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人教版八年級數(shù)學上冊期末專題復習:軸對稱一、單選題1.以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是()A.B.C.D.2.下列說法:①線段AB、CD互相垂直平分,則AB是CD的對稱軸,CD是AB的對稱軸;②如果兩條線段相等,那么這兩條線段關(guān)于直線對稱;③角是軸對稱圖形,對稱軸是這個角的平分線.其中錯誤的個數(shù)有()A.0個B.1個C.2個D.3個3.已知△ABC在平面直角坐標系中,點A,B,C都在第一象限內(nèi),現(xiàn)將△ABC的三個頂點的橫坐標保持不變,縱坐標都乘﹣1,得到一個新的三角形,則()A.新三角形與△ABC關(guān)于x軸對稱B.新三角形與△ABC關(guān)于y軸對稱C.新三角形的三個頂點都在第三象限內(nèi)D.新三角形是由△ABC沿y軸向下平移一個單位長度得到的4.如圖,△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分別以點A和點C為圓心,大于AC的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N作直線MN,交BC于點D,連結(jié)AD,則∠BAD的度數(shù)為()A.65°B.60°C.55°D.45°5.如圖,△ABC中,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,分別交AC、AB于D,E兩點,并連接BD,DE,若∠A=30°,AB=AC,則∠BDE的度數(shù)為()A.45 B.52.5 C.67.5 D.756.如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,則∠1的度數(shù)為()A.36° B.60° C.72° D.108°7.如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點E,交BD于點F,連接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,則∠ACF的度數(shù)為()A.48° B.36° C.30° D.24°8.如圖,在△ABC中AB的垂直平分線交AB于點D,交線段BC于點E.BC=6,AC=5,則△ACE的周長是()A.14 B.13 C.12 D.119.如圖,MN是線段AB的垂直平分線,C在MN外,且與A點在MN的同一側(cè),BC交MN于P點,則()A.BC>PC+AP B.BC<PC+AP C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP10.如圖,四邊形ABCD中,∠C=,∠B=∠D=,E,F(xiàn)分別是BC,DC上的點,當△AEF的周長最小時,∠EAF的度數(shù)為().A. B. C. D.11.如圖,△ABC為等邊三角形,D、E分別是AC、BC上的點,且AD=CE,AE與BD相交于點P,BF⊥AE于點F,若BP=4,則PF的長()A.2 B.3 C.1 D.812.如圖,∠AOB是一鋼架,∠AOB=15°,為使鋼架更加牢固,需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH…添的鋼管長度都與OE相等,則最多能添加這樣的鋼管()根.A.2 B.4 C.5 D.無數(shù)二、填空題13.如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F.(1)若△AEF的周長為10cm,則BC的長為______cm.(2)若∠EAF=100°,則∠BAC______.14.如圖,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交邊AB于D點,交邊AC于E點,若△ABC與△EBC的周長分別是40cm,24cm,則AB=_______cm.15.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D點,點E、F分別是AD的三等分點,若△ABC的面積為18cm2,則圖中陰影部分面積為_____cm2.16.已知等腰三角形的頂角為40°,則它一腰上的高與底邊的夾角為____.17.如圖,A.B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上,每個方格都是邊長為1的正方形、點C也在格點上,且△ABC為等腰三角形,則符合條件的點C共有______個.18.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O,點C沿EF折疊后與點O重合,則∠CEF的度數(shù)是_______.三、解答題19.如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(3,﹣3),點B的坐標為(﹣1,3),回答下列問題:(1)點C的坐標是.(2)點B關(guān)于原點的對稱點的坐標是.(3)△ABC的面積為.(4)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A′B′C′.20.如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,BD、CE交于點F.(1)求證:BD=CE;(2)求銳角∠BFC的度數(shù).21.如圖,AD∥BC,BD平分∠ABC.求證:AB=AD.22.已知:如圖所示,在中,,,求和的度數(shù).23.已知:如圖①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°.(1)求證:①AC=BD;②∠APB=50°;(2)如圖②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,則AC與BD間的等量關(guān)系為,∠APB的大小為.(直接寫結(jié)果)24.如圖,△ABC是邊長為5cm的等邊三角形,點P,Q分別從頂點A,B同時出發(fā),沿線段AB,BC運動,且它們的速度都為1cm/s.當點P到達點B時,P,Q兩點停止運動,設(shè)點P的運動時間為t(s).(1)當t為何值時,△PBQ是直角三角形?(2)連接AQ、CP,相交于點M,則點P,Q在運動的過程中,∠CMQ會變化嗎?若變化,則說明理由;若不變,請求出它的度數(shù).25.如圖,AB=AC,E在線段AC上,D在AB的延長線上,且有BD=CE,連DE交BC于F,過E作EG⊥BC于G,求證:FG=BF+CG.參考答案1.D【分析】確定各圖形的對稱軸數(shù)量即可.【詳解】解:A、有4條對稱軸;B、有6條對稱軸;C、有4條對稱軸;D、有2條對稱軸.故選D.【點睛】考點:軸對稱和對稱軸.2.D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合,這樣的圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.【詳解】①線段AB、CD互相垂直平分,則線段AB所在的直線是線段CD的對稱軸,線段CD所在的直線是線段AB的對稱軸,故錯誤;②如平行四邊形的一組對邊符合兩條線段相等,但不關(guān)于任何一條直線對稱,錯誤;③角是軸對稱圖形,對稱軸是這個角的平分線所在的直線,錯誤.錯誤的個數(shù)是3個,故選D.【點睛】掌握好軸對稱的概念.軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸,兩邊圖象折疊后可重合.并且注意對稱軸一定是直線.3.A【解析】試題分析:關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標相等,縱坐標互為相反數(shù);關(guān)于y軸對稱的兩點橫坐標互為相反數(shù),縱坐標相等;關(guān)于原點對稱的兩點橫坐標和縱坐標都互為相反數(shù),故選A.4.A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=95°,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意可得:MN是AC的垂直平分線,則AD=DC,故∠C=∠DAC,∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°,故選A.【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和,正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5.C【詳解】試題分析:根據(jù)AB=AC,利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù),再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度數(shù):∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=.∵以B為圓心,BC長為半徑畫弧,∴BE=BD=BC.∴∠BDC=∠ACB=75°.∴∠CBD.∴∠DBE=75°30°=45°.∴∠BED=∠BDE=.故選C.考點:1.等腰三角形的性質(zhì);2.三角形內(nèi)角和定理.6.C【分析】根據(jù)∠A=36°,AB=AC求出∠ABC的度數(shù),根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD的度數(shù),根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算得到答案.【詳解】解:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36°,∴∠1=∠A+∠ABD=72°,故選C.7.A【詳解】試題分析:∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=24°,∵∠A=60°,∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°,∵BC的中垂線交BC于點E,∴BF=CF,∴∠FCB=24°,∴∠ACF=72°﹣24°=48°,故選A.考點:線段垂直平分線的性質(zhì).8.D【詳解】試題分析:根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE=BE,然后利用等線段代換即可得到△ACE的周長=AC+BC,再把BC=6,AC=5代入計算即可.解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周長=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故選D.考點:線段垂直平分線的性質(zhì).9.C【分析】從已知條件進行思考,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB,結(jié)合圖形知BC=PB+PC,通過等量代換得到答案.【詳解】∵點P在線段AB的垂直平分線上,∴PA=PB.∵BC=PC+BP,∴BC=PC+AP.故選C.【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì):線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等;結(jié)合圖形,進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.10.D【詳解】作點A關(guān)于直線BC和直線CD的對稱點G和H,連接GH,交BC、CD于點E、F,連接AE、AF,則此時△AEF的周長最小,由四邊形的內(nèi)角和為360°可知,∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°,即∠1+∠2+∠3=130°①,由作圖可知,∠1=∠G,∠3=∠H,△AGH的內(nèi)角和為180°,則2(∠1+∠3)+∠2=180°②,又①②聯(lián)立方程組,解得∠2=80°.故選D.考點:軸對稱的應(yīng)用;路徑最短問題.11.A【分析】證△ABD≌△CAE,推出∠ABD=∠CAE,求出∠BPF=∠APD=60°,得出∠PBF=30°,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可.【詳解】解:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC.∴∠BAC=∠C.在△ABD和△CAE中,,∴△ABD≌△CAE(SAS).∴∠ABD=∠CAE.∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°.∴∠BPF=∠APD=60°.∵∠BFP=90°,∠BPF=60°,∴∠PBF=30°.∴PF=.故選;A.12.C【詳解】分析:因為每根鋼管的長度相等,可推出圖中的5個三角形都為等腰三角形,再根據(jù)外角性質(zhì),推出最大的∠0BQ的度數(shù)(必須≤90°),就可得出鋼管的根數(shù).詳解:如圖所示,∠AOB=15°,∵OE=FE,∴∠GEF=∠EGF=15°×2=30°,∵EF=GF,所以∠EGF=30°∴∠GFH=15°+30°=45°∵GH=GF∴∠GHF=45°,∠HGQ=45°+15°=60°∵GH=HQ,∠GQH=60°,∠QHB=60°+15°=75°,∵QH=QB∴∠QBH=75°,∠HQB=180-75°-75°=30°,故∠OQB=60°+30°=90°,不能再添加了.故選C.點睛:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出各相等的角,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系解答.13.10140°【解析】(1)∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線,∴AE=BE,AF=CF,∵△AEF的周長為10cm,∴AC=10cm;(2)∵∠EAF=100°,∴∠AEF+∠AFE=80°,∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線,∴EA=EB,F(xiàn)A=FC,∴∠AEF=2∠EAB,∠AFE=2∠CAF,∴∠BAC=∠EAF+∠EAB+∠FAC=100°+∠EAB+∠CAF=100°+12(∠AEF+∠AFE)=140°.故答案為10,140°.點睛:本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識,線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等,以及外角的性質(zhì),難度適中.14.16.【詳解】試題分析:首先根據(jù)DE是AB的垂直平分線,可得AE=BE;然后根據(jù)△ABC的周長=AB+AC+BC,△EBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得△ABC的周長-△EBC的周長=AB,據(jù)此求出AB的長度是多少即可.解:DE是AB的垂直平分線,∴AE=BE;∵△ABC的周長=AB+AC+BC,△EBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,∴AB=△ABC的周長?△EBC的周長,∴AB=40?24=16(cm).故答案為16.15.9【解析】∵AB=AC,AD是BC邊上的高,∴BD=CD,∴S△ABD=S△ACD,S△BEF=S△CEF,(同底等高的三角形面積相等)∴S陰影=S△BAE+S△CEF+S△BFD=S△BAE+S△BEF+S△BFD=S△ABD=S△ABC=×18=9(cm2).故答案為9.點睛:本題主要考查等腰三角形的三線合一:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.還考查了同底等高的三角形面積相等.16.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出等腰三角形的底角的度數(shù),然后在一腰上的高與底邊所構(gòu)成的直角三角形中,可得出所求角的度數(shù).【詳解】如圖:△ABC中,AB=AC,BD是邊AC上的高.∵且AB=AC,∴在Rt△BDC中,∴故答案為【點睛】考查等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形兩個底角相等是解題的關(guān)鍵.17.9【解析】根據(jù)已知條件,可知按照點C所在的直線分兩種情況:①點C以點A為標準,AB為底邊;②點C以點B為標準,AB為等腰三角形的一條邊.解:①點C以點A為標準,AB為底邊,符合點C的有5個;②點C以點B為標準,AB為等腰三角形的一條邊,符合點C的有4個.所以符合條件的點C共有9個.此題考查了等腰三角形的判定來解決特殊的實際問題,其關(guān)鍵是根據(jù)題意,結(jié)合圖形,再利用數(shù)學知識來求解.注意數(shù)形結(jié)合的解題思想.18.50°.【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC=40°,以及∠OBC=∠OCB=40°,再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO=EC,∠CEF=∠FEO,進而求出即可;【詳解】連接BO,∵AB=AC,AO是∠BAC的平分線,∴AO是BC的中垂線.∴BO=CO.∵∠BAC=50°,∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O,∴∠OAB=∠OAC=25°.∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∴∠ABC=∠ACB=65°.∴∠OBC=65°-25°=40°.∴∠OBC=∠OCB=40°.∵點C沿EF折疊后與點O重合,∴EO=EC,∠CEF=∠FEO.∴在△OEC中,∠CEF=∠FEO=(180°-2×40°)÷2=50°.19.(1)(﹣3,﹣2);(2)(1,﹣3);(316;(4)見解析.【分析】(1)根據(jù)平面直角坐標系寫出即可;(2)根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答;(3)利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個直角三角形的面積,列式計算即可得解;(4)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于x軸的對稱點A′、B′、C′的位置,然后順次連接即可.【詳解】(1)點C的坐標是(﹣3,﹣2);(2)點B關(guān)于原點的對稱點的坐標是(1,﹣3);(3)△ABC的面積=6×6﹣0.5×2×5﹣0.5×1×6﹣0.5×4×6=36﹣5﹣3﹣12=36﹣20=16;(4)如圖所示,△A′B′C′即為所求作的三角形.故答案為(1)(﹣3,﹣2),(2)(1,﹣3),(3)16.【點睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖,平面直角坐標系的相關(guān)知識,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu),準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.20.(1)證明見解析;(2)∠BFC=60°.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AE=AD,再由∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC,得出∠DAB=∠EAC,利用SAS可證得△EAC≌△DAB,從而可得出結(jié)論.(2)根據(jù)△EAC≌△DAB可得∠ECA=∠DAB,從而在△BFC中可得∠ECA+∠FBC=60°,結(jié)合∠ACB=60°,利用三角形的內(nèi)角和定理可得出∠BFC的度數(shù).【詳解】(1)證明:∵△ABC和△ADE均為等邊三角形,∴AE=AD、AB=AC,又∵∠EAD=∠BAC=60°,∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC,即∠DAB=∠EAC,在△EAC和△DAB中,,∴△EAC≌△DAB,即可得出BD=CE.(2)由(1)△EAC≌△DAB,可得∠ECA=∠DBA,又∵∠DBA+∠DBC=60°,在△BFC中,∠ECA+∠DBC=60°,∠ACB=60°,則∠BFC=180°-∠ACB-(∠ECA+∠DBC)=180°-60°-60°=60°.【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì),一般線段的相等都要轉(zhuǎn)為證三角形的全等,另外在解答第二問時,要注意運用等角代換求出未知角的和,這種思想經(jīng)常在幾何求解中運用.21.見解析【分析】根據(jù)AD∥BC,可求證∠ADB=∠DBC,利用BD平分∠ABC和等量代換可求證∠ABD=∠ADB,然后即可得出結(jié)論.【詳解】證明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.22.,.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠B,再根據(jù)三角形外角定理即可求出∠C.【詳解】在中,,∵,在三角形中,,又∵,在三角形中,∴.【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知等邊對等角.23.(1)見解析;(2)AC=BD,α.【分析】(1)根據(jù)∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD,根據(jù)SAS推出△AOC≌△BOD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD,∠CAO=∠DBO,根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,推出∠APB=∠AOB即可.(2)根據(jù)∠AOB=∠COD=50°求出∠AOC=∠BOD,根據(jù)SAS推出△AOC≌△BOD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BD,∠CAO=∠DBO,根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,推出∠APB=∠AOB即可.【詳解】證明:(1)∵∠AOB=∠COD=50°,∴∠AOC=∠BOD,在△AOC和△BOD中,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,∴∠APB=∠AOB=50°.(2)解:AC=BD,∠APB=α
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