中一個目標函數(shù)值fi(x)比fi(x*)更好，而其余(m-1)個目標函數(shù)值不變壞，則稱x*為非劣解（有效解）;多目標優(yōu)化設(shè)計時，各分目標往往互相矛盾，甚至對立，這就需在各分目標函數(shù)之間協(xié)調(diào)，互相作些讓步，以便取得較好的方案。

多目標：（j=1,2,…l）例1在最優(yōu)解為：但兩者無共同的最優(yōu)解內(nèi)兩單目標函數(shù)]2,0[?x①內(nèi)，(若，對任意都有，則x*是多目標優(yōu)化的絕對最優(yōu)解)③若，且不存在使，則x*為非劣解。的所有點均為非劣解。是絕對最優(yōu)解。內(nèi)，a’，a點都是劣解（若，存在，有②則x*成為劣解。）Dxx*?例如b點。一、主要目標法基本思想：多個目標中選擇一個目標作為主要目標，而其它目標則只需滿足一定的要求即可，即將目標轉(zhuǎn)化為約束條件目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為：二、統(tǒng)一目標法基本思想：將多目標優(yōu)化問題，通過一定方法轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一目標函數(shù)或綜合目標函數(shù)作為多目標優(yōu)化問題的評價函數(shù)。第二節(jié)多目標優(yōu)化方法式中，fimin和f

imax為第i個目標函數(shù)的上、下限。一般只有單邊限制1．線性加權(quán)法基本思想：將各個分目標函數(shù)依其數(shù)量級和在整體設(shè)計中的重要程度相應(yīng)地給出一組構(gòu)成一新的統(tǒng)一的目標函數(shù)F(x)wi——加權(quán)因子(wi≥0，i=1,2,…，l)加權(quán)因子取值對計算結(jié)果的正確性影響較大。常用的方法有：線性加權(quán)法、理想點法（目標規(guī)劃法）、功效系數(shù)法和極大極小法等。加權(quán)因子，,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l)的線性組合，為消除各分目標在量級上的差別，先將分目標函數(shù)fi(x)轉(zhuǎn)化為無量綱等量級目標函數(shù)再組成統(tǒng)一目標函數(shù)。wi——按各分目標的重要程度來決定如各分目標有相同的重要性，則取wi=1(i=1,2,…,l)—稱為均勻計權(quán)，否則取各分目標不同的加權(quán)因子，取將fi(x)轉(zhuǎn)換為無量綱的等量級目標函數(shù)的方法①將各分目標轉(zhuǎn)化后加權(quán)加權(quán)因子wi確定的方法:設(shè)各分目標函數(shù)值的變動范圍為：②即將各單目標函數(shù)的最優(yōu)值的倒數(shù)作為權(quán)系數(shù)，它反映了各單目標函數(shù)離開各自最優(yōu)值的程度。另外相當(dāng)于各分目標函數(shù)進行了無量綱的處理，而消除了各分目標在數(shù)量級上的差別。其中，w1i——本征權(quán)因子，反映各分目標的重要程度w2i——校正權(quán)因子，調(diào)整各分目標間量級差別的影響加權(quán)因子w2i愈小，反之，亦然。這樣可調(diào)整不同的目標函數(shù)值同步下降。③直接加權(quán)法一個分目標函數(shù)fi(x)變化越快，的值越大，將加權(quán)因子分成兩部分一般?。簑i=w1i·w2i

(i=1,2,…,l)基本思想：先定出各分目標函數(shù)的最優(yōu)值，根據(jù)多目標優(yōu)化設(shè)計的總體要求對這些最優(yōu)值進行調(diào)整，定出各分目標的最合理值（也可以是最優(yōu)值），再構(gòu)造新的統(tǒng)一的式中，除如引入加權(quán)系數(shù)wi，則目標函數(shù)為：2．理想點法（目標規(guī)化法）是為使目標函數(shù)無量綱化。目標函數(shù)：V——其中，則統(tǒng)一目標函數(shù)為即要求位于分子的各分目標函數(shù)應(yīng)盡量小，而位于分母的各分目標函數(shù)應(yīng)盡量大。一般要求各分目標函數(shù)fi(x)在D上均取正值。3．分目標乘除法多目標混合優(yōu)化問題：基本思想：對應(yīng)每一目標函數(shù)都用功效系數(shù)來表示該項指標的好壞總功效系數(shù)（評價函數(shù)）C值越大越好，C=1---方案最滿意C=0---表示此方案不能被接受。只要有一個方案，Ci=0，此方案都不能被接受功效系數(shù)類型：1）Ci與fi成正比，即要求目標函數(shù)越大越好2）Ci與fi成反比，即要求目標函數(shù)越小越好3）fi取某適當(dāng)值時，Ci就越大；否則Ci就越小。4．功效系數(shù)法功效系數(shù)的確定方法：①直線法②折線法③指數(shù)法功效系數(shù)法的優(yōu)點：

1、各分目標函數(shù)的值數(shù)量級大小對優(yōu)化無影響

2、評價函數(shù)比較直觀、易于調(diào)整

3、適于要求目標函數(shù)取值適中的情況基本思想：多目標優(yōu)化問題中，存在目標函數(shù)間相互矛盾的情況，一個（些）目標函數(shù)值的減小，將導(dǎo)致另一個（些）目標函數(shù)值的增大。因此，各分目標函數(shù)值之間需要進行協(xié)調(diào)，以便取得合理的方案。如圖所示，兩維雙目標函數(shù)f1(x)、f2(x)的等值線和兩個不等式約束曲面.三、協(xié)調(diào)曲線法f1(x)最優(yōu)點T點，f2(x)最優(yōu)點P點可行域中任意一點R.

從R點起沿f1(x)=5等值線，向約束面移動f2(x)不斷改善，直至邊界上S點。從R點起沿f2(x)=8等值線，向約束面f1(x)移動不斷改善，直至邊界上Q點。f1(x)=5時，對應(yīng)f2(x)的最佳點為S點由此可得f1(x)（或f2(x)）為定值時對應(yīng)的最佳f2(x)（或f1(x)）的點關(guān)系曲線T-Q-S-P—協(xié)調(diào)曲線。f2(x)=8時，對應(yīng)f1(x)的最佳點為Q點。均為約束邊界點S、Q點都比R點優(yōu)該曲線反映了兩個設(shè)計目標全部最佳方案的調(diào)整范圍,再建立一個衡量設(shè)計方案滿意程度的準則，建立一組反映不同滿意程度的曲線u(f1,f2)，使隨著滿意度增加，同時使目標函數(shù)f1(x)和f2(x)都有所下降。滿意度曲線與協(xié)調(diào)曲線的切點，即為最優(yōu)設(shè)計方案。如圖所示O點滿意度曲線不同，則最優(yōu)設(shè)計方案也不同?；舅枷耄簩⒍嗄繕藘?yōu)化問題的各目標函數(shù)按重要程度排列，然后，依次對各個目標函數(shù)求最優(yōu)解，而后一目標函數(shù)應(yīng)在其前面目標函數(shù)最優(yōu)解的集合域內(nèi)尋優(yōu)。1、分層序列法設(shè)分目標函數(shù)重要程度次序為：f1(x)、f2(x)，…則首先對f1(x)尋優(yōu)：在的集合內(nèi)對f2(x)尋優(yōu)：四、分層序列法和寬容分層序列法問題：如其中第k個目標函數(shù)的最優(yōu)解為唯一時，再往下求解就失去意義，而后面l-k個目標函數(shù)也沒法得到最優(yōu)化解。以下類推。2、寬容分層序列法基本思想：即先對各目標函數(shù)的最優(yōu)值取一定的寬容量ε1，ε2，…，εl(>0)，使求后一個目標函數(shù)最優(yōu)值時，對前一些目標函數(shù)的約束擴大為在其最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)。②③……④①如圖，兩目標優(yōu)化問題，不作寬容時，為最優(yōu)解，即f1(x)的嚴格最優(yōu)解，給定寬容值ε1，則最優(yōu)解為x(1)例1用寬容分層序列法求解式中，解：如圖所示，由給定ε1=0.052，解∴V—

等間隔的離散變量非均勻間隔離散變量→特例：整數(shù)變量—整數(shù)規(guī)劃問題最簡單處理辦法：按連續(xù)變量處理，得最優(yōu)解后，再圓整為最近的離散值問題：①圓整后的點在非可行域;②圓整為哪一個附近的離散值難于確定;③有些情況下設(shè)計變量不允許最后取整。第三節(jié)離散變量優(yōu)化問題一、概述離散變量式中——離散變量子集合xD為空集時，為連續(xù)變量型問題xC為空集時，為全離散變量型問題——連續(xù)變量子集合約束非線性混合離散變量優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型：一、約束非線性離散變量的優(yōu)化方法常用方法：

1)以連續(xù)變量優(yōu)化為基礎(chǔ)的方法：

圓整法、擬離散法、離散型罰函數(shù)法

2)離散變量隨機優(yōu)化方法：隨機試驗法，隨機離散搜索法

3)離散變量搜索優(yōu)化方法：

組合優(yōu)化法，整數(shù)梯度法

4)其它離散變量優(yōu)化方法：

非線性隱枚舉法，分支定界法第四節(jié)離散變量優(yōu)化方法(一)以連續(xù)變量優(yōu)化為基礎(chǔ)的方法1、整型化、離散化法（圓整法、湊整法）

基本思想：先按連續(xù)變量方法求得最優(yōu)解x*，再進一步尋找整型量或離散量優(yōu)化解。設(shè)最優(yōu)點的n個實型分量為，則最靠近的兩個離散量（或整型量）由這些離散（整型）分量的不同組合，便構(gòu)成了最鄰近于實型最優(yōu)點x*的兩個整型（離散）分量及其相應(yīng)一組離散（整型）點群共2n個設(shè)計點。去除不在可行域內(nèi)點，其余在可行域內(nèi)的若干點中，選取一個目標函數(shù)值最小的點作為最優(yōu)解輸出。問題：如中圖:x*點（通常在約束邊界上）附近的離散點（整型點）均不在可行域內(nèi)的情況如右圖:離x*較遠的點P為離散最優(yōu)點的情況。如左圖，x*點附近整型（離散）點群為ABCD。B點在可行域外，C點為最優(yōu)點。2．?dāng)M離散法

基本思想：在求得連續(xù)變量最優(yōu)解x*后，在x*點附近按一定方法進行搜索來求得優(yōu)化離散解。

(1)交替查找法：適于全整數(shù)變量優(yōu)化問題（略）

(2)離散分量取整，連續(xù)分量優(yōu)化法：適用于混合離散變量優(yōu)化問題（略）基本思想：將設(shè)計變量的離散性視為對該變量的一種約束條件，再用連續(xù)變量的優(yōu)化方法來計算離散變量問題的優(yōu)化解。

1）構(gòu)造一個具有下列性質(zhì)的離散懲罰函數(shù)項Qk(xD)3、離散懲罰函數(shù)法RD—設(shè)計空間離散點的集合其意義為：當(dāng)離散變量趨于離散值時，懲罰函數(shù)值為零離散懲罰函數(shù)定義方法:其中，xi為相鄰兩離散點xij和xij+1間任一點坐標。Qk(xD)為規(guī)范化的對稱函數(shù)，其最大值為1，xi取xij或xij+1時為0。如圖,對βk≥1情形，在離散值之間范圍內(nèi)，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。(1)2）將離散懲罰函數(shù)項Qk(xD)加到內(nèi)點法SUMT的懲罰項中，得離散懲罰函數(shù)為：其中，s(k)為離散懲罰因子，

∴時例1求f(x)=x/2的最小整數(shù)優(yōu)化解，約束函數(shù)

g1(x)=1.3-x≤0如圖所示，分別表示k不同時，離散優(yōu)化點

最終離散最優(yōu)解為[x]2

變化情況隨著k不斷變化，r減小，s增加

方法缺點：離散懲罰函數(shù)易出現(xiàn)病態(tài)，使優(yōu)化搜索帶來困難。(二)離散變量搜索型方法——離散復(fù)合形法特點：在離散空間直接搜索，每次得到的復(fù)合形頂點都是離散點，通過不同的搜索方法來改變其形狀，使復(fù)合形逐步向離散最優(yōu)點趨近。算法步驟：1)在n維空間產(chǎn)生由2n+1個頂點構(gòu)成的初始復(fù)合形，并將各頂點移到各自附近的離散點上。2)將各項點按目標函數(shù)值由大到小排列，找出最壞點AH3)找出除最壞點外復(fù)合形的幾何中心，并求出最壞點AH相對于中心點的反射點Ap并移到附近離散點上。4)如Ap點可行，且目標函數(shù)值比AH點好，則用Ap替代AH點，組成新復(fù)合形→轉(zhuǎn)步驟2。否則，沿反射的反方向搜索定新點。5)如用上述方法失敗，則依次用次壞點…代替最壞點作為映射點，轉(zhuǎn)步驟3）6)如用最好點代替AH作為映射點，仍找不到好點，或復(fù)合形退化到n-1維空間時，表示算法收斂。此時，取復(fù)合形頂點中最好的點作為離散優(yōu)化解。(三)分支定界法離散變量的分支定界法是一種解線性整數(shù)規(guī)劃問題的有效方法。此法與線性整數(shù)規(guī)劃的分支定界法相似，步驟如下：1）設(shè)所討論問題為求極小化的問題，先求出元問題不考慮整數(shù)或離散約束的非線性問題的連續(xù)變量解。2）對非整數(shù)變量，可將分解為整數(shù)部分和小數(shù)部分。3）構(gòu)造兩個子問題：上界約束，下界約束4）將上述兩個子問題按連續(xù)變量非線性問題求優(yōu)化解。5）重復(fù)上述過程，不斷分支，并求得分支產(chǎn)生的子問題的優(yōu)化解，直到求得一個離散解為止。6）在上述求解過程中，每個節(jié)點最多能分出兩個新的節(jié)點。7）當(dāng)下列情況出現(xiàn)時，則認為相應(yīng)的節(jié)點以及它以后的節(jié)點已考察清楚8）當(dāng)所有節(jié)點都考察清楚后，尋求工作結(jié)束，此時最好的整數(shù)解或離散解就是該問題的離散優(yōu)化解。(四)離散變量型網(wǎng)格法

1.離散變量型普通網(wǎng)格法基本思想：以一定的變量增量為間隔，把設(shè)計空間劃分為若干個網(wǎng)格，計算在可行域內(nèi)每個網(wǎng)格節(jié)點上的目標函數(shù)值，比較其大小，再以目標函數(shù)值最小的節(jié)點為中心，在其附近空間劃分更小的網(wǎng)格，并計算各節(jié)點上的目標函數(shù)值，直至網(wǎng)格小到滿足精度——網(wǎng)格節(jié)點密度與離散點密度相等。開始時→網(wǎng)格比較稀疏→網(wǎng)格節(jié)點密度逐漸增加→直至按一個離散增量劃分網(wǎng)格節(jié)點為止。2．離散變量型正交網(wǎng)格法普通網(wǎng)格法的缺點：變量維數(shù)增加時，計算工作量大大增加正交網(wǎng)格法基本思想：根據(jù)正交試驗法的原理，利用正交表均勻地選取網(wǎng)格法中一部分有代表性的網(wǎng)格點作為計算點，又稱隨機正交網(wǎng)格法。正交網(wǎng)格法的特點：只計算部分網(wǎng)格點的目標函數(shù)值，計算工作量少。(五)離散變量的組合型法（MDCP法）

——工程離散優(yōu)化通用方法基本思想：以離散復(fù)合形法為基礎(chǔ)，采用多種離散搜索策略，形成的具有多種功能的組合型算法。適于求解非線性混合離散變量優(yōu)化問題1．初始離散復(fù)合形頂點的形成復(fù)合形頂點數(shù)k=2n+1給定初始離散點x(0)，x(0)須滿足變量值的邊界條件，但不必滿足約束條件，即式中，ximin，ximax分別為第i個變量的下、上限點號數(shù)分量號數(shù)復(fù)合形的2n+1個頂點按下面方法產(chǎn)生第1個頂點：第2至n+1個頂點：第n+2至2n+1個頂點：如此產(chǎn)生的復(fù)合形頂點，不要求全是可行點，如圖，5個初始復(fù)合形頂點中，C、D兩點為不可行點。例如二維：2、離散一維搜索產(chǎn)生新點將復(fù)合形頂點目標函數(shù)值排隊，找出目標函數(shù)值最大的點為最壞點，x(b)以x(b)為基點，向其余各頂點的幾何中心x(e)方向作一維搜索，采用映射、延伸或收縮等步驟搜索搜索方向S的各分量Si計算式為：離散一維搜索得到的新點為x(t)其各分量為：取離散一維搜索得到的新點為x(t)其各分量為：取其中表示取最靠近離散一維搜索方法可采用離散一維搜索進退對分法，步長為單位離散步長的整倍數(shù)。的離散值。T-步長因子在產(chǎn)生初始復(fù)合形頂點及一維離散搜索時，均未考慮約束條件，為保證復(fù)合形迭代限制在可行域內(nèi)，定義一個有效目標函數(shù)EF(x)3．約束條件的處理式中，M——數(shù)量級比f(x)大得多的常數(shù)SUM——為一特殊函數(shù)，其值與所有違反約束量的總和成正比。常數(shù)如圖所示為一維變量EF(x)的幾何圖形。若新點在可行域外，沿EF(x)的下降方向進行一維離散搜索時，搜索點會自動滑入深井內(nèi)；當(dāng)在可行域內(nèi)搜索時，可行域的邊界M猶如一堵高墻，一到邊界就會被擋住。從而保證離散一維搜索始終在可行域內(nèi)進行。4．離散變量組合形的調(diào)整（重新啟動技術(shù)）當(dāng)沿組合形的調(diào)優(yōu)方向S得不到新點時，則需要調(diào)整組合形的形狀。調(diào)整方法：

1）用次壞點（也可以是第2、3…壞的頂點）與其余頂點幾何中心的連線方向取代原搜索方向繼續(xù)進行調(diào)優(yōu)迭代；

2）上述方法失敗，則將每個頂點都向好點方向收縮1/3，構(gòu)成新組合形繼續(xù)進行迭代。5．組合型算法的終止準則在連續(xù)變量的復(fù)合形法中的收斂準則：復(fù)合形各頂點目標函數(shù)值與幾何中心點目標函數(shù)值的均方根差小于某個很小的正數(shù)，或者復(fù)合形“邊長”很小時。但在離散變量的組合形算法中，由于各個設(shè)計分量的離散增量差距較大，所以這兩個準則均無效。

令第i個坐標方向上的長度為：取連續(xù)變量的精度值（或稱擬增量）為εi，各離散變量的增量值為Δi。預(yù)先給定的一個期望個數(shù)EN(n/2≤EN≤n)。將di與Δi或εi進行比較，如滿足di≤Δi

(或εi)的分量個數(shù)RN大于EN。

RN≥EN，則認為已經(jīng)收斂。這時表明離散復(fù)合形各頂點坐標值不再產(chǎn)生有意義的變化，將最好頂點作為離散變量的優(yōu)化解輸出。機械優(yōu)化設(shè)計第八章機械優(yōu)化設(shè)計實例×前面我們較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了機械優(yōu)化設(shè)計的理論和方法。本章將首先介紹機械優(yōu)化設(shè)計中的注意事項和應(yīng)用技巧；接著通過幾個典型機械優(yōu)化設(shè)計實例，來說明在解決一個工程實際優(yōu)化問題時，建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型、選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法、編程、最終得出復(fù)合要求的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果等問題第一節(jié)應(yīng)用技巧一、機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程1）建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型2）選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法3）編寫計算機程序4）準備必要的初始數(shù)據(jù)進行上機計算5）對計算機求得結(jié)果進行必要的分析優(yōu)化方法的選擇數(shù)學(xué)模型問題規(guī)模目標函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)計算精度問題種類第一節(jié)應(yīng)用技巧優(yōu)化方法總的選用原則有以下幾點：1、算法的通用性，即在一定精度要求下，是否對各種不同特性的優(yōu)化問題都能獲得成功。優(yōu)化問題的特性一般表現(xiàn)在目標函數(shù)的性質(zhì)上，例如：變量的數(shù)目、非線性的程度、各變量間的交互作用程度、是單峰還是多峰、是否利用梯度信息、初始點是否可以任選等。2、其次看計算目標函數(shù)的次數(shù)。在同樣精度下，希望計算目標函數(shù)的次數(shù)越少越好。3、第三要看在同樣精度的情況下，算法收斂所需的計算機時間，即：計算效率，當(dāng)然越快越好。二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則在能夠確切反映工程實際問題的基礎(chǔ)上力求簡潔1、設(shè)計變量的選擇①設(shè)計參數(shù)的取舍——盡量減少設(shè)計變量的數(shù)目一個機械設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。為了進行機械產(chǎn)品設(shè)計，都要尋找并確定最佳的設(shè)計參數(shù)。這些參數(shù)中，有的可根據(jù)標準、規(guī)定等選定，在設(shè)計過程中始終保持不變，在優(yōu)化設(shè)計中可認為是設(shè)計常量.例如：材料的機械性能參數(shù)狀態(tài)參數(shù)：如功率、溫度、應(yīng)力、應(yīng)變、撓度、壓力、速度等可由設(shè)計對象的尺寸、載荷以及構(gòu)件間的運動關(guān)系等計算得出②設(shè)計變量間應(yīng)相互獨立，否則會使目標函數(shù)出現(xiàn)“病態(tài)”——“山脊”，“溝谷”第一節(jié)應(yīng)用技巧2、目標函數(shù)的確定目標函數(shù)——一項設(shè)計所追求的指標的數(shù)學(xué)反映要求：能夠用來評價設(shè)計的優(yōu)劣必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù)第一節(jié)應(yīng)用技巧1）、優(yōu)化目標的選擇：應(yīng)當(dāng)對所追求的各項指標進行細致分析，從中選擇最重要、最具代表性的指標作為優(yōu)化目標2）、優(yōu)化指標矛盾的處理第一節(jié)應(yīng)用技巧在機械設(shè)計中，可作為參考目標函數(shù)的有：一般機械：體積最小、重量最輕應(yīng)力集中現(xiàn)象突出的構(gòu)件：應(yīng)力集中系數(shù)最小精密儀器：精度最高或誤差最小若對機構(gòu)的動態(tài)特性有專門要求，則應(yīng)針對其動力學(xué)參數(shù)建立目標函數(shù)；對于要求再現(xiàn)運動軌跡的機構(gòu)設(shè)計，則應(yīng)根據(jù)機構(gòu)的軌跡誤差最小建立目標函數(shù)。

第一節(jié)應(yīng)用技巧3、約束條件的確定約束條件是就工程設(shè)計本身而提出的對設(shè)計變量取值范圍的限制條件，也是設(shè)計變量的可計算函數(shù)。約束條件的分類1）性能約束：根據(jù)設(shè)計性能或指標要求而定的一種約束條件，例如：零件的強度、剛度、穩(wěn)定性等2）邊界約束：是對設(shè)計變量取值范圍的限制。也稱為側(cè)面約束。例如齒輪的模數(shù)，齒數(shù)的上下限等。在性能約束中，又有復(fù)雜和簡單之分約束函數(shù)有的很簡單，可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，這類約束叫做顯式約束。例如設(shè)計曲柄連桿機構(gòu)時的曲柄存在約束條件有的只能表示成隱式形式，例如復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元或動力學(xué)計算求得，機構(gòu)的運動誤差要用數(shù)值積分來計算，這類約束叫做隱式約束。第一節(jié)應(yīng)用技巧選擇約束條件時應(yīng)避免相互矛盾的約束，從而使可行域為空集，使問題無解；還要盡量減少不必要的約束，否則增加計算量，減小可行域的范圍，影響尋優(yōu)效果。第一節(jié)應(yīng)用技巧三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換在工程實際問題中，不同的設(shè)計變量，其量綱一般是不同的，數(shù)量集的差別往往也很大；在優(yōu)化迭代中，這種差別對計算數(shù)值變化的靈敏性、收斂性、穩(wěn)定性，都有不同程度的影響。為了提高優(yōu)化收斂速度，提高計算穩(wěn)定性，在機械優(yōu)化設(shè)計中，常采用尺度變換措施。第一節(jié)應(yīng)用技巧尺度變換——通過放大或縮小各坐標的比例尺，以達到改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)，使之易于求解的技巧1、目標函數(shù)的尺度變換在優(yōu)化設(shè)計中，若目標函數(shù)嚴重非線性，致使函數(shù)性態(tài)惡化，此時，無論采用何種優(yōu)化方法，其計算效率都不會高，而且計算穩(wěn)定性差。這時就需要對目標函數(shù)進行尺度變換。第一節(jié)應(yīng)用技巧尺度變換前的等值線圖尺度變換后的等值線圖2、設(shè)計變量的尺度變換——對設(shè)計變量進行重新標度，使它們稱為無量綱和規(guī)格化的設(shè)計變量。方法：原設(shè)計變量尺度變換因子新設(shè)計變量第一節(jié)應(yīng)用技巧尺度變換因子：3、約束函數(shù)的規(guī)格化——約束函數(shù)的尺度變換在機械優(yōu)化設(shè)計中，約束條件都是根據(jù)工程實際問題擬定的，因此，約束函數(shù)值的數(shù)量級往往會相差很大。對于設(shè)計變量的微小變化，它們的靈敏度也完全不同，靈敏度高的約束條件在極小化過程中首先得到滿足，靈敏度低的就很難滿足，因此需要對數(shù)量級相差很大的約束條件進行尺度變換第一節(jié)應(yīng)用技巧對于剛度、強度等性能約束，可建立如下約束條件：這樣就使得各約束函數(shù)的取值范圍都限制在[0,1]區(qū)間內(nèi)，從而使搜索過程穩(wěn)定進行并加快收斂速度。第二節(jié)機床主軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計一、數(shù)學(xué)模型的建立

在設(shè)計這根主軸時，有兩個重要因素需要考慮。一是主軸的自重；一是主軸伸出端c點的撓度。

對于普通機床，不要求過高的加工精度，對機床主軸的優(yōu)化設(shè)計，以選取主軸的自重最輕為目標，外伸端的撓度為約束條件。當(dāng)主軸的材料選定時，其設(shè)計方案由四個設(shè)計變量決定?？讖絛、外徑D、跨距l(xiāng)及外伸端長度a。由于機床主軸內(nèi)孔用于通過待加工的棒料，其大小由機床型號決定。不作為設(shè)計變量。故設(shè)計變量取為機床主軸優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)為再確定約束條件在外力F給定的情況下，y是設(shè)計變量x的函數(shù),其值按下式計算

剛度滿足條件，強度尚有富裕，因此應(yīng)力約束條件可不考