2024年高考物理第一輪考點復(fù)習(xí)精講精練 第11講 萬有引力定律（原卷版+解析）

第口講萬有引力定律

目錄

考點一天體質(zhì)量和密度的計算....................................................1

考點二衛(wèi)星運行參量的比較與計算...............................................2

考點三衛(wèi)星變軌問題分析........................................................4

考點四宇宙速度的理解與計算....................................................6

考點五雙星或多星模型..........................................................9

練出高分........................................................................11

考點一天體質(zhì)量和密度的計算

I.解決天體(衛(wèi)星)運動問題的基本思路

(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即

v224/r

=man==marr=/〃個

(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即(y耨=〃2g(g表示天體表面的重力加

速度).

2.天體質(zhì)量和密度的計算

(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

由于故天體質(zhì)量M=管，

P_

天體蜜度~V4^3_4HG/?

(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期7和軌道半徑r.

①由萬有引力等于向心力，即。^髻=〃7爺工得出中心天體質(zhì)量”=1熱:

②若已知天體半徑R,則天體的平均密度

MM3兀，3

③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑，?等于天體半徑R,則天體密度〃

=沸37r.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期。就可估笄出中心天體的密度.

[例題1]（2023?昌平區(qū)二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學(xué)學(xué)報》中發(fā)表他關(guān)于引力常量的測量

時，曾提到他的實驗是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G,要想估測地球的密度，只

需測得（）

A.地球的質(zhì)量B.地球的當(dāng)徑

C.近地衛(wèi)星的運行周期D.地球表面的重力加速度

[例題2]（2023?茂名二模）2022年11月29日我國“神舟十五號”載人飛船發(fā)射成功，并通過一系

列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對接，萬有引力常量為G,下列說法正確的是

()

A.變軌前A是空間站，B是飛船

B.飛船的發(fā)射速度可能小于7.9km/s

C.完成對接后，飛船和空間站的運行周期人于24小時

D.若已知空間站的運行周期和地球半徑，可以測量地球密度

[例題3]（2023?邢臺模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，它的軌道距地心的距離等于地球半徑

的k倍，它的運動周期為T,引力常量為G,則地球的平均密度p的表達式為（）

.3nk3口3成3產(chǎn)

A.p=-B.p=—^―

GT2

W+lfD°-3以k+l）3

"一GT2

[例題4]⑵23?贛州二模）2022年10月9日，我國將衛(wèi)星“夸父一號”成功送入太陽同步晨昏軌

道。從宇宙中看，衛(wèi)星一方面可視為繞地球做勻速圓周運動，軌道平面與地球的晨昏分界線共

面，衛(wèi)星軌道離地高度h《720km,周期Ti2100分鐘。另一方面衛(wèi)星隨地球繞太陽做勻速圓周

運動，周期T2=l年，衛(wèi)星軌道平面能保持垂直太陽光線，如圖所示。已知地球的半徑為R,

引力常量為G,則下列表述正確的是（）

大lUJt靖

A.晨昏軌道平面與地球同步衛(wèi)星軌道平面重合

B.根據(jù)以上信息可以估算出地球的質(zhì)量

C.“夸父一號”的發(fā)射速度大于11.2km/s

D.根據(jù)三=空要可估算出地球到太陽的距離r

T2TI

［例題5J（2023?河南模擬）如圖所示，某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，從衛(wèi)星觀測地球的最大張角

為仇已知地球的半徑為R,引力常量未知，忽略地球的自轉(zhuǎn)，下列說法正確的是（）

B.e越小，衛(wèi)星的線速度越大

c.若衛(wèi)星的周期已知，則可測得地球的質(zhì)最

D.若衛(wèi)星的線速度已知，則可測得地球表面的重力加速度

考點二衛(wèi)星運行參量的比較與計算

1.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律

越

/、M?n

CT—=高

rL《

越

（r=R地+八）

慢

規(guī)

GM

律ma-^a=—―■

GM〃?

（近地時）fGM=gR地

mgRI72

2.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星

（1）極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋.

（2）近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于

地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s.

（3）兩種衛(wèi)星的航道平面一定通過地球的球心.

[例題6]（2023?漳州模擬）2022年7月24日，中國空間站間天實驗艙發(fā)射成功。中國空間站組建

完成后，將從空間站中移放伴隨衛(wèi)星。如圖所示，空間站在離地高度約400km的圓軌道繞地球

運行，伴隨衛(wèi)星在橢圓軌道上繞地球運行，P、Q分別為伴隨衛(wèi)星軌道的遠地點和近地點，伴隨

衛(wèi)星在P處時位于空間站正上方，伴隨衛(wèi)星軌道半長軸與空間站軌道半徑相等，僅考慮地球的

引力作用。則（）

A.空間站的角速度小于地球同步衛(wèi)星的角速度

B.空間站的線速度介于7.9km/s到11.2km/s之間

C.伴隨衛(wèi)星運行到P點時，線速度比空間站的大

D.伴隨衛(wèi)星繞地球的運行周期與空間站繞地球的運行周期相等

[例題7]（2023?青羊區(qū)校級模擬）2022年10月7日，中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長征

十一號海射運載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導(dǎo)航試驗衛(wèi)星發(fā)射升空，

衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道。設(shè)兩顆衛(wèi)星軌道在赤道平面上，運行方向相同，運動周期也相同，其

中a衛(wèi)星為圓軌道，距離地面高度ha=2R,b衛(wèi)星為橢圓軌道，近地點M距離地面高度為遠地

點N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛(wèi)星線速度大小為vi,b衛(wèi)星在近地

點M時線速度大小為\2在遠地點N時線速度大小為丫3,地球半徑為R,P點為兩個軌道的交

點。下列說法正確的是（）

O

A.b衛(wèi)星遠地點N距離地心距離為二R

B.b衛(wèi)星從N點運動到M點的時間為37rJy

C.VI>V2>V3

D.a衛(wèi)星在P點受到地球的引力大于b衛(wèi)星在N點受到地球的引力

[例題8]（2023?遂寧三模尸神舟十三號”飛船開始在半徑為門的圓軌道I上運行，運行周期為Ti,

在A點通過變軌操作后進入橢圓軌道II運動，沿軌道II運動到遠地點C時止好與處「半徑為門

的圓軌道III上的核心艙對接，A為橢圓軌道II的近地點.BD為橢圓軌道H的短軸。假設(shè)飛船質(zhì)

量始終不變，關(guān)于飛船的運動，下列說法正確的是（）

A.沿軌道I運行時的機械能等于沿軌道II運行時的機械能

B.沿軌道1運動到A時的速率大于沿軌道II運動到C時的速率

c.沿軌道II運行的周期為g產(chǎn)等1

D.沿軌道I運動到A點怔的加速度小于沿軌道II運動到B點時的加速度

[例題9]（2023?虹口區(qū)二模）探測器“夸父A”在距地球約150萬公里的拉格朗日L點，與地球

?起以相同的公轉(zhuǎn)周期繞太陽做勻速圓周運動，用以監(jiān)測太陽活動的發(fā)生及其伴生現(xiàn)象，則

（）

A.“夸父A”處于平衡狀態(tài)

B.在相同時間內(nèi)，“夸父A”的位移相同

C.“夸父A”、地球繞太陽公轉(zhuǎn)的向心加速度相同

D.“夸父A”繞太陽公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度

［例題10］（2023?包頭一模）如圖甲，兩小行星在同一平面內(nèi)繞中心天體的運動可視為勻速圓周運動,

測得兩小行星之間的距離Ar隨時間變化的關(guān)系如圖乙所示。下列說法正確的是（）（不考

慮兩小行星之間的作用力）

A.a星的運轉(zhuǎn)周期為T

B.兩星的周期之比Ta：Tb=l：4

C.兩星的線速度之比Va：Vb=4:1

D.兩星的加速度之比aa：ah=4：1

考點三衛(wèi)星變軌問題分析

a42

I.當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時，潭1即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離

原來的圓坑道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由。=、/綃可知其運行速度比原

軌道時減小.

2.當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時，譚與〃,，印萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫

離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由'岸可知其運行速度比

原凱道時增大.

衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理.

［例題11］（2023?房山區(qū)一模）我國一箭多星技術(shù)居世界前列，一箭多星是用一枚運載火箭同時或先

后將數(shù)顆衛(wèi)星送入軌道的技術(shù)。某兩顆衛(wèi)星釋放過程簡化為如圖所示，火箭運行至P點時，同

時將A、B兩顆衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。A衛(wèi)星進入軌道1做圓周運動，B衛(wèi)星進入軌道2沿橢圓

軌道運動，P點為橢圓軌道的近地點，Q點為遠地點，B衛(wèi)星在Q點噴氣變軌到軌道3,之后繞

地球做圓周運動。下列說法正確的是（）

/二\

：：4Oh：

\；A'、一：:

1

—2；/

、、\7,勺

、、、，/J

Q

A.A衛(wèi)星在P點的加速度大于B衛(wèi)星在P點的加速度

B.A衛(wèi)星在軌道1的速度小于B衛(wèi)星在軌道3的速度

C.B衛(wèi)星從軌道2上Q點變軌進入軌道3時需要噴氣減速

D.B衛(wèi)星沿軌道2從P點運動到Q點過程中引力做負功

[例題12]（2023?道里區(qū)校級三模）“天問一號”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉(zhuǎn)移軌

道運動到Q點，再依次進入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，地球、火星繞太陽軌道可視為

圓軌道。則“天問一號”（）

A.發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間

B.從P點轉(zhuǎn)移到O點的時間小于6個月

C.在地火轉(zhuǎn)移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度

D.在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上的周期小

[例題13]（2023?杭州二模）如圖所示，是某火星探測器簡化飛行路線圖，其地火轉(zhuǎn)移軌道是橢圓軌

道。假設(shè)探測器在近日點P點進入地火轉(zhuǎn)移軌道，在遠日點Q,被火星俘獲。已知火星的軌道

半徑是地球地火軌道半徑的1.5倍，則轉(zhuǎn)軌道（）

地火

移

轉(zhuǎn)

道

軌

星

A.地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期

B.探測器進入地火轉(zhuǎn)移軌道后，速度逐漸增大

C.探測器在地火轉(zhuǎn)移軌道上的周期大于火星的公轉(zhuǎn)周期

D.探測器從發(fā)射到被火星俘獲，經(jīng)歷的時間約255天

［例題14］（2023?南京模擬）2。23年1月21FL神舟十五號3名航天員在400km高的空間站向祖國

人民送上新春祝福，空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道I,設(shè)地球表面重力加速度為g,地

球半徑為R,橢圓軌道H為載人飛船運行軌道，兩軌道相切于A點，下列說法正確的是（）

軌道匚一、

A.在A點時神舟十五號經(jīng)過點火加速才能從軌道【進入軌道II

B.飛船在A點的加速度小于空間站在A點的加速度

C.空間站在軌道I上的速度小于病

D.軌道I上的神舟十五號飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加速即可

［例題15］（2023?湛江一模）2022年11月30日，神舟十五號載人飛船與“天和核心艙”完成對接，

航天員費俊龍、鄧清明、張陸進入“天和核心艙”。對接寸程的示意圖如圖所示，“天和核心艙”

處于半徑為門的圓軌道III；神舟十五號飛船處于半徑為口的圓軌道1,運行周期為Ti,通過變

軌操作后，沿橢圓軌道H運動到B處與“天和核心艙”對接。則神舟十五號飛船（）

>>------、^道［

道口

^^和核心艙

A.由軌道I進入軌道I【需在A點減速

B.沿軌道n運行的周期為T2=TIJ點。

C.在軌道I上A點的加速度大于在軌道II上A點的加速度

D.在軌道HI上B點的線速度大于在軌道H上B點的線速度

考點四宇宙速度的理解與計算

1.第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度.

推導(dǎo)過程為：由/叫=喑=竿得：

V\=AJ^-=\［gR=7.9km/s.

2.第一宇宙速度是人造地球二星在迫皿絲環(huán)繞地球做力逑圓周運動時具有的速度.

3.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度,也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度.

注意（1）兩種周期——自轉(zhuǎn)危期和公轉(zhuǎn)周期的不同.

（2）兩種速度一環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度.

（3）兩個半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑/?的不同.

第二宇宙速度（脫離速度）：使物體掙脫地毯引力束縛的最小發(fā)射速度.

（4）V2=112km/s,

（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：7.=16.7km/s,使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.

［例題16］（2023?滁州二模）地球環(huán)境的變化，大家都是有目共睹的，也許將來有一天真的不再適合

人類居住，電影《流浪地球》里的選擇是帶著地球一起流浪，而現(xiàn)實中，有人選擇移居火星。

火星是靠近地球的類地行星，已知地球質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2

倍；設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T、地球表面的重力加速度為g、地球的第一宇宙速度為v、地球的密

度為P，則（）

A.火星的公轉(zhuǎn)周期為2&r

2

B.火星表面的重力加速度約為￡9

C.火星的第一宇宙速度約為

D.火星的密度約為：p

4

［例題17］（2023?聊城一模）材料的力學(xué)強度是材料眾多性能中被人們極為看重的一種性能，目前已

發(fā)現(xiàn)的高強度材料碳納米管的抗拉強發(fā)是鋼的100倍，密度是鋼的會這使得人們有望在赤道上

6

建造垂直于水平面的“太空電梯:當(dāng)航天員乘坐“太空電梯”時，地球引力對航天員產(chǎn)生的加

速度a與r的關(guān)系用圖乙中圖線A表示，航天員由于地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的向心加速度大小與r的

關(guān)系用圖線B表示，其中r為航天員到地心的距離，R為地球半徑。關(guān)于相對地面靜止在不同

高度的航天員，下列說法正確的是（）

A.航天員在r=R處的線速度等于第一宇宙速度

B.圖中m為地球同步衛(wèi)星的軌道半徑

C.隨著r增大，航天員運動的線速度一直減小

D.隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小

［例題18］（多選）（2023?蚌埠模擬）2021年5月15日，我國“祝融號”火星車在火星表面軟著陸

時，豎直向下經(jīng)t時間由速度vo勻減速到零完成平穩(wěn)降落。已知火星車的質(zhì)量為m,火星質(zhì)量

是地球的a倍，火星半徑是地球的b倍，地球表面重力加速度為g,不計火星的大氣阻力，則

（）

A.減速過程著陸器的位移為vot

B.火星的平均密度是地球的白倍

C.火星的第一宇宙速度是地球的倍

D.減速過程中著陸器受到的制動力大小為機（弓9+中）

bc

［例題19］（多選）（2023?山西模擬）“祝融號”火星探測器于2021年5月22日成功著陸火星，至今

依然活躍。若測得火星表面赤道位置的重力加速度為g，而兩極的重力加速度為go,且知火星

自轉(zhuǎn)周期T,并將火星視為理想勻質(zhì)球體，則下列判斷中正確的有（）

產(chǎn)

A.火星的半徑為So—g）易口

B.火星的半徑為（g—a）G

c.火星的第一宇宙速度為

D.火星的第一宇宙速度為（Jg（g-g0）

［例題20］（多選）（2020?岳陽一模）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放

在彈簧上端，由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中P線所示.在

另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a?x關(guān)系如圖中Q線所

示.己知M、N兩星球的半徑相等，不計星球表面的氣體阻力，則（）

A.M、N星球表面的重力加速度大小之比是2：1

B.P、Q的質(zhì)量大小之比是1：5

C.P、Q下落的最大速度之比是低：1

D.M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1

考點五雙星或多星模型

繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體綱成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，加圖6所示，雙星系統(tǒng)模型有以下

特點:

(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供,即

Gni\ni2Gni]Hi2

P---="Z20"2

(2)兩顆星的周期及角速度都相同,即

T\=T2tco\=a)2

(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：n+r2=L

(4)兩顆星到圓心的距離〃、「2與星體質(zhì)量成反比，即俳=彳

(5)雙星的運動周期7=2兀

1+〃?2)

4」，

(6)雙星的總質(zhì)量公式孫+/?2=72G

[例題21](2023?河北模擬)科學(xué)家觀測發(fā)現(xiàn)銀河系的“MAXIJ1820+070”是一個由黑洞和恒星組成

的雙星系統(tǒng)，若系統(tǒng)中黑洞與恒星的中心距離為L,黑洞做勻速圓周運動的加速度為a,恒星做

勻速圓周運動的加速度為a，，則黑洞做圓周運動的半徑為()

aLaL2aL2aL

A.----B.----C.----D.----

a+a，a-a'a+ara-af

[例題22]“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個星球的半徑均遠小于兩者之間的距離，而且雙

星系統(tǒng)一般遠離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點0做勻速圓周運動。如圖

所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為mi,B星球的質(zhì)量為m2,它們球心之間的距離為L,

引力常量為G,則下列說法正確的是（）

A.B星球的軌道半徑為——L

ml+m2

B.A星球運行的周期為2戊二三三

yj6（叫十二2）

C.A星球和B星球的線速度大小之比為mi：m2

D.若在0點放一個質(zhì)點，則它受到兩星球的引力之和一定為零

[例題23]（2023?南充模擬）“黑洞”是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋“黑洞”的方案之

一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星

系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上

的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，若將可見星A所受暗星B的引力等效為

位于O點處質(zhì)量為的星體對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為mi、m2，則（）

A.m=---—B.m=/—

m1+m2?n1+m2

-m"mz-施

cVx?flI2D1-XeIII2

01+7712）（瓶1+巾2）

[例題24]（2022?江門模擬）宇宙用有一孤立星系，中心天體對周圍有三顆行星，如圖所示，中心天

體質(zhì)量大于行星質(zhì)量，不考慮行星之間的萬有引力，行星I、【II為圓軌道，半徑分別為門，m

行星H為橢圓軌道，半長軸為a,a=r3,與行星I軌道在B點相切，下列說法正確的是（）

A.行星II與行星III的運行周期相等

B.行星【I在P點與行星II］在D點時的加速度相同

C.行星H【的速率大于行星II在B點的速率

D.行星I的速率與行星II在B點的速率相等

［例題25］（多選）近年科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，在宇宙中，三恒星系統(tǒng)約占所有恒星系統(tǒng)的十分之一，可見

此系統(tǒng)是一個比較常見且穩(wěn)定的系統(tǒng)。在三恒星系統(tǒng)中存在這樣一種運動形式：忽略其他星體

對它們的作用，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，

繞某一共同的圓心0在三角形所在平面內(nèi)以相同角速度做勻速圓周運動。如圖所示為A、B、

C三顆星體質(zhì)量mA、mB、me大小不同時，星體運動軌跡的一般情況。設(shè)三顆星體在任意時刻

受到的萬有引力的合力大小分別為F］、F2、F3,加速度大小分別為a】、a2、孫星體軌跡半徑分

別為RA、RB、Re,下列說法正確的是（）

A.若三顆星體質(zhì)量關(guān)系有mA=mB=mc,則三顆星體運動軌跡圓為同?個

B.若三顆星體運動軌跡半徑關(guān)系有RAVRBVRC，則三顆星體質(zhì)量大小關(guān)系為mA〈m3Vme

C.Fi、F2、F3的矢量和一定為0,與星體質(zhì)量無關(guān)

D.ai>a2、a3的矢量和一定為0,與星體質(zhì)量無關(guān)

練出高分

一.選擇題（共10小題）

1.（2023?河北區(qū)二模）據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，中國空間站已全面建成，我國載人航天工

程“三步走”發(fā)展戰(zhàn)略已從構(gòu)想成為現(xiàn)實。目前，空間站組合體在軌穩(wěn)定運行，神舟十五號航天

員乘組狀態(tài)良好，計劃于今年6月返回地面。空間站繞地球飛行的軌道可視為圓軌道。空間站運

行朝L道距地面的高度為40Ckm左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km。則空間站的（）

A.角速度比地球同步衛(wèi)星的小

B.周期比地球同步衛(wèi)星的長

C.線速度比地球同步衛(wèi)星的小

D.向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大

2.（2023?潮州二模）2022年11月29口神舟十五號飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，飛船入

軌后按照預(yù)定程序，成功與我國空間站軌道核心艙進行自主快速交會對接。已知空間站運行在離

地面高為三R的圓軌道上（R為地球半徑），下列說法正確的是（）

A.空間站在軌道上飛行的速度大于9km/s

B.空間站中的一根天線脫落將做自由落體運動

C.成功對接后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小

D.入軌后飛船內(nèi)的宇航員所受地球的萬有引力大小約為他在地面時的（居產(chǎn)

3.（2023?豐臺區(qū)二模）兩個天體組成雙星系統(tǒng)，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點

做周期相同的勻速圓周運均。

科學(xué)家在地球上用望遠鏡觀測由兩個小行星構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，看到一個宛度周期性變化的光點，

這是因為當(dāng)其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。科學(xué)家用航天器以某速度撞擊該

雙星系統(tǒng)中較小的小行星，撞擊后，科學(xué)家觀測到光點明暗變化的時間間隔變短。不考慮撞擊后

雙星系統(tǒng)的質(zhì)量變化。根據(jù)上述材料，下列說法正確的是（）

A.被航天器撞擊后，雙星系統(tǒng)的運動周期變大

B.被航天器撞擊后，兩個小行星中心連線的距離增大

C.被航天器撞擊后，雙星系統(tǒng)的引力勢能減小

D.小行星質(zhì)量越大，其運動的軌道越容易被改變

4.（2023?重慶模擬）圖1為電影《流浪地球2》中的太空電梯，又稱為“斯科拉門德快速旦梯”，是

一種可以在地球表面和太空間來回運輸人員和物資的巨型結(jié)構(gòu)。圖2為其簡易圖，固定在空間站

和地球間的剛性“繩索”與空間站一起和地球保持相對靜止，電梯可沿“繩索”升降，則（）

A.空間站繞地球運行的向心力小于地球?qū)λ娜f有引力

B.空間站繞地球運行的向心力等于地球?qū)λ娜f有引力

C.若連接空間站處的“繩索”斷裂，空間站將落回地面

D.若連接空間站處的“繩索”斷裂，空間站做離心運動

5.（2023?滄州一模）科幻電影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力彈弓”效應(yīng)加速才能成功

逃離太陽系。然而由于行星發(fā)動機發(fā)生故障使得地球一度逼近木星的“洛希極限”，險象環(huán)生?！奥?/p>

希極限”是一個距離，可粗略認為當(dāng)?shù)厍蚺c木星的球心間距等于該值時，木星對地球上物體的引

力約等于其在地球上的重力，地球?qū)A向碎散。已知木星的“洛希極限"衣，其中R木

為木星的半徑，約為地球半徑R的11倍。則根據(jù)上述條件可估算出（）

A.木星的第一宇宙速度約為7.9km/s

B.木星的第一宇宙速度約為16.7km/s

9

C.木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的：倍

4

9

D.木星的密度約為地球密度的k倍

44

6.（2023?上饒一模）北京時間2023年1月15日11時14分，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二

號丁運載火箭，以“一箭十四星”發(fā)射方式，成功將齊魯二號/三號衛(wèi)星及珞珈三號01星、吉林

一號高分03D34星等4顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功.假設(shè)

其中的甲、乙兩顆衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍，甲的質(zhì)后也是乙的

2倍.貝IJ（）

A.由丫=質(zhì)可知，甲的速度是乙的&倍

B.由a=o）2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍

Mm1

C.由F=GF-可知，甲的向心力是乙的二

T24

D.由可知，甲的周期是乙的2注倍

T2

7.（2023?安慶模擬）中國原創(chuàng)科幻電影《流浪地球2》近期火爆全球，片中高聳入云、連接天地的

太空電梯運行場景令人震撼，其通過高強度纜繩將地球同步軌道上的空間站與其正下方赤道上的

固定物連接在一起，在引力的作用下，纜繩處于緊繃狀態(tài)。若載滿乘客的太空電梯因機械故障懸

停在纜繩中間處，下列說法正確的是（）

A.懸停時太空電梯所受合外力為零

B.懸停時電梯內(nèi)乘客處于完全失重狀態(tài)

C.懸停時太空電梯的速度大于空間站的速度

D.懸停時太空電梯的速度小于在同樣高度繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的速度

8.（2023?通州區(qū)一模）2022年6月5日，我國的神舟十四號載人飛船與距地表約400km的空間站

完成徑向交會對接。徑向交會對接是指飛船沿與空間站運動方向垂直的方向和空間站完成對接。

對接前，飛船在空間站正下方200米的“保持點”處調(diào)整為垂直姿態(tài)（如圖所示），并保持相對靜

止。準(zhǔn)備好后，再逐步上升到“對接點”與空間站完成對接。飛船和空間站對接后，組合體繞地

球做勻速圓周運動。已知地球同步衛(wèi)星位于地面上方高度約36000km處。下列說法正確的是（）

A.飛船維持在“保持點”的狀態(tài)時，它的運動速度大于空間站運動速度

B.飛船維持在“保持點”的狀態(tài)時，需要開動發(fā)動機給飛船提供一個背離地心的推力

C.與地球同步衛(wèi)星相比，組合體的運動周期更大

D.飛船一直加速才能從“保持點”上升到“對接點”

9.（2023?黃山模擬）三月春來早，北斗農(nóng)機來報到，基于北斗的自動駕駛農(nóng)機能夠按照既定路線進

行精準(zhǔn)春耕作業(yè)，精細化程度顯著提升，雖然我國的北斗系統(tǒng)起步最晚，但“后來居上”，成為可

與美國GPS媲美的最先進的全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)。如圖是北斗三號衛(wèi)星系統(tǒng)三種口星的參數(shù)，地球

球體半徑為6400km,以下說法正確的是（）

表1北斗三號衛(wèi)星功能特點

北斗衛(wèi)星MEO衛(wèi)星（24）GEO衛(wèi)星（3）IGSO衛(wèi)星(3)

名稱中圓軌道衛(wèi)星地球靜止軌道衛(wèi)星傾斜地球同步軌道衛(wèi)

星

軌道高度2萬公里左右，三個3.6萬公里左右3.6萬公里左右

軌道面，保持55°

的傾角

星下點估計繞著地區(qū)劃波浪投影一個點鎖定區(qū)域畫8字

功能特點環(huán)繞地球運行實現(xiàn)全承載區(qū)域短報文通信與GEO互補，對亞

球?qū)Ш蕉ㄎ?、短報文太區(qū)域可重點服務(wù)

通信、國際救援

A.MEO衛(wèi)星速度大于7.9km/s

B.GEO衛(wèi)星可以相對靜止在我國某地上空

C.GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星24h一定會相遇一次

D.MEO衛(wèi)星周期T一定小于24h

10.（2023?凱里市校級模擬）北京時間2022年11月29日23點08分，我國成功發(fā)射神舟十五號載

人飛船，在太空與在軌的神舟卜四號乘組對接，這是我國航天史上首次實現(xiàn)兩載人飛船在太空中

對接。神舟十五號載人K船和在軌的神舟十四號載人匕船對■接前運行可簡化為勻速圓周運動，如

圖所示，神舟十五飛船繞A軌道運行的周期為Ti,神舟十四號飛船繞B軌道運行的周期為T2,

在某時刻兩飛船相距最近，軌道B離地高度約為400km。下列說法正確的是（）

TT

A.兩￡船卜一次相距最近需經(jīng)過時間t=丹＞

11+/2

B.神舟十五、十四兩飛船繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑之比為（圣T.尹2

C.神舟十五號飛船要與在軌的神舟十四號飛船對接，需要向其運動方向噴氣

D.神舟卜五號飛船對接后的向心加速度小于地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度

二.計算題（共3小題）

II.（2023?西城區(qū)二模）建立物理模型是解決實際問題的重要方法.

（1）如圖1所示，圓和橢圓是分析衛(wèi)星運動時常用的模型。已知，地球質(zhì)量為M,半徑為R,萬

有引力常量為G。

a.衛(wèi)星在近地軌道I上圍繞地球的運動，可視做勻速圓周運動，軌道半徑近似等于地球半徑。求

衛(wèi)星在近地軌道I上的運行速度大小Vo

b.在P點進行變軌操作，可使衛(wèi)星由近地軌道I進入橢圓軌道II。衛(wèi)星沿橢圓軌道運動的情況

較為復(fù)雜，研究時我們可以把橢圓分割為許多很短的小段，衛(wèi)星在每小段的運動都可以看作是圓

周運動的一部分（如圖2所示）。這樣，在分析衛(wèi)星經(jīng)過橢圓上某位置的運動時，就可以按其等效

的圓周運動來分析和處理。

衛(wèi)星在橢圓軌道II的近地點P的速度為vi,在遠地點D的速度為V2,遠地點D到地心的距離為

根據(jù)開普勒第二定律（對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等）

可知viR=V2r,請你根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律推導(dǎo)這一結(jié)論。

（2）在科幻電影《流浪地球》中有這樣一個場景：地球在木星的強大引力作用下，加速向木星靠

近，當(dāng)?shù)厍蚺c木星球心之間的距離小于某個值d時，地球表面物體就會被木星吸走，進而導(dǎo)致地

球可能被撕裂。這個臨界距離d被稱為“洛希極限”。

已知，木星和地球的密度分別為po和p，木星和地球的半徑分別為Ro和R，且d?R。請據(jù)此近

似推導(dǎo)木星使地球產(chǎn)生撕裂危險的臨界距離d-“洛希極限”的表達式?！咎崾荆寒?dāng)x很小時，

（1+x）X]+nx。]

圖2

12.（2023?銅仁市模擬）我國航天技術(shù)水平在世界處于領(lǐng)先地位，對于人造衛(wèi)星的發(fā)射，有人提出

了利用“地球隧道”發(fā)射人造衛(wèi)星的構(gòu)想：沿地球的一條弦挖一通道，在通道的兩個出口處分別

將等質(zhì)量的待發(fā)射衛(wèi)星部件同時拜放，部件將在通道中間位置“碰撞組裝”成衛(wèi)星并靜止下來；

另在通道的出口處由靜止釋放一個大質(zhì)量物體，大質(zhì)量物體會在通道與待發(fā)射的衛(wèi)星碰撞，只要

物體質(zhì)品相比衛(wèi)星質(zhì)量足夠大，衛(wèi)星獲得足夠速度就會從對向通道口射出。（以下計算中，已知地

球的質(zhì)量為Mo,地球半徑為Ro,引力常量為G,可忽略通道AB的內(nèi)徑大小和地球自轉(zhuǎn)影響。）

（1）如圖甲所示，將一個質(zhì)量為mo的質(zhì)點置于質(zhì)量分布均勻的球形天體內(nèi)，質(zhì)點離球心O的距

離為r。已知天體內(nèi)部半徑在I??R之間的“球殼”部分（如甲示陰靜部分）對質(zhì)點的萬有引力為

零，求質(zhì)點所受萬有引力的大小尺。

（2）如圖乙所示，設(shè)想在地球上距地心h處沿弦長方向挖了一條光滑通道AB,一個質(zhì)量為m。

的質(zhì)點在離通道中心0,的距離為x處，求質(zhì)點所受萬有引力沿弦AB方向的分力Fx；將該質(zhì)點從

A點靜止釋放，求質(zhì)點到達通道中心（7處時的速度大小vo.

（3）如圖丙所示，如果質(zhì)量為m的待發(fā)射衛(wèi)星已靜止在通道中心01處，由A處靜止釋放另一質(zhì)

m

量為M的物體，物體到達0'處與衛(wèi)星發(fā)生彈性正碰，設(shè)M遠大于m,計算時可取七、0。衛(wèi)星

從圖內(nèi)示通道右側(cè)B處飛四，為使飛出速度達到地球第一宇宙速度，h應(yīng)為多大？

13.（2022?西城區(qū)校級四模）“星空浩瀚無比，探索永無止境?！比祟悘奈赐Ｖ箤τ钪娴奶剿?，中國

航天事業(yè)正在創(chuàng)造更大的輝煌。

（1）變軌技術(shù)是航天器入凱過程中的重要一環(huán)。實際航行中的變物過程較為復(fù)雜，為方便研究我

們將航天器的變軌過程簡化為如圖1所示的模型：①將航天器發(fā)射到近地圓軌道1上；②在A點

點火加速使航天器沿橢圓軌道2運行，軌道1和軌道2相切于A點，A、B分別為軌道2的近地

點與遠地點，地球的中心位于橢圓的一個焦點；③在遠地點B再次點火加速，航天器沿圓軌道3

運行，軌道2和軌道3相切于B點。

已知引力常量為G,地球的質(zhì)量為M,軌道1半徑為R,軌道3半徑為3R,質(zhì)量為m的物體與

地球間的引力勢能與=-華（「為物體到地心的距離，取無窮遠處引力勢能為零）。

?????

圖2

a.求航天器在圓軌道1上運行時的速度大小v；

b.開普勒第二定律表明：航天器在橢圓軌道2上運行時，它與地球中心的連線在相等的時間內(nèi)掃

過的面積相等。請根據(jù)開普勒第二定律和能量守恒定律，求航天器在橢圓軌道2近地點A的速度

大小VA。

（2）在航天滯到達預(yù)定高度后，通常使用離子推進黯作為動力裝置再進行姿態(tài)和軌道的微小修

正。如圖2所示，推進劑從P處注入，在A處電離出正離子，B、C之間加有恒定電壓U,正離

子進入B時的速度忽略不計，經(jīng)加速形成電流為I的離子束后噴出。己知單位時間內(nèi)噴出的離子

質(zhì)量為mo。為研究方便，假定離子推進器在太空匕行時不受其它外力，忽略推進器運動的速度。

求推進器獲得的推力的大小F。

第11講萬有引力定律

目錄

考點一天體質(zhì)量和密度的計算............................................1

考點二衛(wèi)星運行參量的比較與計算........................................2

考點三衛(wèi)星變軌問題分析................................................4

考點四宇宙速度的理解與計算.............................................6

考點五雙星或多星模型...................................................9

練出高分.................................................................11

考點一天體質(zhì)量和密度的計算

I.解決天體(衛(wèi)星)運動問題的基本思路

(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即

⑵在中心天體表面或.附近運動時，萬有引力近似等于重力，即。塞=〃吆(g表示天體表面的

重力加速度).

2.天體質(zhì)量和密度的計算

⑴利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

由于G號會=〃的故天體質(zhì)量M=吟，

MM3女

天體密度〃=V-4

-A4

3兀

(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期7和秋道半徑r.

①由萬有引力等于向心力，即=〃￥~廣，得出中心天體質(zhì)量M=卷聲:

②若已知天體半徑R,則天體的平均密度

MM3/

③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其就道半徑，?等于天體半徑R,則天

37r

體密度〃=澎.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期7,就可估算出中心天體的密

度.

[例題26]（2023?昌平區(qū)二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學(xué)學(xué)報》中發(fā)表他關(guān)于引力常

量的測量時，曾提到池的實驗是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G,要想估測

地球的密度，只需測得（）

A.地球的質(zhì)量B.地球的半徑

C.近地衛(wèi)星的運行周期D.地球表面的重力加速度

【解答】解：ABD、根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系有等=mg

解得M=說

可解得：P=A豁,或「=蔡

可知只測得地球的質(zhì)量、或地球的半徑、或地球表面的重力加速度，均不能估測地球的

密度，故ABD錯誤；

GMm

C、對于質(zhì)量為m的近地衛(wèi)星，設(shè)其運行周期為T,根據(jù)萬有引力提供向心力得：—=

2n

m（—）27R

結(jié)合p=￥=向，可得p=第，可知己知G,只需測得近地衛(wèi)星的運行周期，就能估

測地球的密度，故C正確。

故選：Co

[例題27]（2023?茂名二模）2022年11月29日我國“沔舟十五號”載人飛船發(fā)射成功，并

通過一系列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對接，萬有引力常量為G,下

列說法正確的是（）

A.變軌前A是空間站，B是飛船

B.飛船的發(fā)射速度可能小于7.9km/s

C.完成對接后，飛船和空間站的運行周期大于24小時

D.若已知空間站的運行周期和地球半徑，可以測量地球密度

【解答】解：A、飛船加速后將做離心運動，軌道半徑增大，則變軌前A是飛船，B是空

間站，故A錯誤;

B、7.9km/s是最小的發(fā)射速度，可知飛船的發(fā)射速度大于7.9km/s,故B錯誤；

Mm47r2I3

C、根據(jù)萬有引力提供向心力，得G受-=四方［得T=2nJ金r，完成對接后，飛船和

空間站的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以完成對接后，飛船和空間站的運

行周期小于地球同步衛(wèi)星的運行周期24h,故C錯誤；

D、根據(jù)地球半徑和空間站距離地面的高度，可以得到空間站的軌道半徑，由

Mm4n247r2丁3

0=mr,得M=,即可以求出地球的質(zhì)昌:。由地球半徑能求出地球的體積,

7r7^GT2

因而能求出地球的密度，故D正確。

故選：D。

［例題28］（2023?邢臺模擬）宇宙￡船繞地球做勻速圓周運動，它的軌道距地心的距離等于

地球半徑的k倍，它的運動周期為T,引力常量為G,則地球的平均密度p的表達式為

（）

GMm47r2

【解答】解：根據(jù)萬有引力提供向心力可得：—=0!^-,解得中心天體的質(zhì)量為:

M=也綏，其中r=kR

GT1

根據(jù)密度的計算公式p=冬其中V=酎R3

聯(lián)立解得：p=蟠，故A正確、BCD錯誤。

GT2

故選：Ao

［例題29］（2023?贛州二模）2022年10月9日，我國將衛(wèi)星“夸父一號”成功送入太陽同

步晨昏軌道。從宇宙中看，衛(wèi)星一方面可視為繞地球做勻速圓周運動，軌道平面與地球

的晨昏分界線共面，衛(wèi)星軌道離地高度h^720km,周期Ti^lOO分鐘。另一方面衛(wèi)星

隨地球繞太陽做勻速圓周運動，周期T2=l年，衛(wèi)星軌道平面能保持垂直太陽光線，如

圖所示。己知地球的半徑為R,引力常量為G,則下列表述正確的是（）

A.晨昏軌道平面與地球同步衛(wèi)星軌道平面重合

B.根據(jù)以上信息可以估算出地球的質(zhì)量

C.“夸父一號”的發(fā)射速度大于11.2km/s

D.根據(jù)二=V乙可估算出地球到太陽的距離r

丁2

【解答】解：A、晨昏軌道與地球經(jīng)線平