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專題20函數(shù)中的數(shù)列問題一、單選題1.已知一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,記數(shù)列SKIPIF1<0的前項和為SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的值等于(
)A.24 B.25 C.23 D.26【解析】∵一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像經(jīng)過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.故選:A.2.已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線的斜率為3,數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】由題意得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:D3.著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時,給出了“牛頓數(shù)列”,它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是:對于函數(shù)SKIPIF1<0,若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則稱數(shù)列SKIPIF1<0為牛頓數(shù)列,若函數(shù)SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值是(
)A.8 B.2 C.-4 D.-6【解析】因為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0是以首項SKIPIF1<0,公差為SKIPIF1<0的等數(shù)列,可得SKIPIF1<0.故選:D.4.已知函數(shù)SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0(
)A.0 B.1 C.675 D.2023【解析】SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的奇函數(shù).而SKIPIF1<0,因SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù),SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù),故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數(shù).又SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為周期數(shù)列且周期為3.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故選:B.5.已知函數(shù)SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的值為(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.2 D.3【解析】由于SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為奇函數(shù),因此由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0為周期數(shù)列且周期為4,又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故選:D6.設(shè)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù),且滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0(
)A.0 B.-1 C.2 D.-2【解析】對于數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,變形可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,則有:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù),所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,則有:SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是以3為周期的周期函數(shù).所以SKIPIF1<0.故選:D7.已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最小值為(
).A.SKIPIF1<0 B.5 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】由數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,根據(jù)等差數(shù)列的定義知,數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0,公差為2的等差數(shù)列,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0單調(diào)遞減;當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0單調(diào)遞增.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以,當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0有最小值為SKIPIF1<0.故選:D.8.設(shè)曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸交點的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0,則數(shù)列SKIPIF1<0的前2023項的積為()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0,所以,曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0,所以,曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0,所以,曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸交點的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0,所以,數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的積為SKIPIF1<0,所以,數(shù)列SKIPIF1<0的前2023項的積為SKIPIF1<0.故選:D二、多選題9.已知函數(shù)SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,且滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則下列有關(guān)數(shù)列SKIPIF1<0的敘述正確的是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0選項,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0正確;B選項,因為SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0,下證SKIPIF1<0:當(dāng)SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,命題成立;假設(shè)SKIPIF1<0時,命題成立,即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時,命題也成立,所以對任意SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0,B正確;C選項,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,C錯誤;D選項,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以D錯誤.故選:AB.10.已知公比為SKIPIF1<0的正項等比數(shù)列SKIPIF1<0,其首項SKIPIF1<0,前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0,且函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處切線斜率為1,則(
)A.?dāng)?shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增 B.?dāng)?shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減C.SKIPIF1<0或5時,SKIPIF1<0取值最大 D.SKIPIF1<0【解析】對A:因為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,且數(shù)列SKIPIF1<0是正項數(shù)列,故可得SKIPIF1<0,故該數(shù)列單調(diào)遞減,A錯誤;對B:SKIPIF1<0,由A知:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減,B正確;對C:由A可知:SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,故數(shù)列SKIPIF1<0的前4項均為大于SKIPIF1<0的正數(shù),從第SKIPIF1<0項開始均為小于1的正數(shù),故當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0取得最大值,C正確;對D:因為SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,故可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故D正確;故選:BCD.11.已知函數(shù)SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,且滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則下列有關(guān)數(shù)列SKIPIF1<0的敘述不正確的是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0知,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為非負(fù)數(shù)列,又SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調(diào)遞減,且SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為遞減數(shù)列,且SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0錯誤;又SKIPIF1<0,故當(dāng)SKIPIF1<0時,有SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0錯誤;又SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0正確.故選SKIPIF1<0.12.定義在SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,若方程SKIPIF1<0的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列SKIPIF1<0,則下列說法中正確的是(
)A.SKIPIF1<0B.若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列,則公差為6C.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的圖象關(guān)于點SKIPIF1<0對稱,根據(jù)題意作出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的圖象,如圖所示:
對于選項A:因為定義在SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故A正確;對于選項B:由圖象可知:若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列,則SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有且僅有一個交點,因為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以公差為6,故B正確;對于選項C:若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有且僅有2個交點,結(jié)合圖象可得SKIPIF1<0,故C錯誤;對于選項D:若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有且僅有3個交點,且SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0是以首項為7,公差為12的等差數(shù)列,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故D正確;故選:ABD.三、填空題13.設(shè)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0是遞增數(shù)列,則a的取值范圍是__________.【解析】因為SKIPIF1<0是遞增數(shù)列,所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,14.?dāng)?shù)列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0.定義:使數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的積為整數(shù)的數(shù)SKIPIF1<0叫做期盼數(shù),則區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于______.【解析】因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的整數(shù)次冪,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故滿足條件的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的所有期盼數(shù)的和為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.15.函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的所有極值點從小到大排列成數(shù)列SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的前n項和,給出下列四個結(jié)論:①數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點;④SKIPIF1<0.其中所有正確結(jié)論的序號是______.【解析】SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,易得函數(shù)的極值點為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,從小到大為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,不是等差數(shù)列,①錯誤;SKIPIF1<0,②正確;因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上為減函數(shù),在區(qū)間SKIPIF1<0上為增函數(shù),所以SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點,③正確;SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0則根據(jù)誘導(dǎo)公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,④正確;故答案為:②③④.16.若函數(shù)SKIPIF1<0使得數(shù)列SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)為嚴(yán)格遞增數(shù)列,則稱函數(shù)SKIPIF1<0為“數(shù)列SKIPIF1<0的保增函數(shù)”.已知函數(shù)SKIPIF1<0為“數(shù)列SKIPIF1<0的保增函數(shù)”,則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為__________.【解析】由題意可得,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立,由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0四、解答題17.令SKIPIF1<0,對拋物線SKIPIF1<0,持續(xù)實施下面牛頓切線法的步驟:在點SKIPIF1<0處作拋物線的切線交x軸于SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處作拋物線的切線交x軸于SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處作拋物線的切線交x軸于SKIPIF1<0由此能得到一個數(shù)列SKIPIF1<0,回答下列問題:(1)求SKIPIF1<0的值(2)設(shè)SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的解析式.【解析】(1)SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以切線方程為:SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.(2)因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0,所以切線方程為:SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的解析式:SKIPIF1<0.18.已知函數(shù)SKIPIF1<0,將滿足SKIPIF1<0的所有正數(shù)SKIPIF1<0從小到大排成數(shù)列SKIPIF1<0證明:數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列.【解析】因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為整數(shù),從而SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴數(shù)列SKIPIF1<0是公比SKIPIF1<0的等比數(shù)列,且首項SKIPIF1<0.19.已知對于任意SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處切線斜率為SKIPIF1<0,正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項為2.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【解析】(1)由題意SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;由題可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(2)由題可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.20.已知函數(shù)SKIPIF1<0的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;(2)設(shè)SKIPIF1<0,求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【解析】(1)因為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0為所有正的零點構(gòu)成的,故SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為首項,1為公差的等差數(shù)列,即SKIPIF1<0;(2)由(1)知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0①,所以SKIPIF1<0②,①-②可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.21.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,對一切正整數(shù)SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0都在函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上,且過點SKIPIF1<0的切線的斜率為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.(2)若SKIPIF1<0,求數(shù)列
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