新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第5講 指對冪函數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

第5講指對冪函數(shù)及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理指數(shù)和指數(shù)函數(shù)1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：eq\r(n,a)稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a；當n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|.2.分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域為R值域值域為(0，＋∞)，即對任何實數(shù)，都有ax>0過定點過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1函數(shù)值的變化當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖像關(guān)于y軸對稱對數(shù)和對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念在表達式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個式子，此時，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對數(shù)的底數(shù)，N稱為對數(shù)的真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運算性質(zhì)①loga(MN)＝logaM＋logaN，②logaMα＝αlogaM，③logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝logax稱為對數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.(2)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域為(0，＋∞)，圖像在y軸的右邊值域值域為R過定點過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當0<x<1時，y<0，當x>1時，y>0當0<x<1時，y>0，當x>1時，y<0單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)對稱性y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的圖像關(guān)于x軸對稱4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱.冪函數(shù)和二次函數(shù)1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α為常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖像，并且圖像都通過點(1，1).②如果α>0，則冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).③如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)；當x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方且無限地逼近y軸；當x無限增大時，圖像在x軸上方且無限地逼近x軸.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖像(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當b＝0時是偶函數(shù)，當b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)考點和典型例題1、指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【典例1-1】（2020·黑龍江·東寧市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）關(guān)于函數(shù)SKIPIF1<0的結(jié)論正確的是（

）A．值域是SKIPIF1<0 B．單調(diào)增區(qū)間是SKIPIF1<0C．值域是SKIPIF1<0 D．單調(diào)減區(qū)間是SKIPIF1<0【典例1-2】（2021·湖北省直轄縣級單位·高二階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的圖象如下圖所示，則下列四個函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是（

）A． B．C． D．【典例1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）將函數(shù)SKIPIF1<0的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角SKIPIF1<0，得到曲線SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0仍然是一個函數(shù)的圖像，則SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測）（多選）已知SKIPIF1<0（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為SKIPIF1<0次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，并且每份樣本是陽性的概率都為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，運用概率統(tǒng)計的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.12、對數(shù)和對數(shù)函數(shù)【典例2-1】（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-2】（2022·江蘇南京·三模）我們知道，任何一個正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當n≥0時，N是一個n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（

）位數(shù)．A．71 B．70 C．69 D．68【典例2-3】（2022·河南開封·三模（理））函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【典例2-4】（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-5】（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)一模）有一個非常有趣的數(shù)列SKIPIF1<0叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當n很大時，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，SKIPIF1<0……，至今為止都還不確定SKIPIF1<0是有理數(shù)還是無理數(shù)．由于上式在n很大時才成立，故當n較小時計算出的結(jié)果與實際值之間是存在一定誤差的，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．用上式估算出的SKIPIF1<0與實際的SKIPIF1<0的誤差絕對值近似為（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.6573、冪函數(shù)和二次函數(shù)【典例3-1】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列冪函數(shù)中，定義域為SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0或2 C．0 D．2【典例3-3】（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測（理））若冪函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列關(guān)于函數(shù)SKIPIF1<0的判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0是周期函數(shù) B．SKIPIF1<0是單調(diào)函數(shù)C．SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0對稱 D．SKIPIF1<0關(guān)于原點對稱【典例3-4】（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【典例3-5】（2021·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-6】（2021·四川省綿陽實驗高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））冪函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的圖象過定點（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、綜合應(yīng)用【典例4-1】（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4-2】（2022·北京·二模）若函數(shù)SKIPIF1<0的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4-3】（2022·安徽·壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0