江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

高一數(shù)學(xué)2025．01注意事項(xiàng)：1．本試卷包括單項(xiàng)選擇題(第1題~第8題)、多項(xiàng)選擇題(第9題~第11題)、填空題(第12題~第14題)、解答題(第15題~第19題)四部分。本試卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上指定的位置。3．作答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。4．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，則A∩(?UB)＝A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}2．“a≠0”是“ab≠0”的A．必要且不充分條件B．充分且不必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．函數(shù)f(x)＝lg(1－|x|)的定義域?yàn)锳．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．[－1，1]D．(－1，1)4．將函數(shù)y＝sin(x－)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式為A．y＝sin(x－)B．y＝sin(2x－)C．y＝sin(x－)D．y＝sin(2x－)5．已知cosα＝－，＜α＜π，則cos(＋α)的值為A．－B．－C．D．6．已知a＝log23，b＝sin，c＝3，則A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b7．根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，室內(nèi)二氧化碳濃度應(yīng)不超過(guò)1000ppm，在這個(gè)范圍內(nèi)，室內(nèi)空氣質(zhì)量良好，人體健康不受到影響．已知某室內(nèi)二氧化碳濃度y(ppm)與開(kāi)窗通風(fēng)的時(shí)長(zhǎng)t(分鐘)之間的關(guān)系式為y＝500＋104λe－(λ∈R)．經(jīng)測(cè)定，該室內(nèi)初始時(shí)刻的二氧化碳濃度為2000ppm，要使該室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，則需要開(kāi)窗通風(fēng)的時(shí)長(zhǎng)至少約為(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln5≈1.609)A．6分鐘 B．8分鐘 C．10分鐘 D．12分鐘8．若命題“x＞0，(ax－1)(x2－2ax－1)≥0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值集合為A．{}B．{}C．{a|a≥}D．{a|0＜a≤}二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分．9．若a＞b＞0，則A．a(chǎn)3＞b3B．a(chǎn)b＜b2C．＋＞D．＋＜210．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－，)，角θ的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓)交于點(diǎn)B(A，B不重合)，下列說(shuō)法正確的是A．若cosθ＝－，則點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B．若cosθ＝，則點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．若點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)y＝－x對(duì)稱(chēng)，則sinθ＝D．若OA和OB相互垂直，則tanθ＝11．函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：x∈R，f(x＋1)f(x)＝2．已知當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)＝2x，則A．f(1)＝1B．f(x)為周期函數(shù)C．f(x)為偶函數(shù)D．方程f(x)＝恰有3個(gè)解三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．12．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(a＞0，a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(m，n)，則m＋n＝．13．已知函數(shù)f(x)＝且f(2)＝，則α＝，使得f(x)＜成立的x的取值范圍是．14．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(－，0)，一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝，且f(x)在區(qū)間(0，)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則ω＝．四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿(mǎn)分13分）已知6m＝2，6n＝5．（1）求62m－n的值；（2）用m，n表示log2015．16．（本小題滿(mǎn)分15分）已知f(α)＝．（1）若sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，求f(α)的值；（2）若f(α)＝，求sin2α－3sinαcosα的值．17．（本小題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)＝f(－x)－f(x)．（1）判斷g(x)的奇偶性，并加以證明；（2）若f(x)＝3x．①用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：g(x)在R上單調(diào)遞減；②解關(guān)于x的不等式g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0．18．(本小題滿(mǎn)分17分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)分別為(，2)，(，－2)．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；（3）設(shè)m＞1，證明：函數(shù)g(x)＝f(mx)－mf(x)在(0，＋∞)上必有零點(diǎn)．19．(本小題滿(mǎn)分17分)設(shè)函數(shù)f(x)在非空數(shù)集M上的取值集合為N．若NM，則稱(chēng)f(x)為M上的“T函數(shù)”．（1）判斷f(x)＝sin2x是否為[，]上的“T函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若f(x)＝log2(－1)為[a，b](a＜b)上的“T函數(shù)”，證明：a＋b＜2；（3）若存在實(shí)數(shù)b，使得f(x)＝(x－a)2＋b為[0，1]上的“T函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．高一數(shù)學(xué)參考答案2025.01一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．B2．A3．D4．B5．D6．B7．C8．A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9．AC10．ACD11．BCD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．12．－113．，(－∞，2)14．18四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿(mǎn)分13分）解：（1）62m－n＝＝； 5分（2）因?yàn)?m＝2，6n＝5，所以m＝log62，n＝log65． 7分從而log2015＝ 9分＝ 11分＝，因?yàn)閘og62＋log63＝1，所以log3615＝＝． 13分16.（本小題滿(mǎn)分15分）（1）解法1：f(α)＝，因?yàn)閟inα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，即2sinαcosα＝－， 2分從而(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝， 4分因?yàn)?＜α＜π，sinα＞0，又因?yàn)閟inαcosα＜0，所以cosα＜0，因此sinα－cosα＞0，從而sinα－cosα＝， 6分故f(α)＝＝． 7分解法2：由sinα＋cosα＝及sin2α＋cos2α＝1， 2分解得sinα＝，cosα＝，或sinα＝，cosα＝， 4分因?yàn)椋鸡粒鸡?，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα－cosα＝， 6分因此f(α)＝＝＝． 7分（2）解法1：f(α)＝＝，所以2sinα＝－4cosα， 9分假設(shè)cosα＝0，則由上式知sinα＝0，與sin2α＋cos2α＝1矛盾，所以cosα≠0，從而tanα＝－2． 11分則sin2α－3sinαcosα＝＝ 14分＝＝2． 15分解法2：f(α)＝＝，所以sinα＝－2cosα，又sin2α＋cos2α＝1， 9分所以5cos2α＝1，即cos2α＝， 11分因此sin2α－3sinαcosα＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α 14分＝2． 15分17.（本小題滿(mǎn)分15分）解：（1）g(x)是R上的奇函數(shù)．因?yàn)間(x)定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的x∈R，都有－x∈R，且g(－x)＝f(x)－f(－x)＝－g(x)， 3分所以g(x)是R上的奇函數(shù)． 4分（2）①g(x)＝－3x．任取x1，x2∈R，不妨設(shè)x1＜x2，g(x1)－g(x2)＝－3x1－＋3x2＝(3x2－3x1)(1＋)， 7分因?yàn)閤1，x2∈R，x1＜x2，且函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以3x2－3x1＞0，1＋＞0，從而g(x1)－g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，因此g(x)在R上單調(diào)遞減． 9分②因?yàn)間(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0，又g(x)是R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，所以g(4x－9)＞g(2x＋1－6)，從而4x－9＜2x＋1－6， 12分解得－1＜2x＜3，所以不等式的解集為(－∞，log23)． 15分18．(本小題滿(mǎn)分17分)解：（1）由題意，A＝2， 1分＝－＝，又ω＞0，所以＝，即ω＝2． 3分根據(jù)題意，當(dāng)x＝時(shí)，sin(2×＋φ)＝1，從而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，故φ＝－． 5分所以f(x)＝2sin(2x－)． 6分（2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 8分則－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z． 10分故f(x)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，]和[，π]． 12分（3）g(x)＝2sin(2mx－)－2msin(2x－)＝2[sin(2mx－)－msin(2x－)]，當(dāng)m＞1時(shí)，則g(0)＝(m－1)＞0， 14分g()＝2[sin(－)－m]≤2(1－m)＜0， 16分又g(x)在(0，＋∞)上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，所以由零點(diǎn)存在性定理知，當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)g(x)＝f(mx)－mf(x)在(0，＋∞)上必有零點(diǎn)． 17分19．(本小題滿(mǎn)分17分)解：（1）由x∈[，]，得2x∈[，]，所以sin2x∈[，1]，即f(x)的取值集合為[，1]， 2分因?yàn)閇，1][，]，所以f(x)＝sin2x是為[，]上的“T函數(shù)”． 4分（2）因?yàn)閒(x)＝log2(－1)為[a，b](a＜b)上的減函數(shù)，所以f(x)在[a，b]的取值集合為[f(b)，f(a)]， 5分因?yàn)閒(x)為[a，b]上的“T函數(shù)”，所以[f(b)，f(a)][a，b]，因此f(b)≥a，f(a)≤b，即log2(－1)≥a，log2(－1)≤b， 7分所以(2a＋1)(2b＋1)≤9，(2a＋1)(2b＋1)≥9，從而(2a＋1)(2b＋1)＝9，即2a＋b＋2a＋2b－8＝0， 9分因?yàn)閍＜b，所以0＝2a＋b＋2a＋2b－8＞2a＋b＋2×－8，解得＜2，即a＋b＜2． 11分（3）解法1：①若a≤0，則f(x