12.3角的平分線的性質(zhì)（解析版）

12.3角的平分線的性質(zhì)一、單選題1．如圖①，已知，用尺規(guī)作它的角平分線．如圖②，步驟如下：第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線，于點D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點P；第三步；畫射線，射線即為所求．下列敘述不正確的是（）A． B．作圖的原理是構(gòu)造三角形全等C．由第二步可知， D．的長【答案】D【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線的基本步驟判斷即可【詳解】A、∵以a為半徑畫弧，∴，故正確B、根據(jù)作圖步驟可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正確C、∵分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點P，∴，故正確D、分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，其中，否則兩個圓弧沒有交點，故錯誤故選：D【點評】本題考查用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線及理論依據(jù)，熟練尺規(guī)作圖的基本步驟是關(guān)鍵2．如圖，中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點F；作射線交于G．若．P為上一動點，則的最小值為（）A．無法確定 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意可知BG是∠ABC的角平分線，利用角平分線定理和垂線段最短即可求出的最小值為【詳解】作GH⊥AB由題意可知：BG是∠ABC的角平分線又∵GH⊥AB，∴CG=GH∵∴GH=2由直線外一點到直線上各點的連線中，垂線段最短可得：當(dāng)點GP⊥AB時，有最小值即=GH=2時，最短故選：C【點評】本題考查角平分線定理，用尺規(guī)作圖法畫已知角的角平分線，垂線段最短、熟練使用角平分線定理是關(guān)鍵，利用垂線段最短求線段最小值問題是中考常考知識點3．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺規(guī)分別截取BE，BD，使BE＝BD，分別以D、E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點F；作射線BF交AC于點G．若CG＝1，P為AB上一動點，則GP的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．2【答案】C【分析】如圖，過點G作GH⊥AB于H．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明GH=GC=1，利用垂線段最短即可解決問題．【詳解】如圖，過點G作GH⊥AB于H．

由作圖可知，GB平分∠ABC，

∵GH⊥BA，GC⊥BC，

∴GH=GC=1，

根據(jù)垂線段最短可知，GP的最小值為1，

故選：C．【點評】本題考查作圖-基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．4．如圖，平分平分，且，下列結(jié)論：①平分，②；③；④．其中正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根據(jù)角平分線定義得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠ECB，根據(jù)平行線的判定得出ACBE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．【詳解】∵BC⊥BD，∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，∵∠ABE+∠FBE=180°，∴∠ABE+∠FBE=90°，∵BD平分∠EBF，∴∠DBE=∠FBE，∴∠CBE=∠ABE，∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，∵CB平分∠ACE∴∠ACB=∠ECB，∵ABCD，∴∠ABC=∠ECB，∴∠ACB=∠EBC，∴ACBE，∵∠DBC=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴①②③正確；∵根據(jù)已知條件不能推出∠DBF=2∠ABC，∴④錯誤；故選B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．5．如圖，在中，，平分，于E，則下列結(jié)論中，不正確的是（）A．平分 B． C．平分 D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CD=ED，根據(jù)角平分線的定義、三角形三邊的關(guān)系，從而可對各選項作出判斷．【詳解】∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB∴CD=ED，∴BC=BD+CD=BD+ED故選項B正確；∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵CD⊥AC，ED⊥AB∴∠C=∠DEA=90゜∴∠ADC=∠ADE即AD平分∠EDC故選項C正確；在△ACD中，AC+CD>AD∴ED+AC>AD故選項D正確；若DE平分∠ADB則有∠BDE=∠ADE∵∠ADE=∠ADC∴∠ADE=∠ADC=∠BDE∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜∴∠BDE=60゜∴∠B=90゜-∠BDE=30゜顯然這里∠B是不一定為30゜故選項A錯誤．故選：A．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，注意定理的條件：平分角，過角平分線的點且與角的兩邊分別垂直的線段．6．如圖，在中，平分，交于點D，，垂足為點E，若，則的長為（）A． B．1 C．2 D．6【答案】B【分析】根據(jù)∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=BD=１．【詳解】∵，∴，又∵平分，，∴由角平分線的性質(zhì)得．故選：B【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)處理問題．7．如圖，，平分交于點E，平分交于點G，若，則下列結(jié)論：①平分；②；③；④．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】利用等角的余角相等可判斷①；利用①的結(jié)論可證明∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，從而可判斷②；利用平行線的性質(zhì)可判斷③；先求得∠AEC90，再利用利用平行線的性質(zhì)可判斷④【詳解】∵AB//CD，∴∠AEC=∠FCE，∠BEG=∠CGE，∵∠CEG=∠CEF+∠FEG=90，∴∠AEC+∠BEG=180-∠CEG=90，∴∠AEC=∠CEF，故EC平分∠AEF，選項①正確；∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠FCE，∴∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，∴EF//AC，故選項②正確；∵EF//AC，∴∠A+∠AEF=180，∠AEF=∠EFG，∴∠EFG+∠A=180°，故選項③正確；∵AB//CD，∴∠AEG+∠EGC=180，∴∠AEC+∠EGC=180-∠CEG=180-90=90，∵∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=90，∴90+∠EGC=90，∴∠EGC=，故選項④正確；綜上，四個選項都正確，故選：D【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，點P是BC邊上的一動點，連接DP，若AD＝4，則DP的長不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】過點D作DH⊥BC交BC于點H，由三角形的內(nèi)角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得AD＝DH，由垂線段最短得到DP≥DH，可得DP的長不可能是3．【詳解】過點D作DH⊥BC交BC于點H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝4，∴DH＝4，又∵點D是直線BC外一點，∴當(dāng)點P在BC上運(yùn)動時，點P運(yùn)動到與點H重合時DP最短，∴DP≥4，∴DP的長不可能是3，故選：D．【點評】本題主要考查角平分線的基本性質(zhì)，能夠證得BD為角平分線是解題關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，已知AB∥CD，∠BFC＝127°4'，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為_____．【答案】26°28'【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分∠DCF，結(jié)合AB∥CD，可得∠BCD=∠B=∠FCB，進(jìn)而即可求解．【詳解】由圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分∠DCF，∴∠BCD=∠FCB，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∴∠FCB=∠B，∵∠BFC＝127°4'，∴∠BCD=∠B=(180°-127°4')÷2=26°28'，故答案是：26°28'．【點評】本題主要考查尺規(guī)作角平分線以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，得到BC平分∠DCF，是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P．若點P的坐標(biāo)為（a＋2b，a＋1），則a＋b=________．【答案】【分析】根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號可得2b+2a+1=0，然后再整理可得答案．【詳解】根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，

因此2b+a=-(a+1)，

即：a+a+2b=-1即a+b=故答案為：．【點評】此題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作圖-基本作圖，解題關(guān)鍵在于掌握作圖法則．11．我們定義：一個三角形最小內(nèi)角的角平分線將這個三角形分割得到的兩個三角形它們的面積之比稱為“最小角割比Ω”（），那么三邊長分別為7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．【答案】．【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的面積和最小角割比Ω的定義計算即可．【詳解】如圖示，，，，則，根據(jù)題意，作的角平分線交于點，過點，作交于點，過點，作交于點，則∵，，則（）故答案是：．【點評】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)和三角形的面積計算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知中，，點在上，，點為垂足，且，聯(lián)結(jié)，則的大小為___________．【答案】112.5°【分析】首先根據(jù)角平分線的判定方法判定AD是∠BAC的平分線，然后利用外角性質(zhì)求∠ADB的度數(shù)即可.【詳解】∵∠C＝90°，DE⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt?ACD和Rt?AED中，∴Rt?ACD≌Rt?AED，∴∠CAD=∠EAD，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠CAD＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.故答案為：112.5°．【點評】本題考查了角平分線的判定方法以及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的判定方法是：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．13．如圖所示，已知，求作射線，使平分，作法的合理順序是__．（將①②③重新排列）①作射線；②以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、；③分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點．【答案】②③①【分析】根據(jù)角平分線的作法求解．【詳解】作法：（1）以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、；（2）分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點，（3）作射線，所以就是所求作的的平分線．故題中的作法應(yīng)重新排列為：②③①．故答案為：②③①．【點評】本題考查尺規(guī)作圖的應(yīng)用，熟練掌握角平分線的作法是解題關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為D，其中CE＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面積為_____．【答案】22.5【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ED＝EC＝4.5，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【詳解】∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC＝4.5，∴S△ABE＝AB·DE=×10×4.5＝22.5．故答案為：22.5．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形面積公式，利用角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段CE=ED求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題15．如圖是一個銳角．（1）用尺規(guī)作圖法作出的平分線；（2）若點是上一點，過點作于點，于點，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）如圖，射線OC即為所求作．（2）由作圖可知，∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，，∴△POD≌△POE（AAS），∴OD=OE．【點評】本題考查作圖基本作圖，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．如圖，已知，點P是射線上一動點（與點A不重合），分別平分和，分別交射線于點C，D．（1）①的度數(shù)是_______度；②∵，∴________．（2）求的度數(shù)．（3）當(dāng)點P運(yùn)動時，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律．【答案】（1）122°，∠CBN；（2）61°；（3）不變，∠APB：∠ADB=2：1，理由見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)和內(nèi)錯角相等可得；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=122°，再根據(jù)角平分線的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=122°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據(jù)BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1．【詳解】（1）①∵AM∥BN，∠A=58°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=122°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-58°=122°，∴∠ABP+∠PBN=122°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=122°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；（3）不變，∠APB：∠ADB=2：1．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)得到．（1）尺規(guī)作圖：確定的頂點的位置（保留作圖痕跡，不寫作法與證明過程）；（2）連接，，設(shè)的延長線交于點，連接．求證：平分．【答案】（1）作圖見解析，（2）證明見解析．【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延長線于N，BG于M，證AN=AM即可．【詳解】(1)點E位置如圖所示；(2)證明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延長線于N，BG于M，由旋轉(zhuǎn)可知≌，DE=BC，∴，，∴，∴，∴平分．【點評】本題考查了尺規(guī)作圖和角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確尺規(guī)作圖方法，熟練運(yùn)用角平分線的判定證明．18．如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊，于點，；②分別以點，為圓心，大于的相同長度為半徑作弧，兩弧交于點；③作射線交于點．（1）根據(jù)上述步驟補(bǔ)全作圖過程（要求：規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如果，，那么的面積與的面積的比值是________．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖要求,按給定的步驟與作法畫圖即可；（2）根據(jù)角分線性質(zhì)，兩三角形的AB與BC邊上的高相等，可得面積比為底的比即可．【詳解】（1）根據(jù)步驟（1）得弧線交，于點，，根據(jù)步驟（2）得兩弧交點F，根據(jù)步驟（3）得射線BG，根據(jù)作圖的步驟與圖形結(jié)合得BG平分∠ABC；如圖所示，即為所求．（2）過點G作GH⊥BC于H，GM⊥射線AB于M，∵BG平分∠ABC，∴GM=GH，S△ABG=，S△BCG=，S△ABG:S△BCG=，故答案為：．【點評】本題考查尺規(guī)作圖，角平分線性質(zhì)，三角形面積，掌握尺規(guī)作圖步驟與要求，角平分線性質(zhì)，三角形面積，利用角平分線性質(zhì)得出兩三角形的高相等，面積比等于底的比是解題關(guān)鍵．19．（1）如圖1，中，的角平分線與的外角的平分線交于．當(dāng)為時，則為的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，若的角平分線與的角平分線交于，與的平分線交于，如此繼續(xù)下去可得…，，則______°；（3）如圖2，四邊形ABCD中，為的角平分線及外角的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若，則_________°；（4）如圖3，中，的角平分線與的外角的平分線交于，若E為BA延長線上一動點，連EC，與的角平分線交于Q，①求證的值為定值；②的值為定值．其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結(jié)論（填編號），并寫出其值．【答案】（1）∠A1；（2）；（3）∠F；（4）①,=180°．【分析】（1）由的角平分線與的外角的平分線交于，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由外角性質(zhì)∠4=∠2+∠A1，2∠4=∠A+2∠2，可證∠A1=∠A=；（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,可得∠A2==∠A，∠A3=∠A，…,找出規(guī)律∠An=∠A，當(dāng)n=6時代入求值即可∠A6=；（3）延長BA,CD交于G，由，可求∠G=50°，利用規(guī)律∠F=∠G=；（4）①=180°，由∠A1=∠BAC，∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，可得∠5=∠6，,7=∠8，可求∠EAC+2∠6+2∠8=180°，∠Q=90°+∠EAC，再求=180°，可得的值為定值，②=180°-∠BAC，由∠BAC可變，的值不為定值．【詳解】（1）∵的角平分線與的外角的平分線交于，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠4=∠2+∠A1，∠ACD=∠A+∠ABC，即∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，∴2∠4=∠A+2∠2，整理得∠4=∠A+∠2，∴∠A1=∠A=；（2）由（1）得∠A1=∠A，∠A2=∠A1，∠A3=∠A2…,∴∠A2=∠A1=∠A，∴∠A3=∠A2=∠A=∠A，…,∴∠An=∠A，∴當(dāng)n=6時∠A6=∠A=，故答案為：；（3）延長BA，CD交于G，∵，∴∠GAD+∠GDA=360°-()=360°-230°=130°，∴∠G=180°-(∠GAD+∠GDA)=180°-130°=50°，∴∠F=∠G=；（4）①=180°，∵∠A1=∠BAC，∵∠Q=180°-∠6-∠8，QE平分∠AEC，QC平分∠ACE，∴∠5=∠6，,7=∠8，∵∠EAC+∠5+∠6+∠7+∠8=180°，∴∠EAC+2∠6+2∠8=180°，∴∠6+∠8=90°-∠EAC，∴∠Q=180°-（∠6+∠8）=180°-（90°-∠EAC）=90°+∠EAC，∴=90°+∠EAC+∠BAC=90°+（∠EAC+∠BAC）=90°+90°=180°，∴的值為定值，②==90°+∠EAC-∠BAC=90°+（∠EAC-∠BAC），∵∠EAC=180°-∠BAC，∴=90°+（180°-∠BAC-∠BAC）=180°-∠BAC，∵∠BAC可變，∴的值不為定值．故答案為①,=180°．【點評】本題考查角平分線定義，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，平角定義，掌握角平分線定義，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，平角定義是解題關(guān)鍵．20．如圖，△ABC中，∠C90°，請按要求解決問題．（1）求作∠A的平分線交BC邊于點D．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）（2）若AC=6，AB=10，求△ABD的面積．【答案】（1）作圖見解析；（2）15．【分析】(1)作的平分線交于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點即可；(2)過點D作DE⊥AB于點E，