河南省開(kāi)封市五縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2開(kāi)封市五縣聯(lián)考高二期中考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在各題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)的值（）A. B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程列式得出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，解得.故選：A.2.到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于的點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)距離比列方程求軌跡方程，注意范圍.【詳解】設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為，則有，即.故選：D3.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是直線的一個(gè)法向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得與垂直，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)為平面直角坐標(biāo)系中異于點(diǎn)A任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是與垂直．又因?yàn)?，所以，整理可得一般式方程為．故選：B.4.圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】圓關(guān)于直線對(duì)稱圓之間的關(guān)系為：圓心關(guān)于直線對(duì)稱，半徑相等.所以求出關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)即可解題.【詳解】圓：的圓心為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得.關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故選：D.5.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（）A.2或 B. C. D.或2【答案】A【解析】【分析】利用漸近線的夾角，可以求出一條漸近線的斜率，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】由題意得雙曲線的漸近線為，而兩條漸近線的夾角為，故的傾斜角為或，故或，所以或2.故選：A.6.設(shè)，，，，且，，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的平行和垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，可求得向量的坐標(biāo)，從而可得的坐標(biāo)，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，故選：D.7.班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問(wèn)題：已知橢圓的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓切于點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)Q，則（注；若的角平分線交于點(diǎn)，則）（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義求出，結(jié)合平分，故.【詳解】由題設(shè)，則平分，故，而，由橢圓定義可知，則，所以.故選：B.8.已知雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線右支上的n個(gè)點(diǎn)，分別與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線這條直線的斜率乘積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到一組關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的斜率之積，再由任意性得到所有對(duì)稱的點(diǎn)的斜率之積均為常數(shù)，相乘即可.【詳解】設(shè)，由題意，，又，所以，又因?yàn)樵陔p曲線上，所以，所以，將條直線兩兩分組為，則這組直線中的兩條直線斜率之積均是，所以這條直線的斜率乘積為，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A，， B.，，C.，， D.，，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，故三個(gè)向量共面，故符合題意；對(duì)于，假設(shè)，，共面，則，使得，故有，方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故不符合題意；即，，不共面；對(duì)于，，故三個(gè)向量共面，故符合題意；對(duì)于，，故三個(gè)向量共面，故題意符合.故選：.10.過(guò)已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)作圓C與已知圓相切，則圓心C的軌跡不可能是（）A.圓 B.橢圓 C.線段 D.射線【答案】CD【解析】【分析】先根據(jù)兩個(gè)圓內(nèi)切得到圓心間的距離為半徑之差，再得到該值為定值得到軌跡為橢圓，考慮特殊情況橢圓，兩焦點(diǎn)重合情況，此時(shí)為圓即可.【詳解】如圖，設(shè)已知圓的圓心為，半徑為，圓內(nèi)的定點(diǎn)為，動(dòng)圓的半徑為．若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，由于兩圓相內(nèi)切，則，由于，因?yàn)?，即，所以?dòng)點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離和為常數(shù)，又因?yàn)闉閳A內(nèi)的定點(diǎn)，所以．所以此時(shí)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為橢圓；若，重合為一點(diǎn)，則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以為直徑的圓．故選：CD11.拋物線：焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，直線，分別交于另一點(diǎn)C和D，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.直線過(guò)定點(diǎn)C.上任意一點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離相等D.【答案】ACD【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可得到拋物線方程判斷A，由拋物線的定義即可判斷C，聯(lián)立直線與拋物線方程，代入計(jì)算，即可判斷BD.【詳解】拋物線過(guò)點(diǎn)，所以，，故A正確；所以拋物線，上任意一點(diǎn)到和準(zhǔn)線的距離相等，故C正確；設(shè)，，設(shè)，則，所以的方程為，即，聯(lián)立，得，當(dāng)時(shí)，，得，代換，得到，所以，故D正確；直線：，即，不過(guò)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.12.已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.點(diǎn)到平面的距離為C.四面體的外接球體積為D.動(dòng)點(diǎn)在平面上，且與所成角為60°，則點(diǎn)的軌跡是橢圓【答案】AC【解析】【分析】在正四面體中通過(guò)線面垂直可證得，得正確；通過(guò)計(jì)算可驗(yàn)證；通過(guò)軌跡法可求得的軌跡為雙曲線方程即可得錯(cuò)誤.【詳解】取中點(diǎn)，連接，可得平面，則，故正確；在四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則為底面正三角形的重心，因?yàn)樗欣忾L(zhǎng)均為2，，即點(diǎn)到平面的距離為，故錯(cuò)誤；設(shè)為正四面體的中心則為內(nèi)切球的半徑，為外接球的半徑，因?yàn)?，所以，即，所以四面體的外接球體積，故正確；建系如圖：，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，平方化?jiǎn)可得：，可知點(diǎn)的軌跡不為橢圓，故錯(cuò)誤.故選:．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20.分）13.在空間直角坐標(biāo)系中，，，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)空間向量點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】取，，則，，所以點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：.14.旅行者號(hào)探測(cè)器（Vogager2）于年月日在肯尼迪航天中心發(fā)射升空，迄今為止已經(jīng)造訪四顆氣態(tài)巨行星（木星、土星、天王星、海王星）及其衛(wèi)星，它的運(yùn)行軌道為雙曲線，假設(shè)其方程為，請(qǐng)寫出一個(gè)與此雙曲線的漸近線相同的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程____________．【答案】（方程均可）【解析】【分析】根據(jù)同漸近線的雙曲線方程可得結(jié)果.【詳解】與雙曲線漸近線相同的雙曲線的方程為.故答案為：（的方程均可）.15.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則____________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平方和，列方程求解即可.【詳解】由題意可知，，所以，故答案為：3.16.密切圓（OsculatingCircle），也稱曲率圓，即給定一個(gè)曲線及其上一點(diǎn)P，會(huì)有一個(gè)圓與曲線切在P點(diǎn)，而且是與曲線在該點(diǎn)鄰近最貼近的圓，換言之，沒(méi)有一個(gè)圓能介于此圓與曲線之間而與曲線相切，此圓稱為曲線在點(diǎn)P處的密切圓，密切圓可能是與曲線在該點(diǎn)相切的圓中半徑最大的（比如在拋物線頂點(diǎn)處的內(nèi)切圓），曲線上某點(diǎn)的曲率圓的半徑稱為曲率半徑.拋物線C：在頂點(diǎn)處的（曲率半徑為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【詳解】如圖，設(shè)在拋物線頂點(diǎn)處的內(nèi)切圓的方程為，由消去y并化簡(jiǎn)得，由曲率圓定義知，圓與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，于是方程組有且只有一個(gè)解，則，所以曲率半徑為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知的頂點(diǎn)，，且重心G的坐標(biāo)為.（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)：（2）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.求的歐拉線的一般式方程.【答案】17.18.【解析】【分析】（1）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)重心的坐標(biāo)公式可得；（2）設(shè)出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心在邊AC中垂線上，及到頂點(diǎn)距離相等列方程可得，再根據(jù)斜率與點(diǎn)斜式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則由重心G的坐標(biāo)為，有，解得，即,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)的外心，則由外心性質(zhì)可得P在的中垂線上，即，由，，，則，即，解得，即.又，故歐拉線的斜率為，故的歐拉線的方程為，即.18.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求的面積.【答案】（1）；(2).【解析】【分析】（1）設(shè)出雙曲線的方程，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得到雙曲線的方程；（2）利用點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求出m值，進(jìn)而利用S|F1F2|?|m|，即可求△F1MF2的面積．【詳解】解：（1）∵，∴可設(shè)雙曲線的方程x2﹣y2＝λ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P（4，），∴16﹣10＝λ，即λ＝6∴雙曲線的方程x2﹣y2＝6（2）由（1）知，雙曲線中a＝b∴，∴，∴|F1F2|＝4∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，∴9﹣m2＝6，∴|m|∴△F1MF2的面積為S|F1F2|?|m|＝6即△F1MF2的面積為6．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，確定雙曲線的方程是關(guān)鍵．19.如圖，已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)且與y軸相切，點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡為H.（1）求曲線H的方程；（2）一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且交曲線H于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線上的動(dòng)點(diǎn).求證：不可能是鈍角.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，表示出的坐標(biāo)以及，根據(jù)圓滿足的條件列出等式，化簡(jiǎn)可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得與系數(shù)的關(guān)系式，求出的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)推出，即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，則，而，因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與軸相切，則，即，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】若直線與軸重合，則直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，所以，，即，故不可能為鈍角.20.1911年5月，歐內(nèi)斯特·盧瑟福在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文．在這篇文章中，他描述了用粒子轟擊厚的金箔時(shí)拍攝到的運(yùn)動(dòng)情況．在進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn)之前，盧瑟福希望粒子能夠通過(guò)金箔，就像子彈穿過(guò)雪一樣．事實(shí)上，有極小部分粒子從金箔上反彈．如圖顯示了盧瑟福實(shí)驗(yàn)中偏轉(zhuǎn)的粒子遵循雙曲線一支的路徑．（1）結(jié)合圖象，求出該雙曲線的漸近線方程．（2）如果粒子路徑的頂點(diǎn)距雙曲線的中心10cm，試求出該粒子路徑的模型．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線的傾斜角求解；（2）根據(jù)（1）及定點(diǎn)到中心距離為求解.【小問(wèn)1詳解】由圖可知一條漸近線的傾斜角為，故一條漸近線斜率，由漸進(jìn)線的對(duì)稱性知，雙曲線的兩條漸近線方程為.【小問(wèn)2詳解】由圖知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)到中心的距離為10cm，所以，又由(1)知，，所以，所以該粒子路徑模型為.21.已知在多面體中，，，，，且平面平面.（1）設(shè)點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，試證明平面；（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結(jié)合平面，即可證明平面；（2）由空間向量的應(yīng)用，建立以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且.又，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形.∴，∴平面.【小問(wèn)2詳解】∵平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以三者兩兩互相垂直，∴以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴.∴.可取平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，則，取，則，.∴，∴，∴二面角的余弦值為.22.設(shè)橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為C，D，且焦距為2.F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上且異于C，D兩點(diǎn).若直線與的斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作一條斜率不為0的直線與