專題46 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題46直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 11【考點(diǎn)1】直線與圓的位置關(guān)系 11【考點(diǎn)2】圓的切線、弦長(zhǎng)問題 17【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系 22【分層檢測(cè)】 27【基礎(chǔ)篇】 27【能力篇】 35【培優(yōu)篇】 39考試要求：1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示公切線條數(shù)402131.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法(1)幾何法：運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xM·xN).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．74．（2023·全國(guó)·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、多選題5．（2024·全國(guó)·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)三、填空題6．（2023·全國(guó)·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．7．（2022·全國(guó)·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．8．（2022·全國(guó)·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．參考答案：題號(hào)12345答案CCCBABD1．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時(shí)，AB的最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，即，令，則，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，AB的最小，此時(shí).故選：C2．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，AB最小，，此時(shí).

故選：C3．C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.4．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

5．ABD【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線長(zhǎng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD6．（中任意一個(gè)皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．7．【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．8．或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，圓，則該動(dòng)直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為且，若滿足以上條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則（

）A． B． C．2 D．二、多選題3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為B．的最小值為C．是的任意兩個(gè)位置點(diǎn)，則D．過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，則的最小值為4．（23-24高三上·河北廊坊·期中）如圖，有一組圓都內(nèi)切于點(diǎn)，圓，設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心都在直線上B．圓的方程為C．若圓與軸有交點(diǎn)，則D．設(shè)直線與圓在第二象限的交點(diǎn)為，則三、填空題5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為.6．（19-20高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直角△中，直角頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是．參考答案：題號(hào)1234答案CDABDABD1．C【分析】根據(jù)題意可得直線表示過定點(diǎn)，且除去的直線，點(diǎn)在圓上，可判斷直線與圓相交.【詳解】因?yàn)橹本€，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以直線表示過定點(diǎn)，且除去的直線，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，點(diǎn)在圓上，所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時(shí)直線為，不合題意，所以直線與圓相交.故選：C.2．D【分析】連接，結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，再由題意可知該圓與直線相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案.【詳解】連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的距離，解得.故選：D.3．ABD【分析】由得，計(jì)算面積可判斷A；結(jié)合圖象可知，當(dāng)共線的時(shí)候取值最小值，可判斷B；過A向圓引切線，用兩條切線夾角來可判斷C；分別用斜率存在和不在兩種情況寫出過點(diǎn)的直線方程，然后由圓的幾何性質(zhì)求MN，進(jìn)而結(jié)合基本不等式可得MN的最小值，即可判斷D.【詳解】由得：，即，點(diǎn)的軌跡為圓心O0,0，半徑的圓.對(duì)于A：面積為，故A正確；對(duì)于B：點(diǎn)B在圓內(nèi)，由圖知，當(dāng)共線的時(shí)候等號(hào)成立，所以最小值為，故B正確，對(duì)于C：因?yàn)?，，所以過A向圓引切線，切線長(zhǎng)等于，則兩條切線夾角為，故C不正確.對(duì)于D：斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線方程為，此時(shí)；斜率存在時(shí)，過點(diǎn)的直線方程為，即，則圓心到該直線的距離，由圓的幾何性質(zhì)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的最小值為，故D正確.故選：ABD.4．ABD【分析】求出連心線所在直線方程判斷A；求出圓的方程判斷B；求出圓的圓心到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合直線與圓相交判斷C；求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)判斷D.【詳解】圓的圓心，直線的方程為，即，由兩圓內(nèi)切連心線必過切點(diǎn)，得圓的圓心都在直線上，即圓的圓心都在直線上，A正確；顯然，設(shè)點(diǎn)，則，而，解得，因此圓的圓心，半徑為，圓的方程為，則圓的方程為，B正確；圓的圓心到y(tǒng)軸距離為，若圓與軸有交點(diǎn)，則，解得，而，因此，C錯(cuò)誤；在中，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此，D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.5．【分析】設(shè)，，直線MN的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)根的判定式，求出的取值范圍，根據(jù)，即可得到，即可求出；【詳解】解：由題意得，直線的斜率存在，設(shè)，，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，，得，，.因?yàn)椋裕瑒t，于是，（由點(diǎn)A及C在y軸上可判斷出，同號(hào)）所以，兩式消去，得，滿足，所以.故答案為：6．【分析】由題意畫出圖形，畫出以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，結(jié)合圖形分析推理，點(diǎn)A在這個(gè)圓截直線x-y+4=0所得弦上時(shí)，滿足要求，列出不等式求解即得．【詳解】如圖所示，顯然直線x-y+4=0與圓相交，當(dāng)點(diǎn)A為直線上的定點(diǎn)且在圓外，直線與圓相切時(shí)，∠BAC最大，點(diǎn)A是直線被圓所截弦上的點(diǎn)(除弦的端點(diǎn)外)時(shí)，點(diǎn)A對(duì)圓上兩點(diǎn)所張角在，點(diǎn)A在直線上從弦端點(diǎn)開始遠(yuǎn)離圓方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC逐漸變小，點(diǎn)A移動(dòng)到某位置使得直線AB，AC為圓的切線，∠BAC就為直角，再沿著此方向移動(dòng)，∠BAC將小于直角，則為點(diǎn)A的邊界位置，當(dāng)點(diǎn)A在處時(shí)，為正方形，則，則點(diǎn)A是以為圓心，為半徑的圓截直線x-y+4=0所得弦上的點(diǎn)時(shí)符合要求，即直線上的點(diǎn)A在該圓及內(nèi)部，，令A(yù)(x,x+4)，則，點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】(1)直線上的動(dòng)點(diǎn)與圓的關(guān)系類問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形的幾何特征是解題的關(guān)鍵；(2)圓相外的定點(diǎn)向圓引的兩條切線夾角是該點(diǎn)對(duì)圓上兩點(diǎn)所張的角中最大的.反思提升：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.【考點(diǎn)2】圓的切線、弦長(zhǎng)問題一、單選題1．（23-24高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作圓的切線，A為切點(diǎn)，，則的最大值是（

）A． B． C．4 D．3二、多選題3．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到的最大距離為B．若被圓所截得的弦長(zhǎng)最大，則C．若為圓的切線，則的取值范圍為D．若點(diǎn)也在圓上，則到的距離的最大值為4．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線，分別與圓切于點(diǎn)，.則下列說法正確的是（

）A．最短為B．最短時(shí)，弦所在直線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．直線過定點(diǎn)為三、填空題5．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若鈍角的面積為，則實(shí)數(shù)a的值是．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)滿足，，已知圓，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最大時(shí)，圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為．參考答案：題號(hào)1234答案AAABDABD1．A【分析】先求出直線所過的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小，再由垂徑定理得到最小值.【詳解】直線，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，且，即在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大為，此時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為.故選：A.2．A【分析】先根據(jù)切線長(zhǎng)度求出OP為定值，即，設(shè)，兩個(gè)方程聯(lián)立，利用求的取值范圍.【詳解】由題意：，即.設(shè)，則，代入，得.因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程一定有解，所以.故選：A.3．ABD【分析】求出圓心到直線距離的最大值，可求得到的最大距離，可判斷A選項(xiàng)的正誤；將圓心的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析可知當(dāng)直線與圓相切，求出到的距離的最大值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，直線過定點(diǎn)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與直線不垂直時(shí)，.綜上所述，，所以，點(diǎn)到的最大距離為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若被圓所截得的弦長(zhǎng)最大，則直線過圓心，可得，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若為圓的切線，則，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若也在圓上，則直線與圓相切或相交，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，到的距離取最大值，D對(duì).故選：ABD.4．ABD【分析】確定當(dāng)時(shí)，最小，即可求得的最小值，判斷A；結(jié)合A的分析，設(shè)出的方程，求出弦心距，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)，即可判斷B；假設(shè)存在點(diǎn)，使得，求出此時(shí)，和M到直線l的最短距離比較，即可判斷C；求出切點(diǎn)弦的方程，結(jié)合點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出所過定點(diǎn)，判斷D.【詳解】由題意知，圓的半徑為，且，，故,即當(dāng)最小時(shí)，最短，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，故的最小值為，A正確；當(dāng)最短時(shí)，，故的斜率為-1，又，故的斜率為1，設(shè)其方程為，由于此時(shí)，，故，所以M到的距離為.則有，解得或，由于，結(jié)合圖形可知二者之間的距離應(yīng)小于，當(dāng)時(shí)，和間的距離為，時(shí)，的方程為和間的距離為，故最短時(shí)，弦所在直線方程為，B正確；假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，此時(shí)為等腰直角三角形，則，結(jié)合，則為等腰直角三角形，而，故，由于M到直線l的最短距離為，故不存在點(diǎn)，使得，C錯(cuò)誤；設(shè)，由于直線，分別與圓相切，故直線，的方程分別為，將代入，即，可得的方程為，由于，即，故即，由于，故令，即直線過定點(diǎn)為，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了直線和圓相切的問題，涉及最值、定點(diǎn)以及切點(diǎn)弦方程問題，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要注意根據(jù)圓的切線方程，推出切點(diǎn)弦方程，進(jìn)而求解直線過定點(diǎn)問題.5．/【分析】由鈍角的面積為，求得，得到，進(jìn)而求得圓心到直線的距離為1，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解．【詳解】解：由圓，即，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)殁g角的面積為，可得，解得，因?yàn)椋?，可得，設(shè)圓心到直線的距離為，又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，解得，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，解得．故答案為：．6．【分析】求出點(diǎn)的軌跡，利用切線的性質(zhì)探討取最大的等價(jià)條件，由此求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由對(duì)稱求出圓方程.【詳解】依題意，點(diǎn)的軌跡為直線上，顯然，要最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，在中，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則只需最大，即圓心到點(diǎn)的距離最小，因此，又圓心，此時(shí)直線的方程為，由解得點(diǎn)，于是圓心關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為．故答案為：反思提升：弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)注意斜率不存在的切線.【考點(diǎn)3】圓與圓的位置關(guān)系一、單選題1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）兩圓與的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1二、多選題3．（22-23高二上·浙江紹興·階段練習(xí)）以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點(diǎn)，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D．圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓外離，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時(shí)，圓和圓相交三、填空題5．（2024·浙江麗水·二模）已知圓，若對(duì)于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為定值，則.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）圓與圓的公切線長(zhǎng)為.參考答案：題號(hào)1234答案ABABCBCD1．A【分析】設(shè)點(diǎn)，由，得P的軌跡方程為，再由兩圓相交求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，所以P的軌跡方程為，圓心為，半徑為3．由此可知圓與有公共點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑為2，所以，解得，即的取值范圍是．故選：A．2．B【分析】?jī)蓤A與圓的方程相減可得公共弦所在的直線方程為，再由點(diǎn)到直線的距離公式能求出兩圓的公共弦長(zhǎng)．【詳解】?jī)蓤A的圓心分別為,半徑均為1，故圓心距離為,故兩圓相交，圓與圓的公共弦所在的直線方程為：，即，圓的圓心到公共弦的距離：，圓的半徑，公共弦長(zhǎng)．故選：B．3．ABC【分析】對(duì)于A:斜率為且與橢圓相切的直線到直線的距離為到橢圓的最大值或者最小值.對(duì)于B:根據(jù)AB為切點(diǎn)，得出，，由此判斷AB在以為直徑的圓上，以此求出公共弦AB的直線方程，找到定點(diǎn).對(duì)于C:兩圓三條公切線，說明兩圓外切，兩圓心距離應(yīng)該等于兩圓半徑之和.對(duì)于D:判斷直線與圓上各點(diǎn)距離兩個(gè)方向的最遠(yuǎn)距離，兩值大于1則有四個(gè)滿足條件的點(diǎn).【詳解】對(duì)于A:設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得當(dāng)時(shí)，直線與距離最大，最大距離為故A正確.對(duì)于B:設(shè)點(diǎn)，因?yàn)锳B為切點(diǎn)，所以，，連接，根據(jù)圓周角與圓直徑關(guān)系可知，AB兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓的方程為，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程得，令，則故B正確.對(duì)于C:曲線：，曲線:，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，故，得故C正確.對(duì)于D:直線與圓相切，且與距離為1，因此圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1故D錯(cuò)誤.故選:ABC【點(diǎn)睛】圓錐曲線與相交直線的最遠(yuǎn)距離求法：1.設(shè)一條與相交直線平行的直線;2.假設(shè)直線與曲線相切并聯(lián)立方程，求出直線方程;3.根據(jù)平行線距離公式求出兩直線距離，即是圓錐曲線與相交直線的最遠(yuǎn)距離.4．BCD【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】.若和外離，則，解得或，故A錯(cuò)誤；若和外切，，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，和內(nèi)切，故C正確；當(dāng)時(shí)，和相交，故D正確.故選：BCD5．/【分析】由圓的方程的特征求出，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，令、得到兩個(gè)圓的方程，兩圓作差得到公共弦方程，求出公共弦長(zhǎng)，即可求出.【詳解】圓，則，解得，所以圓，即，由題設(shè)，令可得，令可得，顯然兩圓相交，則兩圓方程作差可得，當(dāng)直線為時(shí)，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以，則.故答案為：6．4【分析】先由圓心距與兩圓半徑和差關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，再由幾何性質(zhì)利用勾股定理求解公切線長(zhǎng).【詳解】由題可得，由圓，則圓心為，半徑為，由圓，則圓的圓心為，半徑為.則兩圓心的距離，因?yàn)?，所以圓與圓相交.如圖，設(shè)切點(diǎn)為，作于點(diǎn)，所以圓與圓的公切線長(zhǎng)為.故答案為：.

反思提升：1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與圓有交點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．23．（2024·貴州六盤水·三模）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A． B．1 C． D．﹣24．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，過點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為8B．橢圓的離心率C．面積的最大值等于12D．以線段為直徑的圓與圓相切6．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和圓，則（

）A．圓的半徑為4B．軸為圓與的公切線C．圓與公共弦所在的直線方程為D．圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為17．（2023·河北·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．過點(diǎn)作圓M的切線有且只有一條B．若圓和圓恰有3條公切線，則C．若PQ的最小值為1，則D．若，則直線的斜率的最大值為三、填空題8．（2024·天津·二模）設(shè)直線和圓相交于兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù).9．（2023·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則．10．（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)四、解答題11．（2020·云南保山·模擬預(yù)測(cè)）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)且和圓相切的直線的方程．12．（22-23高二上·天津和平·期中）已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上，求：(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，求的最小值；(3)若過點(diǎn)的直線被圓所截得弦長(zhǎng)為，求該直線的方程．參考答案：題號(hào)1234567答案AACAACDBDBD1．A【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進(jìn)而可以列出不等式.【詳解】的圓心為，半徑r=1，圓心到直線的距離，依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，所以，即.故選：A.2．A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】連接，則，而PC的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離，所以.故選：A.3．C【分析】首先求出圓心到直線的距離，進(jìn)一步利用垂徑定理建立等量關(guān)系式，最后求出a的值．【詳解】圓與直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且．則圓心到直線的距離，利用垂徑定理得，所以，解得．故選：C．4．A【解析】由圓的一般方程求得圓心和半徑，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求得點(diǎn)P到圓心C的距離，得出切線與直線PC的夾角的正弦值，運(yùn)用余弦的二倍角公式可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閳A，所以，所以圓心為，半徑，又點(diǎn)，所以點(diǎn)P到圓心C的距離為，所以切線與直線PC的夾角的正弦值為，所以兩切線的夾角的余弦值為，故選：A.5．ACD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，對(duì)于A，的最大值為，A正確；對(duì)于B，橢圓的離心率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，而，因此面積的最大值等于，C正確；對(duì)于D，以線段為直徑的圓為的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，則圓與圓外切，D正確.故選：ACD6．BD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式即得；對(duì)于B項(xiàng)，判斷圓心到直線的距離等于圓的半徑即得；對(duì)于C項(xiàng)，只需將兩圓方程相減化簡(jiǎn)，即得公共弦直線方程；對(duì)于D項(xiàng)，需要結(jié)合圖像作出兩條和已知直線平行且距離等于1的直線，通過觀察分析即得.【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，由圓配方得：知圓的半徑為2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因圓心到軸的距離為1，等于圓的半徑，故圓與軸相切，同理圓心到軸的距離等于圓的半徑，圓與軸相切，故軸為圓與的公切線，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，只需要將與左右分別相減，即得圓與的公共弦所在的直線方程為：故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖，因直線同時(shí)經(jīng)過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線與，其中與和圓都相切，各有一個(gè)公共點(diǎn)，與和圓都相交，各有兩個(gè)交點(diǎn)，故圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.7．BD【分析】根據(jù)題意，分別求得圓和圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓與原的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，圓，可得圓心為，半徑為，對(duì)于A中，由點(diǎn)在圓外，所以過點(diǎn)的切線有2條，所以A不正確；對(duì)于B中，若圓和圓恰有3條公切線，則圓和圓相外切，所以，即，解得，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)圓和圓外離時(shí)，可得PQ的最小值為，此時(shí)；當(dāng)圓和圓內(nèi)含時(shí)，可得PQ的最小值為，此時(shí)，所以C不正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，則直線的斜率的最大值是斜率為正的內(nèi)公切線斜率，如圖所示，，且，所以，在直角，可得，所以，即直線PQ的斜率的最大值為，所以D正確.故選：BD.8．【分析】由于，可知圓心到直線的距離，進(jìn)而可得解.【詳解】

如圖所示，由已知，即，可得，半徑，又，所以，即為等腰直角三角形，所以圓心到直線得距離，即，且，解得：；故答案為：.9．【分析】由直線與圓的位置關(guān)系作出切線，求得，即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為點(diǎn)，則，，則點(diǎn)在圓上，且，由與圓相切可得，所以切線方程為，令，解得，故，所以故答案為：.10．7【分析】利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑，若，則圓心到直線即的距離，又由圓心到直線的距離，則有，解可得：.故答案為：.11．（1），（2）或【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求圓的一般方程為，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算可得的值，即可得圓的一般方程，變形可得答案；（2）根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，進(jìn)而分別討論直線的斜率存在與不存在時(shí)直線的方程，綜合即可得答案【詳解】解：（1）設(shè)所求圓的一般方程為，則，解得，所以所求圓的一般方程為，即，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）由（1）可知圓：的圓心，半徑為5，若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，與圓相切，符合題意，若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，則有，解得，所以直線的方程為，綜上，直線的方程為或【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題12．(1)(2)(3)或【分析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)，且圓心在直線上，建立方程組就可以求得.(2)求出圓心到直線的距離，即可求出最小值.(3)根據(jù)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求出圓心到直線的距離，用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，求出得值，即可寫出直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過和點(diǎn)，且圓心在直線上，所以解得：所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)閳A到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以的最小值為.（3）當(dāng)斜率存在時(shí)，由條件可知，圓心到直線的距離為根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得.當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合截圓所得的弦長(zhǎng)為8所以直線方程為或.【能力篇】一、單選題1．（2024·山東聊城·二模）若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經(jīng)過點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·山東青島·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在圓和上，動(dòng)點(diǎn)在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過點(diǎn)做圓的切線，則切線長(zhǎng)最短為三、填空題3．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).四、解答題4．（2025·安徽·一模）橢圓的上頂點(diǎn)為，圓在橢圓內(nèi)．(1)求的取值范圍；(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．參考答案：題號(hào)12答案DBD1．D【分析】根據(jù)兩圓公切線條數(shù)確定兩圓位置關(guān)系，從而可得圓心所滿足的軌跡方程，從而逐項(xiàng)判段直線與圓位置關(guān)系，確定直線是否過點(diǎn)即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，若圓與圓恰有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為圓，對(duì)于A，圓心到直線的距離為，則該直線過點(diǎn)，故A不符合；對(duì)于B，圓心到直線的距離為，則該直線過點(diǎn)，故B不符合；對(duì)于C，圓心到直線的距離為，則該直線過點(diǎn)，故C不符合；對(duì)于D，圓心到直線的距離為，則該直線不過點(diǎn)，故D符合；故選：D.2．BD【分析】求出兩個(gè)圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓關(guān)于對(duì)稱的圓方程，利用圓的性質(zhì)求出最小值判斷C；利用切線長(zhǎng)定理求出最小值判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，圓的半徑為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，圓和圓相離，B正確；對(duì)于C，圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓為，，連接交于點(diǎn)，連接，由圓的性質(zhì)得，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合，且是線段分別與圓和圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD

3．【分析】利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑，若，則圓心到直線即的距離，又由圓心到直線的距離，則有，解可得：.故答案為：.4．(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離小于半徑即可得出范圍；（2）設(shè)直線的方程直線,由點(diǎn)到直線距離等于半徑得出的方程為，最后再應(yīng)用圓心到直線距離等于半徑求參即可求出