專題38 空間直線、平面的平行解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題38空間直線、平面的平行（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 14【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì) 14【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì) 24【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 32【分層檢測】 43【基礎(chǔ)篇】 43【能力篇】 54【培優(yōu)篇】 62考試要求：從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化真題自測真題自測一、解答題1．（2024·全國·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.2．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．3．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．4．（2022·全國·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．5．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考答案：1．(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.【詳解】（1）由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.2．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過作垂直的延長線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，又，所?3．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.4．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳解】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積5．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫?，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)椋势矫?，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)一、單選題1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則或2．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)E、F，G分別在棱，，上，滿足，，記平面與平面的交線為l，則（

）A．，平面B．平面截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是C．時(shí)，三棱錐的外接球表面積為D．時(shí)，直線l與平面所成角的正弦值為4．（2023·遼寧沈陽·二模）在正方體中，，點(diǎn)P在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)直線平面時(shí)，則直線與直線成角可能為B．當(dāng)直線平面時(shí)，P點(diǎn)軌跡被以A為球心，為半徑的球截得的長度為C．若直線與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．當(dāng)直線時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)B，P，的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為三、解答題5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．(1)設(shè)線段中點(diǎn)為，證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離等于，如果存在，求的長．6．（2024·北京順義·三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；(2)若面面；求：（ⅰ）平面與平面CEF所成角的大?。唬áⅲ┣簏c(diǎn)A到平面CEF的距離.參考答案：1．C【分析】借助于模型，完成線面關(guān)系的推理可得C項(xiàng)正確，可通過舉反例或羅列由條件得到的所有結(jié)論，進(jìn)行對(duì)A,B,D選項(xiàng)的排除.【詳解】對(duì)于A，由，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，設(shè)，，在平面作不與重合的直線，使，因，則，因，，則，因，則，于是，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，，時(shí)，若且，則可以和平面成任意角度，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．C【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，可能在內(nèi)或者內(nèi)，故不能推出且，所以充分性不成立；當(dāng)且時(shí)，設(shè)存在直線，，且，因?yàn)?，所以，根?jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分條件.故選：C.3．ACD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A；畫出截面即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，確定球心和半徑即可判斷C；作出截面，如圖，確定交線，利用空間向量法求解線面角即可判斷D.【詳解】A：由題設(shè)及正方體結(jié)構(gòu)特征，有且平面，平面，故平面，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面圖形為五邊形或六邊形，如圖，所以充分性不成立，故B錯(cuò)誤：C：以D為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，，，，，，外接球的球心在過線段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線上，的中點(diǎn)，可記球心，外接球的半徑，所以，解得，，所以三棱錐的外接球表面積為，故C正確；D：作出截面圖形，交于，交于，直線即為直線，，又平面的法向量為，則與平面所成的角滿足，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.4．BCD【分析】A應(yīng)用線面平行、面面平行的判定證面面，進(jìn)而判斷的軌跡，即可判斷線線角的范圍；B根據(jù)A分析知：P點(diǎn)軌跡為線段，再畫出球與各面的截面形狀，即可判斷；C根據(jù)面，結(jié)合線面角大小確定P的軌跡，即可求長度；D首先確定P軌跡為線段，再應(yīng)用平面的基本性質(zhì)畫出截面，進(jìn)而確定面積范圍.【詳解】A：如下圖，連接、、，由正方體性質(zhì)知：，，由面，面，則面，同理可證面，又，面，故面面，由面，面面，且P在正方體的面內(nèi)，所以，要使直線平面，則面，即，又△為等邊三角形，故在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與直線成角為，錯(cuò)誤；B：由A分析知：直線平面，P點(diǎn)軌跡為線段，取中點(diǎn)，連接，而△為等邊三角形，則，以A為球心，為半徑的球截的長度為，正確；C：由面，顯然、與面夾角為，所以，要直線與平面所成角為，則P軌跡是以為圓心為半徑的圓，如下圖示：所以，軌跡長度為，正確；D：若，而，則，而面，面，又面面，故P軌跡為線段，過作交于，連接，易知：截面為平行四邊形，如下圖，當(dāng)與或重合時(shí)，截面為矩形，此時(shí)面積最大，為；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，截面為菱形，此時(shí)面積最小，為；所以截面面積的取值范圍為，正確.故選：BCD5．(1)證明見解析(2)存在，的長為【分析】（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）設(shè)，根據(jù)等體積法求出x的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)、、則有，，因?yàn)?，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）存在.設(shè)，在中，.因?yàn)槊?，所?因?yàn)槊妫?，面所?，則均為直角三角形.在中，同理，.取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，?故.因?yàn)辄c(diǎn)到面的距離等于，所以.而，所以，解得.所以在線段上只存在唯一一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離等于.6．(1)與平面不平行，證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取中點(diǎn)，證明，假設(shè)平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明，推出矛盾，可得結(jié)論；（2）（i）證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的角，（ii）利用向量方法求點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）不平行于平面，理由如下：取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以則四邊形為平行四邊形，所以，又，所以不平行于，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面所以，與不平行于矛盾，所以假設(shè)不成立，即不平行于平面；（2）取中點(diǎn)，連接因?yàn)榱庑?，所以為正三角形，又為中點(diǎn)，所以，由于，所以，又面面，面面，面所以面，因?yàn)槊?，所以又因?yàn)椋?，所以面，而面，所以，所以如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則（i）因?yàn)槊?，所以為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗?，令，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ii）因?yàn)?，由（i）知平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)到平面的距離為.反思提升：(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)一、單選題1．（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則（

）A．該截面多邊形是四邊形B．該截面多邊形與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)C．平面D．平面平面2．（2024·福建南平·二模）在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，平面平面，平面平面，則，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)的曲率為分別為的中點(diǎn)，則（

）A．直線平面B．在三棱柱中，點(diǎn)的曲率為C．在四面體中，點(diǎn)的曲率小于D．二面角的大小為4．（2024·河北保定·二模）如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（

）

A． B．平面平面C．多面體為三棱臺(tái) D．直線與平面所成的角為三、解答題5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是底面的內(nèi)接正方形，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面為.(1)證明：平面平面；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐的體積.6．（2024·山東濰坊·三模）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。畢⒖即鸢福?．B【分析】將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，可判斷A；利用相似比可得，可判斷B；證明平面即可判斷C；通過證明平面，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫媾c平面相交，所以與平面不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，所以，又，所以平面，結(jié)合C結(jié)論，所以平面與平面不平行，D錯(cuò)誤.故選：B．2．B【分析】由面面平行的性質(zhì)定理可得，，所以，所成角即為，在中，由余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面面，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面面，所以，所以，所成角即為所成角，而所成角為，設(shè)正四面體的棱長為，所以，所以，所以.

故選：B.3．ABD【分析】利用面面平行的判定性質(zhì)判斷A；利用曲率的定義計(jì)算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大小判斷D【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接BG，F(xiàn)G，由D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，得，而平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，則平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正確；對(duì)于B，在直三棱柱中，，則點(diǎn)的曲率為，解得，由，得，而，因此點(diǎn)的曲率為，B正確；對(duì)于C，過作，交的延長線于，連接，由平面ABC，平面ABC，得，，平面，則平面，平面，因此，，，又，則，，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，為二面角的平面角，又，則，所以，D正確．故選：ABD.4．ABD【分析】求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得平面與平面位置關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用三棱臺(tái)定義判斷選項(xiàng)C；求得直線與平面所成的角判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，所以，A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，又，平面，所以平面平面，B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，，則，所以多面體不是三棱臺(tái)，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，延長，相交于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平面，則為直線與平面所成的角.因?yàn)椋?，解得，，，則，D正確.

故選：ABD5．(1)證明見解析(2).【分析】（1）由線面平行的判定定理可證平面，平面，再由面面平行的判定定理即可證明平面平面；（2）由題意可得，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，再由三棱錐的體積公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，從而，又平面平面，所以平面，連接，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，即平面平面.（2）由題知，平面.連接，則.因?yàn)橛桑?）的證明可知平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，所以三棱錐的體積為.6．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先得出平面平面，由面面平行證明線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面夾角的向量公式計(jì)算即可．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，由直三棱柱得，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得四邊形為平行四邊形，所以所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．?）設(shè)，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，，取，的，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，，取，的，設(shè)平面與平面的夾角為，則，由圖可知二面角為銳角，則二面角的大小為．反思提升：1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2022·北京朝陽·一模）在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2021·新疆·二模）已知，，為三條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，，，則D．若，，，則二、多選題3．（2024·湖南益陽·三模）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為C．使直線AP與平面ABCD所成角為的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為D．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，PF長度的最小值為4．（2024·湖北·二模）如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（

）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為三、解答題5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．6．（2024·貴州·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；(2)若平面平面，且，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：1．B【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，進(jìn)而根據(jù)題意，∽，設(shè)其相似比為，則，再證明四邊形是矩形，再結(jié)合相似比和二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，作圖如下，因?yàn)椋瑒t，所以∽，設(shè)其相似比為，則，因?yàn)?，所以在中，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋瑒t，所以，∽，即，因?yàn)?，所以，即，同理∽，即，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是矩形，即，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：B2．B【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷B；由線面垂直的判定定理可判斷C；由面面平行的判定定理可判斷A.【詳解】A，若，，且，則，故A錯(cuò)誤；B，若，，，則，且，由，所以，故B正確；C，若，，，，且與相交，則，故C錯(cuò)誤；D，若，，，且與相交，則，故D錯(cuò)誤.故選：B3．ABC【分析】由底面正方形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離不變，可判定A正確；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；由直線與平面所成的角為，作平面，得到點(diǎn)的軌跡，可判定C正確；設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】選項(xiàng)A：底面正方形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，正確；選項(xiàng)B：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可知，且，所以；所以異面直線與所成角的取值范圍是，正確；對(duì)于C：因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)樽畲螅怀闪?；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時(shí)，作平面，如圖所示，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長度為，所以C正確；對(duì)于D，由，設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動(dòng)角的范圍等問題；2、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.4．ABD【分析】對(duì)A由平面，聯(lián)想到存在一個(gè)過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進(jìn)而得到的軌跡為線段，對(duì)B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對(duì)C舉反例即可；對(duì)D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】對(duì)A，如圖，令中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí),所以體積最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，由可得,又中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,，而，,故選項(xiàng)C不正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.

5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可證∥平面，∥平面，可得平面∥平面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)分析證明；（2）利用余弦定理求AD，根據(jù)題意利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槎际撬诶獾闹悬c(diǎn)，則∥，∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面．因?yàn)榉謩e是和的中點(diǎn)，則∥，，可得∥，，可知四邊形是平行四邊形，則，且平面，平面，所以∥平面，且，平面，所以平面∥平面，由平面可得∥平面．（2）三棱錐的體積，且，利用余弦定理可得，因?yàn)?，可知，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．6．(1)(2)【分析】（1）利用兩條平行線確定一個(gè)平面，作出過點(diǎn)平行于平面的平面，并證明.從而利用平面與平面平行的性質(zhì)定理可得，所以，則.【詳解】（1）（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，只需在平面?nèi)向作一條垂線即可證明該垂線與平面垂直，進(jìn)而與垂直；再利用平面，有，利用直線與平面垂直的判定定理可得平面，則.建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離計(jì)算公式求得,過作，交于，交于；過作交于.因?yàn)?，面，面，則面，同理面，由，且、平面，所以平面面，平面即為題中所述平面.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，所以為中點(diǎn)，所以，所以，則.（2）過作交于.因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，且、平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，，.設(shè)為平面的法向量，則，令，則，則.反思提升：三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知兩條直線m，n和三個(gè)平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則2．（2024·貴州貴陽·二模）設(shè)為直線，為平面，則的一個(gè)充要條件是（

）A．內(nèi)存在一條直線與平行 B．平行內(nèi)無數(shù)條直線C．垂直于的直線都垂直于 D．存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過3．（2024·全國·三模）已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形二、多選題5．（2024·吉林·二模）已知為兩條不同的直線，兩個(gè)不同的平面，且，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面的兩條對(duì)角線恰好為圓的兩條直徑，分別為的中點(diǎn)，且，則下列說法中正確的有（

）A．平面B．平面平面C．D．直線與所成的角為7．（2020·山東泰安·一模）是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題其中正確的命題有（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么與所成的角和與所成的角相等三、填空題8．（2023·四川涼山·三模）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為．9．（2022·廣西貴港·三模）正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①上底邊的中點(diǎn)在平面內(nèi)②直線與平面不平行③平面截正方體所得的截面面積為④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等．錯(cuò)誤的命題是．10．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)，P是底面ABCD上的一點(diǎn)，若平面GEF，則下面的4個(gè)判斷①點(diǎn)P的軌跡是一段長度為的線段；②線段的最小值為；③；④與一定異面．其中正確判斷的序號(hào)為．四、解答題11．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．(1)證明：F為的中點(diǎn)；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

12．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.參考答案：1．C【分析】利用面面平行的判定定理可判斷出A和B正誤，利用線面垂直的判定定理可判斷出C的正誤，利用線面平行的判定定理可判斷出D的正誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，兩平面α，β可能平行可能相交，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，兩平面β，γ可能平行可能相交，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，設(shè)，，在γ取一點(diǎn)O，過O分別作于B，于C，則，，因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，可得或，所以D錯(cuò)誤.故選：C.2．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線與平面平行，以及平面與平面平行的判定及性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由內(nèi)存在一條直線與平行，則或，所以A不正確；對(duì)于B中，由平行內(nèi)無數(shù)條直線，則或，所以B不正確；對(duì)于C中，由垂直于的直線都垂直于，則或，所以C不正確；對(duì)于D中，如圖所示，由，在直線上任取一點(diǎn)作直線，使得，因?yàn)榍移矫妫?，即充分性成立；反之，若存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得，即必要性成立，所以D正確.故選：D.3．C【分析】由直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的概念判斷即可.【詳解】若，，，且，所以直線與平面平行的判定定理知；若，，，所以直線與平面平行的性質(zhì)定理知；所以“”是“”的充要條件.故選：C.4．C【分析】如圖，由題意，根據(jù)空間線面的位置關(guān)系、基本事實(shí)以及面面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，設(shè)，分別延長交于點(diǎn)，此時(shí)，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，故選：C．

5．AC【分析】A由面面垂直的判定定理即可判斷，BCD由線面之間的關(guān)系即可判斷，【詳解】對(duì)于A，由面面垂直的判定定理即可判斷，故A正確；對(duì)于B，若，可得直線與直線可能平行、相交、異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，又則，故C正確；對(duì)于D，若，則或，故D錯(cuò)誤；故選：AC.6．ABC【分析】根據(jù)題意，由線面平行，面面平行的判斷定理即可判斷ABC，由異面直線所成角即可判斷D.【詳解】由已知可得四邊形為正方形，且四棱錐各棱長均相等，由分別為的中點(diǎn)，可得，又平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)正確;又分別為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，故平面，而，且平面平面，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確;設(shè)，則，所以，即，由B選項(xiàng)可知，所以，故C選項(xiàng)正確;，故(或其補(bǔ)角)即為異面直線與所成的角，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABC.7．BCD【分析】運(yùn)用長方體模型，找出符合條件的直線和平面，即可判斷A；運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷B；運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷C；由平行的傳遞性及線面角的定義，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，可運(yùn)用長方體舉反例證明其錯(cuò)誤：如圖，不妨設(shè)為直線m，為直線n，所在的平面為，所在的平面為，顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)過直線的某平面與平面相交于直線，則，由知，從而，故B正確；對(duì)于C，如果，則，故C正確；對(duì)于D，如果，那么與所成的角和與所成的角相等，故D正確.故選：BCD.8．【分析】作出截面截面，為的中點(diǎn)，則可得截面是邊長為的菱形，求出其面積即可.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過且平行于，故平面經(jīng)過的中點(diǎn)，連接，得截面，易知截面是邊長為的菱形，其對(duì)角線，，截面面積．故答案為：．9．①②④【分析】對(duì)于①：根據(jù)題意得，，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，分析即可判斷；對(duì)于②：取的中點(diǎn)，連接，，由條件可知，，分析判斷即可；對(duì)于③：因?yàn)?，，求出，再求解即可；?duì)于④：記點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，，，，分析即可判斷.【詳解】在①中，如圖所示，連接，，延長，交于點(diǎn)，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，所以，，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形，所以上底邊的中點(diǎn)不在平面內(nèi)，故①錯(cuò)誤；在②中，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，由條件可知，，且，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，故②錯(cuò)誤；在③中，由①可知，因?yàn)?，，所以，所以，故③正確；在④中，記點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離分別為，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②④.10．①③【分析】先證明平面平面，可判斷P的軌跡是線段，結(jié)合選項(xiàng)和幾何性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】分別連接，所以，又因?yàn)?，則，同理，，故平面平面，又因?yàn)槠矫鍳EF，且P是底面ABCD上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上．所以點(diǎn)P的軌跡是一段長度為，故①正確；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，線段最小，最小值為，故②錯(cuò)；因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，則，故③正確；當(dāng)與重合時(shí)，與平行，則④錯(cuò)．故答案為：①③11．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷，得出，得出為中位線，從而得證；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用線面角公式求得正弦值，再利用同角基本關(guān)系式求出余弦值.【詳解】（1）如圖，連接，F(xiàn)E，，在正四棱柱中，由AB與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，又E是中點(diǎn)，所以是的中位線，所以F是的中點(diǎn)；

（2）分別以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，直線AC與平面所成的角為，則，取，得，，，所以直線AC與平面所成角的余弦值為.

12．(1)證明見解析(2)1【分析】（1）通過取的中點(diǎn)構(gòu)建平面平面即得；（2）由題設(shè)易于建系，運(yùn)用空間向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，解方程即得.【詳解】（1）如圖，取線段的中點(diǎn)，連接,因分別為的中點(diǎn),故有,又因?yàn)槠矫妫矫?故平面，平面，又,則平面平面,因平面，則平面.（2）如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè)點(diǎn),則，代入坐標(biāo)得：，即，于是,,設(shè)平面的法向量為，則有故可取，依題意得，，解得：，即線段的長為1.【能力篇】一、單選題1．（2024·四川攀枝花·三模）在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，①平面；②平面；③圓錐的側(cè)面積為；④三棱錐的內(nèi)切球表面積為．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2024·湖北黃岡·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法中正確的是（

）A．平面B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C．若，則四面體的體積為定值D．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為三、填空題3．（2023·貴州黔東南·三模）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是.（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）①若，則平面；②若，則直線與所成角的余弦值為；③若，則的最大值為；④若平面與正方體各個(gè)面都相交，且，則截面多邊形的周長一定為.四、解答題4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，上、下底面是邊長分別為2和4的正三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足，．(1)證明：平面；(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求該三棱臺(tái)的高．參考答案：1．C【分析】根據(jù)正弦定理求得圓錐的底面半徑，從而求得圓錐的高，再計(jì)算出圓錐的側(cè)面積即可判斷③；采用反證的方法可判斷①；根據(jù)線面垂直的判定定理可判定平面判斷②；求出三棱錐的各個(gè)面的面積及體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可判斷④．【詳解】由是底面圓的內(nèi)接正三角形，，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則可得，即，解得.

因?yàn)?，故高，所以圓錐的側(cè)面積，故③正確；假設(shè)平面，由于平面，平面平面，故，則，而因?yàn)闉榈酌鎴A的直徑，又，且（矛盾），故、不可能平行，所以與平面不平行；故①錯(cuò)誤；因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，故，則，，，故，，又，平面，所以平面，故②正確；又，，，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積，故④正確．綜上有②③④正確.故選：C．2．BC【分析】對(duì)于A，運(yùn)用反證法思路，假設(shè)結(jié)論成立，經(jīng)過推理得到平面，與事實(shí)矛盾，排除A；對(duì)于B,利用動(dòng)線構(gòu)造平面平面與平面平行，即可判斷點(diǎn)的軌跡為線段；對(duì)于C，由推理得到三點(diǎn)共線，而平面，故得四面體的體積為定值；對(duì)于D，根據(jù)題意，確定三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，從而求得其半徑，即得其體積，排除D..【詳解】

對(duì)于A，如圖1，假設(shè)平面，因平面則①；因正方形,可得,又平面,平面,則,又平面，故平面，因平面，故②，又平面,故由①，②可得平面，顯然該結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B，如圖2，取中點(diǎn)，連接，易得,且，故得,則有，因平面,平面,故平面③；又,同理可得,則,故有，同法可得平面④,因平面，則由③，④可得平面平面，而平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)，而點(diǎn)又在平面內(nèi)，故點(diǎn)的軌跡為線段，B正確；對(duì)于C，如圖2，//，因?yàn)椋?，所以，故三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在上，而//，且平面，平面,所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以四面體的體積為定值，正確；

對(duì)于：如圖3，因?yàn)檎叫蔚闹行模瑒t,故的外心為的中點(diǎn)，又,故的外心為中點(diǎn),又因平面平面,故點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，其半徑，此外接球的體積.故D不正確.故選：BC.3．①②④.【分析】利用面面平行性質(zhì)定理即可證得選項(xiàng)A判斷正確；求得直線與所成角的余弦值判斷選項(xiàng)B；求得的最大值判斷選項(xiàng)C；求得截面多邊形的周長判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于①